2024~2025學(xué)年第一學(xué)期高三期末質(zhì)量檢測卷數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：高考范圍.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式，得到，根據(jù)并集概念求出答案.【詳解】，解得，故，又，所以.故選：B.2.已知，，且，其中i是虛數(shù)單位，則（）A.10 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，再根據(jù)復(fù)數(shù)相等列方程計(jì)算求參，最后應(yīng)用模長公式計(jì)算即可.【詳解】由得：，所以解得，所以.故選:D.3.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分別根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)所在區(qū)間進(jìn)而得出判斷.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，故的零點(diǎn)，由在上單調(diào)遞增，得，，因此的零點(diǎn)，則.故選:D.4.將單詞“”的7個字母填入編號從1到12的一排方格中，每個方格至多填入1個字母，且6號方格填字母“”，則得到的結(jié)果從左至右仍為單詞“”的填法有（）A.400種 B.350種 C.200種 D.150種【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分布計(jì)數(shù)原理結(jié)合分類計(jì)數(shù)原理，再應(yīng)用組合數(shù)運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】第一類第一步：從1到5號方格中選出3個，填入“c”“o”“l(fā)”這3個字母，有種方法；第二步：從7到12號方格中選出3個，填入“e”“c”“t”這3個字母，有種方法，所以得到的結(jié)果從左至右仍為單詞“”的填法有種；第二類第一步：從1到5號方格中選出2個，填入“c”“o”這2個字母，有種方法；第二步：從7到12號方格中選出4個，填入“l(fā)”“e”“c”“t”這4個字母，有種方法，所以得到的結(jié)果從左至右仍為單詞“”的填法有種.所以得到的結(jié)果從左至右仍為單詞“”的填法有種.故選:B.5.天文計(jì)算的需要，促進(jìn)了三角學(xué)和幾何學(xué)的發(fā)展.10世紀(jì)的科學(xué)家比魯尼的著作《馬蘇德規(guī)律》一書中記錄了在三角學(xué)方面的一些創(chuàng)造性的工作.比魯尼給出了一種測量地球半徑的方法：先用邊長帶有刻度的正方形測得一座山的高（如圖1），再于山頂T處懸一個直徑為且可以轉(zhuǎn)動的圓環(huán)（如圖2），從山頂T處觀測地平線上的一點(diǎn)I，測得且，由此可以算得地球的半徑（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)知識得到方程，求出.【詳解】由圖可知，，故，解得.故選：B.6.在任意四邊形中，點(diǎn)，分別在線段，上，且，，，，，則與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，得，再兩邊平方求解即可.【詳解】由，則①，又②，由①+②可得，即，故，設(shè)與夾角為，則，解得.故選：C．7.已知過點(diǎn)作曲線的切線有且僅有1條，則的值為（）A.或 B.或 C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，將點(diǎn)代入切線方程結(jié)合切線有且僅有1條，令判別式為即可求解.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，由已知得，則切線斜率，所以切線方程為，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，則，化簡得，又因?yàn)榍芯€有且僅有1條，即，解得或2，故選：A8.已知點(diǎn)在拋物線：（）上，是上不同的兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），若直線，被圓：截得的弦長都為，則直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用點(diǎn)在拋物線上求出拋物線方程，設(shè)，，得到直線，方程，再利用垂徑定理求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線：（）上，所以，解得，即的方程為，設(shè)，，所以直線的方程為，因?yàn)橹本€被圓：截得的弦長為，所以，整理得，即，即，同理可得，所以直線的方程為，故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知m，n是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)空間線面位置關(guān)系，逐個判斷即可；【詳解】，時，或，A錯誤；若，，則，B正確；若，，由線面垂直性質(zhì)定理知，C正確；，，，如圖，過m作平面交于直線l，由得，同理過m作平面與交于直線p，得，所以，而，所以，又，，則，所以，D正確.故選：BCD.10.已知函數(shù)（），對任意，恒有，且在上單調(diào)遞增，則（）A.B.的圖象可由的圖象向右平移個單位長度得到C.奇函數(shù)D.在上的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】先利用輔助角公式化簡，再根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性和最值列不等式組求出判斷A，再根據(jù)正弦函數(shù)的平移變換、奇偶性、單調(diào)性判斷BCD即可.【詳解】由題意可知，，因?yàn)閷Γ阌校允呛瘮?shù)的一個最值點(diǎn)，即，解得，，當(dāng)時，，又函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，所以，，即解得，，當(dāng)時，，此時，符合題意，所以，，故A正確；對于選項(xiàng)B：的圖象應(yīng)由向右平移個單位長度得到，故B錯誤；對于選項(xiàng)C：，為奇函數(shù)，故C正確；對于選項(xiàng)D：由得，所以，即函數(shù)的最大值為，故D正確；故選：ACD11.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，且，，則（）A. B.為偶函數(shù)C. D.【答案】BCD【解析】【分析】通過分別令，，及，，及，可判斷A，通過分別令及即可判斷B，通過令，得到即可判斷C，由，確定4為的一個周期，進(jìn)而可判斷D.詳解】令，，則，所以，令，，則，所以，令，，則，所以，故A錯誤；令，則，所以，則，令，則，所以，所以，所以為偶函數(shù)，故B正確；令，則，所以，則，所以，故C正確；由，得，所以4為的一個周期，由，得，，所以，所以，D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題難點(diǎn)在于合理賦值，利用對稱性求得周期，然后即可求解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在正四棱臺中，，，則正四棱臺的體積為_________.【答案】##【解析】【分析】作出輔助線，得到棱臺的高，利用臺體體積公式計(jì)算即可.【詳解】如圖，在正四棱臺中，，則，.過點(diǎn)作交于點(diǎn)E，過點(diǎn)作交于點(diǎn)F，則，又，所以，即正四棱臺的高，所以正四棱臺的體積.故答案為：13.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，在橢圓：上，且直線，的斜率之積為，則中點(diǎn)的軌跡方程為_________.【答案】【解析】【分析】將點(diǎn)，代入橢圓方程，兩式相加，代入斜率的坐標(biāo)公式可得，再代入中點(diǎn)的坐標(biāo)公式化簡即可求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，在橢圓：上，所以，兩式相加可得，即，又因?yàn)橹本€，的斜率之積為，所以，可得，所以，設(shè)中點(diǎn)為，則，，所以，即，即中點(diǎn)的軌跡方程為，故答案：14.若，，則_________.【答案】##【解析】【分析】先利用正弦和余弦的兩角和差公式化簡，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可.【詳解】因?yàn)椋裕剩蚀鸢笧椋核摹⒔獯痤}：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.數(shù)列的前項(xiàng)和為，，當(dāng)時，.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求的表達(dá)式；（2）設(shè)，求數(shù)列的最大項(xiàng)的值.【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】【分析】（1）利用與的關(guān)系可得，結(jié)合等差數(shù)列的定義求解即可；（2）利用作差法分析數(shù)列的最大項(xiàng)即可.【小問1詳解】當(dāng)時，數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，即，整理可得，因?yàn)椋瑒t，即，可得，假設(shè)當(dāng)時，，則，所以對任意的，，在等式，兩邊同時除以可得，所以數(shù)列為等差數(shù)列，且其首項(xiàng)為，公差為2，所以，得.【小問2詳解】由（1）得，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以，故數(shù)列的最大項(xiàng)為，其值為.16.近些年天然氣使用逐漸普及，為了百姓能夠安全用氣，國務(wù)院辦公廳印發(fā)《城市燃?xì)夤艿赖壤匣赂脑鞂?shí)施方案（2022―2025年）》.某市在實(shí)施管道老化更新的過程中，從本市某社區(qū)1000個家庭中隨機(jī)抽取了100個家庭燃?xì)馐褂们闆r進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)了這100個家庭一個月的燃?xì)馐褂昧浚▎挝唬海玫饺缦骂l數(shù)分布表：燃?xì)馐褂昧?單位：)頻數(shù)614183016124（1）若采用分層抽樣的方法從燃?xì)馐褂昧吭诤瓦@兩組的家庭中隨機(jī)抽取8個家庭，市政府決定從這8個家庭中抽取4個跟蹤調(diào)查其使用情況，記隨機(jī)變量表示這4個家庭中燃?xì)馐褂昧吭趦?nèi)的家庭個數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）將這一個月燃?xì)馐褂昧砍^22的家庭定為“超標(biāo)”家庭.若該社區(qū)這一個月燃?xì)馐褂昧糠恼龖B(tài)分布，其中近似為100個樣本家庭的平均值，估計(jì)該社區(qū)中“超標(biāo)”家庭的戶數(shù).（結(jié)果四舍五入取整數(shù)）附：若X服從正態(tài)分布，則，，.【答案】（1）分布列見解析，1（2）159個【解析】【分析】（1）先利用分層抽樣的概念求出在和這兩組的家庭中隨機(jī)抽取的家庭個數(shù)，進(jìn)而得到的所有可能取值，根據(jù)古典概型的概率公式求分布列，再根據(jù)分布列和期望公式求期望即可；（2）根據(jù)頻數(shù)分布表求出平均值，再根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求解即可.【小問1詳解】燃?xì)馐褂昧吭诘募彝€數(shù)為：（個），在的家庭個數(shù)為：（個），則的所有可能取值有0，1，2，，，，則的分布列為012所以.【小問2詳解】由題意知這100個樣本家庭的平均值，所以，又，估計(jì)該社區(qū)中“超標(biāo)”家庭的戶數(shù)為159個.17.如圖，四邊形為矩形，，，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置.（1）求三棱錐外接球的表面積；（2）當(dāng)平面平面時，證明：，并求二面角的余弦值.【答案】（1）（2）證明見解析，【解析】【分析】（1）確定外接球球心即為的中點(diǎn)，即可求解；（2）建系，求得平面法向量，代入夾角公式即可求解；【小問1詳解】解：因?yàn)楹途鶠橐詾樾边叺闹苯侨切危匀忮F的外接球球心即為的中點(diǎn)，半徑，所以外接球表面積.【小問2詳解】證明：當(dāng)平面平面時，因?yàn)椋矫妫矫嫫矫妫云矫?因?yàn)槠矫妫?以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（），由，，得解得，，即P點(diǎn)坐標(biāo)為，，.設(shè)平面，所以所以令，得，易知為平面的一個法向量，所以，因?yàn)槎娼堑钠矫娼菫殇J角，所以二面角的余弦值為.18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線E：（，）的兩條漸近線的方程分別為，，直線l是E的切線，l分別交直線，于A，B兩點(diǎn)（A，B分別在第一，四象限），且時，的面積為8.（1）若E的離心率為，求E的方程；（2）試探究：是否存在雙曲線E，使的面積恒為8？若存在，求出雙曲線E的方程；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合對稱性求出三角形面積關(guān)系，進(jìn)而求出即可.（2）由（1）可得存在的雙曲線方程，再驗(yàn)證切線斜率不存在的情況即可得解.【小問1詳解】雙曲線E的漸近線方程分別為，，由雙曲線E的離心率為，得，解得，當(dāng)時，由對稱性知，直線l方程為，此時的面積為，則，所以雙曲線E的方程為.【小問2詳解】由（1）知，當(dāng)軸時，雙曲線E的方程為，若存在滿足條件的雙曲線E，則E的方程滿足條件，當(dāng)直線l不與x軸垂直時，設(shè)直線l的方程為，直線l與x軸交于點(diǎn)C，依題意，得或，則，記，.由得，同理得，由得，而，由直線l與雙曲線E相切，得，于是，即，因此，所以存在雙曲線E，使的面積恒為8，且E的方程為.19.一般地，對于給定的兩條直線：和：，把方程（（）為不全為0的實(shí)數(shù)）表示由和決定的直線系，當(dāng)與相交時，是以與的交點(diǎn)為中心的中心直線系，當(dāng)與平行時，該直線系稱為平行直線系.在數(shù)學(xué)中把這種具有某種共同性質(zhì)的直線的全體叫做直線系（或直線族）.記直線族（）為，直線族（）為.（1）分別判斷點(diǎn)，是否在直線族中的某條直線上，說明理由；（2）若對于給定的實(shí)數(shù)（），點(diǎn)不在直線族中的任何一條直線上，求的取值范圍；（3）直線族包絡(luò)被定義為這樣一條曲線：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點(diǎn)處的切線，且該曲線上每一點(diǎn)處的切線都是該直線族中的某條直線，求的包絡(luò).【答案】（1）點(diǎn)在點(diǎn)不在，理由見解析（2）（3）（）【解析】【分析】（1）根據(jù)直線族的定義，將點(diǎn)，代入求是否有實(shí)數(shù)解即可；（2）根據(jù)直線族的定義，原問題可轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在上無解，令（），利用導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)性進(jìn)而求出值域即可求解；（3）根據(jù)直線族中的取值范圍猜測包絡(luò)線的方程，再用包絡(luò)線的切線方程進(jìn)行驗(yàn)證，從而確定所求的方程為包絡(luò)線方程.【小問1詳解】將代入（），得，解得，所以直線方程為，故點(diǎn)在直線族中的直線上；將代入（），得，顯然，方程無解，所以點(diǎn)不在直線族中的任何一條直線上.【小問2詳解】因?yàn)閷τ诮o定的實(shí)數(shù)（），點(diǎn)不在直線族中的任何一條直線上，則關(guān)于的方程在上無解，即關(guān)于的方