2025年陜西省西安市碑林區西北工大附中中考數學二模試卷一、選擇題（共8小題，每小題3分，計24分，每小題只有一個選項是符合題意的）1.2025的相反數是（）A. B.2025 C. D.2.2023年7月世界人工智能大會在我國上海召開．大模塊整合數據是人工智能研究實驗室推出的一種由人工智能技術驅動的自然語言處理技術，其技術底座有著多達175000000000個模型參數，數據175000000000用科學記數法表示為（）A. B. C. D.3.一只杯子靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力的方向豎直向下，支持力的方向與斜面垂直，摩擦力的方向與斜面平行．若斜面的坡角，則摩擦力與重力方向的夾角的度數為（）A B. C. D.4.某防洪大堤的橫斷面如圖所示，背水坡坡面的長度為，坡度為（坡度為坡面的鉛直高度與水平寬度的比），汛期來臨前要對背水坡進行加固，改造后的背水坡坡面的坡度為，改造后背水坡的長度為（）A. B. C. D.5.若為常數且，則一次函數的圖象可能是（）A. B. C. D.6.是一元二次方程的兩個實數根，則的值為（）A.4 B. C.3 D.17.如圖，中，M是的中點，平分，于點D，若，則等于（）A.4 B.3 C.2 D.18.已知拋物線，當時，，且當時，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是（）A. B. C. D.9.如圖，為的直徑，點為的中點，連接，．若，則的度數為（）A. B. C. D.10.已知二次函數，當時，隨的增大而增大．當時，函數的最大值是8，最小值是，則的值可能是（）A.2 B.4 C.6 D.911.如圖，已知的半徑為，弦與弦位于圓心的異側，，，在上取點，連結并延長交于點．若，則的長為（）A. B. C. D.12.已知拋物線經過點和，且拋物線與x軸的其中一個交點的橫坐標m滿足，那么a的取值可能是（）A. B.1 C.2 D.二、填空題（共5小題，每小題3分，計15分）13.因式分解：____．14.如圖，正五邊形的邊長為2，對角線相交于點O，則四邊形的周長為______．15.如圖，在中，弦，若，則______．16.已知，反比例函數的圖象上兩點，當，時，有，則m的取值范圍是__________．17.如圖，已知矩形，，，E，F分別為邊上動點，且，將四邊形沿翻折到四邊形，則的最小值為______．18.如圖，矩形頂點A、C分別在x、y軸上，雙曲線分別交、于點D、E，連接并延長交x軸于點F，連接，若點E為的中點，且，則______．19.如圖，四邊形是邊長為6的菱形，，F是的中點，點E、G分別在，上，且，連接、，則的最小值為______．20.如圖，在等邊中，，點在邊上，且，點為邊上一點，連接，在的右側作，且，連接，則的最小值為___________．三、解答題（共13小題，計81分，解答要寫出過程）21.計算：22.解不等式組：23.解方程：．24.如圖，已知△ABC，M是邊BC延長線上一定點，請用尺規作圖法，在邊AC延長線上求作一點P，使∠CPM＝∠B．（保留作圖痕跡，不寫作法）25.如圖，是上一點，，，平分，求證：．26.物理變化和化學變化的區別在于是否有新物質的生成．某學習小組在活動課上制作了四張卡片，這四張卡片除圖片內容不同外，沒有其他區別．將這四張卡片放置于暗箱中搖勻．（1）小明從暗箱中隨機抽取一張，抽中A卡片的概率是________．（2）小華從暗箱中隨機抽取兩張，用列表法或畫樹狀圖法求小華抽到兩張內容均為物理變化的卡片的概率．27.小芳在一家文具店購買了兩種不同用途的筆記本，她買了一種用于課堂筆記的大筆記本個和一種用于日常記錄的小筆記本個，總共花費了元；已知大筆記本的單價是小筆記本單價的兩倍，請問該文具店中這種大筆記本的單價是多少？28.如圖，某無人機愛好者在一小區外放飛無人機，當無人機飛行到一定高度點處時，無人機測得操控者的俯角為75°，測得小區樓房頂端點處的俯角為45°．已知操控者和小區樓房之間的距離為70米，此時無人機距地面的高度為74.6米，求小區樓房的高度．（參考數據：，，）29.今年某水果銷售店在草莓銷售旺季，試銷售成本為每千克20元的草莓，規定試銷期間銷售單價不低于成本單價，也不高于每千克40元，經試銷發現，銷售量y（千克）與銷售單價x（元）符合一次函數關系，如圖是y與x的函數關系圖象．（1）求y與x的函數解析式（也稱關系式），請直接寫出x的取值范圍；（2）設該水果銷售店試銷草莓獲得的利潤為W元，求W的最大值．30.為營造健康向上的校園足球文化氛圍，豐富學生課余體育文化生活、激發學生對足球的興趣，增強學生體質，某校舉行足球運動員選拔賽，報名參加選拔賽的學生需要參加米折返跑、傳準、運射、比賽四項指標的考核，每項滿分為100分，確定各項得分后再按照下面表格的比例計算出每人的總成績．類別專項素質專項技術實戰能力考核指標米折返跑傳準運射比賽比例全校共有300名學生參加這次選拔賽．校學生會從中隨機抽取名學生的最終比賽成績進行了分析，把總成績（滿分100分，所有成績均不低于60分）分成四個等級（D：；C：；B：；A：），并根據分析結果繪制了不完整的頻數分布直方圖和扇形統計圖．請根據以上信息，解答下列問題：（1）填空：______，______；（2）請補全頻數分布直方圖；（3）參賽同學小祺四項考核指標米折返跑、傳準、運射、比賽成績分別為90分，85分，95分，80分，請你計算出他的總成績；（4）該校計劃從報名的300名同學中按比賽成績從高到低選拔48名足球運動員，請你通過計算估計小祺能否入選．31.如圖，為的直徑，C為上一點，連接，過點C的直線與相切，與延長線交于點D，點F為上一點，且，連接并延長交射線于點E．（1）求證：；（2）若，，求的長．32.某公司為城市廣場上一雕塑安裝噴水裝置．噴水口位于雕塑的頂端點B處，噴出的水柱軌跡呈現拋物線型．據此建立平面直角坐標系，如圖．若噴出的水柱軌跡上某一點與支柱的水平距離為x（單位：m），與廣場地面的垂直高度為y（單位：m）．下面的表中記錄了y與x的五組數據：026103根據上述信息，解決以下問題：（1）求出與之間的函數關系；（2）求水柱落地點與雕塑的水平距離；（3）為實現動態噴水效果，廣場管理處決定對噴水設施做如下設計改進：在噴出水柱軌跡的形狀不變的前提下，把水柱噴水的半徑（動態噴水時，點C到AB的距離）控制在到之間，請探究改建后噴水池水柱的最大高度和b的取值范圍．33.（1）如圖1，半圓O的直徑，點P是半圓O上的一個動點，則點P到距離的最大值是______；（2）如圖2，與都為等邊三角形，當時，求度數；（3）如圖3，市政部門準備在一塊空地上修建一個四邊形的便民休閑區ABCD，其中米，，且，和是兩條小路，記和的交點為E，現要使點B，C、E圍成的三角形面積最大，求面積的最大值．（結果保留根號）34.如圖，是的直徑，，是上兩點，平分，過點作，垂足為．（1）求證：是的切線；（2）已知，，求長．35.如圖，已知拋物線，與軸交于，兩點（點在點的左側），與軸交于點，且，點．（1）求拋物線的函數表達式；（2）若拋物線的頂點為，拋物線的對稱軸交直線于點，點為直線右側拋物線上一點，點在直線上，是否存在以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由．36.【問題提出】如圖①，在中，點，分別在邊上，且，連接交于點，則___________（填“”、“”或“”）；【問題解決】如圖②所示，某工廠剩余一塊矩形板材，其中，為了充分利用材料，工人師傅想用這塊板材找出一個面積盡可能大的四邊形部件，要求：．你認為可以嗎？若可以，請求出四邊形部件面積的最大值；若不可以；請說明理由．37.如圖，四邊形內接于，，點在的延長線上，且．（1）求證：是的切線；（2）若，當，時，求的長．38.跳繩時，繩甩到最高處時的形狀是拋物線.正在甩繩的甲、乙兩名同學拿繩的手間距AB為6米，到地面的距離AO和BD均為0.9米，身高為1.4米的小麗站在距點O的水平距離為1米的點F處，繩子甩到最高處時剛好通過她的頭頂點E.以點O為原點建立如圖所示的平面直角坐標系,設此拋物線的解析式為.（1）求該拋物線的解析式；（2）如果身高為1.85米的小華也想參加跳繩，問繩子能否順利從他頭頂越過？請說明理由；（3）如果一群身高在1.4米到1.7米之間的人站在OD之間,且離點O的距離為t米,繩子甩到最高處時必須超過他們的頭頂,請結合圖像,寫出t的取值范圍_______________.39.在一個工廠的車間里，工人正在處理一塊矩形的金屬板，用于制作零件．金屬板的長米，寬米．工人在邊上確定了一個點P，使得米．（1）為了保證后續切割操作時的準確性，工人連接和，并將繞點P逆時針旋轉一定角度進行加工．旋轉后與金屬板的邊相交于點E，與金屬板的邊所在的直線相交于點F，如圖1所示．由于零件的尺寸和形狀有特定要求，為了合理規劃切割和拼接方案，請你幫工人探究和之間的數量關系．（2）為了進一步組裝零件，工人以、為邊構造矩形，如圖2，在組裝過程中發現，當的周長最小時，最省材料，求此時的值．

2025年陜西省西安市碑林區西北工大附中中考數學二模試卷一、選擇題（共8小題，每小題3分，計24分，每小題只有一個選項是符合題意的）1.2025的相反數是（）A. B.2025 C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了求一個數的相反數，只有符號不同的兩個數互為相反數，據此可得答案．【詳解】解：2025的相反數是，故選：C．2.2023年7月世界人工智能大會在我國上海召開．大模塊整合數據是人工智能研究實驗室推出的一種由人工智能技術驅動的自然語言處理技術，其技術底座有著多達175000000000個模型參數，數據175000000000用科學記數法表示為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為的形式，其中為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值，根據科學記數法的表示方法進行表示即可．【詳解】解：；故選D．3.一只杯子靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力的方向豎直向下，支持力的方向與斜面垂直，摩擦力的方向與斜面平行．若斜面的坡角，則摩擦力與重力方向的夾角的度數為（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了平行線的性質和三角形外角性質，根據題意結合圖形可知是重力與斜面形成的三角形的外角，從而可求得的度數．【詳解】解：重力的方向豎直向下，重力與水平方向夾角為，摩擦力的方向與斜面平行，，，故選：C．4.某防洪大堤的橫斷面如圖所示，背水坡坡面的長度為，坡度為（坡度為坡面的鉛直高度與水平寬度的比），汛期來臨前要對背水坡進行加固，改造后的背水坡坡面的坡度為，改造后背水坡的長度為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】過點A作于點E，利用坡比的定義得出的長，再得出的長，利用勾股定理得出答案．本題考查了坡比的計算，勾股定理，熟練掌握坡比的計算是解題的關鍵．【詳解】解：過點A作于點E，∵背水坡坡面的長度為，坡度為，∴，∴，∴，∵背水坡坡面的坡度為，∴，∴，∴，故選：B．5.若為常數且，則一次函數的圖象可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了一次函數圖象的性質，熟練掌握一次函數圖象的相關性質是解題的關鍵．根據一次函數圖象的性質進行分析即可得到答案．【詳解】解：∵，，∴一次函數的圖象在第一、二，四象限．故選：B．6.是一元二次方程的兩個實數根，則的值為（）A.4 B. C.3 D.1【答案】C【解析】【分析】本題考查一元二次方程根與系數的關系，根據題意，由一元二次方程根與系數的關系得到，代入求值即可得到答案，熟記一元二次方程根與系數的關系是解決問題的關鍵．【詳解】解：是一元二次方程的兩個實數根，，，故選：C．7.如圖，中，M是的中點，平分，于點D，若，則等于（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】D【解析】【分析】本題考查的是三角形中位線定理、全等三角形的判定和性質，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關鍵．延長交于H，證明，根據全等三角形的性質得到，根據三角形中位線定理計算即可．【詳解】解：延長交于H，，，，是的中位線，，故選：D．8.已知拋物線，當時，，且當時，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵．當時，得到，則；當時，y隨x的增大而減小，則，即可求解．【詳解】解：當時，，∴，解得：，∵當時，y隨x的增大而減小，∴，∴，∴，故選：A．9.如圖，為的直徑，點為的中點，連接，．若，則的度數為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查圓周角定理，連接，，根據圓周角定理，等邊對等角，弧，弦，角之間的關系進行求解即可．【詳解】解：連接，，則：，，∴，∴，∵點為的中點，∴，∴，∵，∴，∴；故選B．10.已知二次函數，當時，隨的增大而增大．當時，函數的最大值是8，最小值是，則的值可能是（）A.2 B.4 C.6 D.9【答案】D【解析】【分析】本題考查二次函數的性質、二次函數的最值，得到該函數的對稱軸，根據二次函數的性質即可解答，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質解答．【詳解】解：解：二次函數，該函數的對稱軸為直線，當時，隨的增大而增大，，當時，，當或時，，當時，函數的最大值是8，最小值是，，故的值可能是9，故選：D．11.如圖，已知的半徑為，弦與弦位于圓心的異側，，，在上取點，連結并延長交于點．若，則的長為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理，相似三角形的判定和性質，熟練掌握垂徑定理是解題的關鍵；連接，，根據，可得，即可得到，進而求得、的長度，再利用勾股定理即可求解【詳解】解：連接，，作于點，，，，，，，在中，，，在中，，，故選：B12.已知拋物線經過點和，且拋物線與x軸的其中一個交點的橫坐標m滿足，那么a的取值可能是（）A. B.1 C.2 D.【答案】D【解析】【分析】本題考查二次函數圖象和性質，根與系數之間的關系，把點和代入解析式，求出，根與系數的關系得到，進而求出的范圍，即可．【詳解】解：∵拋物線經過點和，∴，∴，∵拋物線與x軸的其中一個交點的橫坐標m滿足，另一個交點的橫坐標為，∴，∴，∴，∴；故a的取值可能是；故選：D．二、填空題（共5小題，每小題3分，計15分）13.因式分解：____．【答案】【解析】【分析】本題考查了運用公式法因式分解，根據平方差公式分解因式即可．【詳解】解：．故答案為：．14.如圖，正五邊形的邊長為2，對角線相交于點O，則四邊形的周長為______．【答案】8【解析】【分析】根據多邊形的內角和公式可求出正五邊形各內角度數，繼而證明四邊形是菱形，即可求解周長．【詳解】解：∵五邊形是正五邊形，∴，∴，∴，∴，∴；同理可證，∴四邊形為平行四邊形，而，∴四邊形是菱形，∵正五邊形的邊長為2，∴四邊形的周長為8，故答案為：8．【點睛】本題考查了正多邊形的內角和問題，涉及平行四邊形的、菱形的判定與性質，等腰三角形的性質，三角形的內角和問題，求出正五邊形內角的度數是解題的關鍵．15.如圖，在中，弦，若，則______．【答案】【解析】【分析】本題考查了平行線的性質，圓周角定理，由平行線的性質可得，再根據圓周角定理即可求解，掌握以上知識點是解題的關鍵．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：．16.已知，反比例函數的圖象上兩點，當，時，有，則m的取值范圍是__________．【答案】m<1【解析】【分析】根據反比例函數的圖象上兩點A（x1，y1），B（x2，y2）當時，有y1＜y2可以判斷出原函數圖像過一、三象限，從而得出反比例函數比例系數為正數，即1﹣m>0，進一步求解即可．【詳解】∵反比例函數的圖象上兩點A（x1，y1），B（x2，y2），且當時，y1＜y2，∴原函數圖象過一、三象限，∴1﹣m>0，解得，m<1，故答案為m<1．【點睛】本題主要考查了反比例函數圖象與比例系數的關系，熟練掌握相關概念是解題關鍵．17.如圖，已知矩形，，，E，F分別為邊上的動點，且，將四邊形沿翻折到四邊形，則的最小值為______．【答案】##【解析】【分析】延長交于點，則，那么，在中，由勾股定理得，在中，由三邊關系即可求解．【詳解】解：延長交于點，連接由沿翻折可知直線經過點，∵四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴在中，，由翻折得到：，∴，∴當點三點共線時，取得最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質，折疊的性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，正確添加輔助線是解題的關鍵18.如圖，矩形頂點A、C分別在x、y軸上，雙曲線分別交、于點D、E，連接并延長交x軸于點F，連接，若點E為的中點，且，則______．【答案】【解析】【分析】設，則，，，，待定系數法可得直線的解析式為；直線的解析式為；可得，可證明；結合點E為的中點，證明，則，，，，過作于，可得，可得答案．【詳解】解：設，則，，∵點D、E在雙曲線上，∴，，設直線為，∴，解得：，∴直線的解析式為；同理可得，直線的解析式為；∴，∵矩形，∴，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵點E為的中點，∴，∵，∴，∴，，，∴，，∴，過作于，∴；故答案為：．【點睛】本題考查了反比例函數與幾何綜合，一次函數解析式，平行四邊形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，反比例函數比例系數的幾何意義等知識．熟練掌握反比例函數與幾何綜合，一次函數解析式，平行四邊形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，反比例函數比例系數的幾何意義是解題的關鍵．19.如圖，四邊形是邊長為6的菱形，，F是的中點，點E、G分別在，上，且，連接、，則的最小值為______．【答案】9【解析】【分析】延長交于點，取中點，連接并延長與延長線交于點，連接，連接，證明，得到，同理證明：，為等邊三角形，繼而可得是的垂直平分線，則，由，即可確定最小值．【詳解】解：延長交于點，取中點，連接并延長與延長線交于點，連接，連接，∵四邊形是菱形，∴，∴，∵F是的中點，∴，∴，∴，∵，∴同理證明：，∴，，∵，∴為等邊三角形，∴，∵，∴，∴是的垂直平分線，∴，∴，當點三點共線時，取得最小值為，故答案為：9．【點睛】本題考查了菱形的性質，全等三角形的判定與性質，直角三角形的性質，等邊三角形的判定與性質，線段垂直平分線的性質，難度較大，解題的關鍵在于轉化思想的運用．20.如圖，在等邊中，，點在邊上，且，點為邊上一點，連接，在的右側作，且，連接，則的最小值為___________．【答案】9【解析】【分析】將繞點旋轉，交于點，倍長至點，連接，交于點，易得為等邊三角形，證明，得到，進而得到為等邊三角形，點在射線上運動，得到，過點作，根據含30度角的直角三角形的性質，求出的長，根據垂線段最短，得到的最小值即為的長即可．【詳解】解：將繞點旋轉，交于點，倍長至點，連接，交于點，如圖，則：，∵為等邊三角形，∴，∴，∴為等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴點在射線上運動，∵，，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，∴，過點作，∵，∴，∴，∴，∵點在射線上運動，∴當點與點重合時，的值最小，即為的長，∴的最小值為9．故答案為：9【點睛】本題考查等邊三角形的判定和性質，含30度角的直角三角形，旋轉的性質，相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是構造旋轉相似，確定點的運動軌跡．三、解答題（共13小題，計81分，解答要寫出過程）21.計算：【答案】1＋【解析】【分析】按順序先分別進行立方根的運算、絕對值的化簡、負指數冪的運算，然后再按運算順序進行計算即可.【詳解】原式＝－2×(－3)＋－1－4＝1＋.【點睛】本題考查了實數的運算，涉及了立方根、負整數指數冪等，熟練掌握各運算的運算法則是解題的關鍵.22.解不等式組：【答案】【解析】【分析】此題主要考查了解一元一次不等式組，熟練掌握一元一次不等式組的一般解法是解決問題的關鍵．先解不等式，得，再解不等式，得，由此可得原不等式組的解集．【詳解】解：原不等式組為解不等式①，得．解不等式②，得．原不等式組的解集為．23.解方程：．【答案】【解析】【分析】去分母化為整式方程，求出方程的根并檢驗即可得出答案．【詳解】解：原方程可化為．方程兩邊同乘，得．解得．檢驗：當時，．∴原方程的解是．【點睛】本題考查了分式方程的解法，熟練掌握解分式方程的方法是解題關鍵．24.如圖，已知△ABC，M是邊BC延長線上一定點，請用尺規作圖法，在邊AC的延長線上求作一點P，使∠CPM＝∠B．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【解析】【分析】作∠BMT＝∠A，射線MT交AC于點P，點P即為所求．【詳解】解：如圖，點P即為所求．【點睛】本題考查作圖?基本作圖，解題的關鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考常考題型．25.如圖，是上一點，，，平分，求證：．【答案】見解析【解析】【分析】本題考查了角平分線的定義，等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，由角平分線的定義和等腰三角形的性質可得，進而由可得，據此即可求證，掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．【詳解】證明：∵，∴，∵平分，∴，∴，在和中，，∴，∴．26.物理變化和化學變化的區別在于是否有新物質的生成．某學習小組在活動課上制作了四張卡片，這四張卡片除圖片內容不同外，沒有其他區別．將這四張卡片放置于暗箱中搖勻．（1）小明從暗箱中隨機抽取一張，抽中A卡片的概率是________．（2）小華從暗箱中隨機抽取兩張，用列表法或畫樹狀圖法求小華抽到兩張內容均為物理變化的卡片的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查樹狀圖或列表法求概率，熟練掌握概率公式，正確畫出表格，是解題的關鍵．（1）利用概率公式進行計算即可；（2）B，D為物理變化，列出表格，再利用概率公式進行計算即可．【小問1詳解】解：小明從暗箱中隨機抽取一張，抽中A卡片的概率是；故答案為：；【小問2詳解】由題意，列表如下：

，，，，

，，，，

，，，，

共12種等可能的結果，其中兩張內容均為物理變化的有，或，共2種情況，∴．27.小芳在一家文具店購買了兩種不同用途的筆記本，她買了一種用于課堂筆記的大筆記本個和一種用于日常記錄的小筆記本個，總共花費了元；已知大筆記本的單價是小筆記本單價的兩倍，請問該文具店中這種大筆記本的單價是多少？【答案】元【解析】【分析】本題考查了一元一次方程的應用，設小筆記的本單價為元，則這種大筆記本的單價為元，根據題意列出方程求出即可求解，根據題意找到等量關系是解題的關鍵．【詳解】解：設小筆記的本單價為元，則這種大筆記本的單價為元，由題意得，，解得，∴，答：這種大筆記本的單價為元．28.如圖，某無人機愛好者在一小區外放飛無人機，當無人機飛行到一定高度點處時，無人機測得操控者的俯角為75°，測得小區樓房頂端點處的俯角為45°．已知操控者和小區樓房之間的距離為70米，此時無人機距地面的高度為74.6米，求小區樓房的高度．（參考數據：，，）【答案】24.6米【解析】【分析】過點作于點，過點作于點，在中，由正切的三角函數可求得AE的長，從而可得BE的長，易得是等腰直角三角形，由矩形的性質及等腰直角三角形的性質即可求得樓房BC的高度．【詳解】過點作于點，過點作于點由題意知：∠DAE=75°在中，∴（米）∴（米）∵四邊形是矩形∴米在中，∴是等腰直角三角形∴米∴（米）故小區樓房的高度24.6米．【點睛】本題是解直角三角形的應用問題，考查了矩形的性質與判定，等腰三角形的性質與判定，銳角三角函數等知識，理解俯角的含義并通過輔助線構造直角三角形是本題的關鍵．29.今年某水果銷售店在草莓銷售旺季，試銷售成本為每千克20元的草莓，規定試銷期間銷售單價不低于成本單價，也不高于每千克40元，經試銷發現，銷售量y（千克）與銷售單價x（元）符合一次函數關系，如圖是y與x的函數關系圖象．（1）求y與x的函數解析式（也稱關系式），請直接寫出x的取值范圍；（2）設該水果銷售店試銷草莓獲得的利潤為W元，求W的最大值．【答案】（1）y=﹣2x+340（20≤x≤40）；（2）5200【解析】【詳解】試題分析：（1）待定系數法求解可得；（2）根據：總利潤=每千克利潤×銷售量，列出函數關系式，配方后根據x的取值范圍可得W的最大值．試題解析：（1）設y與x的函數關系式為y=kx+b，根據題意，得：，解得：，∴y與x的函數解析式為y=﹣2x+340，（20≤x≤40）．（2）由已知得：W=（x﹣20）（﹣2x+340）=﹣2x2+380x﹣6800=﹣2（x﹣95）2+11250，∵﹣2＜0，∴當x≤95時，W隨x的增大而增大，∵20≤x≤40，∴當x=40時，W最大，最大值為﹣2（40﹣95）2+11250=5200元．考點：二次函數的應用30.為營造健康向上的校園足球文化氛圍，豐富學生課余體育文化生活、激發學生對足球的興趣，增強學生體質，某校舉行足球運動員選拔賽，報名參加選拔賽的學生需要參加米折返跑、傳準、運射、比賽四項指標的考核，每項滿分為100分，確定各項得分后再按照下面表格的比例計算出每人的總成績．類別專項素質專項技術實戰能力考核指標米折返跑傳準運射比賽比例全校共有300名學生參加這次選拔賽．校學生會從中隨機抽取名學生的最終比賽成績進行了分析，把總成績（滿分100分，所有成績均不低于60分）分成四個等級（D：；C：；B：；A：），并根據分析結果繪制了不完整的頻數分布直方圖和扇形統計圖．請根據以上信息，解答下列問題：（1）填空：______，______；（2）請補全頻數分布直方圖；（3）參賽同學小祺四項考核指標米折返跑、傳準、運射、比賽成績分別為90分，85分，95分，80分，請你計算出他的總成績；（4）該校計劃從報名的300名同學中按比賽成績從高到低選拔48名足球運動員，請你通過計算估計小祺能否入選．【答案】（1）150；36（2）見解析（3）小祺同學的總成績是86分；（4）小祺同學不能入選．【解析】【分析】本題考查了頻數分布直方圖、扇形統計圖、用樣本評估總體：（1）根據B等級的人數和占比，可求得樣本容量，再根據C等級的人數即可求得的值；（2）求得A等級的人數，可補全頻數分布直方圖；（3）利用加權平均數的計算方法即可求解；（3）利用樣本估計總體即可求解．【小問1詳解】解：（人），，∴，故答案為：150；36；【小問2詳解】解：A等級的人數有（人），補全頻數分布直方圖如圖所示；【小問3詳解】解：小祺同學的總成績是（分）；【小問4詳解】解：在分的人數有：（人），答：小祺同學86分的總成績不能入選．31.如圖，為的直徑，C為上一點，連接，過點C的直線與相切，與延長線交于點D，點F為上一點，且，連接并延長交射線于點E．（1）求證：；（2）若，，求的長．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】本題考查圓與三角形的綜合，掌握圓的切線的性質，三角形相似的判定與性質是解題的關鍵，（1）如圖所示，連接，可證，根據為的切線，，即可求證；（2）根據（1）中，設的半徑為，可證，可算出的半徑，根據三角形的相似即可求解．【小問1詳解】證明：如圖所示，連接，∵∴，∵，∴，∴，∴，∵為的切線，∴，∴．【小問2詳解】解：∵，設，則，∴，設的半徑為，則，，，由（1）可知，，∴，∴，∴，∴，∴，，，∵∴，∴．32.某公司為城市廣場上一雕塑安裝噴水裝置．噴水口位于雕塑的頂端點B處，噴出的水柱軌跡呈現拋物線型．據此建立平面直角坐標系，如圖．若噴出的水柱軌跡上某一點與支柱的水平距離為x（單位：m），與廣場地面的垂直高度為y（單位：m）．下面的表中記錄了y與x的五組數據：026103根據上述信息，解決以下問題：（1）求出與之間的函數關系；（2）求水柱落地點與雕塑的水平距離；（3）為實現動態噴水效果，廣場管理處決定對噴水設施做如下設計改進：在噴出水柱軌跡的形狀不變的前提下，把水柱噴水的半徑（動態噴水時，點C到AB的距離）控制在到之間，請探究改建后噴水池水柱的最大高度和b的取值范圍．【答案】（1）；（2）（3）水柱的最大高度，的取值范圍為．【解析】【分析】（1）設與之間的函數關系為，代入，，，利用待定系數法求解即可；（2）令，則，求解方程取滿足實際要求得值即可；（3）．由題意可知：不變，即，且的位置不變，即，設，把代入解得，易知，當最小時，即時，代入水柱有最大高度為的值即可．【小問1詳解】解：設與之間的函數關系為，代入，，，得：，解得：，∴設與之間的函數關系為；【小問2詳解】令，則，即：；∴，∴（舍）或，∴水柱落地點與雕塑的水平距離為；【小問3詳解】由在噴出水柱軌跡的形狀不變的前提下，可知：不變，即，且的位置不變，即，設，把代入得，，解得，把代入得，，解得,∵把水柱噴水的半徑（動態噴水時，點C到AB的距離）控制在到之間，∴，當最小時，即時，即水柱有最大高度為，∴水柱的最大高度，的取值范圍為．【點睛】本題考查了二次函數的實際應用，理清題中的數量關系并用待定系數法求得拋物線的解析式是解題的關鍵．33.（1）如圖1，半圓O的直徑，點P是半圓O上的一個動點，則點P到距離的最大值是______；（2）如圖2，與都為等邊三角形，當時，求的度數；（3）如圖3，市政部門準備在一塊空地上修建一個四邊形的便民休閑區ABCD，其中米，，且，和是兩條小路，記和的交點為E，現要使點B，C、E圍成的三角形面積最大，求面積的最大值．（結果保留根號）【答案】（1）3；（2）；（3）【解析】【分析】（1）連接，過點作于點，由得到當點與點重合時，點P到距離的最大值是3；（2）證明，則，那么；（3）過點D作交于點，連接，先證明，則，證明出，而，確定“定弦定角”模型，作的外接圓，記為，連接，過點作于，交于點，過點作于點，過點作交延長線于點，由于，那么，當點重合時，取得最大值即為，即可求解面積最大值．【詳解】（1）解：如圖1，連接，過點作于點，∴，∴，∴當點與點重合時，點P到距離的最大值是3，故答案為：3；（2）解：∵與都為等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（3）解：如圖，過點D作交于點，連接，∵，∴為等腰直角三角形，，∴由勾股定理得，∵，∴，∵，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴∴同理，∴，∵，∴，∴,∴，∵，∴，∴，∵，∴作的外接圓，記為，連接，過點作于，交于點，過點作于點，過點作交延長線于點，∴，∴四邊形為矩形，∴，∵，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∵，∴，當點重合時，取得最大值即，∴∴面積的最大值為．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，圓周角定理，垂線段最短，勾股定理等知識點，難度較大，解題得關鍵在于添加輔助線構造常見基本圖形．34.如圖，是直徑，，是上兩點，平分，過點作，垂足為．（1）求證：是的切線；（2）已知，，求的長．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（）由，則，由平分，則，再由圓周角定理和等邊對等角可得，所以，從而證明，通過平行線的性質證明，最后根據“過半徑的外端垂直于半徑的直線是圓的切線”進行證明；（）根據圓周角定理得到，由，，求出，再根據勾股定理得到，根據相似三角形的判定和性質定理即可得到結論．【小問1詳解】證明：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵是的半徑，∴是的切線；【小問2詳解】解：∵是的直徑，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了切線的判定，相似三角形的判定和性質，勾股定理，等腰三角形的性質，圓周角定理，解直角三角形，掌握知識點的應用是解題的關鍵．35.如圖，已知拋物線，與軸交于，兩點（點在點的左側），與軸交于點，且，點．（1）求拋物線的函數表達式；（2）若拋物線的頂點為，拋物線的對稱軸交直線于點，點為直線右側拋物線上一點，點在直線上，是否存在以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】（1）拋物線的函數表達式為；（2）存在，點的坐標為或或．【解析】【分析】（）由，，，求出，，然后利用待定系數法即可求解；（）先求出直線解析式為，設，，則分當為邊時，四邊形為平行四邊形時；當為邊時，四邊形為平行四邊形時；當為對角線時，四邊形為平行四邊形時三種情況，然后根據中點坐標即可求解；本題考查了二次函數和一次函數的性質，待定系數法求解析式，二次函數與平行四邊形的關系，掌握知識點的應用是解題的關鍵．【小問1詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，，∵拋物線，與軸交于，兩點與軸交于點，∴，解得：，∴拋物線的函數表達式為；【小問2詳解】解：存在點，理由如下，∵，，∴設直線解析式，∴，解得：，∴直線解析式為，∵點在直線上，∴設，∵點為直線右側拋物線上一點，設，由拋物線的函數表達式為，∴，∴當時，，∴，當為邊時，四邊形為平行四邊形時，如圖，由中點坐標可得：，解得：或（舍去），∴點；當為邊時，四邊形為平行四邊形時，如圖，由中點坐標可得：，解得：或（舍去），∴點；當為對角線時，四邊形為平行四邊形時，如圖，由中點坐標可得：，解得：或（舍去），∴點，此時與點重合；綜上可知：點的坐標為或或．36.【問題提出】如圖①，在中，點，分別在邊上，且，連接交于點，則___________（填“”、“”或“”）；【問題解決】如圖②所示，某工廠剩余一塊矩形板材，其中，為了充分利用材料，工人師傅想用這塊板材找出一個面積盡可能大的四邊形部件，要求：．你認為可以嗎？若可以，請求出四邊形部件面積的最大值；若不可以；請說明理由．【答案】（1）（2）可以，【解析】【分析】（1）根據平行線間的距離處處相等，結合同底等高的三角形的面積相等得到，進而得到，即可得出結論；（2）連接，過點作交的延長線于點，同（1）推出四邊形部件面積等于的面積，過點作，得到的面積為，進而得到當最大時，的面積最大，證明為直角三角形，求出，得到為定角，得到點的軌跡為的外接圓上一點，作的外接圓，連接，過點作，利用垂徑定理，三角函數求出的長，根據，求出的最大值即可．【詳解】解：∵，∴，∴，即：；故答案為：；（2）可以；連接，作，∵，，∴，設，則：，作，交的延長線于點，過點作，則：，，∴，∴四邊形部件面積等于的面積，∴當最大時，四邊形部件的面積最大，∵，∴，∴，，∴，∴，∴為定角，作的外接圓，則點在優弧上運動，連接，，過點作，則：，，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴的最大值為：，∴的最大值為：；即：四邊形部件面積的最大值為．【點睛】本題考查平行線間的距離，等邊對等角，含30度角的直角三角形，解直角三角形，垂徑定理等知識點，綜合性強，難度大，利用平行面積轉化，定邊定角確定點的軌跡，是解題的關鍵．37.如圖，四邊形內接于，，點在的延長線上，且．（1）求證：是的切線；（2）若，當，