=在直

4M02函照的就念導及多初等篩照I

目制魯港。絹施留

考點三年考情（20222024）命題趨勢

2023年全國n卷

2023年全國乙卷（理）

考點1:已知奇偶性求參數2024年上海卷

2022年全國乙卷（文）

2023年全國甲卷（理）

2022年天津卷

2023年天津卷

2024年全國甲卷（理）

考點2：函數圖像的識別

2024年全國I卷

2022年全國乙卷（文）

2022年全國甲卷（理）

2022年北京卷從近三年高考命題來看，本節

考點3：函數模型及應用2024年北京卷

是高考的一個重點，函數的單

2023年全國I卷

2023年全國乙卷（理）調性、奇偶性、對稱性、周期

2022年北京卷

性是高考的必考內容，重點關

考點4：基本初等函數的性2023年北京卷

質：單調性、奇偶性2024年全國I卷注周期性、對稱性、奇偶性結

2024年天津卷

合在一起，與函數圖像、函數

2023年全國I卷

零點和不等式相結合進行考

2022年浙江卷

考點5：分段函數問題

2024年上海夏季查.

考點6：函數的定義域、值2022年北京卷

域、最值問題2022年北京卷

2023年全國I卷

考點7：函數性質（對稱性、

2022年全國I卷

周期性、奇偶性）的綜合運

2024年全國I卷

用

2022年全國n卷

2022年天津卷

2022年浙江卷

考點8：指對塞運算

2024年全國甲卷（理）

2023年北京卷

曾窟饗綴。闔滔運溫

考點1:已知奇偶性求參數

1.(2023年新課標全國n卷數學真題)若"%)=(尤+a)lnJ為偶函數，貝吐=().

2x+l

A.-1B.0C.；D.1

【答案】B

【解析】因為人＞)為偶函數，則/(I)=(1+fl)In1=(-1+(Z)In3,解得a=0,

當a=0時，/(x)=xln2尤I(2x-l)(2x+l)>0,解得x>工或兀v-L

2x+122

則其定義域為或關于原點對稱.

2(——12x+l21]2x—l

〃f)=(-x)ln=(-x)ln=(-x)ln2x+lJ=xln=〃x),

2(-x)+l2x-l2x+l

故此時“X)為偶函數.

故選：B.

2.(2023年高考全國乙卷數學(理)真題)已知/(x)=T;是偶函數，則”=()

e^-l

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】因為〃工)=與二為偶函數，則f3TJ)=上-_(T-e(")［

e-1J1/J\/已辦一1e一?一］e^-l

又因為X不恒為0,可得e*_e("f￡=0，即e，=e①％，

貝ljx=(a—l)x,即l=a—1,解得a=2.

故選：D.

3.(2024年上海夏季高考數學真題)已知/(耳=丁+即XGR,且是奇函數，貝1］。=

【答案】。

【解析】因為“X)是奇函數，故〃T)+f(x)=0即d+o+(f)3+a=。，

故a=0,

故答案為：0.

4.(2022年高考全國乙卷數學(文)真題)若/(x)=lna+J—+6是奇函數，則〃=,b=.

【答案】-；；ln2.

【解析】［方法一］:奇函數定義域的對稱性

若a=0,則〃x)的定義域為{x|xwl},不關于原點對稱

QW0

若奇函數的/(%)=/川。+J-I+6有意義，貝!Jxwl且〃+。。

1一％1-x

「.xwl且%wl+L

a

?函數/(尤)為奇函數，定義域關于原點對稱，

?-1+~=-1,解得〃=一＞

a2

由/(0)=。得，big+b=O,

:.b=ln2,

故答案為：-；；ln2.

［方法二］:函數的奇偶性求參

，/、71I77|Q-〃x+l|17Iax-a-17

/(x)=lna-\-----\+b=ln\---------\+b=ln\----------Fb

1—x1—x1—X

ax+a+\

/(t)=In+/?

1+x

函數/(尤)為奇函數

ax-a\ax+a+1

/(x)+/(-x)=In--------\+ln\------+--2-b=0

1-x111+x

Q2%2一(〃+1)2

In+2b=0

.《=^^n2〃+i=()n〃=」

112

—2b=In—=—2ln2=>A=ln2

4

1,7c

/.a=——,b=Ini

2

［方法三］:

因為函數/(尤)=lna+-+b為奇函數，所以其定義域關于原點對稱.

L-X

由。+1匚70可得，(1一同S+1-6)工0,所以x="L-l,解得：a=-}-,即函數的定義域為

1—xa2

(^,-l)u(-l,l)u(l,+w),再由"0)=0可得，b=\n2.即〃x)=ln-〈+J-+ln2=ln產，在定義域

21—X1—X

內滿足〃T)=—“X),符合題意.

故答案為：-不；ln2.

—I,+Qx+sin[x+]]為偶函數，則〃二

5.(2023年高考全國甲卷數學(理)真題)若/(x)=(x

【答案】2

【解析】因為y=/(無)=(x-l)2+ax+sin[x+5)=(x-l)2

+QX+COS%為偶函數，定義域為R,

所以d-如=/但〕，ipf---lT--?+cosf--Kf-[Y7171

—1H--（2+COS—，

(""J12J212J12J22

則3=仁+1[一[]—1]=2兀，故〃=2,

此時/(x)=(%—1)2+2%+cosx=x2+1+cosX

所以/(-X)=(-兀)2+1+COS(-X)=%2+1+COS.c=〃x），

又定義域為R,故〃可為偶函數，

所以〃=2.

故答案為：2.

考點2：函數圖像的識別

〃x）=BT的圖像為（）

6.(2022年新高考天津數學高考真題)函數

以，A

B._______________V------:_A

-1O1X—~￥X

A僅

，人

1「、

【答案】D

【解析】函數的定義域為卜卜3。｝,

且〃T）==-/W,

函數/'（X）為奇函數，A選項錯誤;

卜T、o,c選項錯誤;

又當XV。時，〃力=

X

當X>1時，仆）=J=X一工函數單調遞增，故B選項錯誤;

XX

故選：D.

7.（2023年天津高考數學真題）已知函數〃X）的部分圖象如下圖所示，則“X）的解析式可能為（

5sin%

B.

x2+1

5ex+5e-x5cosx

C.D.

九2+2x2+1

【答案】D

【解析】由圖知：函數圖象關于y軸對稱,其為偶函數，且/（-2）=/（2）<0,

5sin(-x)5sinx

由且定義域為R，即B中函數為奇函數，排除;

(-%)2+1X2+1

當時%2（；，）〉o,即、c中（0,+s）上函數值為正，排除;

>0、5e+eA

X2+2

故選：D

8.（2024年高考全國甲卷數學（理）真題）函數〃尤）=f2+⑹一/卜欣在區間［-2.8,2.8］的圖象大致為（

［解析］/(—x)=—x2+1-"—ex)sin(—x)=—x2+(e“—e-x)sinx=f(x),

又函數定義域為[-2.8,2.8],故該函數為偶函數，可排除A、C,

sinl>-1+［e——.7ieI11c

又41)=T+sin—=——11----->--------->0,

622e42e

故可排除D.

故選：B.

9.（2024年新課標全國I卷數學真題）當V[0,2汨時，曲線y=sinx與y=2sin[3xW]的交點個數為（）

A.3B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】因為函數，=$皿尤的的最小正周期為7=2兀，

函數y=2sin（3x-胃的最小正周期為T=g,

所以在xe[0,2可上函數y=2sin（3x-。有三個周期的圖象，

在坐標系中結合五點法畫出兩函數圖象，如圖所示：

10.（2022年高考全國乙卷數學（文）真題）如圖是下列四個函數中的某個函數在區間[-3,3]的大致圖像,

則該函數是（）

2xcosx2sin%

D.y=

x2+1x2+1

【解析】設/（尤）=/，則”1）=0,故排除B;

2xcosx

設/?(%)=當x[o,用時，0<cosx<l,

%2+1

LLt、i1(\2%cosx2%..?>.1*

所以/7(元)=—;~—<—~-<1,故排除C；

人~I-I4J.

設g（x）=］當，則8⑶二手＞0,故排除D.

故選：A.

H.（2022年高考全國甲卷數學（理）真題）函數y=（313-，）cosx在區間一］看的圖象大致為（）

【答案】A

【解析】令〃司=（3，-3-，）COSX,XG,

則/（-x）=（3一"一3芯）cos（-x）=_（3"-3一Bcosx=-f（x）,

所以為奇函數，排除BD；

又當時，3-3-*>0,cosx>0,所以/（x）>0,排除C.

故選：A.

考點3：函數的實際應用

12.（2022年新高考北京數學高考真題）在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環保的二氧化碳跨

臨界直冷制冰技術，為實現綠色冬奧作出了貢獻.如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態與T和吆尸的

關系，其中T表示溫度，單位是K；尸表示壓強，單位是bar.下列結論中正確的是（）

A.當T=220,尸=1026時，二氧化碳處于液態

B.當7=270,尸=128時，二氧化碳處于氣態

C.當7=300,P=9987時，二氧化碳處于超臨界狀態

D.當7=360,尸=729時，二氧化碳處于超臨界狀態

【答案】D

【解析】當7=220,尸=1026時，lgP>3,此時二氧化碳處于固態，故A錯誤.

當T=270,P=128時，2<lgP<3,此時二氧化碳處于液態，故B錯誤.

當7=300,P=9987時，IgP與4非常接近，故此時二氧化碳處于固態，對應的是非超臨界狀態，故C錯

誤.

當T=360,P=729時，因2<lg尸<3,故此時二氧化碳處于超臨界狀態，故D正確.

故選：D

13.（2。24年北京高考數學真題）生物豐富度指數八而是河流水質的一個評價指標，其中分別表

示河流中的生物種類數與生物個體總數.生物豐富度指數d越大，水質越好.如果某河流治理前后的生物種

類數S沒有變化，生物個體總數由N]變為M，生物豐富度指數由2.1提高到3.15,則（）

A.33=2$B.2N[=3N\

C.=MD.Nl=N,

【答案】D

S—1S—1

【解析】由題意得17=2」，K=315,則2.1111乂=3.15111乂，即21nM=3m例，所以匹=N；.

JLJLJLViAll/Vo

故選：D.

14.（多選題）（2023年新課標全國I卷數學真題）噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的

強弱，定義聲壓級4=20x1g二，其中常數。o（p°>O）是聽覺下限閾值，。是實際聲壓.下表為不同聲源

Po

的聲壓級:

聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB

燃油汽車1060?90

混合動力汽車105060

電動汽車1040

已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為P”P2，P3,則（）.

A.A>p2B.p2>10p3

C.p3=IO。。。D.Pi<100p2

【答案】ACD

【解析】由題意可知：Lpie[60,90],Lp2e[50,60],Lft=40,

對于選項A：可得4f啜一2°x嗤3啥

因為q“理,則與一L「20xlg且20,即1g且20,

,2P1

所以221且口.>0,可得p/p2,故A正確；

對于選項B：可得4,一=20xlg&-20xlgB=20xlg運,

PoPoP3

因為Lp?—Lp3=Lp2—40N10,貝ij20xlg￡210,

所以上2ViU且〃2，,3〉0,可得p22715P3，

，3

當且僅當4z=50時，等號成立，故B錯誤;

對于選項C：因為4=20xlg△=40,即1g上=2,

PoPo

可得乙=100,即03=10000,故C正確；

Po

對于選項D：由選項A可知：4］-%2=20xlg包,

22

且乙一乙<90-50=40,則20x1g且M40,

'12Pi

即1g且42,可得&W100,且p"2>0,所以RVlOOpz，故D正確;

PlP1

故選：ACD.

考點4：基本初等函數的性質：單調性、奇偶性

15.（2023年高考全國乙卷數學（理）真題）設ae（O,l）,若函數〃出=優+（1+?）*在（0,+“）上單調遞增,

則a的取值范圍是.

【答案】

【解析】由函數的解析式可得（（尤）=o'lna+（1+a）'In（1+a）20在區間（0,+S）上恒成立,

則（1+a）'In（1+a）2-優Ina,即［詈］2-4看）在區間他+⑹上恒成立'

故［曰=1"京、,而4+1?1，2），故叩+加。，

ln(a+l)>-Ina+21故組

故即<a<lf

0<〃<10<。<1

結合題意可得實數。的取值范圍是

故答案為:

16.（2。22年新高考北京數學高考真題）已知函數―備，則對任意實數x,有（）

A./(-%)+/(%)=0B./(-x)-/(x)=0

D.=；

C./(-%)+/(%)=1

【答案】C

112X1

【解析】/(-x)+/(x)=------1-----=-----1-----=1,故A錯誤，C正確;

1+2一“1+2"1+2、1+2龍

]__12%___1__2

/(-x)-/(x)=不是常數，故BD錯誤;

1+2-X~1+2X1+2X-1+2X-2X+1--2"+l

故選：C.

17.（2023年北京高考數學真題）下列函數中，在區間（0,+8）上單調遞增的是（）

A./（x）=-lnxB./。）=上

2

c./?=--D./（X）=3M

【答案】c

【解析】對于A,因為y=inx在（0,+e）上單調遞增，y=-x在（0,+8）上單調遞減,

所以"X）=-InX在（0,+8）上單調遞減，故A錯誤；

對于B,因為y=2工在（0,+8）上單調遞增，y=:在（0,+e）上單調遞減，

所以/■（x）=（在（0,+s）上單調遞減，故B錯誤；

對于C,因為y=:在（0,+8）上單調遞減，>=-％在（0,+8）上單調遞減，

所以〃尤）=-：在（0,+e）上單調遞增，故C正確；

對于D,因為“￡|=3日=33=若，f（l）=3M=3°=l,/（2）=3IM=3,

顯然〃》）=3日在（0,+s）上不單調，D錯誤.

故選：C.

18.（2024年新課標全國I卷數學真題）已知函數/。）=一][26：""二°在區上單調遞增，則。的取值

[e'+ln（x+l）,x>0

范圍是（）

A.（一8,。]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+?0

【答案】B

【解析】因為在R上單調遞增，且x20時，/（力=3+111（工+1）單調遞增,

__0

則需滿足2x（-1）,解得一ivavo,

-a<e°+In1

即a的范圍是

故選：B.

19.（2024年天津高考數學真題）下列函數是偶函數的是（）

x22

人e-x「cosx+x-sin%+4x

A.y——B.y=------------C.y=D.y=----n------

x+1x+1x+1J朋

【答案】B

【解析】對A,設〃x)==^,函數定義域為R,但4-1)=￡匕，〃1)=與，則〃一1片〃1),故

xH-122

A錯誤;

對B'設g(x)="'函數定義域為R’

cos(-x)+(-x)-cosx+x2

且g(-x)==g(x),則g(x)為偶函數，故B正確;

X2+1

對C,設=函數定義域為{尤IxH-l},不關于原點對稱，則不是偶函數，故C錯誤；

對D,設磯x)=sinx：4x,函數定義域為R,因為姒1)=吧1±1,^(-l)=-sinl~4,

eee

則。⑴則e(x)不是偶函數，故D錯誤.

故選：B.

20.(2023年新課標全國I卷數學真題)設函數〃尤)=甸在區間(0,1)上單調遞減，則a的取值范圍是()

A.B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,-H?)

【答案】D

【解析】函數y=2*在R上單調遞增，而函數人"=2*(、)在區間(0,1)上單調遞減，

2

則有函數>=道》-4)=。一|)2一*在區間(0,1)上單調遞減，因此■|zl,解得422,

所以。的取值范圍是[2,+8).

故選：D

考點5：分段函數問題

-爐+2,xW1,

21.(2022年新高考浙江數學高考真題)已知函數〃x)=<11[則/;若當

XH-----1,X>1,

X

xe[a,b]^fl</(x)<3,則人―a的最大值是

【答案】——3+V5/^/5+3

【解析】由已知/(9=一］g：+2=：，/(：)=：+；一1=H,

所以小叫嗎，

當x?l時，由14/(尤)<3可得1W-Y+2W3,所以一IVxVl,

當x>l時，由l4/(x)W3可得lWx+』-lV3,所以l<x<2+g,

X

1K/(X)K3等價于—1WX42+6,所以［a,句0一1,2+石］,

所以的最大值為3+6.

37

故答案為：--,3+^3.

2o

22.(2024年上海夏季高考數學真題)已知=則/(3)=

【答案】73

【解析】因為“"=1￡；；°,故"3)=6,

故答案為：百.

考點6：函數的定義域、值域、最值問題

23.(2022年新高考北京數學高考真題)函數/(%)=1+71=T的定義域是

X

【答案】(y,o)u(o』

【解析】因為所以to，解得E且XW0,

故函數的定義域為(9,0)口(0』

故答案為：(7),0)口(0』

-ax+1,x<a,

24.(2022年新高考北京數學高考真題)設函數/(x)=若存在最小值，則。的一個取

(x-2),x>a.

值為;a的最大值為.

【答案】0(答案不唯一)1

1,x<0

【解析】若。=0時，fM={'、c，.??/(x)mi=。；

(x-2),x>0n

若a<0時，當尤<。時，f(x)=-ax+l單調遞增，當xf-8時，f(x)-co,故/(x)沒有最小值，不符合題

目要求；

若。>0時，

當％<〃時，f(x)=-ax+1單調遞減，/(%)>/(〃)=-a2+1,

0(0<tz<2)

當x〉a時，f(x).={.

3J7mn\a-2)2(a>2)

??一〃2+120或一。2+1之(。-2)2,

解得0<6Z<l,

綜上可得m；

故答案為：o(答案不唯一)，i

考點7：函數性質(對稱性、周期性、奇偶性)的綜合運用

25.(多選題)(2023年新課標全國I卷數學真題)已知函數“X)的定義域為R,〃沖)=+,

則(),

A.40)=0B./(1)=0

C.“X)是偶函數D.》=。為/(6的極小值點

【答案】ABC

【解析】方法一：

因為/(孫)=y2fW+%2/(y)>

對于A,令尤=y=0,/(0)=0/(0)+0/(0)=0,故A正確.

對于B,令X=y=l,/(I)=1/(1)+1/(1),則/(l)=o,故B正確.

對于C,令x=y=-l,/(I)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),則f(-l)=。，

令y==f(x)+x2/(-l)=f(x),

又函數/(丈)的定義域為R,所以/(x)為偶函數，故c正確，

對于D,不妨令/(x)=0,顯然符合題設條件，此時/(X)無極值，故D錯誤.

方法二：

因為/(孫)=y2/(x)+%2/(y)，

對于A,令無=y=0,/(O)=0/(0)+0/(0)=0,故A正確.

對于B,令X=y=l,/(I)=1/(1)+1/(1),貝IJF⑴=。，故B正確.

對于C,令尤=y=-l,/(1)-/(-1)+/(-1)=2/(-1),貝廳(一1)=0,

令y=T/(t)=f(x)+x2f(-l)=于(x),

又函數/(九)的定義域為R,所以〃尤)為偶函數，故C正確,

對于D,當時，對/(盯)=y2/(x)+%2/(y)兩邊同時除以,得到三*2=￡翌+32,

X2ln|x|,工

0,x=0

當x＞0肘，f(x)=x2Inx,貝!J/r(x)=2xInx+x2?—=x(2Inx+1),

x

令外力＜0,得()＜%＜小令用%)＞。，得

故”x)在O,e一[上單調遞減，在e—1+8上單調遞增，

\7\7

/1A(-1\

因為，(九)為偶函數，所以/(X)在-e2,0上單調遞增，在-8,e2上單調遞減,

\7\7

顯然，此時％=0是的極大值，故D錯誤.

故選：ABC.

26.(多選題)(2022年新高考全國I卷數學真題)已知函數〃%)及其導函數/'(%)的定義域均為R,記

g(x)=f'(x),若上-2“，g(2+x)均為偶函數，則()

A./(0)=0B.=°C./(-I)=/(4)D.g(-l)=g(2)

【答案】BC

【解析】[方法一]:對稱性和周期性的關系研究

對于/⑴，因為了《一2d為偶函數，所以/1|-2x]=/1|+2x]即=+①，所以

3

f(3-x)=f(x),所以/⑴關于尤=￡對稱，則/(-1)=/(4),故C正確;

對于g(x),因為g(2+x)為偶函數，g(2+x)=g(2-x),g(4-x)=g(x),所以g(x)關于x=2對稱，由①求

導，和g(x)=/'(無)，得[/]|?一尤]=/(■f+xj=-f(I一d=r(|+d=-g]|_d=g(|+d，所

以g(3—x)+g(x)=。，所以g(x)關于g，0)對稱，因為其定義域為R,所以g]Tj=。，結合g(x)關于X=2對

稱，從而周期T=4X[2-|]=2,所以g"=g[￡|=O,g(-l)=g(l)=-g(2),故B正確，D錯誤；

若函數Ax)滿足題設條件，則函數/(x)+C(C為常數)也滿足題設條件，所以無法確定Ax)的函數值，故

A錯誤.

故選：BC.

［方法二］:【最優解】特殊值，構造函數法.

由方法一知g(x)周期為2,關于X=2對稱，故可設g(x)=cos(7tr),則〃x)=1sin(7ix)+c,顯然A,D錯

兀

誤，選BC.

故選：BC.

［方法三］:

因為-2x),g(2+x)均為偶函數，

所以'|-2力=(|+2xj即/(l-x)"(|+尤)，g")=g(2-x),

所以〃3—x)=/(x),g(4-x)=g(x),則/(一1)=/(4),故C正確；

3

函數/?,冢乃的圖象分別關于直線％=玉％=2對稱，

2

又g(x)=/(%),且函數=幻可導,

所以g0=O，g(3_x)=_g(x),

所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以g(x+2)=-g(x+l)=g(x),

所以g1-￡|=8(胃=。，g(-l)=g(l)=-g(2),故B正確，D錯誤；

若函數Ax)滿足題設條件，則函數/(x)+C(C為常數)也滿足題設條件，所以無法確定了(x)的函數值，故

A錯誤.

故選：BC.

【點評】方法一：根據題意賦值變換得到函數的性質，即可判斷各選項的真假，轉化難度較高，是該題的

通性通法；

方法二：根據題意得出的性質構造特殊函數，再驗證選項，簡單明了，是該題的最優解.

27.(2024年新課標全國I卷數學真題)已知函數Ax)的定義域為R,f(x)>/^-l)+f(x-2),且當x<3

時/(無)=x,則下列結論中一定正確的是()

A./(10)>100B./(20)>1000

c./(10)<1000D./(20)<10000

【答案】B

【解析】因為當x<3時/(x)=x,所以/(1)=1,/(2)=2,

又因為f(x)>AxT)+f(x-2),

則/(3)>/(2)+/(I)=3,/(4)>/(3)+/(2)>5,

/(5)>/(4)+/(3)>8,/(6)>/(5)+/(4)>13,/(7)>/(6)+/(5)>21,

/(8)>/(7)+/(6)>34,/(9)>/(8)+/(7)>55,/(10)>/(9)+/(8)>89,

/(Il)>/(10)+/(9)>144,/(12)>/(U)+/(IO)>233,/(13)>/(12)+/(11)>377

/(14)>/(13)+/(12)>610,/(15)>/(14)+/(13)>987,

/(16)>/(15)+/(14)>1597>1OOO,則依次下去可知f(20)>1000,則B正確；

且無證據表明ACD一定正確.

故選：B.

28.(2022年新高考全國H卷數學真題)已知函數的定義域為R,且

22

了(元+y)+/(尤一y)=/(x)/(y),f(D=i,則工/(6=()

k=T

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】A

【解析】［方法一］:賦值加性質

因為/(x+y)+〃x—y)=/(x)〃y)，令無=i,y=°可得，=所以/(0)=2,令x=o可得，

/(y)+/(-y)=2/(y),即〃y)=/(—y),所以函數/(x)為偶函數，令y=i得，

/(x+l)+/(x-l)=/(x)/(l)=/(%),即有f(x+2)+/(x)=/(x+l),從而可知/(x+2)=—f(x—1),

/(x-l)^-/(x-4),故〃x+2)"(x-4),即〃x)=/(x+6),所以函數的一個周期為6.因為

/(2)=/(1)-/(0)=1-2=-1,/(3)=/(2)-/(1)=-1-1=-2,/(4)=/(-2)=/(2)=-1,

f(5)=f(-l)=f(l)=l,/(6)=/(0)=2,所以

一個周期內的/。)+/(2)++/(6)=0.由于22除以6余4,

22

所以￡〃笈)=〃1)+〃2)+〃3)+〃4)=1一1一2-1=-3.故選：A.

4=1

［方法二］:【最優解】構造特殊函數

由〃x+y)+/(x-y)=/(x)/(y),聯想到余弦函數和差化積公式

cos(x+y)+cos(x-y)=2cosxcosy,可設/(x)=acos@x,則由方法一中/(0)=2,/(l)=l知a=2,acoso=l,

171

解得COSG=5，取刃=每，

所以/(x)=2cosgx,則

/(x+y)+/(x—y)=2cos［gx+Wy］+2cos(gx—gy］=4cosWxcosWy=/(x)/(y),所以/(x)=2cos?x

7=2%=6

符合條件，因此/(x)的周期三一，/(0)=2,/。)=1,且

3

/(2)=-1,/(3)=-2,/(4)=-1,/(5)=1,/(6)=2,所以/(1)+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)=0,

由于22除以6余4,

22

所以￡/(4)=〃1)+〃2)+〃3)+〃4)=1一1一2-1=-3.故選：A.