11.1排列、組合【考點梳理】1．排列(1)排列的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．(2)排列數的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，用符號Aeq\o\al(m,n)表示．(3)排列數公式：Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1).這里n，m∈N*，并且m≤n．(4)全排列：n個不同元素全部取出的一個排列，叫做n個元素的一個全排列．Aeq\o\al(n,n)＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1＝n！，因此，排列數公式寫成階乘的形式為Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,（n－m）！)，這里規定0！＝1.2．組合(1)組合的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．(2)組合數的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數，用符號Ceq\o\al(m,n)表示．(3)組合數公式：Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(Aeq\o\al(m,n),Aeq\o\al(m,m))＝eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)＝eq\f(n！,m！（n－m）！)．這里n∈N*，m∈N，并且m≤n.(4)組合數的兩個性質：①Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；②Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).考點一排列【例題】（1）下列問題是排列問題的是（

）A．10個朋友聚會，每兩人握手一次，一共握手多少次？B．平面上有2022個不同的點，且任意三點不共線，連接任意兩點可以構成多少條線段？C．集合的含有三個元素的子集有多少個？D．從高三（19）班的54名學生中選出2名學生分別參加校慶晚會的獨唱、獨舞節目，有多少種選法？【答案】D【解析】A中握手次數的計算與次序無關，不是排列問題；B中線段的條數計算與點的次序無關，不是排列問題；C中子集的個數與該集合中元素的次序無關，不是排列問題；D中，選出的2名學生，如甲、乙，其中“甲參加獨唱、乙參加獨舞”與“乙參加獨唱、甲參加獨舞”是2種不同的選法，因此是排列問題，故選：D.（2）可表示為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為是連續9個數和相乘，所以，故選：A.（3）現從6名學生干部中選出3名同學分別參加全校資源、生態和環保3個夏令營活動，則不同的選派方案的種數是（

）A．20 B．90 C．120 D．240【答案】C【解析】共有種不同的選派方案,故選：C.（4）五人并排站成一排，甲乙不相鄰的排法種數為（

）A．30 B．54 C．63 D．72【答案】D【解析】按照插空法，甲乙不相鄰的排法種數有，故選：D.（5）從5本不同的書中選3本送給3名同學，每人各1本，共有（

）種不同的送法．A．60 B．125 C．45 D．11【答案】A【解析】由題意得，從5本不同的書中選3本送給3名同學，每人各1本，共有種不同的送法，故選：A.（6）由0，1，2，3，4組成沒有重復數字的三位數的個數是.【答案】48【解析】第一步先從非零的四個數中選擇一個作為百位數字，有種選法，再從剩余的四個數中選擇兩個排在十位和個位上，有種選法，由0，1，2，3，4組成沒有重復數字的三位數的個數是.故答案為：48.【變式】（1）2022年北京冬奧會期間，需從5名志愿者中選3人去為速度滑冰?花樣滑冰?冰球三個競賽項目服務，每個項目必須有志愿者參加且每名志愿者只服務一個項目，不同的安排方法種數為（

）A．10 B．27 C．36 D．60【答案】D【解析】依題意，從5名志愿者中選3人服務3個不同項目，不同的安排方法有（種），故選：D.（2）3名學生和2名老師站成一排合影，則3名學生相鄰的排法共有（

）A．48種 B．36種 C．20種 D．24種【答案】B【解析】3名學生相鄰,故將3名學生捆綁看成一個整體再與兩名老師進行全排列,則共有排法，故選：B.（3）用數字0，1，2，3，4可以組成沒有重復數字，并且比2000大的四位數共有（

）A．66個 B．72個 C．55個 D．60個【答案】B【解析】首位是2，3,4的四位數都比2000大，所以共有個，故選：B.（4）甲、乙、丙、丁、戊共5名同學進行勞動技術比賽，決出第1名到第5名的名次，已知甲和乙都不是冠軍，且乙不是最后一名、則這5人的名次排列所有可能的情況共有（

）A．18種 B．36種 C．54種 D．72種【答案】C【解析】先從丙、丁、戊三人中選擇一人為冠軍，有種情況，再從除乙外的三人中選擇一人為最后一名，有種情況，最后將剩余三人進行全排列，有種情況，綜上：這5人的名次排列所有可能的情況共有=54種，故選：C.（5）安排5名志愿者完成三項工作，其中項工作需3人，兩項工作都只需一人，則不同的安排方式共有______種.【答案】20【解析】項工作安排3人有，然后安排有，則所安排的方式共種，故答案為：20.（6）某中學5名黨員志愿者報名參加某天教師體溫檢測工作，現學校安排其中3名志愿者分別負責晨、午、晚檢各一人，其中志愿者有早讀輔導工作不能安排晨檢工作，則共有________種不同安排方法.【答案】【解析】當志愿者參加檢測工作時，方法數有種；當志愿者不參加檢測工作時，方法數有種，故總的方法數有種，故答案為：.考點二組合【例題】（1）已知，則的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】，化簡得：，解得：或（舍去），故選：B.（2）從10名學生中任選2名參加某項志愿者活動，不同的選法種數是（

）A．12 B．20 C．45 D．90【答案】C【解析】由題意，從10名學生中任選2名參加某項志愿者活動，由組合的定義可知，不同的選法種數為，故選：C.（3）從8瓶酸牛奶和4瓶純牛奶中任意選取4瓶，則恰有1瓶是酸牛奶的選取方法共有（

）A．24種 B．32種 C．48種 D．64種【答案】B【解析】恰有1瓶是酸牛奶的選取方法有種，故選：B.（4）袋中共有個球，其中個白球，個黑球．從袋中抽取個球，其中恰有一個白球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】從袋中任取個球，共有種取法；其中恰有一個白球的取法有種，所求概率，故選：A.（5）某校選修課種類豐富多彩，極大拓展了學生的視野，現有A類選修課4門，B類選修課3門，小張同學打算從中選擇三門，若要求兩類課程各至少選1門，則不同的選法種數為________.【答案】30【解析】由題意，小張同學從中選擇三門，要求兩類課程各至少選1門，則可以選A類2門B類1門，也可以選A類1門B類2門，所以不同的選法種數共有，故答案為：30.（6）在100件產品中，有98件合格品，2件次品，從這100件產品中任意抽取3件，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法的種數為.【答案】【解析】“沒有次品”的抽法種數為：,至少有一件是次品的抽法的種數為：，故答案為：.【變式】（1）已知，則m等于（

）A．1 B．3 C．1或3 D．1或4【答案】C【解析】由可知:或者,解得:或，故選：C.（2）從班委會5名同學中選出3名同學擔任勞動教育宣講員，不同的選法種數有（

）A．60種 B．30種 C．20種 D．10種【答案】D【解析】依題意，有種選法，故選：D.（3）現有6名男醫生、5名女醫生，從中選出3名男醫生、2名女醫生組成一個醫療小組，則不同的選法共有（

）A．150種 B．180種 C．200種 D．462種【答案】C【解析】先從6名男醫生中選出3名男醫生，再從5名女醫生中選出2名女醫生，根據分步乘法計數原理可得，不同的選法共有種，故選：C.（4）某醫院計劃從3名醫生和4名護士中任選3人參與某地的防疫工作，則至少有1名醫生被選中的選法共有（

）A．31種 B．33種 C．34種 D．35種【答案】A【解析】至少有1名醫生被選中的選法共有種，故選：A．（5）小明在一個專用的紙箱中收藏了一套精美的十二生肖紀念郵票，共12枚，現從這12枚郵票中隨機抽取3枚，恰好有1枚為老虎圖案郵票的概率為．【答案】【解析】先在十二枚生肖的郵票中抽取3枚，共有種結果，再在除了老虎圖案的十一枚郵票中抽取2枚，共有結果，所以恰好有一枚為老虎圖案郵票的概率為，故答案為：.（6）現有拾圓、貳拾圓、伍拾圓的人民幣各1張，一共可以組成的幣值有種．【答案】7【解析】三種幣值分別任選一張、兩張或全選，則組成的幣值有種，故答案為：7.【方法總結】1．排列與組合的區別與聯系排列、組合之間的主要區別在于是否要考慮選出元素的先后順序，不需要考慮順序的是組合問題，需要考慮順序的是排列問題，排列是在組合的基礎上對入選的元素進行全排列，因此，分析解決排列問題的基本思路是“先選，后排”．2．解排列、組合題的基本方法(1)限制元素(位置)優先法：①元素優先法：先考慮有限制條件的元素，再考慮其他元素；②位置優先法：先考慮有限制條件的位置，再考慮其他位置．(2)正難則反排異法：有些問題，正面考慮情況復雜，可以反面入手把不符合條件的所有情況從總體中去掉．(3)復雜問題分類分步法：某些問題總體不好解決時，常常分成若干類，再由分類加法計數原理解決或分成若干步，再由分步乘法計數原理解決．在解題過程中，常常既要分類，也要分步，其原則是先分類，再分步．(4)相離問題插空法：某些元素不能相鄰或要在某特殊位置時可采用插空法，即先安排好沒有限制條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間．(5)相鄰問題捆綁法：把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個大元素，然后再與其余“普通元素”作全排列，最后再“松綁”——將“捆綁”元素在這些位置上作全排列