第一章信號與系統(tǒng)1.1信號的概念

一、信號的概念二、信號的分類1.2信號的運算

一、相加和相乘二、時間變換1.3階躍信號與沖激信號

一、加法和乘法二、時間變換1.4系統(tǒng)及其描述

一、階躍函數二、沖激函數

三、沖激函數的性質四、序列δ(k)和ε(k)1.5系統(tǒng)的性質及分類

一、系統(tǒng)的定義二、系統(tǒng)的分類及性質

1.6系統(tǒng)分析的基本思路

一、連續(xù)系統(tǒng)二、離散系統(tǒng)

《信號與系統(tǒng)》課程的性質，內容及特點：1.性質:這是電子類專業(yè)一門重要的必修技術基礎課程。2.內容:包括信號分析與系統(tǒng)分析。

前言

前言

輸入信號（激勵）系統(tǒng)輸出信號（響應）

前言①信號的表示，運算和變換。②系統(tǒng)的模型，描述和響應計算。

※信號分析為系統(tǒng)分析服務，重點關注系統(tǒng)分析的理論與方法。

3.特點：與《電路分析基礎》課程比較而言①分析觀點，方法不同（白箱/黑箱法）。②采用眾多的數字工具：線性代數、矩陣理論、微積分（差分，迭分）運算、傅里葉級數和變換、拉普拉斯變換、Z變換等。1.1信號的概念1.消息（message）人們常常把來自外界的報道統(tǒng)稱為消息。2.信息（information）它是信息論中的一個術語。通常把消息中有意義的內容稱為信息。本課程中對“信息”和“消息”兩詞未加嚴格區(qū)分。一、消息，信息與信號

3.信號（signal）

信號是消息的載體，常表現為某種變化的物理量。第一章信號與系統(tǒng)的基本概念1.1信號的概念

對于信號我們并不陌生，如剛才鈴聲——聲信號，表示該上課了；十字路口紅綠燈——光信號，指揮交通；電視機天線接收的聲音，圖像信息——電信號；信號按物理屬性分為：電信號和非電信號。它們可以相互轉換。電信號容易產生，便于控制，易于處理。本課程僅討論電信號——簡稱“信號”。

電信號的基本形式：隨時間變化的電壓或電流。描述信號的常用方法：（1）表示為時間的函數（2）信號的圖形表示--波形

“信號”與“函數”兩詞常相互通用。1.1信號的概念二、信號的分類1.確定信號和隨機信號（p2)2.連續(xù)信號和離散信號(p3)3.周期信號和非周期信號(p5)4.能量信號和功率信號(p6)5.一維信號和多維信號6.因果信號和反因果信號1.1信號的概念三、信號的基本特性1.確定信號的時間特性反映信號幅值大小，變化速率及整體形態(tài)隨t變化呈現出來的變化規(guī)律。2.確定信號的頻率特性包括信號帶寬和各正弦分量振幅，相位隨頻率的分布情況。3.隨機信號的統(tǒng)計特性用均值，方差，相關函數和協(xié)方差函數等表征信號的統(tǒng)計特性。4.信號的信息特性1.2信號的運算1.2信號的運算一、相加和相乘兩個信號相加（或相乘），其和（或積）信號等于同一時刻兩信號值相加（或相乘）即相加：y(t)=f1(t)+f2(t)y(k)=f1(k)+f2(k)相乘：y(t)=f1(t)?f2(t)y(k)=f1(k)?f2(k)二、時間變換包括翻轉，平移和展縮運算。1.2信號的運算1.翻轉將f

(t)→f

(–t)，f

(k)→f

(–k)稱為對信號f(·)的翻轉或反折。從圖形上看是將f(·)以縱坐標為軸翻轉180o。如：1.2信號的運算

2.平移將f

(t)→f

(t–t0)，f

(k)→f

(t–k0)稱為對信號f(·)的平移或移位。若t0(或k0)>0，則將f(·)右移；否則左移。如：右移t→t–1左移t→t+11.2信號的運算平移與翻轉相結合法一：①先平移f

(t)→f

(t+2)②再反轉f

(t+2)→f

(–t+2)法二：①先反轉f

(t)→f

(–t)畫出f

(2–t)。②再平移f

(–t)→f

(–t+2)=f

[–(t–2)]左移右移注意：是對t的變換！1.3信號的基本運算3.展縮（尺度變換）將f

(t)→f

(at)，稱為對信號f(t)的尺度變換。若a>1，則波形沿橫坐標壓縮；若0<a<1，則展開：t→2t

壓縮t→0.5t

展開對于離散信號，由于f(ak)僅在ak為整數時才有意義，進行尺度變換時可能會使部分信號丟失。因此一般不作波形的尺度變換。1.3信號的運算平移、翻轉、尺度變換相結合已知f

(t)，畫出f

(–4–2t)。三種運算的次序可任意。但一定要注意始終對時間t進行。壓縮，得f

(2t–4)翻轉，得f

(–2t–4)右移4，得f

(t–4)1.2信號的運算注意：（1）信號的時間變換運算都是對自變量t（或k）進行；（2）組合運用變換可由畫出的波形。1.2信號的運算三、連續(xù)信號的導數與積分導數：

積分：導數積分1.2信號的運算四、離散信號的差分與迭分差分：

（前向）（后向）迭分：1.3階躍信號與沖激信號

1.3階躍信號與沖激信號一序列函數定義1.階躍信號?→01.3階躍信號與沖激信號2.沖激信號1.3階躍信號與沖激信號3.?(t)～(t)關系：1.3階躍信號與沖激信號二、廣義函數定義1.廣義函數概念

普通函數：在定義域中，對每個自變量 t，按照一定規(guī)則f，指定一個函數值f(t).

一個普通函數，對于定義域中的變量t，都有對應的函數值f(t)；間斷點處的導數不存在。與此不同，?(t)在t=0處的導數是

(t);(t)在唯一不為零的t=0處的函數值為。這類函數不能按常規(guī)函數定義理解。稱為奇異（或廣義）函數。

廣義函數：為避開變量點上沒有確定函數值的情況，廣義函數采用它與另一個函數相互作用（如相乘后積分）后的效果來定義：1.3階躍信號與沖激信號可理解為：在試驗函數集{

(t)}中，對每一函數

(t)，按一定規(guī)則Ng，分配一個函數值Ng[

(t)].注意：

(t)是普通函數，滿足連續(xù)、有任意階導數。且

(t)及各階導數在|t|時要比|t|的任意次冪更快的趨于零；2.廣義函數運算相等、相加、尺度變換、微分（見教材P19）1.3階躍信號與沖激信號3.(t)、(t)的廣義函數定義

表明

(t)是一種具有能從(t)中篩選出t=0時刻值

(0)作用效果（稱為篩選性質）的函數。由于故脈沖序列信號p?(t)具有篩選性質。同樣可作為

(t)定義。1.3階躍信號與沖激信號表明

(t)是這樣一種廣義函數：與(t)的作用效果是分配一個積分值三、

(t)的性質1.(t)的導數和積分導數：1.3階躍信號與沖激信號導數：積分：2.(t)與普通函數f(t)相乘1.3階躍信號與沖激信號（篩選性質）3.`(t)與普通函數f(t)相乘積分4.尺度變換1.3階躍信號與沖激信號5.奇偶性上式中令a=-1，有可見：

(t)的奇(偶)次導函數是奇（偶）函數。例1.1.3階躍信號與沖激信號例2.證明：1.3階躍信號與沖激信號例3.1.3階躍信號與沖激信號例4.例5.1.3階躍信號與沖激信號四、階躍序列與脈沖序列1.單位階躍序列

2.單位脈沖序列k1.3階躍信號與沖激信號篩選性：迭分：3.δ(k)與ε(k)的關系1.4系統(tǒng)及其描述

1.4系統(tǒng)及其描述一.系統(tǒng)及模型1.系統(tǒng)的定義若干相互作用、相互聯(lián)系的事物按一定規(guī)律組成具有特定功能的整體稱為系統(tǒng)。按組成事物性質不同，系統(tǒng)可分為物理系統(tǒng)和非物理系統(tǒng)。電系統(tǒng)是電子元器件的集合體。電路側重于局部，系統(tǒng)理論側重于整體。2.系統(tǒng)模型（或描述）在一定條件下對實際系統(tǒng)基本特征的抽象描述，稱為系統(tǒng)模型。系統(tǒng)模型也稱系統(tǒng)描述。1.4系統(tǒng)及其描述按描述方式不同，系統(tǒng)模型可以分為數學模型和圖形結構模型；輸入輸出模型和狀態(tài)空間模型。二、系統(tǒng)的輸入輸出描述1.初始觀察時刻系統(tǒng)f(?)y(?)含義1：以t?、k?為界將f(?)區(qū)分為歷史輸入f?(?)和激勵（當前輸入）f?(?)：1.4系統(tǒng)及其描述二階常系數線性微分方程。抽去具有的物理含義，微分方程寫成這個方程也可以描述下面的一個二階機械減振系統(tǒng)。1.4系統(tǒng)及其描述含義2：從開始觀察系統(tǒng)響應。2.連續(xù)系統(tǒng)輸入輸出描述圖示RLC電路，初始觀察時刻t=0,以uS(t)作激勵、uC(t)作為響應，由KVL和VCR列方程，并整理得(1)解析描述——建立微分方程1.4系統(tǒng)及其描述其中，k為彈簧常數，M為物體質量，C為減振液體的阻尼系數，x為物體偏離其平衡位置的位移，f(t)為初始外力。其運動方程為能用相同方程描述的系統(tǒng)稱相似系統(tǒng)。1.4系統(tǒng)及其描述(2)框圖描述上述方程從數學角度來說代表了某些運算關系：相乘、微分、相加運算。將這些基本運算用一些理想部件符號表示出來并相互聯(lián)接表征上述方程的運算關系，這樣畫出的圖稱為模擬框圖，簡稱框圖。基本部件單元有：積分器：加法器：數乘器：積分器的抗干擾性比微分器好。1.4系統(tǒng)及其描述系統(tǒng)模擬：實際系統(tǒng)→方程→模擬框圖→實驗室實現（模擬系統(tǒng)）→指導實際系統(tǒng)設計例1：已知y”(t)+ay’(t)+by(t)=f(t)，畫框圖。解：將方程寫為y”(t)=f(t)–ay’(t)–by(t)1.4系統(tǒng)及其描述例2：已知y”(t)+3y’(t)+2y(t)=4f’(t)+f(t)，畫框圖。解：該方程含f(t)的導數，可引入輔助函數畫出框圖。設輔助函數x(t)滿足x”(t)+3x’(t)+2x(t)=f(t)可推導出y(t)=4x’(t)+x(t)，它滿足原方程。例3：已知框圖，寫出系統(tǒng)的微分方程。1.4系統(tǒng)及其描述設輔助變量x(t)如圖x(t)x’(t)x”(t)x”(t)=f(t)–2x’(t)–3x(t),即x”(t)+2x’(t)+3x(t)=f(t)y(t)=4x’(t)+3x(t)根據前面，逆過程，得y”(t)+2y’(t)+3y(t)=4f’(t)+3f(t)1.4系統(tǒng)及其描述3.離散系統(tǒng)輸入輸出描述(1)解析描述——建立差分方程例：某人每月初在銀行存入一定數量的款，月息為β元/月，求第k個月初存折上的款數。解：設第k個月初的款數為y(k),這個月初的存款為f(k),上個月初的款數為y(k-1)，利息為βy(k-1),則

y(k)=y(k-1)+βy(k-1)+f(k)即y(k)-(1+β)y(k-1)=f(k)若設開始存款月為k=0，則有y(0)=f(0)。上述方程就稱為y(k)與f(k)之間所滿足的差分方程。所謂差分方程是指由未知輸出序列項與輸入序列項構成的方程。未知序列項變量最高序號與最低序號的差數，稱為差分方程的階數。上述為一階差分方程。1.4系統(tǒng)及其描述由n階差分方程描述的系統(tǒng)稱為n階系統(tǒng)。描述LTI系統(tǒng)的是線性常系數差分方程。(2)框圖描述

基本部件單元有：數乘器，加法器，遲延單元（移位器）1.4系統(tǒng)及其描述例：已知框圖，寫出系統(tǒng)的差分方程。解：設輔助變量x(k)如圖x(k)x(k-1)x(k-2)即x(k)+2x(k-1)+3x(k-2)=f(k)y(k)=4x(k-1)+5x(k-2)消去x(k)，得

y(k)+2y(k-1)+3y(k-2)=4f(k-1)+5f(k-2)x(k)=f(k)–2x(k-1)–3x(k-2)方程←→框圖用變換域方法和梅森公式簡單，后面討論。1.4系統(tǒng)及其描述三、系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述除與外部變量f(?)和y(?)有關外還涉及內部變量x(?)—狀態(tài)變量。描述方程由狀態(tài)方程和輸出方程組成。系統(tǒng)響應：

全響應零輸入響應零狀態(tài)響應1.5系統(tǒng)的性質及分類1.5系統(tǒng)的性質及分類

可以從多種角度來觀察、分析研究系統(tǒng)的特性，提出對系統(tǒng)進行分類的方法。一、連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)

若系統(tǒng)的輸入信號是連續(xù)信號，系統(tǒng)的輸出信號也是連續(xù)信號，則稱該系統(tǒng)為連續(xù)時間系統(tǒng)，簡稱為連續(xù)系統(tǒng)。

若系統(tǒng)的輸入信號和輸出信號均是離散信號，則稱該系統(tǒng)為離散時間系統(tǒng)，簡稱為離散系統(tǒng)。1.5系統(tǒng)的性質及分類二、動態(tài)系統(tǒng)與即時系統(tǒng)

若系統(tǒng)在任一時刻的響應不僅與該時刻的激勵有關，而且與它過去的歷史狀況有關，則稱為動態(tài)系統(tǒng)或記憶系統(tǒng)。含有記憶元件(電容、電感等)的系統(tǒng)是動態(tài)系統(tǒng)。否則稱即時系統(tǒng)或無記憶系統(tǒng)。三、單輸入單輸出系統(tǒng)與多輸入多輸出系統(tǒng)單輸入輸出系統(tǒng)：系統(tǒng)具有單個輸入和輸出；多輸入輸出系統(tǒng)：系統(tǒng)具有多個輸入和輸出。1.5系統(tǒng)的性質及分類四.線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)滿足線性性質的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。1.線性性質

系統(tǒng)的激勵f(·)所引起的響應y(·)可簡記為

y(·)=T[f(·)]線性性質包括兩方面：齊次性和可加性。

若系統(tǒng)的激勵f(·)增大a倍時，其響應y(·)也增大a倍，即T

[af(·)]=aT

[f(·)]，則稱該系統(tǒng)具有齊次性。

若系統(tǒng)對于激勵f1(·)與f2(·)共同作用時的響應等于各個激勵單獨作用時產生的響應之和，即

T

[f1(·)，f2(·)]=T[f1(·)]+T[f2(·)]則稱該系統(tǒng)具有可加性。1.5系統(tǒng)的性質及分類

若系統(tǒng)既有齊次性又有可加性，就稱該系統(tǒng)具有線性性質，即T[af1(·),bf2(·)]=aT[f1(·)]+bT[f2(·)]2.動態(tài)系統(tǒng)是線性系統(tǒng)的條件當動態(tài)系統(tǒng)滿足下列三個條件時該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)：①可分解性：

y

(·)=yzi(·)+yzs(·)=T[{x

(0)},{0}]+T[{0}，{f(?)}]②零輸入線性：

T[{ax(0)},{0}]=aT[{x(0)},{0}]T[{x1(0),x2(0)},{0}]=T[{x1(0)},{0}]+T[{x2(0)},{0}]或T[{ax1(0),bx2(0)},{0}]=aT[{x1(0)},{0}]+bT[{x2(0)},{0}]1.5系統(tǒng)的性質及分類③零狀態(tài)線性：

T[{0},{af

(·)}]=aT[{0},{f

(·)}]T[{0},{f1(t),f2(t)}]=T[{0},{f1

(·)}]+T[{0},{f2

(·)}]或

T[{0},{af1(t),bf2(t)}]

=aT[{0},{f1

(·)}]+bT[{0},{f2

(·)}]1.5系統(tǒng)的性質及分類例1：判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？（1）y

(t)=3x(0)+2f

(t)+x(0)f

(t)+1

（2）y

(t)=2x(0)+|f

(t)|

（3）y

(t)=x2(0)+2f

(t)解：（1）

yzs(t)=2f

(t)+1，yzi(t)=3x(0)+1，顯然y

(t)≠yzs(t)＋yzi(t)不滿足可分解性，故為非線性。（2）

yzs(t)=|f

(t)|，yzi(t)=2x(0)，由于y

(t)=yzs(t)+yzi(t)滿足可分解性；但是T[{af

(t)},{0}]=|af

(t)|≠ayzs(t)不滿足零狀態(tài)線性，故為非線性系統(tǒng)。（3）

yzs(t)=2f

(t),yzi(t)=x2(0)，滿足可分解性；由于T[{0},{ax(0)}]=[ax(0)]2≠ayzi(t)不滿足零輸入線性，故為非線性系統(tǒng)。1.5系統(tǒng)的性質及分類例2：判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？解：y

(t)=yzs(t)+yzi(t)，滿足可分解性；T[{af1(t)+bf2(t)},{0}]=aT[{f1(t)},{0}]+bT[{f2(t)},{0}]，滿足零狀態(tài)線性；T[{0},{ax1(0)+bx2(0)}]=e-t[ax1(0)+bx2(0)]=ae-tx1(0)+be-tx2(0)=aT[{0},{x1(0)}]+bT[{0},{x2(0)}],滿足零輸入線性；所以，該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。1.5系統(tǒng)的性質及分類五、時不變系統(tǒng)與時變系統(tǒng)1.時不變性質

若系統(tǒng)滿足輸入延遲多少時間，其零狀態(tài)響應也延遲多少時間，即若T[{0}，f(t)]=yzs(t)則有T[{0}，f(t-

td)]=yzs(t-

td)系統(tǒng)的這種性質稱為時不變性（或移位不變性）。2.時不變/時變系統(tǒng)具有時不變性質的系統(tǒng)稱為時不變系統(tǒng)，否則稱為時變系統(tǒng)。1.5系統(tǒng)的性質及分類例：判斷下列系統(tǒng)是否為時不變系統(tǒng)？（1）yzs(k)=f

(k)f

(k–1)

（2）yzs(t)=tf

(t)

（3）yzs(t)=f

(–t)解：(1)令g

(k)=f(k–kd)T[{0}，g

(k)]=g(k)g

(k–1)=f

(k–kd)f

(k–kd–1)而yzs(k–kd)=f

(k–kd)f

(k–kd–1)顯然T[{0}，f(k–kd)]=yzs(k–kd)故該系統(tǒng)是時不變的。

(2)令g

(t)=f(t–td)T[{0}，g

(t)]=tg

(t)=tf

(t–td)而yzs(t–td)=(t–td)f

(t–td)顯然T[{0}，f(t–td)]≠yzs(t–td)故該系統(tǒng)為時變系統(tǒng)。(3)令g

(t)=f(t–td),T[{0}，g

(t)]=g

(–t)=f(–t–td)而yzs(t–td)=f

[–(t–td)]，顯然T[{0}，f(t–td)]≠yzs(t–td)故該系統(tǒng)為時變系統(tǒng)。直觀判斷方法：

若f

(·)前出現變系數，或有反轉、展縮變換，則系統(tǒng)為時變系統(tǒng)。

1.5系統(tǒng)的性質及分類例：下列差分方程描述的系統(tǒng)，是否線性？是否時不變？并寫出方程的階數。（1）y(k)+(k–1)y(k–1)=f(k)（2）y(k)+y(k+1)y(k–1)=f2(k)（3）y(k)+2y(k–1)=f(1–k)+1解：判斷方法：方程中均為輸出、輸入序列的一次關系項，則是線性系統(tǒng)。輸入輸出序列前的系數為常數，且無翻轉、展縮變換，則為時不變系統(tǒng)。線性、時變，一階非線性、時不變，二階非線性、時變，一階本課程重點討論線性時不變系統(tǒng)(LinearTime-Invariant)，簡稱LTI系統(tǒng)。1.5系統(tǒng)的性質及分類3.LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分特性和積分特性①微分特性：若f(t)→yzs(t)，則f’(t)→y’

zs(t)②積分特性：若f(t)→yzs(t)，則1.5系統(tǒng)的性質及分類六.因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)

零狀態(tài)響應不會出現在激勵之前的系統(tǒng)，稱為因果系統(tǒng)。即對因果系統(tǒng)，當t<t0

，f(t)=0時，有t<t0

，yzs(t)=0。如下列系統(tǒng)均為因果系統(tǒng)：yzs(t)=3f(t–1)而下列系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)：(1)yzs(t)=2f(t+1)(2)yzs(t)=f(2t)因為，令t=1時，有yzs(1)=2f(2)因為，若f(t)=0，t<t0

，有yzs(t)=f(2t)=0,t<0.5t0

。1.5系統(tǒng)的性質及分類例某LTI因果連續(xù)系統(tǒng)，起始狀態(tài)為x(0–)。已知，當x(0–)=1，輸入因果信號f1(t)時，全響應

y1(t)=e–t+cos(πt)，t>0；當x(0-)=2，輸入信號f2(t)=3f1(t)時，全響應

y2(t)=–2e–t+3cos(πt)，t>0；求輸入f3(t)=+2f1(t-1)時,系統(tǒng)的零狀態(tài)響應y3zs(t)。解設當x(0–)=1，輸入因果信號f1(t)時，系統(tǒng)的零輸入響應和零狀態(tài)響應分別為y1zi(t)、y1zs(t)；當x(0-)=2，輸入信號f2(t)=3f1(t)時，系統(tǒng)的零輸入響應和零狀態(tài)響應分別為y2zi(t)、y2zs(t)。

1.5系統(tǒng)的性質及分類由題中條件，有y1(t)=y1zi(t)+y1zs(t)=e–t+cos(πt)，t>0（1）y2(t)=y2zi(t)+y2zs(t)=–2e–t+3cos(πt)，t>0（2）根據線性系統(tǒng)的齊次性，y2zi(t)=2y1zi(t)，y2zs(t)=3y1zs(t)，代入式（2）得y2(t)=2y1zi(t)+3y1zs(t)=–2e–t+3cos(πt)，t>0（3）式(3)–