分數布朗運動和反常擴散包景東北京師范大學物理系(jdbao@)2011年3月23日南開大學今日物理內容提要

1.分數布朗運動與反常擴散

2.連續時間無規行走理論(CTRW)3.分數階微積分應用

4.計算統計物理：反常擴散的模擬

5.

CTRW在金融領域的應用

6.小結牛頓物理:試圖對自然現象做精確的測量，將自然界理解為確定性的“時鐘”；麥克斯韋－玻耳茲曼物理：偏離平均不再是一個誤差，大的方差不再是測量精度的指標；布朗運動：

(1)1785年JanIngenhausz觀測木炭粉末在酒表面運動；

(2)1828年RobertBrown觀測花粉,塵埃,煙灰在水表面的運動;(3)1905年AlbertEinstein用隨機行走解釋流體分子的熱運動;(4)1926年JeanPerrin因為測量Avogadro常數獲Nobel物理獎;

進一步發展是什么呢？導語1.反常擴散反常擴散:反常擴散是指自由系統偏離正常布朗運動的擴散行為，表現為粒子的方均位移滿足其中Kα稱為廣義擴散系數，α稱為功率指數或者擴散指數。0<α<1稱為欠擴散(sub-diffusion)，1<α<2稱為超擴散(super-diffusion);α=0稱為局域化(localization)，α=2稱為彈道擴散(ballisticdiffusion)，它們是擴散的兩個極限。正常布朗運動信天翁BaoandZhuo:PRL91,138104(2003)

熱擴散的極限：彈道擴散研究反常擴散--輸運的主要手段：廣義熱力學統計(Tsallis統計)非線性媒介Fokker-Planck方程和分數階Fokker-Planck方程(FFPE)廣義主方程(GME)廣義Langevin方程(GLE)和分數階Langevin方程(FLE)連續時間無規行走(CTRW)“非標準統計物理”2.連續時間無規行走理論Pearson-Einstein一維無規行走理論：1、假設粒子只在相鄰格點之間跳躍，不同格點用下標j區分;2、假設粒子向j±1格點跳躍的概率相等，均為0.5。于是，粒子的一維擴散主方程為：連續時間無規行走理論連續性近似下Δx→0,Δt→0，將主方程兩邊分別對Δx和Δt

做泰勒展開，左邊得到：右邊得到：將上面兩式代入主方程，就得到自由場擴散方程：其中稱為擴散系數。連續時間無規行走理論1965年，Montroll和Weiss在無規行走的基礎上進行擴展，即將無規行走的固定時間間隔和固定跳躍距離都假設成隨機變量，提出連續時間無規行走(CTRW)。連續時間無規行走理論在CTRW理論中，粒子的擴散過程包含兩個基本要素：①隨機跳躍距離；②隨機等待時間，它們的聯合分布密度函數ψ(x,τ)。跳躍距離分布函數記為λ(x)，等待時間分布函數記為ω(τ)，兩者都可由ψ(x,τ)得到：λ(x)dx

表示跳躍距離取值在(x,x+dx)的概率；ω(τ)dτ表示等待時間在(τ,τ+dτ)的概率。連續時間無規行走理論粒子t時刻在初始位置的存活概率為：其Laplace變換形式為：用η(x,t)表示粒子t時刻到達坐標x處的概率密度，并假設粒子初始分布為W0(x)，由此可得描述無規行走過程的廣義主方程(GME)：連續時間無規行走理論于是，粒子的分布函數W(x,t)滿足：將GME代入上式，得到：對以上方程做Fourier-Laplace變換，得到粒子分布函數在相空間滿足的方程：這是一個代數方程，記為方程(A)。連續時間無規行走理論正常擴散正常擴散情況下，CTRW理論要求等待時間分布的一次矩均和跳躍距離分布的二次矩有限，通常選擇泊松函數和高斯函數分別作為等待時間和跳躍距離的分布，記作：它們的Laplace變換和Fourier變換形式分別為：連續時間無規行走理論將上面兩式代入方程(A)，并舍去高階項，化簡得到：注意到：可得描述自由粒子正常擴散的擴散方程：其中K1為擴散系數。連續時間無規行走理論欠擴散欠擴散情況下，CTRW理論要求粒子跳躍距離分布的二次矩有限，故依然選擇高斯函數作為粒子跳躍距離的分布；同時要求粒子等待時間分布的一次矩發散，通常選擇的等待時間分布函數具有如下的長尾漸進形式：其Laplace變換形式為：連續時間無規行走理論將欠擴散等待時間分布和跳躍步長分布的相空間表達式代入方程(A)，得到：利用分數階積分的Laplace變換公式：可得：分數階冪連續時間無規行走理論注意到分數階導數和分數階積分的關系：最后得到描述自由粒子欠擴散的分數階擴散方程(FDE)：其中Riemann-Liouville分數階導數算符定義為：可見和整數階導數不同，分數階導數包含了對歷史的記憶，體現出非馬爾科夫性質。連續時間無規行走理論將欠擴散粒子方均位移(MSD)的定義式做Fourier變換，得到：將W(k,u)的表達式代入計算，并做Laplace逆變換，可得：可見從CTRW模型出發，選擇合適的等待時間分布函數，即可得到方均位移正比于tα的結果。此情況下，要求等待時間分布的一次矩有限而跳躍距離分布的二次矩發散。因此，通常選擇泊松函數作為等待時間的分布；而選擇Lévy分布作為跳躍距離的分布，它具有一個長的拖尾，其漸進形式為：Fourier變換形式為：超擴散可得到自由粒子超擴散的分數階擴散方程：其中是Reisz-Weyl分數階導數算符。上述分數階擴散方程的解具有如下冪律漸進形式：可見粒子空間分布函數具備Lévy分布的典型特征，因此粒子的方均位移是發散的。現采用以空間分布寬度替代方均位移的方法，空間分布寬度定義為：這種方法相當于假設空間存在一個寬度隨時間增長的虛擬“盒子”，在計算粒子方均位移的時候，只統計“盒子”內部粒子的貢獻。

1.相變中的臨界現象；

2.復雜網絡；

3.廣義中心極限定理；

4.長尾經濟理論；冪律分布

反常擴散：長尾分布

超擴散長程關聯

欠擴散3.分數階微積分應用Riemann-Liouville分數階導數算符定義分數計算的例子半積分函數半導數ＣＲ自相似系統瞬態歐姆定率的富立葉變換：在電阻和電容均接近零的極限下，但保持一個常數(1)，我們有：所以三角形波的半階導數后的曲線三角形波的半積分后的圖像鋸齒波的半階導數圖像矩形波的半階導數圖像

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Ｆ2006年12月這種行為符合Zhang和Bao用Langevin模擬的預言。ZhangandBaoPRE2005【成果舉例2】“我們已經在實驗上顯示了[16]文的一個超擴散系統在周期場中輸運所具有的奇異現象

”[16]Baoetal.PRE74,041125(2006)J.D.BaoPRL(2005)【成果舉例314December2006ANuclearMagicTrick德國GSI【成果舉例4】

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≈35

fb)Z=128?極限在冷熔合和熱熔合之間搭橋為鑒別新超重元素實驗尋根理論研究作用：減低實驗的風險和代價!科學意義4.計算統計物理：反常擴散的模擬

欠擴散若系統表現出欠擴散行為，則系統的穩定態分布由等待時間分布函數決定，采用等待時間分布函數為Mittag-Leffler密度函數：其中稱為Mittag-Leffler函數，其級數表達式為：Monte-Carlo模擬為了使算法更易于實現，同時節省計算時間，在α<0.9的情況下，可用Pareto密度函數近似替代Mittag-Leffler函數：其中等待時間子樣序列{Ti}可以通過如下方法抽得：其中ξ是一個[0,1]區間均勻分布隨機數。欠擴散情況下，選擇高斯函數作為跳躍距離的分布，即：則跳躍距離子樣序列{Xi}的抽樣方法如下：其中ξ1,ξ2均為[0,1]區間均勻分布隨機數。自由場CTRW數值算法

超擴散超擴散的平均等待時間確定，而跳躍距離的方差發散。選擇泊松函數作為等待時間的分布：其子樣序列{Ti}可通過反函數法直接抽樣：其中ξ是一個[0,1]區間均勻分布隨機數。自由場CTRW數值算法同時，選擇Lévy分布作為跳躍距離的分布函數，其漸進形式為：跳躍距離子樣序列{Xi}的抽樣方法如下：產生輔助序列{ζi}，其分布函數F(ζ)具有和Lévy分布相同的指數漸進行為，為便于運用直接抽樣法，取自由場CTRW數值算法(2)將得到的輔助序列{ζi}做如下處理得到{Xi}：其中m為任意正整數，為保證得到的子樣基本滿足Lévy分布，需要m≥50，本文所有涉及Lévy分布抽樣的地方均取m=100。結果改進Metropolis方法(存在外勢)Metropolis方法在1953年建立的(J.Chem.Phys.)Metropolis方法通過構建一個馬爾科夫鏈，使系統演化，通過運用物理判據（如細致平衡條件），引導系統經過有限步驟到達平衡態。Metropolis方法在相變動力學以及統計力學領域有著經久不衰的廣泛應用，可以說是MonteCarlo方法的杰作之一。Metropolis方法的改進xix’i+1U(x)考慮不同的勢U1和勢U2，傳統的Metropolis方法無法區分兩種勢之間的差別，由于ΔU<0，此次跳躍總是可以實現的；然而，粒子從xi到x’i+1的需要先跨越勢2的勢壘，才能實現此次跳躍。為了體現勢壘對粒子跳躍的影響，我們改進了Metropolis方法，加入了粒子是否翻越勢壘的判斷：如果需要翻越勢壘，則勢能差取否則，勢能取Metropolis方法的改進U2(x)U1(x)xix’i+1x0CTRW-Metropolis方案將CTRW模型與改進的Metropolis方法相結合；CTRW模型用于控制粒子的等待時間長短，以及跳躍的方向和距離；改進的Metropolis方法用于判斷粒子能夠實現某次跳躍，即通過其引入了外部勢場對粒子運動的影響。早期的CTRW方法能夠模擬任意擴散指數系統不能應用于外部勢場中的輸運問題固定小步長的CTRW方法只能模擬α<1的反常系統能夠應用于外部勢場中的輸運問題CTRW-Metropolis方案能夠模擬任意擴散指數系統能夠應用于外部勢場中的輸運問題環境依賴的CTRW模型以往CTRW模型的不足這些模型都假設粒子的跳躍是瞬時的，沒有瞬時速度的概念，因此無法研究與粒子速度及其分布相關的物理量；這些模型都只能模擬過阻尼系統（無慣性項），限制了CTRW在阻尼依賴問題中的應用。環境依賴的CTRW模型環境依賴的CTRW模型1324x1234x以往的CTRW環境依賴的CTRW環境依賴的CTRW模型用脈沖速度(pulsevelocity:δv)和飛行時間(flighttime:τ)取代以往的CTRW的跳躍步長和等待時間。一次飛行過程的算法：環境依賴的CTRW模型環境依賴的CTRW模型環境依賴的CTRW模型環境依賴的CTRW模型以往的CTRW模型粒子的擴散包含等待和瞬時跳躍兩個要素，等待時間和跳躍距離都是隨機變量；完全沒有動力學因素，環境的作用只能通過固定小步長或者Metropolis算法引入；只能模擬過阻尼系統；不能得到粒子的瞬時速度分布；數值模擬過程中不需要知道勢的具體表達式。環境依賴的CTRW模型將粒子的擴散過程看成真正的飛行，飛行時間和脈沖速度都是隨機變量；部分引入了動力學因素，環境的作用通過牛頓第二定律自然引入；首次真正在CTRW模型中引入了阻尼的作用；能夠得到粒子的瞬時速度分布；必須知道勢的表達式，并且表達式必須是連續可導的。環境依賴的CTRW模型超擴散機制-小概率大貢獻超擴散機制-小概率大貢獻5.反常擴散在金融領域的應用金融風險的VaR評估體系VaR，即“ValueatRisk”，含義為“在險價值”，指的是在給定的市場條件和置信水平下，某一金融資產或者證券組合在給定時間區間內的最大期望損失。VaR作為一種市場風險測量和管理的新工具，由Morgan銀行于1994年提出，如今得到了國際金融界的廣泛認可和支持。VaR對風險的評估一般可表示為CTRW在金融領域的應用初探VaR評估體系的核心在于計算VaR值，其定義為：其中，p(W)是資產組合的預期價值，p*是一定置信水平下資產組合的期末最低價值。現有的VaR預測分析方法主要有“歷史模擬法”、“參數模擬法”和“MonteCarlo模擬法”。其中“MonteCarlo模擬法”是最有前途的VaR預測方法