蘇州市2024~2025學年第一學期學業質量陽光指標調研卷高一數學2025.1注意事項學生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求；1.本卷共4頁，包含單項選擇題（第1題~第8題）、多項選擇題（第9題~第11題）、填空題（第12題~第14題）、解答題（第15題~第19題），本卷滿分150分，答題時間為120分鐘，答題結束后，請將答題卡交回.2.答題前，請您務必將自己的姓名、調研序列號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卡的規定位置.3.請在答題卡上按照順序在對應的答題區域內作答，在其他位置作答一律無效，作答必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆，請注意字體工整.筆跡清楚.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合，利用交集的定義可求得集合.【詳解】因為，，故.故選：A.2.若命題，，則的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】由全稱量詞命題的否定可得出結論.【詳解】由題意可知，命題為全稱量詞命題，該命題的否定為“，”.故選：B.3.下列函數中，定義域為的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由函數有意義的條件可得函數的定義域.【詳解】選項A，函數的定義為，故A錯誤；選項B，由得，故的定義域為，故B錯誤；選項C，由得，故的定義域為，故C錯誤；選項D，由得，故的定義域為，故D正確，故選：D4.“點在第二象限”是“角為第三象限角”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據三角函數值在各象限的符號及充分條件與必要條件的概念判斷.【詳解】若點在第二象限，則，則角為第三象限角，故充分性成立，若角為第三象限角，則，則點在第二象限，故必要性成立，∴“點在第二象限”是“角為第三象限角”的充要條件.故選：C.5.函數的單調遞減區間為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復合函數的單調性可求得函數的減區間.【詳解】對于函數，由可得或所以，函數的定義域為，因內層函數在區間上為減函數，在上為增函數，外層函數在上為增函數，由復合函數的單調性可知，函數的減區間為.故選：A.6.函數的圖象如圖①所示，則如圖②所示的圖象對應的函數解析式可能為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函數圖象的對稱變換和平移變換可得結果.【詳解】先將函數的圖象關于原點對稱，可得出函數的圖象，如下圖所示：再把所得函數圖象向左平移個單位長度，即可得出圖②所示圖象，故圖②所示圖象對應的函數為.故選：D.7.盡管目前人類還無法準確預報地震，但科學家通過研究發現地震釋放出的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關系為.2011年3月11日，日本東北部海域發生里氏9.0級地震，它所釋放出來的能量是2024年11月20日俄羅斯東南部發生的地震的32000倍，則俄羅斯東南部地震震級大約是（參考數據：）（）A.5級 B.6級 C.7級 D.8級【答案】B【解析】【分析】先根據所給關系式分別表示出日本東北部海域地震和俄羅斯東南部地震釋放的能量，再結合兩者能量的倍數關系列出等式，最后通過對數運算求出俄羅斯東南部地震的震級.【詳解】設日本東北部海域發生的里氏9級地震釋放的能量為，俄羅斯東南部發生的地震震級為，釋放的能量為.對于日本東北部海域9級地震有；對于俄羅斯東南部的地震有.

因為日本東北部海域地震釋放的能量是俄羅斯東南部地震的32000倍，即.兩邊同時取對數可得，根據對數運算法則，.又因為，已知，所以.

將，，代入可得：，解得.俄羅斯東南部地震震級大約是級.故選：B8.已知函數，，若存在實數、、，使得，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由對勾函數的單調性可得出，由作差可得出，再結合已知條件得出，化簡代數式，利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】因為函數在上單調遞減，在上單調遞增，由題意可知，由可得，即，因為，則，故，因為，則，所以，，因為，函數、在上單調遞減，故函數在上單調遞減，當時，，所以，，當且僅當時，即當時，等號成立，因此，的最小值為.故選：C.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發生錯誤的地方.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若，，則（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】根據不等式的性質判斷AB；舉反例判斷CD.【詳解】根據，則，A正確；由，又，則，B正確；當時，，C錯誤；當時，，D錯誤.故選：AB10.設集合，，若，則實數的值可能是（）A. B. C.0 D.2【答案】ACD【解析】【分析】根據題意分析可知，分類討論結合包含關系求實數的取值范圍.【詳解】因為，且，則，對于，則有：若，則，符合題意；若，則，可得；若，則，可得；綜上所述：實數的取值范圍為，結合選項可知：ACD正確，B錯誤.故選：ACD.11.已知定義在上的函數滿足，不是常數函數，則（）A. B.是增函數C.的圖象關于直線對稱 D.的圖象關于點對稱【答案】AD【解析】【分析】對于A：令，即可得結果；對于D：令，可得；對于BC：舉反例說明即可.【詳解】因為，對于選項A：令，可得，即，故A正確；對于選項D：令，可得，即，可得，所以的圖象關于點對稱，故D正確；對于選項BC：例如，則，符合題意，但是減函數，且的圖象不關于直線對稱，故BC錯誤；故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知某扇形的圓心角為，半徑為，則該扇形的面積為______.【答案】##【解析】【分析】利用扇形面積公式可求得該扇形的面積.【詳解】因為某扇形的圓心角為，半徑為，該扇形的面積為.故答案為：.13.計算的值為______.【答案】【解析】【分析】利用指數冪的運算性質、對數恒等式以及對數換底公式計算可得結果.【詳解】原式.故答案為：.14.設函數若不等式對恒成立，則實數的值為______.【答案】【解析】【分析】先把恒成立問題轉化為最值問題，結合，，得出，再結合二次函數值域列式計算即可.【詳解】當，，所以，若不等式，恒成立，則，所以，當，，對稱軸為，當時，單調遞減，單調遞增，所以，則，所以，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知全集，集合，.（1）若，求及；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）求出集合，利用補集的定義可求得集合，當時，寫出集合，利用并集的定義可得出集合；（2）由題意可得，分、兩種情況討論，結合題意可得出關于實數的不等式（組），綜合可得出實數的取值范圍.【小問1詳解】集合，且全集，則.因為，所以，所以.【小問2詳解】因為，則.當，即時，，合乎題意；當，即時，，則，可得.綜上所述，實數的取值范圍是.16.如圖，在平面直角坐標系中，角、的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊、分別與單位圓交于、兩點，，，.（1）若的橫坐標為，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角函數的定義結合同角三角函數的基本關系可求得，由題意得出，可求出的值，再利用誘導公式化簡可求得所求代數式的值；（2）由誘導公式結合已知條件可得出，利用同角三角函數的平方關系可求出的值，聯立方程組求出、的值，再利用同角三角函數的商數關系可求得的值.【小問1詳解】因為點在單位圓上且橫坐標為，所以，因為，所以.因為，所以，所以.所以.【小問2詳解】因為，所以①，由，得，所以.因為，所以，所以②，聯立①②得，，，所以.17.已知、均為正實數，.（1）若，求的最小值：（2）若，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）當時，由已知等式變形得出，將代數式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值；（2）當時，由已知等式變形得出，再利用基本不等式的最小值.【小問1詳解】當時，，則.因為、均為正實數，所以，當且僅當時，即當，時取等號，所以的最小值為.【小問2詳解】當時，，可得，則，所以，因為，，所以，進而得，所以，.所以，當且僅當時，即當，時取等號，所以的最小值為.18.已知函數.（1）當時，求方程的解：（2）若存在，使得，求的取值范圍：（3）若函數在上的最小值為，求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）令，直接求解一元二次方程；（2）分離參數得在上有解，求函數的最值得解；（3）先得為偶函數，利用換元法研究函數在上的最小值即可.【小問1詳解】當時，函數.令，當時，，方程可化為，解得，所以；當時，，方程可化為，解得，舍去.綜上所述，方程的解為.【小問2詳解】當時，，所以，由題意得在上有解，即在上有解，所以在上有解，因為在上的最小值為，所以.【小問3詳解】因為的定義域為，，所以為偶函數.由題意知，只需考慮函數在上的最小值.當時，，.因為，所以.令，則在上單調遞增，所以，.當即時，在上單調遞增，所以，舍去；當即時，，解得（正值舍去）.綜上所述，的值是.【點睛】關鍵點點睛：第（3）問中研究函數在上的最小值，令，進而利用二次函數最值的研究法求解.19.已知函數且.請從以下兩個條件中選擇一個作為已知，解答下面的問題.條件①：；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答記分.（1）求實數的值；（2）當時，判斷函數在區間上的零點個數，并說明理由；（3）已知，若，當且僅當，求實數、的值.【答案】（1）選①或選②，（2）選①或選②，個（3）選①，，；選②，，【解析】【分析】（1）若選①，由，結合對數的運算性質可求得實數的值；若選②，由，結合對數的運算性質可求得實數的值；（2）若選①或②，當時，求出函數的解析式，分析函數在上的單調性，結合零點存在定理可得出結論；（3）若選①或②，分、兩種情況解不等式，根據其解集為，由此可得出關于、的方程組，即可解出這兩個未知數的值.【小問1詳解】若選①，因為的定義域為，則由得，對于任意都成立，所以；若選②，因為的定義域為，則由得，對于任意都成立，所以.【小問2詳解】若選①，當時，函數因為在上單調遞減，且在定義域上單調遞增，所以在上單調遞減，又因為在定義域上單調遞減，所以函數在上單調遞減.又因為的圖象連續不間斷，且，，則，所以在區間上有唯一的零點.若選②，（2）當時，函數.因為在上單調遞增，在定義域上單調