高中數學《高中全程學習方略》2025版必修第二冊課時過程性評價三十九分層隨機抽樣含答案三十九分層隨機抽樣(時間:45分鐘分值:80分)【基礎全面練】1.(5分)(多選)下列問題中,適合用分層隨機抽樣抽取樣本的是()A.從10名同學中抽取3人參加座談會B.某社區有500戶家庭,其中高收入的家庭125戶,中等收入的家庭280戶,低收入的家庭95戶,為了了解購買力的某項指標,要從中抽取一個樣本容量為100的樣本C.某學校有男、女學生各500名,為了解學生的身高情況從全體學生中抽取100名學生進行調查D.質檢員從生產流水線上抽取樣本檢查產品質量【解析】選BC.A中總體所含個體無差異且個數較少,適合用簡單隨機抽樣;D中總體所含個體無差異,不適合用分層隨機抽樣;BC中總體所含個體差異明顯,并且知道每一類個體在總體中所占的百分比,適合用分層隨機抽樣.2.(5分)某校有高一學生400人,高二學生380人,高三學生220人,現教育局督導組用按比例分配分層隨機抽樣的方法抽取50名學生進行問卷調查,則下列判斷正確的是()A.高一學生被抽到的可能性最大B.高二學生被抽到的可能性最大C.高三學生被抽到的可能性最大D.每位學生被抽到的可能性相等【解析】選D.根據按比例分配分層隨機抽樣的性質,每個個體被抽到的可能性是相等的.3.(5分)(2024·贛州高一期末)某學校高一、高二、高三分別有600人、500人、700人,現采用分層隨機抽樣的方法從該校三個年級中抽取18人參加全市主題研學活動,則應從高三抽取()A.5人 B.6人 C.7人 D.8人【解析】選C.采用分層隨機抽樣的方法從該校三個年級中抽取18人,已知高一、高二、高三分別有600人、500人、700人,則應從高三抽取的人數為18×700600+500+700=74.(5分)某房地產公司為了解小區業主對平層戶型與復式戶型的滿意度,采用按比例分配的分層隨機抽樣的方法對該小區的業主進行問卷調查.20位已購買平層戶型的業主滿意度平均分為8,30位已購買復式戶型的業主滿意度平均分為9.則用樣本平均數估計該小區業主對戶型結構滿意度的平均分為()A.8.4 B.8.5 C.8.6 D.8.7【解析】選C.估計該小區業主對戶型結構滿意度的平均分為2020+30×8+3020+30×9=8.5.(5分)某企業生產A,B,C三種型號電子產品,產品數量之比為3∶5∶7,采用按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽出容量為n的樣本,其中B型產品30件,則樣本容量n等于()A.100 B.120 C.150 D.90【解析】選D.由按比例分配的分層隨機抽樣可知,53+5+7=30n,解得n6.(5分)(多選)已知某地區有小學生120000人,初中生75000人,高中生55000人,當地教育部門為了了解本地區中小學生的近視率,對小學生、初中生、高中生進行按比例分配的分層隨機抽樣,抽取一個容量為2000的樣本,得到小學生,初中生,高中生的近視率分別為30%,70%,80%,下列說法中正確的有()A.從高中生中抽取了440人B.每名學生被抽到的概率為1C.估計該地區中小學生總體的平均近視率為60%D.估計高中生的近視人數為44000【解析】選ABD.由題意得,抽樣比為2000120000+75000+55000=1125,故B從高中生中抽取了55000×1125=440(人),故A正確高中生近視人數約為55000×80%=44000(人),故D正確;學生總人數為250000人,小學生占比為120000250000=1225,同理,初中生、高中生分別占比為310,1150,在樣本中,小學生、初中生和高中生分別抽取960人,600人和440人,則近視人數為960×30%+600×70%+440×80%=1060(人),所以估計該地區中小學生總體的平均近視率為106020007.(5分)一個總體分為A,B兩層,用比例分配的分層隨機抽樣方法從總體中抽取一個容量為20的樣本.已知B層中每個個體被抽到的概率都是112,則總體中的個體數為【解析】因為用比例分配的分層隨機抽樣方法從總體中抽取一個容量為20的樣本.由B層中每個個體被抽到的概率都是112,可知在抽樣過程中每個個體被抽到的概率是1所以總體中的個體數為20÷112=240答案:2408.(5分)高一某班有男生28人,女生21人,現用按比例分配的分層隨機抽樣的方法從該班全體同學中抽取出一個容量為7的樣本,已知抽出的男生的平均身高為176cm,抽出的女生的平均身高為162cm,估計該班全體同學的平均身高是________cm.

【解析】根據題意,抽出的男生人數為7×2828+21=4,女生人數為7×21所以該班全體同學平均身高的估計值為17×(176×4+162×3)=170(cm)答案:1709.(10分)某高級中學共有學生3000名,各年級男、女生的人數如表:年級高一高二高三女生487xy男生513560z已知高二年級女生比高一年級女生多53人.(1)高二年級有多少名女生?(2)現對各年級用比例分配的分層隨機抽樣的方法從全校抽取300名學生,應從高三年級抽取多少名學生?【解析】(1)由x-487=53,解得x=540,所以高二年級有540名女生.(2)高三年級人數為y+z=3000-(487+513+540+560)=900,所以9003000×300=90,故應從高三年級抽取90名學生【綜合應用練】10.(5分)(2024·安慶高一檢測)唐代以來,牡丹之盛,莫過于洛陽,以“洛陽牡丹甲天下”的美名流傳于世.唐朝詩人劉禹錫的詩句“唯有牡丹真國色,花開時節動京城”正是對牡丹的贊頌.已知根據花瓣層次的多少可將牡丹分為單瓣類、重瓣類、千瓣類三類,現有牡丹花n朵,千瓣類比單瓣類多30朵,采用分層隨機抽樣從中選出12朵牡丹進行觀察研究,其中單瓣類有4朵,重瓣類有2朵,千瓣類有6朵,則n=()A.360 B.270 C.240 D.180【解析】選D.根據分層隨機抽樣的特點,設單瓣類、重瓣類、千瓣類牡丹的朵數分別為4x,2x,6x.由題意可得6x-4x=30,解得x=15,所以n=4x+2x+6x=12x=12×15=180.11.(5分)某企業有3個分廠生產同一種電子產品,第一、二、三分廠的產量之比為1∶2∶1,用比例分配的分層隨機抽樣的方法從3個分廠生產的電子產品中共抽取100件進行使用壽命的測試,由所得的測試結果算得從第一、二、三分廠取出的產品的平均使用壽命分別為980h,1020h,1032h,則抽取的100件產品的平均使用壽命為()A.1013h B.1014hC.1016h D.1022h【解析】選A.方法一:由比例分配的分層隨機抽樣的知識可知,從第一、二、三分廠抽取的電子產品數量分別為25件,50件,25件,則抽取的100件產品的平均使用壽命為1100×(980×25+1020×50+1032×25)=1013(h)方法二:因為第一、二、三分廠的產量之比為1∶2∶1,所以可以根據各層抽取數量所占的比例計算抽取的100件產品的平均使用壽命為14×980+12×1020+112.(5分)某高中學校為了促進學生個體的全面發展,針對學生發展要求,開設了富有地方特色的“泥塑”與“剪紙”兩個社團.已知報名參加這兩個社團的學生共有800人,按照要求每人只能參加一個社團,各年級參加社團的人數情況如表:年級高一高二高三泥塑abc剪紙xyz其中x∶y∶z=5∶3∶2,且“泥塑”社團的人數占兩個社團總人數的35.為了了解學生對兩個社團活動的滿意程度,從中抽取一個容量為50的樣本進行調查,則從“剪紙”社團的高二年級學生中應抽取的人數為(A.4 B.6 C.9 D.10【解析】選B.因為“泥塑”社團的人數占總人數的35,所以“剪紙”社團的人數占總人數的25,人數為800×25=320.因為“剪紙”社團中高二年級人數所占的比例為yx+y+z=35+3+2=310,所以“剪紙”社團中高二年級人數為320×31013.(5分)某學校高一、高二、高三三個年級共有學生3500人,其中高三學生數是高一學生數的兩倍,高二學生人數比高一學生人數多300,現在按1100的比例分配分層隨機抽樣,則應抽取高一學生人數為【解析】設高一學生人數為x,則高二學生人數為x+300,高三學生人數為2x,所以有x+x+300+2x=3500,解得x=800.故高一學生人數為800,因此應抽取高一學生人數為800×1100=8答案:814.(10分)某企業五月中旬生產A,B,C三種產品共3000件,根據分層隨機抽樣的結果,該企業統計員制作了如表:由于不小心,表格中A,C產品的有關數據已被污染,統計員只記得A產品的樣本容量比C產品的樣本容量多10,請你根據以上信息補全表格中的數據.【解析】根據題意,可設A產品的數量為m件,樣本容量為n,則C產品的數量為(1700-m)件,樣本容量為n-10.根據分層隨機抽樣的特點可得nm=n-101700-m=1301300,解得m產品類型ABC產品數量/件9001300800樣本容量9013080三十六平面與平面垂直(1)(時間:45分鐘分值:90分)【基礎全面練】1.(5分)下列命題中正確的是()A.平面α和β分別過兩條互相垂直的直線,則α⊥βB.若平面α內的一條直線垂直于平面β內的兩條平行直線,則α⊥βC.若平面α內的一條直線垂直于平面β內的兩條相交直線,則α⊥βD.若平面α內的一條直線垂直于平面β內的無數條直線,則α⊥β【解析】選C.當平面α和β分別過兩條互相垂直且異面的直線時,平面α和β有可能平行,故A錯;由直線與平面垂直的判定定理知,B,D錯,C正確.2.(5分)如圖,已知四邊形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,則二面角B-PA-D的大小為()A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】選D.因為PA⊥平面ABCD,AB,AD?平面ABCD,所以AB⊥PA,AD⊥PA,所以∠BAD為二面角B-PA-D的平面角.又由題意知∠BAD=90°,所以二面角B-PA-D的平面角的大小為90°.3.(5分)如圖,已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,則圖中互相垂直的平面有()A.1對 B.2對 C.3對 D.5對【解析】選D.因為四邊形ABCD是矩形,所以DA⊥AB.又PA⊥矩形ABCD,所以PA⊥DA.又AB∩PA=A,所以DA⊥平面PAB.同理BC⊥平面PAB.又易證AB⊥平面PAD,DC⊥平面PAD,所以平面PAD⊥平面ABCD,平面PAB⊥平面ABCD,平面PBC⊥平面PAB,平面PAB⊥平面PAD,平面PDC⊥平面PAD,共5對.4.(5分)若一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面,那么這兩個二面角()A.相等 B.互補C.相等或互補 D.關系無法確定【解析】選D.如圖所示,設平面ABC⊥平面BCD,平面EFDG⊥平面ABC,當平面HDGM繞DG轉動時,平面HDGM始終與平面BCD垂直,因為二面角H-DG-F的大小不確定,所以兩個二面角的大小關系不確定.5.(5分)(多選)在棱長都相等的四面體P-ABC中,D,E,F分別是AB,BC,CA的中點,則下面四個結論中成立的是()A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面ABCD.平面PAE⊥平面ABC【解析】選ABD.可畫出對應圖形,如圖所示,則BC∥DF,又DF?平面PDF,BC?平面PDF,所以BC∥平面PDF,故A成立;由AE⊥BC,PE⊥BC,BC∥DF,知DF⊥AE,DF⊥PE,又AE∩PE=E,所以DF⊥平面PAE,故B成立;又DF?平面ABC,所以平面ABC⊥平面PAE,故D成立.同理可證平面PBF⊥平面ABC,因為平面PBF∩平面PDF=PF,又PF不垂直于平面ABC,所以平面PDF不垂直于平面ABC,故C不成立.6.(5分)如圖所示,已知四棱錐P-ABCD,底面ABCD為菱形,且PA⊥底面ABCD,M是PC上的任意一點,則下列選項能使得平面MBD⊥平面PCD的是()A.M為PC的中點 B.DM⊥BCC.DM⊥PC D.DM⊥PB【解析】選C.如圖,連接AC,因為底面ABCD為菱形,所以BD⊥AC.因為PA⊥底面ABCD,BD?底面ABCD,所以PA⊥BD.因為PA∩AC=A,PA?平面PAC,AC?平面PAC,所以BD⊥平面PAC,所以BD⊥PC.當PC上的點M滿足DM⊥PC時,有PC⊥平面MBD.又PC?平面PCD,所以平面MBD⊥平面PCD.則當DM⊥PC時,平面MBD⊥平面PCD.【補償訓練】(多選)如圖,在三棱錐P-ABC中,已知PC⊥BC,PC⊥AC,點E,F,G分別是所在棱的中點,則下面結論中正確的是()A.平面EFG∥平面PBCB.平面EFG⊥平面ABCC.∠BPC是直線EF與直線PC所成的角D.∠FEG是平面PAB與平面ABC所成二面角的平面角【解析】選ABC.A正確,因為E,F,G分別是所在棱的中點,所以GF∥PC,GE∥CB,GF∩GE=G,PC∩CB=C,所以平面EFG∥平面PBC;B正確,因為PC⊥BC,PC⊥AC,PC∥GF,所以GF⊥BC,GF⊥AC,又BC∩AC=C,所以GF⊥平面ABC,又GF?平面EFG,所以平面EFG⊥平面ABC;C正確,易知EF∥BP,所以∠BPC是直線EF與直線PC所成的角;D錯誤,因為GE與AB不一定垂直,所以∠FEG不一定是平面PAB與平面ABC所成二面角的平面角.7.(5分)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是CC1的中點,則平面EBD與平面AA1C1C的位置關系是__________.(填“垂直”“不垂直”其中的一個)

【解析】如圖,在正方體中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BD.又AC⊥BD,CC1∩AC=C,所以BD⊥平面AA1C1C.又BD?平面EBD,所以平面EBD⊥平面AA1C1C.答案:垂直8.(5分)如圖,AC⊥平面BCD,BD⊥CD,AC=12AD,則平面ABD與平面BCD所成的二面角的大小為__________【解析】因為AC⊥平面BCD,BD?平面BCD,所以BD⊥AC.又因為BD⊥CD,AC∩CD=C,所以BD⊥平面ACD.因為AD?平面ACD,所以AD⊥BD,所以∠ADC即為平面ABD與平面BCD所成二面角的平面角.在Rt△ACD中,AC=12AD,所以∠ADC=30°即平面ABD與平面BCD所成的二面角大小為30°.答案:30°9.(5分)在平面幾何中,有真命題:如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直,則這兩個角相等或互補.某同學將此結論類比到立體幾何中,得一結論:如果一個二面角的兩個面和另一個二面角的兩個面分別垂直,那么這兩個二面角相等或互補.你認為這個結論__________.(填“正確”或“錯誤”)

【解析】如圖所示的正方體ABCD-A1B1C1D1中,平面ABC1D1⊥平面BCC1B1,平面CDD1C1⊥平面ABCD,而二面角A-C1D1-C為45°,二面角A-BC-C1為90°.則這兩個二面角既不相等又不互補.答案:錯誤10.(10分)已知AB是圓柱上底面的一條直徑,C是上底面圓周上異于A,B的一點,D為下底面圓周上一點,且AD垂直于圓柱的底面,求證:平面BCD⊥平面ACD.【證明】因為AB是圓柱上底面的一條直徑,所以AC⊥BC.又AD垂直于圓柱的底面,所以AD⊥BC.因為AC∩AD=A,所以BC⊥平面ACD.又BC?平面BCD,所以平面BCD⊥平面ACD.【補償訓練】如圖,在圓錐PO中,AB是☉O的直徑,C是☉O上的點,D為AC的中點.求證:平面POD⊥平面PAC.【證明】如圖,連接OC,CB.因為OA=OC,D是AC的中點,所以AC⊥OD.又PO⊥底面ABC,AC?底面ABC,所以AC⊥PO.因為OD∩PO=O,所以AC⊥平面POD.又AC?平面PAC,所以平面POD⊥平面PAC.【綜合應用練】11.(5分)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,BC=2,AA1=1,E,F分別在AD和BC上,且EF∥AB.若二面角C1-EF-C等于45°,則BF的值為()A.12 B.1 C.32【解析】選B.因為AB⊥平面BC1,C1F?平面BC1,CF?平面BC1,所以AB⊥C1F,AB⊥CF.又EF∥AB,所以C1F⊥EF,CF⊥EF,所以∠C1FC是二面角C1-EF-C的平面角,即∠C1FC=45°.所以△FCC1是等腰直角三角形,所以CF=CC1=AA1=1.又BC=2,所以BF=BC-CF=2-1=1.12.(5分)(多選)如圖所示,四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=1,∠BCD=45°,∠BAD=90°,將△ABD沿BD折起,點A到達A'的位置,此時A'C=3,構成三棱錐A'-BCD,則()A.平面A'BD⊥平面BDCB.平面A'BD⊥平面A'BCC.平面A'DC⊥平面BDCD.平面A'DC⊥平面A'BC【解析】選AD.在三棱錐A'-BCD中,A'D=A'B=1,故BD=2,易知DC=2,又A'C=3,故A'C2=A'D2+DC2,則CD⊥A'D,又易知CD⊥BD,A'D∩BD=D,所以CD⊥平面A'BD,故平面A'BD⊥平面BDC,所以CD⊥A'B,又A'B⊥A'D,A'D∩CD=D,所以A'B⊥平面A'DC,故平面A'DC⊥平面A'BC.13.(5分)如圖,平面角為銳角的二面角α-EF-β,A∈EF,AG?α,∠GAE=45°,若AG與β所成的角為30°,則二面角α-EF-β的大小為__________.

【解析】如圖,作GH⊥β于點H,作HB⊥EF于點B,連接AH,GB,則GB⊥EF,∠GAH為AG與β所成的角,故∠GBH為二面角α-EF-β的平面角,∠GAH=30°.設AG=a,則GB=22a,GH=12a,故sin∠GBH=GHGB=22,所以∠GBH=45°,故二面角α-EF答案:45°14.(10分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.(1)求證:DC⊥平面PAC;(2)求證:平面PAB⊥平面PAC.【證明】(1)因為PC⊥平面ABCD,所以PC⊥DC.又DC⊥AC,AC∩PC=C,所以DC⊥平面PAC.(2)方法一:因為AB∥DC,DC⊥AC,所以AB⊥AC.因為PC⊥平面ABCD,所以PC⊥AB.又PC∩AC=C,所以AB⊥平面PAC.因為AB?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PA