高中數學《高中全程學習方略》2025版必修第二冊第六章6.36.3.4平面向量數乘運算的坐標表示含答案6.3.4平面向量數乘運算的坐標表示【學習目標】1.掌握平面向量數乘運算的坐標表示.2.理解用坐標表示平面向量共線的條件.3.能根據平面向量共線的坐標關系解決與向量有關的綜合問題.【素養達成】數學抽象邏輯推理數學運算一、數乘運算的坐標表示(1)符號表示:已知a=(x,y),則λa=(λx,λy).(2)文字描述:實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標.二、平面向量共線的坐標表示(1)設a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,a,b共線的充要條件是存在實數λ,使a=λb.(2)如果用坐標表示,向量a,b(b≠0)共線的充要條件是x1y2-x2y1=0.【教材挖掘】(P33)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),P是直線P1P2上一點,且=λ(λ≠-1),求點P的坐標.提示:設P(x,y),則=(x-x1,y-y1),=(x2-x,y2-y),由=λ,得(x-x1,y-y1)=λ(x2-x,y2-y),于是x因為λ≠-1,所以x因此,點P的坐標為(x1+λx【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a∥b,則x1y1=x提示:當y1=0或y2=0時,x1y1=(2)向量a=(1,2)與b=(-3,-6)共線且同向.(×)提示:b=(-3,-6)=-3(1,2)=-3a,所以a與b共線且反向.(3)若A,B,C三點共線,則向量,,都是共線向量.(√)提示:若A,B,C三點共線,則向量,,方向相同或者相反,是共線向量.類型一向量數乘運算的坐標表示(數學運算)【典例1】(1)(2024·銀川高一檢測)已知向量a=(2,-3),b=(1,2),c=(9,4),若c=ma+nb,則m+n=()A.5 B.6 C.7 D.8【解析】選C.由題意,得c=(2m+n,-3m+2n)=(9,4),所以2m解得m=2n=5,所以m+(2)已知a+b=(2,-8),a-b=(-8,16),求a和b.【解析】因為2a=(a+b)+(a-b)=(2,-8)+(-8,16)=(-6,8),所以a=(-3,4).又因為2b=(a+b)-(a-b)=(10,-24),所以b=(5,-12).【總結升華】向量數乘坐標運算的方法(1)數乘運算法則;(2)列方程組求解;(3)待定系數法.【即學即練】1.已知=(-2,4),=(2,6),則12等于()A.(0,5) B.(0,1) C.(2,5) D.(2,1)【解析】選D.12=12(-)=12(2,6)-12(-2,4)=(2,1)2.已知a=(10,-4),b=(3,1),c=(-2,3),試用b,c表示a.【解析】設a=λb+μc(λ,μ∈R),則(10,-4)=λ(3,1)+μ(-2,3)=(3λ,λ)+(-2μ,3μ)=(3λ-2μ,λ+3μ).依題設得3λ-所以a=2b-2c.類型二向量平行的坐標表示(數學運算)角度1向量共線的判定【典例2】(1)已知向量a=(-1,2),b=(2,-4),則a與b()A.平行且同向 B.平行且反向C.垂直 D.不垂直也不平行【解析】選B.根據題意可知,b=-2a,即a,b平行且反向.(2)(教材提升·例7)已知向量a=(1,2),b=(λ,1),且a+2b與2a-2b共線,求λ的值.【解析】因為向量a=(1,2),b=(λ,1),所以a+2b=(1+2λ,4),2a-2b=(2-2λ,2),又a+2b與2a-2b共線,所以(1+2λ)×2-4×(2-2λ)=0,解得λ=12【總結升華】向量共線的判定及應用(1)利用向量共線定理a=λb(b≠0)列方程組求解.(2)利用向量共線的坐標表示求解.【即學即練】1.(多選)下列各組向量中,可以作為基底的是()A.e1=(1,0),e2=(0,1)B.e1=(1,2),e2=(-2,1)C.e1=(-3,4),e2=(35,-4D.e1=(2,6),e2=(-1,-3)【解析】選AB.對于A,假設存在實數λ使得e1=λe2,即(1,0)=λ(0,1),即1=λ則e1=(1,0),e2=(0,1)不共線,所以可以作為基底.對于B,假設存在實數λ使得e1=λe2,即(1,2)=λ(-2,1),即1=-則e1=(1,2),e2=(-2,1)不共線,所以可以作為基底.對于C,e1=-5e2,所以e1=(-3,4),e2=(35,-45對于D,e1=-2e2,所以e1=(2,6),e2=(-1,-3)共線,所以不可以作為基底.2.已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,則m=__________.

【解析】由已知a+b=(1,m-1),c=(-1,2),由(a+b)∥c,得1×2-(m-1)×(-1)=m+1=0,所以m=-1.答案:-1角度2三點共線的證明【典例3】(教材提升·例8)已知A(1,-3),B(8,12),C(9,1),求證:A,B,C三點共線【證明】=(8-1,12+3)=(7,72),=(9-1,1+3)=(8,4),因為7×4-72所以∥,且,有公共點A,所以A,B,C三點共線.【總結升華】三點共線的證明與應用(1)由點的坐標得到相應向量的坐標;(2)根據坐標關系判斷向量是否共線;(3)結合是否有公共點,判斷三點是否共線.【即學即練】(2024·吉林高一檢測)設=(1,-2),=(3,4),=(t,1),若A,B,C三點能構成三角形,求實數t應滿足的條件.【解析】由已知=-=(2,6)≠0,=-=(t-1,3),若A,B,C三點共線,由向量共線定理可知,存在唯一的λ∈R,使得=λ.所以(t-1,3)=λ(2,6)=(2λ,6λ),即t-解得λ=12,t=2所以當t≠2時,A,B,C三點能構成三角形.【補償訓練】設A(x,1),B(2x,2),C(1,2x),D(5,3x),當x為何值時,與共線且方向相同,此時A,B,C,D能否在同一直線上?【解析】因為=(x,1),=(4,x),與共線,則x2=4,x=±2.又因為,同向,所以x=2.此時=(-3,2),與不共線.所以A,B,C,D不在同一直線上.類型三向量坐標運算的綜合應用(數學運算)角度1定比分點問題【典例4】(教材提升·例9)(2024·莆田高一檢測)已知兩點A(3,-4)和B(-9,2),在直線AB上存在一點P,使||=13||,那么點P的坐標為______________.

【解析】設點P的坐標為(x,y),由||=13||,可得=13或=-13,①=13,則有(x-3,y+4)=13(-12,6),所以x-3=-4,y+4=2,解得x=-1,y=-2,此時P(-1,-2);②=-13,則有(x-3,y+4)=-13(-12,6),所以x-3=4,y+4=-2,解得x=7,y=-6,此時P(7,-6),綜上,點P的坐標為(-1,-2)或(7,-6).答案:(-1,-2)或(7,-6)【總結升華】向量中的定比分點問題方法:將向量模的比例關系轉化為向量數乘關系,再代入坐標計算.【即學即練】(2024·運城高一檢測)已知M(-2,5),N(10,-1),點P是線段MN的一個三等分點且靠近點M,則點P的坐標為__________.

【解析】由題可知=3,設P(x,y),則=(12,-6),=(x+2,y-5),3=(3x+6,3y-15),所以3x+6=123y-15=答案:(2,3)【補償訓練】如圖,△ABC的三個頂點的坐標分別為A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D是邊AB的中點,G是CD上的一點,且CGGD=2,求點G的坐標【解析】因為D是AB的中點,所以點D的坐標為(x1+x因為CGGD=2,所以=2,設G點坐標為(x,y),由定比分點坐標公式可得x=x3+2×xy=y3+2×y則點G的坐標為(x1+x2角度2求直線的交點坐標【典例5】如圖,A(0,5),O(0,0),B(4,3),=14,=12,AD與BC相交于點M,求點M的坐標.【解析】因為=14=14(0,5)=(0,54所以C(0,54)因為=12=12(4,3)=(2,32所以D(2,32)設M(x,y),則=(x,y-5),因為∥,=(2,-72),所以-72x-2(y-5)=0,即7x+4y=20.又=(x,y-54),=(4,74),∥,所以74x-4(y-54)=0,即7x-16y=-20聯立①②解得x=127,y故點M的坐標為(127,2)【總結升華】求直線交點坐標(1)設交點坐標;(2)根據交點所在位置構造關于交點的共線向量;(3)列方程組求交點坐標.【即學即練】如圖所示,在四邊形ABCD中,已知A(2,6),B(6,4),C(5,0),D(1,0),則直線AC與BD的交點P的坐標為__________.

【解析】設P(x,y),則=(x-1,y),=(5,4),=(-3,6),=(4,0).由B,P,D三點共線可得=λ=(5λ,4λ).又因為=-=(5λ-4,4λ),由與共線得,(5λ-4)×6+12λ=0.解得λ=47,所以=(x-1,y)=(207,167),所以x=277,y=167,所以點P的坐標為(27答案:(277,166.3.5平面向量數量積的坐標表示第1課時平面向量數量積的坐標表示(1)【學習目標】1.理解平面向量數量積的坐標表示.2.會進行平面向量數量積的坐標運算.3.能用平面向量數量積的坐標運算解決向量的模、夾角、垂直問題.【素養達成】數學抽象數學運算邏輯推理一、平面向量數量積的坐標表示條件向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)坐標表示a·b=x1x2+y1y2文字敘述兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和二、平面向量性質的坐標表示1.模長公式:若a=(x,y),則|a|=x2若a=且A(x1,y1),B(x2,y2),則a=(x2-x1,y2-y1),則|a|=(x2.垂直的充要條件:設a,b是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a⊥b?x1x2+y1y2=0.3.夾角公式:設a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a與b的夾角,則cosθ=a·b|【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a⊥b?x1y2-x2y1=0.(×)提示:a⊥b?x1x2+y1y2=0.(2)若兩個非零向量的夾角θ滿足cosθ>0,則兩向量的夾角θ一定是銳角.(×)提示:當θ=0時,cosθ>0.(3)若a=(x,y),則|a|=x2+y提示:根據向量模長的坐標表示可知正確.(4)兩個非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),滿足x1y2-x2y1=0,則向量a與b的夾角為0°.(×)提示:當x1y2-x2y1=0時,a∥b,向量a與b的夾角為0°或180°.類型一向量數量積的坐標運算(數學運算)【典例1】(1)(教材提升·例11)已知向量a=(1,3),b=(-2,-1),則(a+b)·(2a-b)=()A.10 B.18 C.(-7,8) D.(-4,14)【解析】選A.因為向量a=(1,3),b=(-2,-1),所以(a+b)·(2a-b)=(-1,2)·(4,7)=-1×4+2×7=10.(2)(2024·焦作高一檢測)在平行四邊形ABCD中,AD=2AB=2,BD⊥DC,點M為線段CD的中點,則·=______________.

【分析】建立平面直角坐標系,利用坐標運算求向量的數量積.答案:15【解析】由BD⊥DC,以D為原點,DC所在直線為x軸,DB所在直線為y軸,建立如圖所示的平面直角坐標系,已知AD=2AB=2,則BD=AD2-AB2=4-1=3,有M12,0,B(0,3),A(-1,3),=-32,3,=-12,3,·=34+3=【總結升華】平面向量數量積運算的方法(1)將各向量用坐標表示,直接計算;(2)利用運算律將原式展開,再根據已知條件計算;(3)對于以圖形為背景的數量積問題,首先需要根據圖形建立恰當的坐標系.【即學即練】(2024·邢臺高一檢測)如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AB=BC=2,AD=1,點E在邊AB上,且·=3,則BE=()A.1 B.2 C.12 D.【解析】選C.由題意,以B為原點,建立如圖所示的平面直角坐標系,則C(2,0),D(1,2),設E(0,x),則=(-2,x),=(-1,2),則·=2+2x=3,解得x=12,即BE=12.類型二向量模的坐標運算(數學運算)【典例2】(1)(2024·天津高一檢測)已知向量b=(-3,1),則與b方向相反的單位向量是__________.

答案:31010,-10【解析】向量b=(-3,1),則與b方向相反的單位向量是-b|b|=-110(-3,1)=310(2)(2024·大連高一檢測)已知向量a=(2,1),b=(-3,1),則|a+b|=__________;向量a在向量b上的投影向量的坐標是__________.

答案:532,-12【解析】由題意,a+b=(-1,2),所以|a+b|=(-1)2+22=5,向量a在向量b上的投影向量是|a|cosθb|b|=a·b【總結升華】向量模的坐標運算(1)方法:求向量a=(x,y)的模一般轉化為求模的平方,充分利用|a|2=a2=x2+y2;(2)注意:結果要開方.【即學即練】(2024·天津高一檢測)已知點A(1,2),B(2,5),C(3,2),D(4,3),則向量在上的投影向量坐標為________,投影向量的模為__________.

答案:(2,2)22【解析】由題意可得:=(1,3),=(1,1),則·=1×1+3×1=4,||=12+12=2,向量在上的投影向量為(||cos<,>)=||×==2=(2,2),故向量在上的投影向量坐標為(2,2);投影向量的模為22+22=22.類型三向量垂直的應用(數學運算、邏輯推理)角度1利用向量垂直求參數【典例3】(2023·新高考Ⅰ卷)已知向量a=(1,1),b=(1,-1),若(a+λb)⊥(a+μb),則()A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1C.λμ=1 D.λμ=-1【解析】選D.由題意得a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ),因為(a+λb)⊥(a+μb),所以(a+λb)·(a+μb)=0,即(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,整理得λμ=-1.【總結升華】利用向量垂直求參數的方法(1)將向量用坐標表示;(2)利用數量積等于0列方程求解.【即學即練】(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),則x=()A.-2 B.-1 C.1 D.2【解析】選D.因為b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,則4+x(x-4)=0,解得x=2.角度2利用向量垂直判斷幾何圖形的形狀【典例4】(教材提升·例10)已知A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),則△ABC的形狀是()A.直角三角形 B.銳角三角形C.鈍角三角形 D.等邊三角形【解析】選A.由題設知=(8,-4),=(2,4),=(-6,8),所以·=2×8+(-4)×4=0,即⊥.所以∠BAC=90°,故△ABC是直角三角形.【總結升華】利用向量的垂直判斷幾何圖形形狀的步驟(1)根據已知點的坐標作出幾何圖形;(2)結合圖形特征直觀判斷圖形的形狀;(3)利用向量的數量積證明所作的判斷.【補償訓練】1.證明:以A(1,2),B(3,6),C(0,5),D(-1,3)為頂點的四邊形是直角梯形.【證明】由題意得=(2,4),=(-2,1),=(1,2),則=2,得AB∥DC且AB=2DC,則四邊形ABCD為梯形.因為·=-2×2+1×4=0,所以AB⊥AD.故以A(1,2),B(3,6),C(0,5),D(-1,3)為頂點的四邊形是直角梯形.2.(2024·連云港高一檢測)已知直角梯形ABCD的三個頂點分別為A(-1,0),B(1,2),C(4,1),且AB∥DC.(1)求頂點D的坐標;(2)若E為線段BC上靠近點C的三等分點,F為線段AB的中點,求|3-2|.【解析】(1)設D(x,y),因為A(-1,0),B(1,2),C(4,1),則=(2,2),=(3,-1),=(4-x,1-y),=(x+1,y),在直角梯形ABCD中,AB∥DC,且·=(-2,-2)·(3,-1)=-4<0,所以A,D為直角,則,即2(解得x=1,y=-2,所以頂點D的坐標為(1,-2);(2)因為E為線段BC上靠近點C的三等分點,則=3,設E(a,b),則(3,-1)=3(4-a,1-b),所以a=3,b=43,所以E3,43,又因為F為線段AB的中點,則F(0,1),所以=2,103,=(-1,3),則3-2=32,103-2(-1,3)=(8,4),所以|3-2|=82+42=4類型四向量的夾角問題(數學運算、邏輯推理)角度1向量夾角的計算【典例5】(2024·武漢高一檢測)若向量a=(1,k),b=(2,-1),且|a+2b|=|a-2b|,則a+b與b的夾角為__________.

【分析】由|a+2b|=|a-2b|可得a·b=0,即可得k=2,利用向量夾角的坐標表示即可求出夾角為π4答案:π【解析】將|a+2b|=|a-2b|兩邊平方可得a·b=0,又a·b=2-k=0,解得k=2;所以a+b=(3,1),又b=(2,-1),則a+b與b的夾角的余弦值為cosθ=3×2-132+1則a+b與b的夾角為π4【總結升華】求向量夾角的關注點(1)方法:代入向量夾角的坐標公式cosθ=a·b|(2)注意:向量夾角θ的取值范圍是[0,π].【補償訓練】1.在平面直角坐標系中,O為坐標原點,已知A(-3,-4),B(5,-12),則cos∠OAB=()A.3365 B.-3365 C.210 D【解析】選D.由題設=(3,4),=(8,-8),所以cos∠OAB==24-325×822.(2024·沈陽高一檢測)平面內給定三個向量,a=(1,1