高中數(shù)學《高中全程學習方略》2025版必修第二冊第九章9.29.2.3總體集中趨勢的估計含答案9.2.3總體集中趨勢的估計【學習目標】1.會求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù).2.理解用樣本的數(shù)字特征、頻率分布直方圖估計總體的集中趨勢.【素養(yǎng)達成】數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算一、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的定義1.眾數(shù):一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).2.中位數(shù):把一組數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)的順序排列,處在中間位置的數(shù)(或中間兩個數(shù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).3.平均數(shù):如果有n個數(shù)x1,x2,…,xn,那么x=1n(x1+x2+…+xn)叫做這n個數(shù)的平均數(shù)【版本交融】(人BP66嘗試與發(fā)現(xiàn))中位數(shù)是否能比較全面地體現(xiàn)數(shù)據(jù)的分布特點?如果不能,有什么補救的辦法?提示:當數(shù)據(jù)個數(shù)較多時中位數(shù)是不足以體現(xiàn)數(shù)據(jù)的分布特征,此時可以借助多個百分位數(shù)了解數(shù)據(jù)的分布特征.【教材挖掘】(P205)中位數(shù)一定是樣本數(shù)據(jù)中的一個數(shù)嗎?提示:不一定.一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后,如果有奇數(shù)個數(shù)據(jù),處于中間位置的數(shù)是中位數(shù);如果有偶數(shù)個數(shù)據(jù),則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是中位數(shù).【教材深化】眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的比較名稱優(yōu)點缺點平均數(shù)與中位數(shù)相比,平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中更多的信息,對樣本中的極端值更加敏感任何一個數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變.數(shù)據(jù)越“離群”,對平均數(shù)的影響越大中位數(shù)不受少數(shù)幾個極端數(shù)據(jù)(即排序靠前或靠后的數(shù)據(jù))的影響對極端值不敏感眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點眾數(shù)只能傳遞數(shù)據(jù)中的信息的很少一部分,對極端值不敏感二、眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系1.平均數(shù):在頻率分布直方圖中,樣本平均數(shù)可以用每個小矩形底邊中點的橫坐標與小矩形的面積的乘積之和近似代替.2.中位數(shù):在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應該相等.3.眾數(shù):眾數(shù)是最高小矩形底邊的中點所對應的數(shù)據(jù).【思考】頻率分布直方圖中計算出的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)是精確值嗎?提示:不是.三、總體集中趨勢的估計1.平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢,它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān).2.單峰頻率分布直方圖的平均數(shù)與中位數(shù)形狀關(guān)系對稱平均數(shù)與中位數(shù)差不多右邊“拖尾”平均數(shù)大于中位數(shù)左邊“拖尾”平均數(shù)小于中位數(shù)平均數(shù)總是在“長尾巴”那邊3.對數(shù)值型數(shù)據(jù)(如用水量、身高、收入、產(chǎn)量等)集中趨勢的描述,可以用平均數(shù)、中位數(shù);對分類型數(shù)據(jù)(如校服規(guī)格、性別、產(chǎn)品質(zhì)量等級等)集中趨勢的描述,可以用眾數(shù).【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)平均數(shù)與每一個數(shù)據(jù)都有關(guān),受極端值的影響.(√)提示:根據(jù)平均數(shù)的計算公式可知正確.(2)若直方圖單峰且形狀對稱,則平均數(shù)與中位數(shù)基本一致.(√)提示:根據(jù)直方圖的對稱性可知,平均數(shù)與中位數(shù)可能一致.(3)一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)只有一個.(×)提示:一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能有一個,也可能有多個,中位數(shù)只有一個.類型一根據(jù)樣本數(shù)據(jù)求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)(數(shù)學運算)【典例1】(1)(2024·洛陽高一檢測)一組數(shù)據(jù)a,5,6,7,7,8,11,12的平均數(shù)為8,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為()A.6.5 B.7 C.7.5 D.8【解析】選C.由題意得a+5+6+7+7+8+11+128=8,解得a=8.將題中數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為5,6,7,7,8,8,11,12,則中位數(shù)為7+82=7(2)(2024·淄博高一檢測)已知一組數(shù)據(jù)為5,2,x,5,8,9,且5<x<8.若該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是中位數(shù)的56,則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(A.6 B.6.5 C.7 D.7.5【解析】選A.因為5<x<8,所以這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為2,5,5,x,8,9,則該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是5.又該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是中位數(shù)的56,所以中位數(shù)是6,即5+x2=6,解得x=7,則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為【備選例題】1.(多選)PM2.5是衡量空氣質(zhì)量的重要指標.如圖是某地9月1日到10日的PM2.5日均值(單位:μg/m3)的折線圖,則下列說法正確的是()A.這10天中PM2.5日均值的眾數(shù)為33B.這10天中PM2.5日均值的中位數(shù)是32C.這10天中PM2.5日均值的中位數(shù)大于平均數(shù)D.這10天中PM2.5日均值前4天的平均數(shù)大于后4天的平均數(shù)【解析】選AB.由題中折線圖得,這10天中PM2.5日均值的眾數(shù)為33,中位數(shù)為31+332=32,平均數(shù)為110×(36+26+17+23+33+128+42+31+30+33)=39.9,中位數(shù)小于平均數(shù),故A,B正確,C錯誤;前4天的平均數(shù)為36+26+17+234=25.5,后4天的平均數(shù)為2.(多選)小華所在的年級一班共有50名學生,一次體檢測量了全班學生的身高,由此求得該班學生的平均身高是1.65米,而小華的身高是1.66米,則下列說法正確的是()A.1.65米是該班學生身高的平均水平B.班上比小華高的學生人數(shù)不會超過25C.這組身高數(shù)據(jù)的中位數(shù)不一定是1.65米D.這組身高數(shù)據(jù)的眾數(shù)不一定是1.65米【解析】選ACD.由平均數(shù)所反映的意義知A選項正確;由中位數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系確定C選項正確;由眾數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系確定D選項正確;由于平均數(shù)受一組數(shù)據(jù)中的極端值的影響,故B選項錯誤.【總結(jié)升華】平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的計算方法(1)平均數(shù)一般是根據(jù)公式來計算的;(2)計算中位數(shù)時,可先將這組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列,再根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)的總個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)而定;(3)眾數(shù)是看出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).類型二用頻率分布表或直方圖求數(shù)字特征(數(shù)學運算)【典例2】(1)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中隨機抽取10件,測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標,數(shù)據(jù)如下:質(zhì)量指標分組[10,30)[30,50)[50,70)頻率0.10.60.3則可估計這批產(chǎn)品的質(zhì)量指標的眾數(shù)、中位數(shù)分別為()A.60,1303 B.C.40,1303 D.【解析】選C.根據(jù)題中數(shù)據(jù)可知,頻率最大對應的分組為[30,50),所以眾數(shù)約為40.設中位數(shù)為x,可知x在[30,50)內(nèi),則0.1+x-3050-30×0.6=0.5,解得x(2)(多選)(2024·南通高一檢測)《教育部辦公廳關(guān)于進一步加強中小學生體質(zhì)健康管理工作的通知》中指出:“各地要加強對學生體質(zhì)健康重要性的宣傳,中小學校要通過體育與健康課程、大課間、課外體育鍛煉、體育競賽、班團隊活動、家校協(xié)同等多種形式加強教育引導.”某學校共有2000名男生,為了了解這部分學生的身體發(fā)育情況,學校抽查了100名男生的體重情況.根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖如圖所示,則下列結(jié)論正確的是()A.估計這100名男生體重的眾數(shù)為67.5B.估計這100名男生體重的80%分位數(shù)為72.5C.估計這100名男生體重的平均數(shù)為66D.該校男生中體重低于60kg的學生大約有300人【解析】選ABD.由頻率分布直方圖可得,估計這100名男生體重的眾數(shù)為65+702=67.5,A正確由于(0.03+0.05+0.06)×5=0.7<0.8,0.7+0.04×5=0.9>0.8,故80%分位數(shù)在[70,75)內(nèi),設為x,則0.7+(x-70)×0.04=0.8,解得x=72.5,B正確.估計這100名男生體重的平均數(shù)為(57.5×0.03+62.5×0.05+67.5×0.06+72.5×0.04+77.5×0.02)×5=66.75,C錯誤.該校男生中體重低于60kg的學生大約有2000×0.03×5=300人,D正確.【總結(jié)升華】利用頻率分布直方圖求數(shù)字特征的方法(1)眾數(shù)即為出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù),所以它的頻率最大,在最高的小矩形中.中位數(shù)即為從小到大中間的數(shù)(或中間兩數(shù)的平均數(shù)).平均數(shù)約為每個小矩形底邊中點的橫坐標與小矩形面積的乘積之和.(2)用頻率分布直方圖求得的眾數(shù)、中位數(shù)不一定是樣本中的具體數(shù).類型三總體集中趨勢的估計(數(shù)據(jù)分析)【典例3】(教材P206例5改編)據(jù)了解,某公司的33名職工月工資(單位:元)如下:職務董事長副董事長董事總經(jīng)理經(jīng)理管理員職員人數(shù)11215320工資110001000090008000650055004000(1)求該公司職工月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù);(2)假設副董事長的工資從10000元提升到20000元,董事長的工資從11000元提升到30000元,那么新的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)又是多少?(精確到1元)(3)你認為哪個統(tǒng)計量更能反映這個公司員工的工資水平?結(jié)合此問題談一談你的看法.【解析】(1)平均數(shù)是x=4000+133×(7000+6000+5000×2+4000+2500×5+1500×3+0×20)≈4000+1333=5333(元)中位數(shù)是4000元,眾數(shù)是4000元.(2)新的平均數(shù)是x'=4000+133×(26000+16000+5000×2+4000+2500×5+1500×3+0×20)≈4000+2212=6212(元),中位數(shù)是4000元,眾數(shù)是4000元(3)在這個問題中,中位數(shù)和眾數(shù)均能反映該公司員工的工資水平,因為公司中少數(shù)人的工資額與大多數(shù)人的工資額差別較大,這樣導致平均數(shù)與中位數(shù)偏差較大,所以平均數(shù)不能反映這個公司員工的工資水平.【總結(jié)升華】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的意義(1)樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來表示樣本數(shù)據(jù)的“中心值”,其中眾數(shù)和中位數(shù)容易計算、不受少數(shù)幾個極端值的影響,但只能表達樣本數(shù)據(jù)中的少量信息,平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息,但受樣本中每個數(shù)據(jù)的影響,越極端的數(shù)據(jù)對平均數(shù)的影響也越大.(2)當一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)重復出現(xiàn)時,其眾數(shù)往往更能反映問題,當一組數(shù)據(jù)中個別數(shù)據(jù)較大時,可用中位數(shù)描述其集中趨勢.【即學即練】某小區(qū)廣場上有甲、乙兩群市民正在進行晨練,兩群市民的年齡(單位:歲)如下:甲群13,13,14,15,15,15,15,16,17,17;乙群54,3,4,4,5,5,6,6,6,57.(1)甲群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲?其中哪個統(tǒng)計量能較好地反映甲群市民的年齡特征?(2)乙群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲?其中哪個統(tǒng)計量能較好地反映乙群市民的年齡特征?【解析】(1)甲群市民年齡的平均數(shù)為13+13+14+15+15+15+15+16+17+1710中位數(shù)為15歲,眾數(shù)為15歲,平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)相等,因此它們都能較好地反映甲群市民的年齡特征.(2)乙群市民年齡的平均數(shù)為54+3+4+4+5+5+6+6+6+5710中位數(shù)為5.5歲,眾數(shù)為6歲.由于乙群市民大多數(shù)是兒童,所以中位數(shù)和眾數(shù)能較好地反映乙群市民的年齡特征,而平均數(shù)的可靠性較差.【補償訓練】學校隨機調(diào)查了部分學生一周平均每天的睡眠時間,統(tǒng)計結(jié)果如圖,則在這組數(shù)據(jù)中,這些被調(diào)查學生睡眠時間的眾數(shù)和中位數(shù)分別是()A.8,9 B.8,8.5C.16,8.5 D.16,14【解析】選A.眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù),在這一組數(shù)據(jù)中8出現(xiàn)的次數(shù)最多,故眾數(shù)是8;而將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列后,處于中間位置的數(shù)是第20,21個數(shù),故這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是9+92=99.2.4總體離散程度的估計【學習目標】1.結(jié)合實例,能用樣本估計總體的離散程度參數(shù)(標準差、方差、極差).2.理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計含義.【素養(yǎng)達成】數(shù)學抽象、數(shù)學運算數(shù)據(jù)分析一、總體離散程度的估計1.方差:給定一組數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn,用x表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù),則s2=1n∑i=1n(xi-x)2=1n[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)22.標準差:方差的算術(shù)平方根,即1n∑3.總體方差、總體標準差如果總體中所有個體的變量值分別為Y1,Y2,…,YN,總體平均數(shù)為Y,則總體方差為S2=1N∑i=1N(Yi-Y)2如果總體的N個變量值中,不同的值共有k(k≤N)個,不妨記為Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出現(xiàn)的頻率為fi(i=1,2,…,k),則總體方差為S2=1N∑i=1【版本交融】(湘教P243)方差越大表示什么含義?提示:方差刻畫的是總體中個體的穩(wěn)定或波動的程度,方差越大,說明波動越大.【教材挖掘】(P212)數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)是x,方差為s2,數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn,x的方差為s12,那么s2與提示:因為數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn,x比數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn更加相對集中,所以方差變小了,即s12<s二、分層隨機抽樣的方差假設第一層有m個數(shù),分別為x1,x2,…,xm,平均數(shù)為x,方差為s2;第二層有n個數(shù),分別為y1,y2,…,yn,平均數(shù)為y,方差為t2,則x=1m∑i=1mxi,s2=1m∑i=1m(xi-x)2,y=1n∑i=1n若記樣本平均數(shù)值為a,樣本方差為b2,則可以算出a=1m+n(∑i=1mxi+∑i=1nyi)=mx+nym+n,b2=m[s2【教材深化】1.方差的簡化計算公式:s2=1n[(x12+x22+…+xn2)-nx2]或?qū)懗蓅2=1n(x2.平均數(shù)、方差公式的推廣(1)若數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)為x,那么mx1+a,mx2+a,…,mxn+a的平均數(shù)是mx+a.(2)若數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的方差為s2,那么①數(shù)據(jù)x1+a,x2+a,…,xn+a的方差也是s2;②數(shù)據(jù)ax1,ax2,…,axn的方差是a2s2.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)標準差越大,表明各個樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越集中;標準差越小,表明各個樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越分散.(×)提示:標準差越大,表明各個樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越分散;標準差越小,表明各個樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越集中.(2)在兩組數(shù)據(jù)中,平均值較大的一組方差較大.(×)提示:方差是描述數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小的量,與兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)的大小無關(guān).(3)若樣本數(shù)據(jù)的標準差為0,則數(shù)據(jù)沒有離散性.(√)提示:若樣本數(shù)據(jù)的標準差為0,則樣本各數(shù)據(jù)相等,說明沒有離散性.類型一方差、標準差(數(shù)學運算)【典例1】(1)(2024·榆林高一檢測)已知一組數(shù)據(jù)6,6,8,8,10,10,則該組數(shù)據(jù)的方差是()A.43 B.2 C.83 D【解析】選C.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16所以該組數(shù)據(jù)的方差是16[2×(6-8)2+2×(8-8)2+2×(10-8)2]=8(2)甲、乙兩機床同時加工直徑為100mm的零件,為檢驗質(zhì)量,從中各抽取6件測量,數(shù)據(jù)為甲:9910098100100103乙:9910010299100100①分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差;②根據(jù)計算結(jié)果判斷哪臺機床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定.【解析】①x甲=16×(99+100+98+100+100+103)=100,x乙=s甲2=16×[(99-100)2+(100-100)2+(98-100)2+(100-100)2+(100-100)2+(103-100)2s乙2=16×[(99-100)2+(100-100)2+(102-100)2+(99-100)2+(100-100)2+(100-100)②兩臺機床所加工零件的直徑的平均數(shù)相同,又因為s甲2>s【總結(jié)升華】1.計算方差、標準差的步驟(1)計算樣本的平均數(shù)x;(2)計算每個樣本數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差xi-x(i=1,2,…,n);(3)計算(xi-x)2(i=1,2,…,n);(4)計算(xi-x)2(i=1,2,…,n)這n個數(shù)據(jù)的平均數(shù),即為樣本方差s2;(5)計算方差的算術(shù)平方根,即為樣本的標準差s.2.在實際問題中,僅靠平均數(shù)不能完全反映問題,還要研究方差,方差描述了數(shù)據(jù)相對平均數(shù)的離散程度.在平均數(shù)相同的情況下,方差越大,離散程度越大,數(shù)據(jù)波動性越大,穩(wěn)定性越差;方差越小,離散程度越小,數(shù)據(jù)越集中,越穩(wěn)定.【即學即練】1.(2024·寧波高一期中)甲乙丙丁四位同學各擲5次骰子并記錄點數(shù),方差最大的是()甲:45455乙:42343丙:23234丁:61261A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【解析】選D.由題知x甲=235,所以s甲2=154-2352+5-2352+4-2352+5-2352+5-2352=625,x乙=165,所以s乙2=154-1652+2-1652+(3-165)2+4-1652+3-165x丙=145,所以s丙2=152-1452+3-1452+(2-145)2+3-1452+4-145x丁=165,所以s丁2=156-1652+1-1652+(2-165)2+6-1652+1-165所以方差最大的是丁.2.對甲、乙兩名自行車賽手在相同條件下進行了6次測試,測得他們的最大速度(單位:m/s)的數(shù)據(jù)如下:甲273830373531乙332938342836(1)分別求出甲、乙兩名自行車賽手最大速度的平均數(shù)和方差;(2)比較兩個人的成績,你認為選誰參加比賽比較合適.【解析】(1)x甲=16x乙=16s甲2=16×[(27-33)2+(38-33)2+(30-33)2+(37-33)2+(35-33)2+(31-33)2s乙2=16×[(33-33)2+(29-33)2+(38-33)2+(34-33)2+(28-33)2+(36-33)2(2)由(1)知甲和乙的平均數(shù)相等,因為s甲2>所以乙更穩(wěn)定,選乙參加比賽比較合適.類型二方差、標準差統(tǒng)計圖的綜合應用(數(shù)學運算)【典例2】對甲廠、乙廠、丙廠所生產(chǎn)的袋裝食品各抽檢了20袋,稱得質(zhì)量如條形圖所示.s1,s2,s3分別表示甲廠、乙廠、丙廠這次抽檢質(zhì)量的標準差,則有()A.s2>s1>s3 B.s1>s3>s2C.s3>s1>s2 D.s3>s2>s1【解析】選C.根據(jù)題意,甲廠的平均數(shù)x1=120×(5×7+5×8+5×9+5×10)=8.5,方差s12=120×[5×(7-8.5)2+5×(8-8.5)2+5×(9-8.5)2+5×(10-8.5)2]=1.25,標準差乙廠的平均數(shù)x2=120×(4×7+6×8+6×9+4×10)=8.5,方差s22=120×[4×(7-8.5)2+6×(8-8.5)2+6×(9-8.5)2+4×(10-8.5)2]=1.05,標準差丙廠的平均數(shù)x3=120×(6×7+4×8+4×9+6×10)=8方差s32=120×[6×(7-8.5)2+4×(8-8.5)2+4×(9-8.5)2+6×(10-8.5)2]=1.45,標準差s3=1.45.所以s3>s【總結(jié)升華】根據(jù)統(tǒng)計圖表確定方差(標準差)的大小關(guān)系有兩種方法:(1)根據(jù)統(tǒng)計圖表中所提供的數(shù)據(jù)與方差(標準差)的計算公式求出其數(shù)值,然后比較大小;(2)若統(tǒng)計圖表中沒有反映出具體的數(shù)據(jù)或計算較為煩瑣,可根據(jù)統(tǒng)計圖表所反映的數(shù)據(jù)的波動性大小來比較大小.【即學即練】如圖所示是小王與小張二人參加某射擊比賽的預賽的五次測試成績的折線圖,設小王與小張成績的樣本平均數(shù)分別為xA和xB,方差分別為sA2和A.xA<xB,sA2>sB2 B.xC.xA>xB,sA2>sB2 D.x【解析】選C.由題圖可知,實線中的數(shù)據(jù)都大于或等于虛線中的數(shù)據(jù),所以小王成績的平均數(shù)大于小張成績的平均數(shù),xA>x顯然實線中的數(shù)據(jù)波動較大