高中數學《高中全程學習方略》2025版必修第二冊第八章8.68.6.2直線與平面垂直(2)含答案8.6.2直線與平面垂直(2)【學習目標】1.理解直線與平面垂直的性質定理.2.能利用直線與平面垂直的性質定理進行證明.3.理解空間距離相關定義并會求相應的距離.【素養達成】數學抽象邏輯推理數學運算一、直線與平面垂直的性質定理1.定理:垂直于同一個平面的兩條直線平行.2.符號:a⊥α,b⊥α?a∥b.二、空間距離1.直線到平面的距離一條直線與一個平面平行時,這條直線上任意一點到這個平面的距離.2.平面與平面之間的距離如果兩個平面平行,那么其中一個平面內的任意一點到另一個平面的距離都相等,我們把它叫做這兩個平行平面間的距離.【教材挖掘】(P154)任意的直線與平面、平面與平面間都有距離嗎?提示:不是,只有當直線與平面平行,平面與平面平行時才涉及距離問題.教材深化平行關系與垂直關系之間的相互轉化【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)到已知平面距離相等的兩條直線平行.(×)提示:兩直線平行、相交、異面都有可能.(2)如果一條直線與兩個平行平面中的一個平面垂直,那么這條直線也和另一個平面垂直.(√)提示:由直線與平面所成的角的定義可知正確.(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行.(√)提示:垂直于同一條直線的兩個平面無公共點,所以平行.(4)若直線a⊥平面α,直線a⊥直線b,則直線b∥平面α.(×)提示:直線b也可能在平面α中.類型一線面垂直性質定理的應用(邏輯推理)【典例1】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB⊥平面PAD,AD=AP,E是PD的中點,M,N分別在AB,PC上,且MN⊥AB,MN⊥PC.求證:AE∥MN.【證明】因為AB⊥平面PAD,AE?平面PAD,所以AE⊥AB,又AB∥CD,所以AE⊥CD.因為AD=AP,E是PD的中點,所以AE⊥PD.又CD∩PD=D,CD,PD?平面PCD,所以AE⊥平面PCD.因為MN⊥AB,AB∥CD,所以MN⊥CD.又因為MN⊥PC,PC∩CD=C,PC,CD?平面PCD,所以MN⊥平面PCD,所以AE∥MN.【總結升華】線面垂直性質定理應用的關注點(1)適用前提:已知一條直線和某個平面垂直,證明這條直線和另一條直線平行,可利用線面垂直的性質定理,證明另一條直線和這個平面垂直;(2)注意:證明時注意利用正方形、平行四邊形及三角形中位線的有關性質.【即學即練】如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°,F是AC的中點,E是PC上的點,且EF⊥BC,求證:PA∥EF.【證明】在三棱錐P-ABC中,因為PA⊥底面ABC,所以AB⊥PA,因為∠BAC=90°,所以AB⊥AC,所以AB⊥平面APC.因為EF?平面PAC,所以AB⊥EF,因為EF⊥BC,BC∩AB=B,所以EF⊥底面ABC,所以PA∥EF.【補償訓練】一條長度為10cm的線段與平面α相交,其兩端點到平面的距離分別是2cm,3cm,求這條線段與平面α所成的角.【解析】如圖,AB是一條與平面α相交的線段,過點A作AC⊥α,垂足為C;過點B作BD⊥α,垂足為D,則AC∥BD,AC,BD確定的平面與平面α交于CD,且CD與AB相交于點O,AB=10,AC=3,BD=2,則AO=6,BO=4,可得∠AOC=∠BOD=30°.即線段AB與平面α所成的角為30°.類型二空間中的距離(直觀想象、數學運算)【典例2】如圖,已知正方形ABCD的邊長為4,CG⊥平面ABCD,CG=2,E,F分別是AB,AD的中點,求直線BD到平面GEF的距離.【解析】如圖,連接AC,分別交EF和BD于H,O,連接GH.因為四邊形ABCD為正方形,E,F分別為AB,AD的中點,所以EF∥BD,H為AO的中點.因為BD∥EF,BD?平面GFE,所以BD∥平面GFE.所以點O與平面GEF的距離就是直線BD到平面GEF的距離,作OK⊥GH于點K.因為BD⊥AC,所以EF⊥AC.因為GC⊥平面ABCD,所以GC⊥EF.因為GC∩AC=C,所以EF⊥平面GCH.因為OK?平面GCH,所以EF⊥OK.因為OK⊥GH,GH∩EF=H,所以OK⊥平面GEF,即OK的長就是點O到平面GEF的距離.因為正方形ABCD的邊長為4,CG=2,所以AC=42,HO=2,HC=32.在Rt△HCG中,HG=HC2+在Rt△GCH中,OK=HO·GCHG故直線BD到平面GEF的距離為211【總結升華】1.求點面距的常用方法(1)構造法:根據定義構造垂直于平面的直線,確定垂足位置,將所求線段化歸到三角形中求解;(2)等積變換法:將所求距離看作某個幾何體(如棱錐)的高,利用體積相等建立方程求解.2.求線面距、面面距的關注點(1)方法:將線面距、面面距轉化為點面距;(2)注意:線面、面面是平行關系.【即學即練】已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,則平面AB1D1到平面BC1D的距離為__________.

答案:6【解析】因為兩平面平行,所以原問題等價于求解點C1到平面AB1D1的距離h,由等體積法可得VC1-即h·13×12×22×sin60°=13×12×2×2×2,解得h=63,即平面AB1D1到平面BC【補償訓練】如圖,在四棱錐P-ABCD中,CD⊥平面PAD,AD=2PD=4,AB=6,PA=25,∠BAD=60°,點Q在棱AB上.(1)證明:PD⊥平面ABCD;(2)若三棱錐P-ADQ的體積為23,求點B到平面PDQ的距離.【解析】(1)因為AD=2PD=4,PA=25,所以PA2=PD2+AD2,即PD⊥AD,因為CD⊥平面PAD,所以CD⊥PD,且AD∩CD=D,所以PD⊥平面ABCD.(2)因為三棱錐P-ADQ的體積為23,所以13S△ADQ·PD=23所以S△ADQ=33.所以12AD·AQ·sin60°=33,所以AQ=3所以Q為AB中點,即點A到平面PDQ的距離等于點B到平面PDQ的距離.在△ADQ中,由余弦定理可得DQ=AD2+所以S△PDQ=12·PD·DQ=13由VP-ADQ=VA-PDQ?23=13×13×d所以d=639即點B到平面PDQ的距離為639類型三線面垂直的綜合應用(邏輯推理)【典例3】如圖所示,已知平面α∩平面β=EF,A為α,β外一點,AB⊥α于點B,AC⊥β于點C,CD⊥α于點D.求證:BD⊥EF.【證明】因為AB⊥α,CD⊥α,所以AB∥CD,所以A,B,C,D四點共面.因為AB⊥α,AC⊥β,α∩β=EF,所以AB⊥EF,AC⊥EF.又AB∩AC=A,所以EF⊥平面ABDC,因為BD?平面ABDC,所以EF⊥BD.【總結升華】線線、線面垂直問題的解題策略(1)證明線線垂直,一般通過證明一條直線垂直于經過另一條直線的平面,為此分析題設,觀察圖形找到是哪條直線垂直于經過哪條直線的平面;(2)證明直線和平面垂直,就是要證明這條直線垂直于平面內的兩條相交直線,這一點在解題時一定要體現出來.【補償訓練】1.如圖,PA⊥平面ABD,PC⊥平面BCD,E,F分別為BC,CD上的點,且EF⊥AC.求證:CFDC=CE【證明】因為PA⊥平面ABD,PC⊥平面BCD,所以PA⊥BD,PC⊥BD,PC⊥EF.又PA∩PC=P,所以BD⊥平面PAC.又EF⊥AC,PC∩AC=C,所以EF⊥平面PAC,所以EF∥BD,所以CFDC=CE2.斜邊為AB的直角三角形ABC,PA⊥平面ABC.AE⊥PB,AF⊥PC,E,F分別為垂足,如圖.(1)求證:EF⊥PB;(2)若直線l⊥平面AEF,求證:PB∥l.【證明】(1)因為PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC.又因為△ABC為直角三角形,所以BC⊥AC,PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC.又因為AF?平面PAC,所以BC⊥AF.又AF⊥PC,且PC∩BC=C,所以AF⊥平面PBC.又PB?平面PBC,所以AF⊥BP.又AE⊥PB,且AE∩AF=A,所以PB⊥平面AEF.又EF?平面AEF,所以EF⊥PB.(2)由(1)知,PB⊥平面AEF,而l⊥平面AEF,所以PB∥l.8.6.3平面與平面垂直(1)【學習目標】1.理解二面角的有關概念,會作二面角的平面角,能求簡單二面角的平面角的大小.2.了解面面垂直的定義,掌握面面垂直的判定定理,學會用判定定理證明垂直關系.【素養達成】數學抽象、數學運算直觀想象、邏輯推理一、二面角1.定義:從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形.2.圖形:3.記作:二面角α-AB-β;二面角α-l-β;二面角P-AB-Q;二面角P-l-Q.4.二面角的平面角:(1)定義:在二面角α-l-β的棱l上任取一點O,以點O為垂足,在半平面α和β內分別作垂直于棱l的射線OA和OB,則射線OA和OB構成的∠AOB叫做二面角的平面角.(2)圖形:(3)范圍:0°≤∠AOB≤180°.【教材挖掘】(P155-156)二面角是一個角嗎?其平面角是否只有一個?提示:不是,二面角是從一條直線出發的兩個半平面構成的空間圖形.其平面角有無數個.【版本交融】(蘇教P191思考)二面角α-l-β的平面角的大小,與角的頂點O的位置有關嗎?提示:無關.如圖,根據等角定理可知,∠AOB=∠A'O'B',即二面角的平面角的大小與角的頂點的位置無關,只與二面角的大小有關.二、平面與平面垂直1.定義:一般地,兩個平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直.2.圖示:3.判定定理:(1)定理:如果一個平面過另一個平面的垂線,那么這兩個平面垂直;(2)符號:a?α,a⊥β?α⊥β.【教材挖掘】(P157)過一點有多少個平面與已知平面垂直?為什么?提示:過一點有無數個平面與已知平面垂直,雖然過一點有且只有一條直線和已知平面垂直,但是經過這條垂線的所有平面都和已知平面垂直.【版本交融】(蘇教P195)為使門在打開的過程中門所在平面都與地面垂直,在安裝門的時候,固定門一邊的兩個合頁所在的直線與地面什么關系?為什么?提示:垂直.安裝門的時候,只要固定門一邊的兩個合頁所在的直線與地面垂直,即門所在平面經過地面的垂線,由面面垂直的判定定理可知,門所在的平面與地面垂直.教材深化證明或判斷面面垂直的方法:1.利用面面垂直的定義.2.利用面面垂直的判定定理.3.利用判斷面面垂直的結論(1)m∥n,m⊥α,n?β?α⊥β;(2)m⊥α,n⊥β,m⊥n?α⊥β;(3)α∥β,γ⊥α?γ⊥β.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)頂點在棱上,兩條邊分別在兩個半平面內的角就是二面角的平面角.(×)提示:二面角的平面角的兩邊與棱垂直.(2)長方體的側面與底面是垂直的.(√)提示:由長方體的性質可知.(3)若一條直線垂直于一個平面,則經過這條直線的所有平面都與這個平面垂直.(√)提示:由面面垂直的判定定理可知.(4)若平面α內有一條直線垂直于平面β內的一條直線,則α⊥β.(×)提示:平面α與平面β平行,垂直,相交但不垂直都有可能.類型一求二面角的大小(數學運算)【典例1】(1)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,則二面角A-B1D1-B的余弦值為()A.63 B.73 C.64 【解析】選A.如圖所示,連接AC交BD于點O,取B1D1的中點E,連接AE,OE,則AE⊥B1D1,OE⊥B1D1,所以∠AEO是二面角A-B1D1-B的平面角.又正方體的棱長為1,所以B1D1=B1A=AD1=2,所以AE=62.又OE=BB1所以cos∠AEO=OEAE=63,即二面角A-B1D1-B的余弦值為(2)(教材P158例8改編)如圖,AB是圓的直徑,PA垂直于圓所在的平面,C是圓上一點(不同于A,B)且PA=AC,則二面角P-BC-A的大小為()A.60° B.30° C.45° D.15°【解析】選C.由條件得PA⊥BC,AC⊥BC,又PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,所以PC⊥BC,所以∠PCA為二面角P-BC-A的平面角.在Rt△PAC中,由PA=AC得∠PCA=45°.【總結升華】關于二面角大小的求法(1)步驟:簡稱為“一作二證三求”.(2)方法:①定義法:在二面角的棱上找一個特殊點,在兩個半平面內分別過該點作垂直于棱的射線.②垂面法:過棱上一點作棱的垂直平面,該平面與二面角的兩個半平面產生交線,這兩條交線所成的角,即為二面角的平面角.【即學即練】如圖,在正方體ABCD-A'B'C'D'中:二面角D'-AB-D的大小為__________;二面角A'-AB-D的大小為__________.

答案:45°90°【解析】在正方體ABCD-A'B'C'D'中,AB⊥平面ADD'A',所以AB⊥AD',AB⊥AD,因此∠D'AD為二面角D'-AB-D的平面角.在Rt△D'DA中,∠D'AD=45°,所以二面角D'-AB-D的大小為45°.因為AB⊥平面ADD'A',所以AB⊥AD,AB⊥AA',故∠A'AD為二面角A'-AB-D的平面角.又∠A'AD=90°,所以二面角A'-AB-D的大小為90°.【補償訓練】如圖,已知D,E分別是正三棱柱ABC-A1B1C1的側棱AA1和BB1上的點,且A1D=2B1E=B1C1.設平面DEC1與平面A1B1C1相交于直線l,求二面角A1-l-D的大小.【解析】如圖所示,延長DE交A1B1的延長線于點F,連接C1F,則F是平面DEC1與平面A1B1C1的公共點,C1F為這兩個平面的交線l.因此,所求二面角A1-l-D即為二面角D-C1F-A1.因為A1D∥B1E,且A1D=2B1E,所以E,B1分別為DF,A1F的中點.因為A1B1=B1C1=B1F,所以FC1⊥A1C1.因為CC1⊥平面A1B1C1,FC1?平面A1B1C1,所以CC1⊥FC1.又A1C1,CC1為平面AA1C1C內的兩條相交直線,所以FC1⊥平面AA1C1C.因為DC1?平面AA1C1C,所以FC1⊥DC1.所以∠DC1A1是二面角D-C1F-A1的平面角.由A1D=B1C1知A1D=A1C1,則∠DC1A1=45°.故二面角A1-l-D的大小為45°.類型二平面與平面垂直的證明(邏輯推理)角度1定義法【典例2】如圖所示,在四面體A-BCD中,BD=2a,AB=AD=CB=CD=AC=a.求證:平面ABD⊥平面BCD.【證明】因為AB=AD=CB=CD=a,所以△ABD與△BCD是等腰三角形.所以取BD的中點E,連接AE,CE,則AE⊥BD,BD⊥CE.所以∠AEC為二面角A-BD-C的平面角.在Rt△ABE中,AB=a,BE=12BD=22所以AE=AB2-同理CE=22在△AEC中,AE=CE=22a,AC=a所以AC2=AE2+CE2,所以AE⊥CE,即∠AEC=90°,即二面角A-BD-C的平面角為90°.所以平面ABD⊥平面BCD.【總結升華】定義法證明兩個平面垂直的步驟(1)找出兩個相交平面的平面角;(2)證明這個平面角是直角;(3)根據定義,這兩個平面互相垂直.【即學即練】如圖所示,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠ABC=45°,AB=AC,求證:平面PAB⊥平面PAC.【證明】因為PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥AC,所以∠BAC為二面角B-PA-C的平面角,因為∠ABC=45°,AB=AC,所以∠BAC=90°,即二面角B-PA-C的平面角為90°,所以平面PAB⊥平面PAC.角度2判定定理法【典例3】(教材P159T4改編)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,側棱垂直于底面,∠ACB=90°,AC=BC=12AA1,D是棱AA1的中點.證明:平面BDC1⊥平面【證明】由題設知BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1?平面ACC1A1,所以DC1⊥BC.由題設知∠A1DC1=∠ADC=45°,所以∠CDC1=90°,即DC1⊥DC.又D