2025年高考數學二輪復習壓軸題突破拿高分（導數篇）專題04導數新定義問題（新運算）新定義問題的解題思路：1、找出新定義有幾個要素，找出要素分別代表什么意思；2、由已知條件，看所求的是什么問題，進行分析，轉換成數學語言；3、將已知條件代入新定義的要素中；4、結合數學知識進行解答.解題步驟，求解“新定義”題目，主要分如下幾步：1、對新定義進行信息提取，明確新定義的名稱和符號；2、對新定義所提取的信息進行加工，探求解決方法和相近的知識點，明確它們的相同點和相似點；3、對定義中提取的知識進行轉換、提取和轉換，這是解題的關鍵，如果題目是新定義的運算、法則，直接按照法則計算即可；若新定義的性質，一般要判斷性質的適用性，能否利用定義的外延，可用特質排除，注意新定義題目一般在高考試卷的壓軸位置，往往設置三問，第一問的難度并不大，所以對于基礎差的考生也不要輕易放棄。題型一：高數背景下的公式、定理【例】（2324高二格致中學練習）材料：函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型，在現行的高等數學與數學分析教材中，對“初等函數”給出了確切的定義，即由常數和基本初等函數經過有限次的四則運算及有限次的復合步驟所構成的，且能用一個式子表示的，如函數，我們可以作變形：，所以可看作是由函數和復合而成的，即為初等函數.根據以上材料：（1）直接寫出初等函數極值點（2）求初等函數極值.【答案】（1））極小值點為，無極大值點；（2）極大值且為，無極小值.【分析】（1），，由此求得求得極值點.（2）利用復合函數求導研究的單調性，由此求得的極值.【詳解】（1）極小值點為，無極大值點.（2），所以，令得，當時，，此時函數單調遞增；當時，，此時函數單調遞減.所以有極大值且為，無極小值.【例】（2024·廣西柳州·模擬預測）帕德近似是法國數學家亨利．帕德發明的用有理多項式近似特定函數的方法．給定兩個正整數m，n，函數在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，…，．注：，，，，…；為的導數）．已知在處的階帕德近似為．(1)求實數a，b的值；(2)比較與的大小；(3)若有3個不同的零點，求實數m的取值范圍．【答案】(1)，．(2)答案見解析(3)【分析】（1）求出，，，，根據，列方程組即可求解；（2）令，利用導數研究的單調性即可比較大小；（3），除1外還有2個零點，設為，，，由導數由函數零點個數求m的范圍．【詳解】（1）由，，知，，，，由題意，，所以，所以，．（2）由（1）知，，令，則，所以在其定義域內為增函數，又，∴時，；時，，所以時，；時，．（3）由（1）知，，注意到，則除1外還有2個零點，設為，，，令，當時，在上恒成立，則，所以在上單調遞減，不滿足，舍去，當時，除1外還有2個零點，設為，，則不單調，所以存在兩個零點，∴，解得，當時，設的兩個零點分別為s，，則，，∴，當時，，，則單調遞增，當時，，，則單調遞減；當時，，，則單調遞增，又，不妨設，，而，且，，且，所以存在，，滿足，即有3個零點，1，，綜上所述，m的取值范圍為．【點睛】思路點睛：關于新定義題的思路有：（1）找出新定義有幾個要素，找出要素分別代表什么意思；（2）由已知條件，看所求的是什么問題，進行分析，轉換成數學語言；（3）將已知條件代入新定義的要素中；（4）結合數學知識進行解答.【例】帕德近似是法國數學家亨利·帕德發明的用有理多項式近似特定函數的方法．給定兩個正整數，，函數在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，．已知在處的階帕德近似為．注：(1)求實數，的值；(2)求證：；(3)求不等式的解集，其中．【答案】(1)，；(2)證明見解析；(3)【詳解】（1）因為，所以，，，則，，由題意知，，，所以，解得，.（2）由（1）知，即證，令，則且，即證時，記，，則，所以在上單調遞增，在上單調遞增，當時，即，即成立，當時，即，即成立，綜上可得時，所以成立，即成立.（3）由題意知，欲使得不等式成立，則至少有，即或，首先考慮，該不等式等價于，即，又由（2）知成立，所以使得成立的的取值范圍是，再考慮，該不等式等價于，記，，則，所以當時，時，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，即，，所以，，當時由，可知成立，當時由，可知不成立，所以使得成立的的取值范圍是，綜上可得不等式的解集為.【例】我們把底數和指數同時含有自變量的函數稱為冪指函數，其一般形式為，冪指函數在求導時可以將函數“指數化"再求導.例如，對于冪指函數，.(1)已知，求曲線在處的切線方程；(2)若且，.研究的單調性；(3)已知均大于0，且，討論和大小關系.【答案】(1)；(2)答案見解析；(3)答案見解析【詳解】（1），則，所以，又因為，所以切線方程為.（2），，，令，令，，令，解得，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以，所以在上單調遞增.（3）由（2）知，令，得，由（2）知在上單調遞增.所以在上單調遞增，當時，，即.當時，題型二：利用運算關系構造新函數【例】（虹口2023二模）設，，.（1）求函數，的單調區間和極值；（2）若關于不等式在區間上恒成立，求實數的值；（3）若存在直線，其與曲線和共有3個不同交點，，，求證：，，成等比數列.解：（1）解：（1）由題設，有，可得2分所以，當時，；當時，.令，當在變化時，，的變化情況如下表：0+00+0單調增極大值單調減 極小值單調增 極大值單調減所以，函數在上的增區間為：與；減區間為：與.函數在上的極值為：，，.4分（2）關于不等式，即：在區間上恒成立.令，則由條件可知：是函數在上的一個極小值.由，得，所以.7分下面證明：當時，在上恒成立.當時，，由（1）知：在上的極大值為，從而在上的最大值為1，即在上恒成立.于是在上恒成立，所以在上嚴格增；從而，所以在上嚴格增；從而在上恒成立.即知：當時在上恒成立.綜合上述，得：.10分證：（3）對于函數，令，則.從而當時，，函數在上嚴格增；當時，，函數在上嚴格減；故.對于函數，令，則.從而當時，，函數在上嚴格增；當時，，函數在上嚴格減；故.12分因此，函數與有相同的最大值.其圖像如下圖所示.下面先證明：曲線與有唯一交點.由，得，即方程有唯一實數根.令，則.所以在上恒為負數.易知，曲線與在區間上沒有交點.而在區間上，函數嚴格減，函數嚴格增，所以函數在上嚴格減，進而函數在上嚴格減.由，及零點存在定理得：函數在上存在唯一零點，從而方程在上有唯一實數根，且.14分下面再證明：直線與曲線，有3個交點，，，且，，成等比數列.由于直線與曲線，共有3個不同交點，故直線必過點，且，，由，得，即，而函數在上嚴格增，，，故①16分由，得，即，而函數在上嚴格減，，，故②由①，②得.③由，得，故有④因此，由③，④得，即，，成等比數列.18分【例】（2023·上海寶山·統考一模）已知函數，，其中為自然對數的底數.(1)求函數的圖象在點處的切線方程；(2)設函數，①若，求函數的單調區間，并寫出函數有三個零點時實數的取值范圍；②當時，分別為函數的極大值點和極小值點，且不等式對任意恒成立，求實數的取值范圍.【答案】(1)；(2)①單調區間見解析，，②.【分析】（1）求出函數的導數，利用導數的幾何意義求出切線方程即得.（2）①把代入，求出的導數，確定的解集得單調區間，結合極大值、極小值求出的范圍；②由導數求出，構造函數并借助導數探討不等式恒成立即可.【詳解】（1）函數，求導得，得，而，所以切線方程為，即.（2）函數的定義域為R，求導得，①當時，，，由，得或，當或時，，當時，，因此函數的單調增區間為和，單調減區間為；極大值，極小值，又，，所以函數有三個零點時的取值范圍為.②令，得或，解得或，當或時，，當時，，即函數在，上單調遞增，在上單調遞減，因此當時，取得極大值，當時，取得極小值，即有，而，，又不等式對任意恒成立，于是，設，顯然，，令，求導得，則函數在上嚴格遞減，有，當時，，則有函數在上嚴格遞減，，符合題意；當時，存在，使得，當時，，當時，，因此函數在上嚴格遞增，有，不符合題意，所以實數的取值范圍為.【點睛】思路點睛：不等式恒成立或存在型問題，可構造函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數的取值范圍；也可分離變量，構造函數，直接把問題轉化為函數的最值問題.【例】（奉賢2023一模21）已知函數，其中.（1）求函數在點的切線方程；（2）函數是否存在極值點，若存在求出極值點，若不存在，請說明理由；（3）若關于的不等式在區間上恒成立，求實數的取值范圍.【答案】（1）；（2），不存在極值點；，存在一個極小值點，無極大值點；（3）.【分析】（1）對求導，求出切點斜率，再根據切點求出切線方程即可；（2）令，對進行求導，再討論及時導函數的正負及極值點即可；（3）將代入，先討論時的取值范圍，再全分離，構造新函數，求導求單調性求最值，即可得出的取值范圍.【解析】（1）因為1分1分所以在點的切線方程為，即；2分（2）設，定義域為，1分則，1分=1\*GB3①當時，恒成立，所以在嚴格增，所以不存在極值點；2分=2\*GB3②當時，令，則，當時，；當時，；所以在上嚴格減，在上嚴格增，2分所以函數存在一個極小值點，無極大值點；1分（3）原不等式，當時，恒成立；1分當時，，2分由（2）知在有最小值，故，所以，2分.3分【點睛】該題考查導數的綜合應用，屬于難題，關于恒成立問題的方法如下:（1）若，恒成立，則只需；（2）若，恒成立，則只需；（3）若，恒成立，則只需；(4)若，恒成立，則只需；(5)若，恒成立，則只需；(6)若，恒成立，則只需；(7)若，恒成立，則只需；(8)若，恒成立，則只需.題型三：利用函數對稱平行關系下定義【例】（2023·上海閔行·一模）定義：如果函數和的圖像上分別存在點M和N關于x軸對稱，則稱函數和具有C關系．(1)判斷函數和是否具有C關系；(2)若函數和不具有C關系，求實數a的取值范圍；(3)若函數和在區間上具有C關系，求實數m的取值范圍．【答案】(1)是(2)(3)【分析】（1）根據C關系的理解，令，解得，從而得以判斷；（2）利用換元法，結合二次函數的性質得到在上恒成立，分類討論與，利用基本不等式即可求得a的取值范圍；（3）構造函數，將問題轉化為在上存在零點，分類討論與，利用導數與函數的關系證得時，在上有零點，從而得解.【解析】（1）與是具有C關系，理由如下：根據定義，若與具有C關系，則在與的定義域的交集上存在，使得，因為，，，所以，令，即，解得，所以與具有C關系.（2）令，因為，，所以，令，則，故，因為與不具有C關系，所以在上恒為負或恒為正，又因為開口向下，所以在上恒為負，即在上恒成立，當時，顯然成立；當時，在上恒成立，因為，當且僅當，即時，等號成立，所以，所以，綜上：，即.（3）因為和，令，則，因為與在上具有C關系，所以在上存在零點，因為，當且時，因為，所以，所以在上單調遞增，則，此時在上不存在零點，不滿足題意；當時，顯然當時，，當時，因為在上單調遞增，且，故在上存在唯一零點，設為，則，所以當；當；又當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，在上存在唯一極小值點，因為，所以，又因為，所以在上存在唯一零點，所以函數與在上具有C關系，綜上：，即.【點睛】關鍵點睛：本題解題的關鍵是理解新定義，得到與具有C關系，則在定義域上存在，使得，從而得解.【例】（2324高三下·上海·期中）定義如果函數和的圖像上分別存在點和關于軸對稱，則稱函數和具有關系.(1)若，試判斷函數和是否具有關系；(2)若函數和不具有關系，求實數的取值范圍；(3)若函數和在區間上具有關系，求實數的取值范圍.【答案】(1)具有(2)(3)【分析】（1）令求出，即可確定對稱點的坐標，即可判斷；（2）由，利用二倍角公式及輔助角公式得到，結合正弦函數的性質求出的取值范圍；（3）令，利用導數說明函數的單調性，得到函數在上存在零點時參數的取值范圍，即可得解.【解析】（1）當時，由，得，解得，又，所以函數和圖像上分別存在點和關于軸對稱，故和具有關系.（2）由，得，，，，，其中，因為可取一切實數，所以，所以方程有解的充要條件為，即，即，所以，所以函數和不具有關系時，實數的取值范圍為；（3）令，則.

函數和在上具有關系，等價于在上存在零點；函數和在上不具有關系，等價于在上不存在零點.1°當，且時，因為，所以，所以在上是嚴格增函數，且；此時在上不存在零點，即函數和在上不具有關系.

2°當時，顯然當時，，當時，因為在是嚴格增函數，且，，故在存在唯一零點，設為，即；且當，；當，，所以在上存在唯一極小值點，所以在上是嚴格減函數，在上是嚴格增函數，因為，所以，又因為，所以在上存在唯一零點，所以函數和在上具有關系.綜上所述，若函數和在上具有關系，則實數的取值范圍為.【點睛】方法點睛：導函數中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數研究含參函數的單調性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數形結合思想的應用；二是函數的零點、不等式證明常轉化為函數的單調性、極(最)值問題處理．【例】（2024屆金山區二模）已知函數與有相同的定義域．若存在常數()，使得對于任意的，都存在，滿足，則稱函數是函數關于的“函數”．（1）若，，試判斷函數是否是關于的“函數”，并說明理由；（2）若函數與均存在最大值與最小值，且函數是關于的“函數”，又是關于的“函數”，證明：；（3）已知，，其定義域均為．給定正實數，若存在唯一的，使得是關于的“函數”，求的所有可能值．21．（1）不是關于的“函數”．…………2分解法一：當時，，所以不存在，使得……4分解法二：因為函數()的值域為，比如取，則，不存在，使得．…………4分（2）設．由題意，存在，使得．因為函數是關于的“函數”，所以存在，滿足，從而．…………6分同理，由是關于的“函數”，可得，…………8分綜上，．…………10分（3）記集合，．由是關于的“函數”，得．①當時，，，從而解得．因唯一，令，解得(舍)或(舍)．…………12分②當時，，，從而解得．因唯一，令，解得，符合題意．…………14分③當時，，，從而解得．因唯一，令，解得，符合題意．…………16分綜上，的所有可能值為或．………18分題型四：其它角度下定義【例】已知為實數，．對于給定的一組有序實數，若對任意，，都有，則稱為的“正向數組”．(1)若，判斷是否為的“正向數組”，并說明理由；(2)證明：若為的“正向數組”，則對任意，都有；(3)已知對任意，都是的“正向數組”，求的取值范圍．【答案】(1)不是的“正向數組”；(2)證明見解析；(3)的取值范圍是.【詳解】（1）若，，對，即，而當，時，，，即，不滿足題意.所以不是的“正向數組”.（2）反證法:假設存在,使得,為的“正向數組”，對任意,都有.對任意恒成立.令，則在上恒成立，，設，，則當時，在上為負，在上為正，所以在上單調遞減，在上單調遞增；若，當，，當，，即存在，使在上為正，在上為負，在上為正，所以在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，又當，，當，，則的值域為；若，，在上單調遞增，又當，，當，，則的值域為.當時，，在上單調遞增，又當，，當，，必存在，使在上為負，在上為正，所以在上單調遞減，在上單調遞增，又當，，當，，則的值域為.由值域可看出，與在上恒成立矛盾.對任意，都有.（3）都是的“正向數組”，對任意，，都有，則恒成立或恒成立，即恒成立或恒成立，設，則，即是的最大值或最小值.，且.當時，由（2）可得，的值域為