第十四章整式的乘法與因式分解

14.1整式的乘法

14.1.1同底數幕的乘法

敦與目標

1-理解同底數塞的乘法法則.

2?運用同底數塞的乘法法則解決一些實際問題.

事占雅占

二=，，一人H，t，?

重占

正確理解同底數幕的乘法法則.

難點

正確理解和應用同底數塞的乘法法則.

敦與設計

一、提出問題，創設情境

復習a11的意義：

a11表示n個a相乘，我們把這種運算叫做乘方，乘方的結果叫做

塞；a叫做底數，n是指數.

（出示投影片）

?一…百嬴；

:^底數：

提出問題：

（出示投影片）

問題：一種電子計算機每秒可進行1千萬億（10》次運算，它工

作秒可進行多少次運算?

［師］能否用我們學過的知識來解決這個問題呢？

［生］運算次數=運算速度X工作時間，

所以計算機工作秒可進行的運算次數為：1015義］03.

［^］10l5X103如何計算呢？

［生］根據乘方的意義可知

1015Xio3=(10X10X-X10)15個10X(10X10X10)=

(10X10X-X10)18個10=10叱

［師］很好，通過觀察大家可以發現1015>103這兩個因數是同底數

幕的形式，所以我們把像1015，1()3的運算叫做同底數塞的乘法.根

據實際需要，我們有必要研究和學習這樣的運算——同底數基的乘法.

二、探究新知

1?做一做

(出示投影片)

計算下列各式：

(1)25X22；

(2)a3-a2；

(3)5m-5n.(m，n都是正整數)

你發現了什么？注意觀察計算前后底數和指數的關系，并能用自

己的語言描述.

［師］根據乘方的意義，同學們可以獨立解決上述問題.

［生］(1)25*22=(2義2X2X2X2)X(2X2)

=27=25+2.

因為25表示5個2相乘電2表示2個2相乘，根據乘方的意義，

同樣道理可得

a*(a。a。a)(a,a)a'==a~

5m?5n^(5X5---5),\s\do4(m個5))X(5X5---5),\s\do4(n個5))

=5m+n.

［生］我們可以發現下列規律：am/等于什么(m，n都是正整數)？

為什么？

(1)這三個式子都是底數相同的幕相乘；

(2)相乘結果的底數與原來底數相同，指數是原來兩個幕的指數

的和.

2?議一議

(出示投影片)

［師生共析］

臚?履表示同底數塞的乘法.根據幕的意義可得：

a111,an=(aXa---<-a)m個a,(aXa-,---a)n個a=a?a........a(m+

n)個a=am+n

于是有am-an=am+n(rn，n都是正整數)，用語言來描述此法則即

為：

“同底數基相乘，底數不變，指數相加”.

［師］請同學們用自己的語言解釋“同底數幕相乘，底數不變，指

數相加”的道理，深刻理解同底數基的乘法法則.

［生］a"1表示m個a相乘，a，，表示n個a相乘，a"1?a11表示m個a

相乘再乘以n個a相乘，也就是說有(m+n)個a相乘，根據乘方的意

義可得am?an=am+n.

［師］也就是說同底數基相乘，底數不變，指數要降一級運算，變

為相加.

3?例題講解

出示投影片

［例1］計算：

(l)x2?x5;(2)a-a6；

(3)2X24X23;(4)xm?x3m+l.

［例2］計算a"1?a*1?aP后，能找到什么規律？

［師］我們先來看例1是不是可以用同底數幕的乘法法則呢？

［生1］(1)，(2)，(4)可以直接用“同底數幕相乘，底數不變，指

數相加”的法則.

［生2K3)也可以，先算兩個同底數塞相乘，將其結果再與第三個

基相乘，仍是同底數幕相乘，再用法則運算就可以了.

［師］同學們分析得很好.請自己做一遍.每組出一名同學板演，

看誰算得又準又快.

生板演：

(1)解：x2,x5=x2+5=x7；

(2)解：a-a6=a',a6=a1+6=a7；

(3)解:2X24X23=21+4?23=25?23=25+3=28；

(4)解：xm?x3m+l=xm+(3m+D=x4m+L

［師］接下來我們來看例2.受(3)的啟發，能自己解決嗎？與同伴交

流一下解題方法.

解法一：am?an?ap=(am?an)-ap

=am+n-ap=am+n+p；

解初法一-*：：a.?an.?ap1—am?(/aii*a_p*\)=am.*a_n+pam+n+1p；

解法三：am,a11?aP=(a?a…a)m個a,(a?a…a)n個a?(a-a,j,a)p

個a=am+n+p

歸納：解法一與解法二都直接應用了運算法則，同時還運用了乘

法的結合律；解法三是直接應用乘方的意義.三種解法得出了同一結

果.我們需要這種開拓思維的創新精神.

［生］那我們就可以推斷，不管是多少個幕相乘，只要是同底數累

相乘，就一定是底數不變，指數相加.

［師］是的，能不能用符號表示出來呢？

［生］ami?am2?am3????amn—ami+m2+m3H—mn.

［師］鼓勵學生.那么例1中的第(3)題我們就可以直接應用法則運

算了.

2X24X23=2I+4；3=28.

三、隨堂練習

l-n?4可以寫成()

A?m7+m7B.m7,m7

C-m2?m7D.m?m14

2?若xm=2，xn=5，貝ljxm+n的值為()

A?7B.10C.25D.52

3?計算：-22X(-2)2=；

(一x)(—x2)(-x3)(-x4)=?

4?計算：⑴(—3)2X(—3H

(2)106?105?10；

(3)x2?(—x)5；

(4)(a+b)2?(a+b)6.

四'課堂小結

［師］這節課我們學習了同底數幕的乘法的運算性質，請同學們談

一下有何新的收獲和體會呢？

［生］在探索同底數基乘法的性質時一，進一步體會了累的意義，了

解了同底數基乘法的運算性質.

［生］同底數幕的乘法的運算性質是底數不變，指數相加.應用這

個性質時.，我覺得應注意兩點：一是必須是同底數幕的乘法才能運用

這個性質；二是運用這個性質計算時一定是底數不變，指數相加，即

am-an=am+n(m，n是正整數).

五'課后作業

教材第96頁練習.

敦與反思

本課的主要教學任務是“同底數累乘法的運算性質”：同底數累

相乘，底數不變，指數相加.在課堂教學時，通過塞的意義引導學生

得出這一性質，接著再引導學生深入探討同底數塞運算，塞的底數可

以是“任意有理數、單項式、多項式”，訓練學生的整體思想.

14-1.2幕的乘方

敢與目標

1?知道事的乘方的意義.

2?會進行事的乘方計算.

重占?人難CC,(,,5,

重占

■^^，、、、

會進行幕的乘方的運算.

難點

幕的乘方法則的總結及運用.

敦與設計

一'復習引入

(1)敘述同底數塞乘法法則，并用字母表示：

(2)計算：①a?,a5,an；②a,?a4,a4.

二、自主探究

1?思考：

根據乘方的意義及同底數塞的乘法填空，看看計算結果有什么規

律：

(1)(32)3=32X32X32=3()；

(2)(a2)3=a2?a2*a2=a()；

(3)(am)3=a'n-am-am=a(>(m是正整數)

2?小組討論

對正整數n，你認識(am)n等于什么？能對你的猜想給出驗證過程

嗎？

幕的乘方(am)n=am-am?am-amn個

=am+m+m-|—m,\s\up6(n1m))

=amn

字母表示：(am)n=amn(m，n都是正整數)

語言敘述：塞的乘方，底數不變，指數相乘.

注意：

幕的乘方不能和同底數基的乘法相混淆，例如不能把但5)2的結果

錯誤地寫成a7，也不能把a5-a2的計算結果寫成a10.

三、鞏固練習

1?下列各式的計算中，正確的是()

A-(x3)2=x5B.(x3)2=x6

C-(xn+1)2=x2n+lD.x3?x2=x6

2?計算：

⑴(IO,⑵(a,*

(3)(am)2;(4)-(x4)3.

四'歸納小結

幕的乘方的意義：

(am)n=amn.(m，n都是正整數)

五'布置作業

教材第97頁練習.

敢與反思

運用類比方法，得到了募的乘方法則.這樣的設計起點低，學生

學起來更自然，對新知識更容易接受.類比是一種重要的數學思想方

法，值得引起注意.

14?1.3積的乘方

敦與目標

1?經歷探索積的乘方和運算法則的過程，進一步體會塞的意義.

2?理解積的乘方運算法則，能解決一些實際問題.

重占難占

重點

積的乘方運算法則及其應用.

難點

幕的運算法則的靈活運用.

教學設計

一'問題導入

［師］提出的問題：若已知一個正方體的棱長為1.1X103cm，你

能計算出它的體積是多少嗎？

［生］它的體積應是V=(l.lX103)3cm3.

［師］這個結果是塞的乘方形式嗎？

［生］不是，底數是1.1與的乘積，雖然1。3是塞，但總體來

看，我認為應是積的乘方才有道理.

［師］積的乘方如何運算呢？能不能找到一個運算法則？用前

兩節課的探究經驗，請同學們自己探索，發現其中的奧妙.

二'探索新知

老師列出自學提綱，引導學生自主探究、討論、嘗試、歸納.

(出示投影片)

1?填空，看看運算過程用到哪些運算律，從運算結果看能發現

什么規律？

(1)(ab)2=(ab)-(ab)=(a-a)-(b-b)=a()b')；

(2)(ab)3===a()；

(3)(ab>===a()b()(n是正整數)

2?把你發現的規律先用文字語言表述，再用符號語言表達.

3?解決前面提到的正方體體積計算問題.

4?積的乘方的運算法則能否進行逆運算呢？請驗證你的想法.

5?完成教材第97頁例3.

學生探究的經過：

1?(l)(ab)2=(ab>(ab)=(a?a>(b-b)=a2b之，其中第①步是用乘方的

意義；第②步是用乘法的交換律和結合律；第③步是用同底數幕的乘

法法則.同樣的方法可以算出⑵，(3)題；

(2)(ab)3=(ab)-(ab)-(ab)

■—(a1a1a),(b-b1b)--ab；

(3)(ab)n=(ab〉(ab)?…個ab

=a?a.........an個a?b,b...........bn個b=anbn.

2?積的乘方的結果是把積的每一個因式分別乘方，再把所得的

塞相乘，也就是說積的乘方等于事的乘積.

用符號語言敘述便是：(ab)n=an-bn.(n是正整數)

3?正方體的V=(1.1X1()3)3它不是最簡形式，根據發現的規律

可作如下運算：

V=(1.1X103)3=1.13X(103)3=1.13xio3x3=1.13x109=

1.331X109(cm3).

通過上述探究，我們可以發現積的乘方的運算法則：

(ab)n=an-bn.(n為正整數)

積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的幕相乘.

再考慮如下問題：(abc)n如何計算？是不是也有類似的規律？3

個以上的因式呢？

學生討論后得出結論：

三個或三個以上因式的積的乘方也具有這一性質，即(abc)n=

a11-bn-cn.(n為正整數)

4?積的乘方法則可以進行逆運算.即a11-bn=(ab)n.(n為正整數)

分析這個等式：左邊是幕的乘積，而且幕指數相同，右邊是積的

乘方，且指數與左邊指數相等，那么可以總結為：

同指數惠相乘，底數相乘，指數不變.

看來這也是降級運算了，即將幕的乘積轉化為底數的乘法運算.

對于a11-bn=(a-b)n(n為正整數)的證明如下：

a11,bn=(aXaX…><a)n個a(bXbX…=b)n個b----幕的意義

=(ab)(ab)(ab)(ab)…(ab)n個(ab)----乘法交換律、結合律

=(a-b)n——乘方的意義

5.[例3]

(l)(2a)3=23?a3=8a3；

(2)(—5b)3=(—5)3-b3=-125b3；

(3)(xy2)2=x2?(y2)2=x2?y2x2=x2?y4=x2y4；

(4)(-2X3)4=(-2)4?(X3)4=16-X3X4=16X12.

(學生活動時，老師深入到學生中，發現問題，及時啟發引導，

使各個層面的學生都能學有所獲)

［師］通過自己的努力，發現了積的乘方的運算法則，并能做簡

單的應用.可以作如下歸納總結：

(1)積的乘方法則：

積的乘方等于每一個因式乘方的積.即(ab)n=an?bn.(n為正整數)

(2)三個或三個以上的因式的積的乘方也是具有這一性質.如

(abc)n=an-bn-cn；(n為正整數)

(3)積的乘方法則也可以逆用.即a11-bn=(ab)n>an-bn-cn=(abc)n.(n

為正整數)

三、隨堂練習

1?教材第98頁練習.

(由學生板演或口答)

四'課堂小結

(1)通過本節課的學習，你有什么新的體會和收獲？

(2)在應用積的運算性質計算時，你覺得應該注意哪些問題？

五'布置作業

(l)(-2xy)3；(2)(5x3y)2；(3)［(x+yKf；(4)(0.5am3n竽

敢與反思

本節課屬于典型的公式法則課，從實際問題猜想——主動推導探

究——理解公式——應用公式——公式拓展，整堂課體現以學生為本

的思想。實際問題情境的設置，在于讓學生感受到研究新問題的必要

性，帶著問題思考本節課，更容易理解重點、突破難點.

14-1.4整式的乘法（4課時）

第1課時單項式乘單項式和單項式乘多項式

教與目標：?<

1?探索并了解單項式與單項式、單項式與多項式相乘的法則，

并運用它們進行運算.

2?會進行整式的混合運算.

重（5難占

，"，人H，，，，：?<

重占

，、、、

單項式與單項式、單項式與多項式相乘的運算法則及其應用.

難點

靈活地進行單項式與單項式、單項式與多項式相乘的運算.

敦與設計:?<

一'復習導入

1?知識回顧:

回憶幕的運算性質:

am-an=am+n（m，n都是正整數），

即同底數幕相乘，底數不變，指數相加.

(am)n=amn(rn，n都是正整數)，

即幕的乘方，底數不變，指數相乘.

(ab)n=anbn(n為整數)，

即積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的幕相

乘.

口答：

幕的三個運算性質是學習單項式與單項式、單項式與多項式乘法

的基礎，所以先組織學生對上述的內容作復習.

2?練一練

(a2)2=:

T)2=;

二、探究新知

問題：光的速度約為3義105千米/秒，太陽光照射到地球上需要

的時間大約是5X1()2秒，你知道地球與太陽的距離約是多少千米？

注：從實際的問題導入，讓學生自己動手試一試，主動探索，在

自己的實踐中獲得知識，從而構建新的知識體系.

地球與太陽的距離約為(3X105)X(5X102)千米.問題是

(3X105)X(5X1()2)等于多少呢？學生提出運用乘法交換律和結合律

可以解決：

(3X1()5)x(5xi()2)=(3x5)XX1()7(為什么？)

在此處再問學生更加規范的書寫是什么？應該是地球與太陽的

距離約為1.5義1()8千米.

請學生回顧，我們是如何解決問題的.

問題：如果將上式中的數字改為字母，即ac5-bc2，你會算嗎？

學生獨立思考，小組交流.

注：從特殊到一般，從具體到抽象，在這一過程中，要注意留給

學生探索與交流的空間，讓學生在自己的實踐中獲得單項式與單項式

相乘的運算法則.

學生分析:跟剛才的解決過程類似，可以將ac5和小分別看成a<5

和be?，再利用乘法交換律和結合律.

ac'?be2

=(a-c'>(b?c2)

=(a-b)-(c5?c2)

=abc5+2

?-abc’.

注：在教學過程中注意運用類比的方法來解決實際問題.

［探究一］

類似地，請你試著計算：

(l)2c5?5c2；(2)(-5a2b3)-(-b2c).

ac5和be2，2c§和5c2，(-5a2b3)和(一4b?c)都是單項式，通過剛才

的嘗試，誰能告訴大家怎樣進行單項式乘法？

注：先不給出單項式與單項式相乘的運算法則，而是讓學生類比，

自己動手試一試，再相互交流，自己小結出如何進行單項式的乘法.要

求學生用語言敘述這個性質，這對于學生提高數學語言的表述能力是

有益的.

學生小結：單項式與單項式相乘，把它們的系數、相同字母分別

相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的

一個因式.

3?算一算

例1：教材例4.

在例題教學中應該先讓學生觀察有哪些運算，如何利用運算性質

和法則.分析后再動手做，同時讓學生說一說每一步的依據.提醒學

生在單項式的運算中應該先確定符號.

例2小民的步長為a米，他量得家里臥室長15步，寬14步，

這間臥室的面積有多少平方米？

注：將運算法則應用在實際問題中，提高學生解決實際問題的能

力.

4?辯一辯

教材第99頁練習2.

注：辯一辯的目的是讓學生通過對這些判斷題的討論甚至爭論，

加強對運算法則的掌握，同時也培養學生一定的批判性思維能力.

［探究二］

1?師生共同研究教材第99頁的問題，對單項式與多項式相乘的

方法能有感性認識.

注：這個實際問題來源于學生的實際，所以在教學中通過師生共

同探討，再結合分配律學習不難得到結論.

2-試一試

計算：2a2??a?-5b）.（根據乘法分配律）

注：因為整式的運算是在數的運算的基礎上發展起來的，所以在

解決問題時讓學生類比數的運算律，將單項式乘以多項式轉化為單項

式的乘法，自己嘗試得出結論.

3?想一想

從上面解決的兩個問題中，誰能總結一下，怎樣將單項式和多項

式相乘？

學生發言，互相補充后得出結論：

單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把

所得的積相加.

4?做一做

教材例5.（在學習過程中提醒學生注意符號問題，多項式的每一

項都包括它前面的符號）

注：學生在計算過程中，容易出現符號問題，要特別提醒學生注

尼、?

教材第100頁練習.

三、課外鞏固

1?必做題：教材第104?105頁習題14.1第3，4題.

2?備選題：

⑴若(-5am+%2n7)(2anbm)=—lOa%’，則m-n的值為

(2)計算:(a3b心?(a2b汽

(3)計算：(3a2by+(—2ab)(—4a3b)；

(4)計算:(—|xy)-(|xy2-2xy+|y).

教與反思

本節課采用引導發現法.通過教師精心設計的問題鏈，引導學生

將需要解決的問題轉化成用已經學過的知識可以解決的問題，充分體

現了教師的主導作用和學生的主體作用，學生始終處在觀察思考之中

第2課時多項式乘多項式

教字目標：?<

經歷探索多項式乘法法則的過程，理解多項式乘法法則，靈活運

用多項式乘以多項式的運算法則.

重占難占

=，，I?人b，，，I：?<

重點

多項式乘法的運算.

難點

探索多項式乘法的法則，注意多項式乘法的運算中“漏項”、

“負號”的問題.

敦與設計:?<

一、情境導入

教師引導學生復習單項式義多項式運算法則.

整式的乘法實際上就是:

單項式義單項式;

單項式義多項式;

多項式義單項式.

組織討論：問題為了擴大街心花園的綠地面積，把一塊原長a

加，寬pm的長方形綠地?加長了bm,加寬了qm.你能用幾種方法

求出擴大后的綠地面積？

如何計算？小組討論，你從計算過程中發現了什么？

由于(a+b)(p+q)和(ap+aq+bp+bq)表示同一個量,

即有(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq.

二'探索新知

(一)探索法則

根據乘法分配律，我們也能得到下面等式:

在學生發言的基礎上，教師總結多項式與多項式的乘法法則并板

書法則.

讓學生體會法則的理論依據：乘法對加法的分配律.

多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式

的每一項，再把所得的積相加.

(二)例題講解與鞏固練習

1?教材例6計算：

(l)(3x+l)(x+2)；

(2)(x-8y)(x-y)；

(3)(x+y)(x2—xy+y2).

2?計算下列各題：

(l)(x+2)(x+3)；

(2)(a-4)(a+l)；

(3)(y—1)(y+|)；

(4)(2x+4)(6x-1)；

(5)(m+3n)(m—3n)；

(6)(x+2)2.

3?某零件如圖所示，求圖中陰影部分的面積S.

練習點評：根據學生的具體情況，教師可選擇其中幾題，分析并

板書示范，其余幾題，可由學生獨立完成.在講解、練習過程中，提

醒學生對法則的靈活、正確應用，注意符號，不要漏乘.

注意一定要用第一個多項式的每一項依次去乘第二個多項式

的每一項，在計算時要注意多項式中每個單項式的符號.

三、課堂小結

指導學生總結本節課的知識點，學習過程的自我評價.主要針對

以下方面：

1?多項式X多項式.

2?多項式與多項式的乘法.

用一個多項式中的每項乘另一個多項式的每一項，不要漏項.在

沒有合并同類項之前，兩個多項式相乘展開后的項數應是這兩個多項

式項數之積.

四'布置作業

教材第102頁練習題.

敢與反思

本節課由計算綠地面積出發，通過幾種不同的計算圖形面積方法，

得出多項式相乘的法則，整個教學過程的主線和重點定在學生如何自

主地探索多項式乘法法則的過程以及如何熟練運用法則解決問題，充

分調動了學生學習的積極性.教師不僅是教給學生知識，還要重視學

習方法的指導和培養.

第3課時同底數鬲相除

敦與目標：?<

1?掌握同底數基的除法的運算法則.

2?會用同底數塞的除法的法則進行計算.

重占難(5

=，，，IAH，，?，:?<

重占

準確熟練地運用同底數塞的除法運算法則進行計算.

難點

根據乘、除互逆的運算關系得出同底數曙的除法運算法則.

敦學設計

一'問題導入

1?敘述同底數事的乘法運算法則.

同底數感相乘，指數相加，底數不變.即am-an=am+n.(m，n是

正整數)

2?問題：一種數碼照片的文件大小是28K，一個存儲量為26M(1M

=21°依的移動存儲器能存儲多少張這樣的數碼照片？

移動器的存儲量單位與文件大小的單位不一致，所以要先統一單

位.移動存儲器的容量為26X21°=216K.所以它能存儲這種數碼照片

的數量為2184-28.

218，28是同底數幕，同底數幕相除如何計算呢？

二、探究新知

請同學們做如下運算：

1-(1)28X28；(2)52X53；(3)102X105；(4)a3?a3.

2?填空：

(1)()-28=216；(2)(>53=55；

(3)()-105=107；(4)()-a3=a6.

除法與乘法兩種運算互逆，要求空內所填數，其實是一種除法運

算，所以這四個小題等價于:

16853

(1)24-2=()；(2)54-5=();

(3)1074-105=()；(4)a64-a3=().

再根據第1題的運算，我們很容易得到答案：

(1)28；(2)52；(3)102；(4)a3.

其實我們用除法的意義也可以解決，請同學們思考、討論.

(1)2164-28=(2)554-53=

(3)1074-105=(4)a64-a3=

從上述運算能否發現商與除數、被除數有什么關系？

am4-an=am-n.(a#0，m，n都是正整數，且mln)

三'例題講解

例1(教材例7)計算：

(1)X84-X2；(2)(ab)54-(ab)2.

解：⑴x8：x2=x8-2=x6；

(2)(ab)54-(ab)2=(ab)5-2=(ab)3=a3b3.

例2先分別利用除法的意義填空，再利用am+an=am-n的方法

計算，你能得出什么結論？

(1)324-32=()；(2)1034-103=()

(3)am4-am=()(a^0).

解：先用除法的意義計算.

2233mm

34-3=1；104-10=1；a4-a=l(a^0).

再利用am+an=am-n的方法計算.

103^-103=103-3=10°；

am4-am=am-m=a°(a^0).

這樣可以總結得a0=l(aWO).

于是規定：

a°=l(aWO)，

即任何不等于0的數的0次幕都等于1.

四'課堂小結

通過這節課的學習，你有哪些收獲？

師生共同總結：(1)同底數塞相除，底數不變，指數相減；(2)任

何不等于0的數的0次幕都等于1.

五'布置作業

教材第104頁練習第1題.

敦與反思

同底數哥的除法的主要內容是根據除法是乘法的逆運算，從計算

具體的同底數的事的除法，到計算底數具有一般性的字母，逐步歸納

出同底數幕除法的法則，并運用法則熟練、準確地進行計算.本節課

是在學習了塞的乘方、積的乘方的基礎上進行的，它們構成一個有機

整體，為后續的整式除法的學習打下基礎.

第4課時整式的除法

敦與目標：?<

1?單項式除以單項式的運算法則及其應用.

2?多項式除以單項式的運算法則及應用.

=重占，，11難人H占，，I，

重占

單項式除以單項式的運算法則及其應用；多項式除以單項式運算

法則及其應用.

難點

探索多項式與單項式相除的運算法則的過程.

教學設計

一、情境導入

問題：木星的質量約是1.90X1()24噸，地球的質量約是5.08X1()21

噸，你知道木星的質量約是地球質量的多少倍嗎？

重點研究算式(1.90X1024)+(5.98X1021)怎樣進行計算，目的是給

出下面兩個單項式相除的模型.

二、探究新知

1?探索法則

⑴計算(1.90X1024)+(5.98><IO?])，說說你計算的根據是什么？

(2)你能利用⑴中的方法計算下列各式嗎？

8a3+2a；6x3y4-3xy；12a3b2x34-3ab2.

(3)你能根據⑵說說單項式除以單項式的運算法則嗎？

教師可以鼓勵學生自己發現系數、同底數塞的底數和指數發生的

變化，并運用自己的語言進行描述.

2?歸納法則

單項式相除，把系數與同底數幕分別相除作為商的因式，對于只

在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式.

3?應用新知

(l)28x4y24-7x3y；

(2)—5a5b3c+15a4b.

首先指明28x‘y2與7x3y分別是被除式與除式，在這里省去了括

號，對本例可以采用學生口述，教師板書的形式完成.口述和板書都

應注意展示法則的應用，計算過程要詳盡，使學生盡快熟悉法則.

4?鞏固新知

教材第104頁練習第2題.

學生自己嘗試完成計算題，同桌交流.

5?再探新知

計算下列各式：

(l)(am+bm)-?m；

(2)(a2+ab)+a；

(3)(12a3-6a2+3a)^3a.

①說說你是怎樣計算的.

②還有什么發現嗎？

在學生獨立解決問題之后，及時引導學生反思自己的思維過程，

并對自己計算所得的結果進行觀察，總結出計算的一般方法和結果的

項數特征：商式與被除式的項數相同.

6?歸納法則

多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，

再把所得的商相加.

你能把這句話寫成公式的形式嗎？

7?解決問題

計算：

(l)(21x4y3-35x3y2+7x2y2)^(一7x2y)；

(2)[(x+y)2—y(2x+y)—8x]+2x.

幕的運算性質是整式除法的關鍵，符號仍是運算中的重要問

題.在此可由學生口答，要求學生說出式子每步變形的依據，并要求

學生養成檢驗的習慣，利用乘除互為逆運算，檢驗商式的正確性.

8-鞏固提高

教材第104頁練習第3題.

利用投影儀反饋學生解題過程.

三'布置作業

1?必做題：教材第105頁習題14.1第6題.

2?備選題：下列計算是否正確？如不正確，應怎樣改正？

(l)-4ab24-2ab=2b；

(2)(14a3-2a2+a)^a=14a2=2a.

敦與反思

這節課可以說學生動的多，教師講的少.學生的主體地位體現的

還算可以.主要是以學生的活動為主的，基本符合新課改精神.課堂

上教師的指導提示基本到位，學生能夠在教師的指導下進行活動，完

成了教學任務.

14?2乘法公式

14.2.1平方差公式

教字目標：?<

1?經歷探索平方差公式的過程.

2?會推導平方差公式，并能運用公式進行簡單的運算.

，tt?人H，?一：?<

重占

平方差公式的推導和應用.

難點

理解平方差公式的結構特征，靈活應用平方差公式.

教與設計:?<

一'設問引入

探究：計算下列多項式的積，你能發現它們的運算形式與結果有

什么規律嗎？

(l)(x+D(x-l)；

(2)(m+2)(m-2)；

(3)(2x+l)(2x-l).

引導學生用自己的語言敘述所發現的規律，允許學生之間互相補

充，教師不急于概括.

二、舉例分析

再舉幾個這樣的運算例子.

讓學生獨立思考，每人在組內舉一個例子（可口述或書寫），然后

由其中一個小組的代表來匯報.

三、歸納概括

計算(a+b)(a—b).

讓學生計算，歸納算式的特征，說明結果的形式.

然后，教師系統總結平方差公式.

平方差公式：(a+b)(a_b)=a2—b2.

語言敘述：.

教師引導學生歸納這個公式的一些特點：如公式左、右兩邊的結

構，教給學生記憶公式的方法.

四'應用新知

教材例1運用平方差公式計算：

(l)(3x+2)(3x-2)；

(2)(—x+2y)(—x—2y).

填表：

最后結

(a+b)(a-b)aba2—b2

果

(3x+2)(3x-2)2(3x)2—2?

(x+2y)(-x—2y)

對本例的前面兩個小題可以采用學生獨立完成，然后搶答的

形式；第二小題可采用小組討論的形式，要求學生在給出表格所提示

的解法之后，思考別的解法:提取后一個因式里的負號，將2y看作“a”，

將x看作“b”，然后運用平方差公式計算.

教材例2計算:

(l)(y+2)(y—2)—(y—l)(y+5)；

(2)102X98.

此處仍先讓學生獨立思考，然后自主發言，口述解題思路，允許

他們算法的多樣化，然后通過比較優化算法，達到簡便計算的目的.

五'鞏固練習

教材第108頁練習第1，2題.

第1題口述完成；

第2題采用大組競賽的形式進行，其中(1)(4)由兩個大組完成，

(2)(3)由另兩個大組完成.

六、小結與作業

談一談：你這節課有什么收獲？

作業：教材第112頁習題14.2第1題.

敦與反思

平方差公式是特殊的整式的乘法，運用這一公式可以迅速而簡捷

地計算出符合公式的特征的多項式乘法的結果，運用公式計算一定要

看是否符合公式的特征，這兩個數分別是什么，公式中的字母a，b

不僅可以代表具體的數字，字母，單項式，也可以代表多項式.

14?2.2完全平方公式

敦與目標：?<

1?完全平方公式的推導及其應用.

2?完全平方公式的幾何解釋.

=事，(，，5，人難H占，》,，

重占

完全平方公式的推導過程、結構特點、幾何解釋，靈活應用.

難點

理解完全平方公式的結構特征，并能靈活應用公式進行計算.

教學設計

一'復習引入

你能列出下列代數式嗎？

(1)兩數和的平方；(2)兩數差的平方.

你能計算出它們的結果嗎？

二、探究新知

你能發現它們的運算形式與結果有什么規律嗎？

引導學生用自己的語言敘述所發現的規律，允許學生之間互相補

充，教師不急于概括；

舉例：(l)(p+l)2=(p+l)(p+l)=；

(2)(p—l)2=(p—D(p—1)=；

⑶(m+2)2=;

(4)(m—2尸.

通過幾個這樣的運算例子，讓學生觀察算式與結果間的結構特征.

歸納：公式

(a+b)2=a-+2ab+b2

(a—b)2=a2—2ab+b2

語言敘述：兩個數的和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上

(或減去)它們積的2倍.這兩個公式叫做(乘法的)完全平方公式.

教師可以在前面的基礎上繼續鼓勵學生發現這個公式的一些特

點：如公式左、右邊的結構，并嘗試說明產生這些特點的原因.

還可以引導學生將(a-的結果用(a+b)2來解釋：

(a-b)2=[a+(-b)]2=a2+2a(-b)+(-b)2=a2-2ab+b2.

三、舉例應用

1-教材例3：運用完全平方公式計算：

(l)(4m+n)2；(2)(y-1)2.

解：(1)(4m+n)2=(4m)2+2-(4m)-n+n2

=16m2+8mn+n2；

(2)(y-1)2=y2-2-y-1+(1)2

=y2-y+1-

可由學生口答完成，教師多媒體展示結果，提高課堂效率.

2-教材例4：運用完全平方公式計算：

(l)1022=(100+2)2=1002+2X100X2+22

=10000+400+4

=10404；

(2)992=(100-l)2=1002-2X100X1+12

=10000-200+1

=9801.

此處可先讓學生獨立思考，然后自主發言，口述解題思路，可先

不給出題目中“運用完全平方公式計算”的要求，允許他們算法的多

樣化，但要求明白每種算法的局限和優越性.

四'再探新知

1?現有下圖所示三種規格的卡片各若干張，請你根據二次三項

式a?+2ab+b2，選取相應種類和數量的卡片，嘗試拼成一個正方形，

并討論該正方形的代數意義：

口"□口

(1

2.你能根據下圖說明(a—b)2=a2-2ab+b?嗎？

第1小題由小組合作共同完成拼圖游戲，比一比哪個小組快？第

2小題借助多媒體課件，直觀演示面積的變化，幫助學生聯想代數恒

等式：(a-b)2=a2~b2—2b(a—b)=a2—2ab+b2.

五'思考討論

(2+1?)2與(一a—b)2相等嗎？(a—b)2與(b—a)?相等嗎？(a—b)?與

a?—b?相等嗎？為什么？

組織學生進行討論，通過自主推導，互相合作交流，共同解決難

題.

六'鞏固拓展

教材例5：運用乘法公式計算：

(l)(x+2y—3)(x—2y+3)；(2)(a+b+c)2.

解：(l)(x+2y-3)(x-2y+3)

=[x+(2y-3)][x-(2y-3)]

=x2—(2y—3)2

=x2-(4y2-12y+9)

=x2—4y2+12y—9；

(2)(a+b+c)2

=[(a+b)+c]2

—(a+b)2+2(a+b)c+c2

—a2+2ab+b24-2ac+2bc+c2

=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.

講解此例之前可先讓學生自學教材第111頁的“添括號法則”

并完成教材第111頁練習第1題.然后給出例5題目，讓學生思考選

擇哪個公式.第⑴小題的解決關鍵是要引導學生比較兩個因式的各

項符號，分別找出符號相同及相反的項，學會運用整體思想，將其與

公式中的字母a,b對照，其中一2y+3=—(2y—3)，故應運用平方差

公式.第⑵小題可將任意兩項之和看作一個整體，然后運用完全平

方公式.

在解此例的過程中，應注意邊辯析各項的符號特征，邊對照兩個

公式的結構特征，教師應完整詳細地書寫解題過程，幫助學生理解這

一公式的拓展應用，突破難點.

七'課堂小結

談一談：你對完全平方公式有了哪些認識？它與平方差公式有什

么區別和聯系？

作業：教材第112頁習題14.2第2題，第3題的⑴⑶⑷，第4

題.

敢與反思

在完全平方公式的探求過程中，學生表現出觀察角度的差異：有

些學生只是側重觀察某個單獨的式子，而不知道將幾個式子聯系起來

看；有些學生則觀察入微，表現出了較強的觀察力.教師要抓住這個

契機，適當對學生進行學法指導.對于公式的特點，則應當左右兼顧，

特別是公式的左邊，它是正確應用公式的前提.

14.3因式分解

14.3.1提公因式法

敦與目標：?<

1?使學生了解因式分解的概念，以及因式分解與整式乘法的關

系.

2?了解公因式概念和提取公因式的方法.

3?會用提取公因式法分解因式.

事占難占

=，111人H，?II：?<

重占，、、、

會用提取公因式法分解因式.

難點

如何確定公因式以及提出公因式后的另外一個因式.

敦與設計

一'問題導入

同學們，我們先來看下面兩個問題：

1-630能被哪些整除，說說你是怎樣想的？

2?當a=101，b=99時，求a2—b?的值.

對于問題1我們必須對630進行質因數分解，對于問題2，雖然

可以直接把a=101，b=99代入進行計算，但如果應用平方差公式應

先把a?-b?變形成(a+b>(a—b)的形式再代入進行計算，將會使計算

過程變得更加簡捷.

通過對上面兩個問題的解決方法和過程的討論，使學生感知到把

一個數進行質因數分解和把一個多項式變為幾個整式的乘積是對數

和式的一種恒等變形，能使演算簡便.

二、探究新知

1?教材第114頁的“探究”.

要在學生充分理解化成整式的積的形式的基礎上進行探究，要注

意突出寫成整式的積的具體含義，使學生聯想到可以運用整式的乘法

來達到這個目的，為因式分解概念的建立埋下伏筆.

2?提出因式分解的概念.

利用教材中的因式分解和整式乘法的關系圖，說明因式分解和整

式乘法是對一個多項式的兩種不同的變形，并強調它們的特點.下列

由左到右的變形，是否是因式分解，為什么？

(1)(X+2)(X-2)=X2-4；

(2)X2-4=(X+2)(X-2)；

(3)X2-4+3X=(X+2)(X-2)+3X.

［探究題使學生進一步認識到多項式可以有不同形式的表示，而

所謂因式分解就是把多項式化為積的形式，分清它與整式乘法的關系，

對因式分解的概念的建立很有必要.通過這次練習強化因式分解的概

念］

3?提公因式法

研究多項式pa+pb+pc各項中每個因式的特點，提出公因式的

概念.

讓學生體驗：

pa+pb+pc=p(a+b+c)從左到右是怎樣得到的，你能對ax+2ay

進行類似的變形嗎？

三、舉例分析

例1把8a3b2+12ab3c分解因式.

分析：先要求學生思考這個問題的最后結果該是怎樣的，然后依

照教材進行分析，注意講清確定公因式的具體步驟，從數、字母和字

母的次數3個方面進行分析；分解因式完成后要分析公因式和另一個

因式之間的關系，并思考：如果提出公因式4ab，另一個因式是否還

有公因式？從而把提公因式的“提”的具體含義深刻化，這是提公因

式法的正確性的重要保證.

練習用提公因式法分解因式:

(l)3mx—6nx2；

(2)4a2b+10ab-2ab3.

例2把2a(b+c)-3(b+c)因式公解.

分析：可引導學生對該多項式的每項因式的特點進行仔細觀察，

從而發現把b+c看作一個“整體”時公因式就是b+c，再用提公因

式法進行分解.

例3計算：0.84X12+12X0.6—0.44X12.

讓學生觀察并分析怎樣計算更簡單.

思考：說說例1、例2和例3的公因式有什么不同？

四、鞏固練習

1?完成教材第115頁練習第1，2，3題.

2?討論：怎樣檢查因式分解是否正確？提公因式后的另一個公

因式的項數和原多項式的項數有什么關系？

五'小結提高

1?舉一個例子說說什么是因式分解.

2?什么是多項式的公因式？確定公因式該從哪幾個方面進行考

慮？

3?說說提公因式法的一般步驟.

(1)確定提取的公因式；(2)用公因式去除這個多項式，所得的商

式作為另一個因式；(3)把多項式寫成這兩個因式的積的形式.

六'布置作業

1?教材第119頁習題14.3第1題.

2?備選題：(1)下列提公因式法分解因式是否正確，為什么？若

不正確，請寫出正確答案.

(D—25a2x2—20a3x2=-5ax(5x—4ax)；

②2a(x—y)3—3b(y—x)2=(x—y)2[2a(x—y)+3b|.

⑵用提公因式法分解因式.

①a%—at)?；

o12.1

②+]xy；

③—2P+q2)+6pq(p2+q2)；

④5a(x—y—z)-2bx+2by+2bz.

教與反思

在學習提取公因式時首先讓學生通過小組討論得到公因式的結

構組成，并且引導學生得出提公因式法這一因式分解的方法其實就是

將被分解的多項式除以公因式得到余下的因式的計算過程.此處的意

圖是充分讓學生自主探索哈作學習得出結論.接著通過例題講解，

最后讓學生自主完成練習題，老師當堂講評.

14-3.2公式法（2課時）

第1課時平方差公式

敦與目標：?<

1?能說出平方差公式的特點.

2?能較熟練地應用平方差公式分解因式.

重（5難占

，?，，ACC，，，?

重點

應用平方差公式分解因式.

難點

靈活應用平方差公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的

要求.

教學設計

一'問題導入，探究新知

問題1:什么叫因式分解？

問題2：你能將多項式x2—4與多項式y2—25分解因式嗎？這兩

個多項式有什么共同的特點？

對于問題1要強調因式分解是對多項式進行的一種變形，可引導

比較它與整式乘法的關系.

對于問題2要求學生先進行思考，教師可視情況作適當的提示，

在此基礎上討論這兩個多項式有什么共同的特點.

特點：這兩個多項式都可以寫成兩個數的平方差的形式，對于這

種形式的多項式，可以利用平方差公式來分解因式.

即(a+b)(a—b)=a2—b?反過來就是：

a2—b2=(a+b)(a—b).

要求學生具體說說這個公式的意義.教師用語句清楚地進行表述.

例1分解因式：

⑴4x2-9；

(2)(x+p)2—(x+q)2.

分析：注意引導學生觀察這2個多項式的項數，每個項可以看成

是什么“東西”的平方，使之與平方差公式進行對照，確認公式中的

字母在每個題目中對應的數或式后，再用平方差公式進行因式分解.

能否用平方差公式進行因式分解，取決于這個多項式是否符合平

方差的特征，即兩個數的平方差，所以要強調多項式是否可化為

()2-()2的形式.括號里的“東西”是一個整體，它可以是具

體的數或單項式或多項式，如(2)題中應是多項式.

例2分解因式：

(l)x4—y4；(2)a3b-ab.

分析：(1)先把它寫成平方差的形式，再分解因式，注意它的第2

次分解；

(2)現在不具備平方差的特征，引導繼續觀察特點，發現有公因

式ab，應先提公因式，再進一步分解.

學生交流體會：因式分解要進行到不能再分解為止，提公因式法

和應用公式法的綜合應用.

二、鞏固練習

完成教材第117頁練習第