三角恒等變換之輔助角公式講義-高一上學期數學人教A版_第1頁
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文檔簡介

輔助角公式一、輔助角公式的推導輔助角公式是三角函數中的一個重要公式，它能將形如（不同時為零）的式子轉化為一個單一三角函數的形式，即。下面我們來詳細推導這個公式。設，根據兩角和的正弦公式，則。所以，有，由此可得，。為了求出和，將兩式分別平方再相加：因為，所以，則。再求：方法一：由，可得滿足，其值由的符號以及的取值范圍確定。方法二：由于，，根據，只需找到滿足滿足取值范圍要求的，的值即可轉化為。綜上，輔助角公式為，其中的求法不唯一。二、輔助角公式的應用（一）化簡三角函數式例1：化簡。解：對于，根據輔助角公式，這里，，則。方法一：，因為，，所以可以找到一個滿足條件的值為，函數可化為。方法二：，根據，只需要找到一個滿足條件的角，使得滿足，可以找到一個滿足條件的值為，函數可化為。通過輔助角公式，將原來兩項的三角函數式化簡為一個簡單的正弦函數形式，方便后續對函數性質的研究。（二）求三角函數的最值例2：求函數的最大值和最小值。解：對于，這里，，則。方法一：，因為，，所以可以找到一個滿足條件的值為，函數可化為。方法二：，根據，只需要找到一個滿足條件的角，使得滿足，可以找到一個滿足條件的值為，函數可化為。因為正弦函數的值域是，所以當時，；當時，。即：函數的最大值和最小值分別為和。借助輔助角公式將函數變形為標準正弦函數形式，能快速得出函數的最值。（三）求解三角函數方程例3：解方程。解：利用輔助角公式，，，則，方法一：，因為，，所以可以找到一個滿足條件的值為，函數可化為。方法二：，根據，只需要找到一個滿足條件的角，使得滿足，可以找到一個滿足條件的值為，函數可化為。所以，，或，。解得或，。輔助角公式將方程左邊復雜的兩項式轉化為一個正弦函數，使方程易于求解。輔助角公式在三角函數的化簡、求最值以及解方程等諸多問題中都有

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