第四章比例知識歸納與題型突破01思維導圖01思維導圖0202知識速記一、圖形的放大與縮小1.圖形的放大和縮小：把圖形按n∶1放大，就是把圖形的每條邊都放大n倍；把圖形按1∶n(n＞1)縮小，就是把圖形的每條邊都縮小到原來的。2.在方格紙上按一定的比將圖形放大或縮小分為三步：一看，看原圖形每邊占幾格；二算，按指定的比計算出將圖形放大或縮小后得到的新圖形每條邊各占幾格；三畫，按計算出的邊長畫出原圖的放大圖或縮小圖。二、比例的意義和組比例1.比例的意義：表示兩個比相等的式子叫作比例。2.判斷兩個比能否組成比例：要看它們的比值是否相等。若比值相等，則能組成比例；若比值不相等，則不能組成比例。三、比例的各部分名稱及比例的基本性質1.比例的項：組成比例的四個數，叫作比例的項。2.比例的內項和外項：兩端的兩項叫作比例的外項，中間的兩項叫作比例的內項。3.比例的基本性質：(1)在一個比例里，兩個外項的積等于兩個內項的積，這叫作比例的基本性質。(2)如果用字母表示比例的四個項，即a∶b＝c∶d，那么比例的基本性質可以表示成：ad＝bc。四、解比例1.解比例的依據是比例的基本性質，已知比例中的任意三項，就可以求出未知的一項。2.求比例中的未知項的過程是解比例，解比例的步驟如下：第一步，根據比例的基本性質把比例轉化成外項的積與內項的積相等的形式；第二步，利用等式的性質解方程求出比例中的未知項。五、比例尺的意義1.一幅圖的圖上距離和實際距離的比，叫作這幅圖的比例尺。2.圖上距離∶實際距離＝比例尺或＝比例尺六、比例尺的應用1.求實際距離：根據比例尺和圖上距離求實際距離，可以根據“實際距離＝圖上距離÷比例尺”求，也可以根據“＝比例尺”列比例式來求。2.求圖上距離：圖上距離＝實際距離×比例尺。七、平面圖形按比例放大后面積的變化規律如果把一個圖形按n∶1的比放大，放大后與放大前圖形的面積比是n2∶1。0303題型歸納題型一比例的意義、基本性質和解比例例1．（2024春?商水縣期中）下面哪幾組中的兩個比可以組成比例？把組成的比例寫出來。2：9和5：22.50.8：0.2和10：512：9和27：20和0.2：0.05【分析】根據比例的意義，表示兩個比相等的式子叫比例，求出各組比的比值，比值相等的可以組成比例。【解答】解：2：9＝2÷9＝5：22.5＝5÷22.5＝＝，所以2：9和5：22.5可以組成比例；0.8：0.2＝0.8÷0.2＝410：5＝10÷5＝24≠2，所以0.8：0.2和10：5不能組成比例；12：9＝12÷9＝27：20＝27÷20＝≠，所以12：9和27：20不能組成比例；：＝÷＝×14＝40.2：0.05＝0.2÷0.05＝44＝4，所以和0.2：0.05能組成比例。【點評】此題考查比例的意義。鞏固訓練1．（2024?南昌）可以用圖與圖的數據組成比例，寫成比例是：。【分析】根據題意，把圖A按比例放大得到圖C，所以圖形對應邊數值成正比例，再運用比例的基本性質作答，即兩個內項的積等于兩個外項的積寫出比例即可，注意寫出的比例答案不唯一。【解答】解：可以用圖A與圖C的數據組成比例，寫成比例是：2：1＝4：2。故答案為：A，C；2：1＝4：2。（答案不唯一）【點評】本題考查的是比例的意義和比例基本性質的運用，靈活地運用比例的基本性質是解答本題的關鍵。2．（2024?高密市）求未知數的值＝：x＝：4x：0.5＝．【分析】（1）先根據比例基本性質：兩內項之積等于兩外項之積，化簡方程，再依據等式的性質，方程兩邊同時除以8求解；（2）先根據比例基本性質：兩內項之積等于兩外項之積，化簡方程，再依據等式的性質，方程兩邊同時除以解；（3）先根據比例基本性質：兩內項之積等于兩外項之積，化簡方程，再依據等式的性質，方程兩邊同時除以4求解．【解答】解：（1）＝8x＝2.4×58x＝128x÷8＝12÷8x＝1.5（2）：x＝：4x＝×4x＝3x＝3x＝24（3）x：0.5＝x：0.5＝3：44x＝0.5×34x＝1.54x＝4x÷4＝÷4x＝【點評】本題考查知識點：依據等式的性質，以及比例基本性質解方程，解方程時注意對齊等號．3．（2024?大冶市）根據比例的基本性質，如果3x＝4y（x，y均不為0），那么＝，＝：。【分析】比例的基本性質：在比例里，兩個外項的積等于兩個內項的積。如果3x＝4y，則3和x要么都是外項，要么都是內項；同理，4和y要么都是外項，要么都是內項。據此解答。【解答】解：通過分析可得：根據比例的基本性質，如果3x＝4y（x，y均不為0），那么＝，＝3：4。故答案為：；3；4。【點評】此題主要考查了學生根據比例的基本性質構成比例的能力。題型二比例尺及應用例2．（2024?清徐縣）張老師買了一套新房，客廳是長6m，寬4.8m的長方形，請用1：200的比例尺畫出張老師家客廳的平面圖，并寫出求圖上距離的過程。【分析】根據比例尺的意義：比例尺＝圖上距離：實際距離，分別計算平面圖上客廳的長和寬，完成作圖即可。【解答】解：6米＝600厘米4.8米＝480厘米600×＝3（厘米）480×＝2.4（厘米）張老師家的客廳如圖：【點評】本題主要考查應用比例尺作圖，關鍵是根據比例尺計算客廳圖上的長和寬。鞏固訓練1．（2024?東莞市）如圖是小明坐出租車從家出發經文化館去展覽館的路線圖。已知出租車在3千米以內（含3千米）按起步價8元計算，超出后每增加1千米車費就增加2元。請你按圖中提供的信息算一算，小明從家出發經文化館去展覽館需要付多少元車費？【分析】根據實際距離＝圖上距離÷比例尺得出展覽館到少年宮和少年宮到小明家的實際距離，然后計算需要付多少車費。【解答】解：展覽館到文化館的距離：8÷＝1600000（厘米）1600000厘米＝16千米文化館到小明家的距離：4÷＝800000（厘米）800000＝8千米8+（16+8﹣3）×2＝8+21×2＝8+42＝50（元）答：小明從家出發經文化館去展覽館需要付50元車費。【點評】本題考查的是比例尺的實際應用。2．（2024?永城市）在比例尺是1：4000000的地圖上，量得兩地間的距離是5厘米。甲、乙兩輛汽車同時從兩地相向開出，小時后相遇，甲汽車與乙汽車速度比是2：3，甲、乙兩輛汽車每小時各行多少千米？【分析】先依據“實際距離＝圖上距離÷比例尺”求出兩地的實際距離，進而依據“路程÷相遇時間＝速度和”求出二者的速度和，又因甲車的速度與乙車速度的比是2：3，分別求出兩車的速度分別占速度和的幾分之幾，再根據分數乘法的意義，即可得解。【解答】解：5÷＝5×4000000＝20000000（厘米）＝200（千米）200÷＝200×＝150（千米/時）150×＝150×＝60（千米/時）150×＝150×＝90（千米/時）答：甲汽車每小時行60千米，乙汽車每小時行90千米。【點評】此題考查了圖上距離、實際距離和比例尺的關系，以及行程問題、按比例分配的方法。3．（2024?博白縣）在一幅比例尺是1：5000000的地圖上量得甲、乙兩地之間的公路長4厘米。一輛汽車以平均每小時80千米的速度從甲地開往乙地，需要多少小時才能到達？【分析】已知比例尺和圖上距離求實際距離，求出實際距離，再根據路程÷速度＝時間，列式解答。【解答】解：4÷＝20000000（厘米）20000000厘米＝200千米200÷80＝2.5（小時）答：需要2.5小時才能到達。【點評】此題主要考查比例尺的意義及已知比例尺和圖上距離求實際距離，注意單位的換算。題型三圖形的放大與縮小例3．（2024?汶上縣）根據要求填一填、畫一畫。（1）以圖中的虛線為對稱軸作△ABC的軸對稱圖形，與點B對應的點稱為B'，B'所在的位置是。（2）將△ABC繞點A按順時針方向旋轉90°，畫出旋轉后的圖形。（3）若將△ABC按3：1放大，則放大后的三角形面積是平方厘米。【分析】（1）根據軸對稱圖形的意義：對稱點到對稱軸的距離相等，對稱點的連線垂直于對稱軸，在對稱軸另一邊畫出圖形的關鍵對稱點，依次連接即可圖形；再根據數對中第1個數表示列，第2個數表示行解答；（2）根據圖形旋轉的特征，點A的位置不動，其余各部分均繞此點按相同方向旋轉相同的度數，得到旋轉后的圖形；（3）若將△ABC按3：1放大，則放大后的三角形的底和高分別是原來三角形底和高的3倍，即底是4×3＝12（厘米），高是2×3＝6（厘米），據此求出面積。【解答】解：（1）（2）如圖所示：；（1）與點B對應的點稱為B'，B'所在的位置是（3，6）（3）4×3＝12（厘米）2×3＝6（厘米）12×6×＝36（平方厘米）答：則放大后的三角形面積是36平方厘米。故答案為：（3，6）；36。【點評】本題考查了圖形的旋轉、放大圖形的畫法，軸對稱圖形的畫法，準確畫圖是關鍵。鞏固訓練1．（2024?播州區模擬）畫一畫．（1）將三角形A的各條邊按4：1放大，得到三角形B．（2）將三角形B的各條邊按1：2縮小，得到三角形C．【分析】三角形A的兩條直角邊是2格，放大后兩條直角邊8格．據此畫出圖形B．將B按1：2縮小后直角邊變為4格，據此畫出圖形C．【解答】解：所畫圖形如下：【點評】本題考查圖形的放大與縮小．2．（2024?高新區）如圖每個小正方形的邊長是1cm，按要求畫圖并填空。（1）在方格紙上畫一個三角形，它的三個頂點的位置分別是A（3，7）、B（1，4）、C（3，4），它是一個三角形。（2）畫出這個三角形繞點C順時針旋轉90°后的圖形。（3）按2：1畫出原三角形擴大后的圖形。【分析】（1）用數對表示位置時，先表示第幾列，再表示第幾行，據此在方格紙上畫一個三角形，它的三個頂點的位置分別是A（3，7）、B（1，4）、C（3，4），它是一個直角三角形。（2）根據圖形旋轉的方法，點C不動，畫出這個三角形繞點C順時針旋轉90°后的圖形即可。（3）根據圖形放大的方法，把原三角形的各條邊的長度擴大到原來2倍，形狀不變，據此畫出按2：1放大后的圖形即可。【解答】解：（1）在方格紙上畫一個三角形，它的三個頂點的位置分別是A（3，7）、B（1，4）、C（3，4），如圖：根據圖示可知，它是一個直角三角形。（2）畫出這個三角形繞點C順時針旋轉90°后的圖形。如圖：（3）按2：1畫出原三角形擴大后的圖形。如圖：故答案為：直角。【點評】本題考查了數對表示位置、圖形的旋轉、圖形的放大知識，結合題意分析解答即可。3．（2024?鳳凰縣）按要求畫圖并回答問題。（1）畫出三角形ABC繞B點順時針旋轉90°得到的圖形。（2）畫出三角形ABC按2：1放大后得到的圖形，放大后的圖形與原圖的面積之比是。（3）如果以AB邊所在直線為軸快速旋轉一周，三角形ABC轉出來的立體圖形是，它的體積是。【分析】（1）根據旋轉的方法，點B不動，畫出三角形ABC繞B點順時針旋轉90°得到的圖形即可。（2）根據圖形放大的方法，畫出三角形ABC按2：1放大到原來2倍后得到的圖形即可，然后根據三角形的面積＝底×高÷2，分別求出放大后的圖形與原圖的面積，結合比的意義解答即可。（3）如果以AB邊所在直線為軸快速旋轉一周，三角形ABC轉出來的立體圖形是一個底面半徑是5厘米，高是3厘米的圓錐，根據圓錐的體積公式V＝πr2h，解答即可。【解答】解：（1）畫出三角形ABC繞B點順時針旋轉90°