第03講平面向量基本定理及坐標表示目錄TOC\o"13"\h\u知識點一：平面向量基本定理 2知識點二：平面向量的正交分解及坐標表示 2考點1：平面向量基本定理與坐標表示的概念辨析 2知識點三：平面向量坐標運算 4考點2：平面向量的坐標運算 5考點3：向量共線的坐標表示及其應用 6考點4：向量線性運算的坐標表示的應用 7考點5：平面向量基本定理及坐標表示的綜合應用 9

知識點一：平面向量基本定理如果和是同一個平面內的兩個不共線向量，那么對于該平面內的任一向量，有且只有一對實數，使，我們把不共線向量，叫做表示這一平面內所有向量的一組基底，記為，叫做向量關于基底的分解式。推論1：若，則．推論2：若，則．知識點二：平面向量的正交分解及坐標表示平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫作把向量作正交分解。此時，這兩個互相垂直的向量組成的基底為正交基底。平面向量的坐標表示在平面直角坐標中，分別取與軸，軸正半軸方向相同的兩個單位向量作為基底，那么由平面向量基本定理可知，對于平面內的一個向量，有且只有一對實數使，我們把有序實數對叫做向量的坐標，記作。平面向量與有序數對的對應關系向量的坐標表示和以坐標原點為起點的向量是一一對應的，即有向量向量點考點1：平面向量基本定理與坐標表示的概念辨析設是兩個不平行的向量，則下列四組向量中，不能組成平面向量的一個基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和如圖所示，點O為正六邊形ABCDEF的中心，則可作為基底的一對向量是（

）A． B．C． D．（多選）如果是平面內兩個不共線的向量，那么下列說法中不正確的是（

）A．可以表示平面內的所有向量B．對于平面內任一向量，使的實數對有無窮多個C．若向量與共線，則有且只有一個實數，使得D．若實數，使得，則且（多選）已知向量，對坐標平面內的任一向量，下列說法錯誤的是（

）A．存在唯一的一對實數，使得B．若，則，且C．若x，y∈R，，且，則的起點是原點OD．若x，y∈R，，且的終點坐標是，則已知向量是一個基底，實數x，y滿足，則.知識點三：平面向量坐標運算平面向量加、減運算的坐標表示（1）設，，則，，即兩個向量的和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差。（2）設，，則=，即一個向量的坐標等于該向量的有向線段的終點的坐標減去始點坐標。平面向量數乘運算的坐標表示（1）若，，則，即實數與向量的積的坐標等于用該實數乘原來向量的相應坐標。（2）設，，則。平面向量數量積的坐標表示向量的長度（模）：若，則有。兩點間距離公式：已知點，，則，。已知非零向量，，為向量、的夾角結論幾何表示坐標表示數量積夾角的充要條件與的關系（當且僅當時等號成立）考點2：平面向量的坐標運算已知向量，，，則以向量與為基底表示向量的結果是A． B． C． D．若向量，則點A的坐標為（

）A． B． C． D．若向量，，則（

）A． B． C． D．已知，分別為的邊，的中點，若，，則點的坐標為（

）A． B． C． D．已知平行四邊形的三個頂點的坐標分別為，則頂點的坐標為（

）A． B． C． D．已知向量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5已知=(2,3)，=(3，t)，=1，則=（）A．3 B．2C．2 D．3設平面向量，，且，則=（

）A．1 B．14 C． D．已知向量，若，則．（多選）已知向量，，則下列結論正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若與的夾角為，則D．若與方向相反，則在上的投影向量的坐標是已知點，則向量在方向上的投影為A． B． C． D．已知向量，滿足，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．已知向量，，，若，則實數（

）A．6 B．5 C．5 D．6考點3：向量共線的坐標表示及其應用已知向量，，．若，則．已知，，，若，則（

）A． B． C． D．（1）已知向量，，，求的值．（2）已知，，與共線且方向相同，求．（3）設向量，，，求當k為何值時，A，B，C三點共線？設向量，，.(1)求；(2)若，，求的值；(3)若，，，求證：A，，三點共線.考點4：向量線性運算的坐標表示的應用方法提煉邊長為的等邊三角形已知夾角的任意三角形正方形矩形bb平行四邊形直角梯形等腰梯形圓正方形的邊長是2，是的中點，則（

）A． B．3 C． D．5在邊長為1的正方形中，點為線段的三等分點，，則；為線段上的動點，為中點，則的最小值為．（多選）如圖，在長方形中，，點滿足，其中，則的取值可以是（

）

A．8 B．9 C．10 D．11

已知，若點P是所在平面內的一點，且，則的最大值等于（

）A．21 B．19 C．15 D．13如圖，點在半徑為的上運動，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．如圖，圓是邊長為２的正方形的內切圓，若，是圓上兩個動點，則的最小值為（）A．6 B． C． D．4在中，，，，M是外接圓上一動點，若，則的最大值是（

）A．1 B． C． D．2考點5：平面向量基本定理及坐標表示的綜合應用在平面斜坐標系中，，平面上任意一點關于斜坐標系的斜坐標定義為：若，其中向量，分別為斜坐標軸，軸同方向的單位向量，則點的坐標為.（1）若點的坐標為，則；（2）以為圓心，2為半徑的圓在斜坐標系下的方程為.設點，若動點滿足，且，則的最大值為．已知：、是同一平面內的兩個向量，其中．(1)若且與垂直，求與的夾角；(2)若且與的夾角為銳角，求實數的取值范圍．已知向量，，，．(1)求的最小值及相應的t值；(2)若與的夾角為鈍角，求實數t的取值范圍．已知，，.（Ⅰ）求證：向量與垂直；（Ⅱ）若與的模相等，求的值（其中為非零實數）.已知點,,，，試問