《普通高中教科書數學必修第二冊》（人教A版）教學設計教學任務9.2.1總體取值規律的估計（第1課時）

《普通高中教科書數學必修第二冊》（人教A版）課程名稱總體取值規律的估計授課對象高一學生授課地點錄播教室授課人數30授課時長40分鐘授課教師教材《普通高中教科書數學必修第二冊》（人教A版）教材分析本節內容是抽樣的基礎上，對統計的數據進行分析，同時，利用樣本數據估計總體情況，主要針對頻率分布表和頻率分布直方圖進行統計分析的學習.教學內容

內容分析教學內容總體取值規律的估計（第1課時）內容解析本節課主要內容是學習畫樣本數據的頻率分布表和頻率分布直方圖，并利用頻率分布直方圖對總體進行分布規律的估計.

通過對統計圖表的學習，培養學生數學抽象核心素養；通過應用統計圖表估計總體的取值規律，培養學生數據分析核心素養.執行意圖本節內容體現了對數據分析方法學習的螺旋上升.學情分析知識基礎學生在初中已初步了解了用樣本估計總體的思想，知道可用樣本的平均數和方差估計總體的平均數和方差，學習了頻數分布表和頻數分布直方圖.認知實踐用樣本觀測數據，可以得到樣本數據取值規律的描述和各方面統計特征的刻畫，據此來估計總體相應的統計規律和統計特征.學習能力思維活躍，動手能力強，但是考慮問題不全面；（2）喜歡小組合作，富有競爭意識，但團隊協作能力欠缺；（3）自我意識強，善于接受新鮮實物；（4）對老師的教學方法，課堂形式都很熟悉，不喜歡灌輸式教學方式.教學目標和目標解析教學目標掌握頻率分布表的作法以及頻率分布直方圖的畫法；

（2）掌握用頻率分布直方圖估計總體；（3）能根據頻率分布表和頻率分布直方圖觀測數據的分布規律，培養數據分析的核心素養.目標解析總體取值規律描述了總體的所有可能的取值，以及取每個值的個體數占總體的比例，它是總體分布的另一種表述，是為了避免嚴格的總體分布定義而引入的一個概念.（2）在很多實際問題中，經常需要根據樣本的取值規律來估計總體的取值規律，對于連續型變量的數據，樣本的取值規律可以用頻率分布表或頻率分布直方圖來描述，據此估計總體的取值規律.

（3）數學核心素養是數學教學的重要目標，但數學核心素養需要在每一堂課中尋找機會去落實.在總體取值規律的教學中，從抽取的樣本中提取數據，進而根據數據的特征繪制統計圖.這是進行數學建模教學的很好機會.教學重點頻率分布表，頻率分布直方圖，用樣本的取值規律估計總體取值規律.解決途徑動畫演示，直觀清晰；個人操作，實踐感強；小組結合，對比強化.教學難點根據頻率分布表和頻率分布直方圖觀測數據的分布規律.解決途徑結合具體實例，按照步驟逐步繪制，明確各個步驟的前因后果.教學設計采取問題引導方式來組織課堂教學.問題的設置給學生留有充分的思考空間，讓學生圍繞問題主線，通過自主探究達到突出教學重點，突破教學難點.教學方法教法情景教學，任務驅動法，探究法學法自主學習法，合作學習法，研究學習法教學環境校錄播教室：液晶智能觸控交互多媒體教學一體機、激光投影機、投影白板、高清錄播系統、高清云臺攝像機、音響系統等智能設備，可輔助教學內容呈現，便于學習資源獲取，促進課堂交互活動開展，促進個性化學習及開放式學習.教學資源教科書，導學案，學生課堂學習評價量表，作業練習冊教學手段直觀演示法，講授法，練習法，討論法教學流程隨堂練習即時檢驗創設情境隨堂練習即時檢驗創設情境提出問題反躬內省改正完善操作實踐理解概念小結提升形成結構比較分析深化應用布置作業應用遷移板書設計課堂預案書面作業實踐作業由生活實際抽象出數學問題語音讀題動畫呈現分組交流個人展示特色創新不足改進課程思政在教學過程中，重視頻率分布表和頻率分布直方圖的繪制過程，讓學生體會數據統計與處理的基本過程，同時，統計本身其實就是數學模型的建立與應用的典范.因此，本節課的教學是實施數學具體內容的教學與核心素養教學有機結合的嘗試.教學評價在實際問題的解決中，學習數據統計特征刻畫的方法，理解數據分析的思路，體會用樣本估計總體的思想.初步形成運用統計語言、思想和方法表述、思考和解決實際問題的能力.課前教學環節教學內容教師活動學生活動設計意圖評價/思政元素課前任務布置預習內容，安排活動內容組織學生閱讀教材分析章節重點聽課有目的，效果有檢驗積極探索，實踐檢驗，實事求是環節一創設情境，明確問題引導語前幾節課學習了收集數據的基本方法，重點學習了簡單隨機抽樣和分層抽樣.抽樣是為了從樣本中獲取信息，進而通過樣本估計總體.但是，面對多而雜的數據，我們往往無法直接從原始數據中確它們所包含的信息.因此，必須借助于圖表對數據做出可視化描述.這節課學習用圖表分析樣本數據，并利用樣本數據對總體數據進行估計的方法.問題1我國是世界上嚴重缺水的國家之一，城市缺水問題較為突出，某市政府為了減少水資源的浪費，計劃對居民生活用水費用實施階梯式水價制度，即確定一戶居民月均用水量標準a，用水量不超過a部分按平價收費，超出a的部分按議價收費.如果希望確定一個比較合理的標準，以使大部分居民用戶的水費支出不受影響，你認為需要作哪些工作？（智能語音讀題）師生活動學生獨立思考，交流討論，教師引導學生關注需要收集的數據.標準如果定得太低會影響很多居民的日常生活；標準如果太高，則不利于節水.為了確定一個較為合理的用水標準，必須先了解在全市所有居民用戶中，月用水量在不同范圍內的居民用戶所占的比例情況.如果時間、經費等條件允許，可以通過全面調查獲得過去一年全市所有居民用戶的月均用水量數據，進而得到月均用水量在不同范圍內的居民用戶所占的比例.由于全市居民很多，考慮采用抽樣調查的方式，通過分析樣本觀測數據，來估計全市居民用戶月均用水量的分布情況.追問11在這個問題中，總體、個體、調查的變量分別是什么？師生活動引導學生運用統計觀思考，然后回答.總體是該市的全體居民用戶，個體是每戶居民，調查的變量是居民用戶的月均用水量.教師隨即展示

假設通過簡單隨機抽樣，獲得了100戶居民用戶的月均用水量數據（單位：t）：

9.013.614.95.94.07.16.45.419.42.0

2.28.613.85.410.24.96.814.02.010.5

2.15.75.116.86.011.11.311.27.74.9

2.310.016.712.012.47.85.213.62.622.4

3.67.18.825.63.218.35.12.03.012.0

22.210.85.52.024.39.93.65.64.47.9

5.124.56.47.54.720.55.515.72.65.7

5.56.016.02.49.53.717.03.84.12.3

5.37.88.14.313.36.81.37.04.91.8

7.128.010.213.817.910.15.54.63.221.6追問12從這組數據中，我們能發現什么信息呢？師生活動教師引導學生觀察數據中的最大值、最小值，學生通過觀察回答.將這組數據從小到大排序，容易發現，這組數據的最小是1.3t,最大值是28.0t,其他在1.3t和28.0t之間.為了更深入地挖掘數據蘊含的信息，需要對數據作進一步的整理與分析.

為了探索一組數據的取值規律，一般先要用表格對數據進行整理，或者用圖將數據直觀表示出來.問題2在初中，我們曾用什么來整理和表示這種數值型數據，由此能使我們清楚地知道數據分布在各個小組的個數.師生活動學生回答：頻數分布表和頻數分布直方圖.環節二操作實踐，理解概念引導語在這個實際問題中，因為我們更關心月均用水量在不同范圍內的居民占全市居民用戶的比例，所以選擇頻率分布表和頻率分布直方圖來整理和表示數據.問題3如何制作頻率分布表、畫頻率分布直方圖呢?師生活動與畫頻數分布直方圖類似，我們可以按以下步驟制作頻率分布表、畫頻率分布直方圖.求極差：28.01.3=26.7，樣本觀測數據的變化范圍是26.7t.分組頻數累計頻數頻率［1.2,4.2）正正正正下230.23［4.2,7.2）正正正正正正正丅320.32［7.2,10.2）正正下130.13［10.2,13.2）正止90.09［13.2,16.2）正止90.09［16.2,19.2）正50.05［19.2,22.2）下30.03［22.2,25.2）止40.04［25.2,28.2）丅20.02總計1001.00決定組距與組數：分組時可以先確定組距，也可以先確定組數.如果取組距為3。則極差組距=26.73=8.9將數據分組：把樣本觀測數據以組距為3分為9組:[1.2,4.2),[4.2,7.2),…,[25.2,28.2].（語音講解課本小字部分）

(4)列頻率分布表：計算各小組的頻率，如第一組頻率為23100=0.23，第二組頻率為32100

畫頻率分布直方圖：教師指出，為了更加直觀地感知樣本數據的分布規律和趨勢，我們需要借助于頻率分布直方圖，需要強調的是，在頻率分布直方圖中，橫軸表示月均用水量，縱軸表示頻率組距.比如第一組數據頻率組距=追問31頻率分布直方圖與頻數分布直方圖有什么區別？師生活動學生獨立思考后，回答并交流，它們都可以描述數據的取值規律，二者主要的區別是縱軸不一樣.頻數分布表能使我們清楚地知道數據分布在各個小組的個數，而頻率分布直方圖則是從各個小組數據在樣本容量中所占比例大小的角度來表示數據分布的規律.追問32為什么頻率分布直方圖的縱坐標用頻率除以組距，而不直接用頻率？師生活動這個問題對于學生而言是有困難的，在學生思考交流后，教師可以從三個方面進行解釋：

(1)如果小長方形的高為頻率，那么區間越長，小長方形就越高，兩個長度不同的區間的頻率比較就沒有意義；

(2)在頻率分布直方圖中，小長方形面積=組距×頻率組距=頻率，表示對應各組的頻率，從而頻率分布直方圖以面積的形式反映了數據落在各個小組的頻率的大??；

追問33頻數分布表與頻率分布直方圖有什么不同？師生活動頻數分布表能使我們清楚地知道數據分布在各個小組的個數，而頻率分布直方圖則是從各個小組數據在樣本容量中所占比例大小的角度來表示數據分布的規律.問題4畫頻率分布直方圖的一般步驟是什么？師生活動學生獨立思考后回答：①求極差；②決定組距與組數；③將數據分組；④列頻率分布表；⑤畫頻率分布直方圖.問題5觀察上述頻率分布表和頻率分布直方圖，你覺得這組數據中蘊含了哪些有用的信息？你能從圖表中發現居民用戶月均用水量的哪些分布規律？能用適當的語言描述嗎？師生活動學生在獨立思考的基礎上回答，并交流、補充，教師鼓勵學生從多個角度進行分析.(1)從頻率分布表可以看出，樣本觀測數據落在各個小組的比例大小.例如，月均用水量在區間[4.2,7.2)內的居民用戶最多，在區間[1.2,4.2)內的次之，而月均用水量超過16.2的各區間內數據所占比例較小，等等.

(2)從頻率分布直方圖可以看出，居民用戶月均用水量的樣本觀測數據的分布是不對稱的，圖形的左邊高、右邊低，右邊有一個較長的“尾巴”.這表明大部分居民用戶的月均用水量集中在一個較低值區域，尤其在[1.2,7.2)最為集中，少數居民用戶的月均用水量偏多，而且隨著月均用水量的增加，居民用戶數呈現降低趨勢.追問51有了樣本觀測數據的頻率分布，我們來估計，全體居民用戶月均用水量有什么規律呢？如何確定用水量標準？師生活動根據100戶居民用戶的月均用水量的頻率分布，可以推測該市全體居民用戶月均用水量也會有類似的分布，即大部分居民用戶月均用水量集中在較低值區.這使我們確定用水量標準時，可以定一個合適的值，已達到既不影響大多數居民用戶的水費支出，又能節水的目的.需要注意的是，由于樣本的隨機性，這種估計可能會存在一定的誤差，但這一誤差一般不會影響我們對總體分布情況的大致了解.環節三比較分析，深化應用引導語同一組數據，組數不同，得到的直方圖形狀也不盡相同.問題6分別以3和7為組數，對數據進行等距分組，畫出100戶居民用戶月均用水量的頻率分布直方圖.觀察圖形，你發現不同的組數對于直方圖呈現數據分布規律有什么影響？師生活動將學生分成8個小組，小組成員合作畫出不同組數下的頻率分布直方圖，教師鼓勵學生通過多種方式實現作圖，可以用傳統方式作圖，也可以借助統計軟件作圖，各小組完成后派代表進行展示與交流.教師在學生展示后，利用統計軟件進行動態展示，讓學生直觀體會不同組數對直方圖形狀的影響，并引導學生進行分析：

當頻率分布直方圖的組數少、組距大時，容易從中看出數據整體的分布特點，但由于無法看出每組內的數據分布情況，損失了較多的原始數據信息.

當頻率分布直方圖的組數多、組距小時，保留了較名的原始數據信息，但由于小長方形較多，有時會變得非常不規則，不容易從中看出總體數據的分布特點.

這里需要再次指出，同一組數據，因為組距、組數不同而得到不同形狀的直方圖，會給人以不同的頻率分布印象，這種印象有時會影響人們對總體的判斷.因此，我們要注意積累數據分組、合理使用圖表的經驗.練習1從某小區抽取100戶居民進行月用電量調查，發現他們的用電量都在50~350kW·h之間，進行適當分組后(每組為左閉右開的區間)，畫出頻率分布直方圖如圖所示.

(1)直方圖中x的值為；

(2)在被調查的用戶中，用電量落在區間［100,250)內的戶數為.環節四小結提升，形成結構引導語本節我們重點學習從已知樣本數據出發，制作頻率分布表及畫頻率分布直方圖，利用樣本的頻率分布估計總體的頻率分布，體會用樣本估計總體的統計思想，從而對生活中的一些實際問題，通過數據分析為合理的決策提供一些依據.問題7請以下面問題為線索，回顧本節學習的主要內容：如何畫一組數據的頻率分布直方圖?(2)樣本頻率分布與總體取值分布之間有何關系?

(3)如何根據實際問題的特點，選擇恰當的統計圖對數據進行可視化描述?師生活動學生小組合作交流展示，教師引導，并規范、完善學生回答.