7．2排列課程標準學習目標（1）能通過實例，用自己的語言解釋排列的定義；能用定義判斷是不是排列問題，發展數學抽象素養．（2）能從排列的定義出發推導排列數公式，并能用排列數公式解決有關計數問題．（3）能綜合應用排列的概念和公式解決簡單的實際問題．（1）理解并掌握排列的概念.（2）能應用排列知識解決簡單的實際問題．（3）能用排列數公式進行化簡與證明．

知識點01排列的概念1、排列的定義：一般地，從n個不同的元素中取出m（）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．知識點詮釋：（1）排列的定義中包括兩個基本內容，一是“取出元素”，二是“按照一定的順序排列”．（2）從定義知，只有當元素完全相同，并且元素排列的順序也完全相同時，才是同一個排列．（3）如何判斷一個具體問題是不是排列問題，就要看從n個不同元素中取出m個元素后，再安排這m個元素時是有順序還是無順序，有順序就是排列，無順序就不是排列．【即學即練1】下列問題是排列問題的是（

）A．從10名同學中選取2名去參加知識競賽，共有多少種不同的選取方法？B．10個人互相通信一次，共寫了多少封信？C．平面上有5個點，任意三點不共線，這5個點最多可確定多少條直線？D．從1，2，3，4四個數字中，任選兩個相加，其結果共有多少種？知識點02排列數1、排列數的定義從個不同元素中，任取（）個元素的所有排列的個數叫做從個元素中取出元素的排列數，用符號表示．知識點詮釋：“排列”和“排列數”是兩個不同的概念，一個排列是指“從個不同的元素中，任取個元素，按照一定的順序排成一列”，它不是一個數，而是具體的一個排列（也就是具體的一件事）；2、排列數公式，其中，且．知識點詮釋：公式特征：第一個因數是，后面每一個因數比它前面一個少1，最后一個因數是，共有個因數．【即學即練2】可表示為（）A． B．C． D．知識點03階乘表示式1、階乘的概念：把正整數1到的連乘積，叫做的階乘．表示：，即!．規定：．2、排列數公式的階乘式：所以．【即學即練3】不等式的解集為．知識點04排列的常見類型與處理方法1、相鄰元素捆綁法2、相離問題插空法3、元素分析法4、位置分析法【即學即練4】2023年夏天貴州榕江的村超聯賽火爆全國，吸引了國內眾多業余球隊參賽．現有六個參賽隊伍代表站成一排照相，如果貴陽折耳根隊與柳州螺螄粉隊必須相鄰，同時南昌拌粉隊與溫江烤肉隊不能相鄰，那么不同的站法共有（

）種．A．144 B．72 C．36 D．24題型一：排列的概念【典例11】下列問題是排列問題的是（

）A．從8名同學中選取2名去參加知識競賽，共有多少種不同的選取方法B．會場中有30個座位，任選3個安排3位客人入座，有多少種坐法C．平面上有5個點，任意三點不共線，這5個點最多可確定多少條直線D．從1，2，3，4四個數字中，任選兩個相乘，其結果共有多少種【典例12】下列問題是排列問題的是（

）A．從10名同學中選取2名去參加知識競賽，共有多少種不同的選取方法？B．10個人互相通信一次，共寫了多少封信？C．平面上有5個點，任意三點不共線，這5個點最多可確定多少條直線？D．從1，2，3，4四個數字中，任選兩個相加，其結果共有多少種？【方法技巧與總結】判斷一個具體問題是否為排列問題的思路【變式11】下列問題屬于排列問題的是（

）①從10個人中選2人分別去種樹和掃地；②從10個人中選2人去掃地；③從班上30名男生中選出5人組成一個籃球隊；④從數字5，6，7，8中任取兩個不同的數作冪運算．A．①④ B．①② C．③④ D．①③④【變式12】從集合中任取兩個元素，①相加可得多少個不同的和？②相除可得多少個不同的商？③作為橢圓中的a，b，可以得到多少個焦點在x軸上的橢圓方程？④作為雙曲線中的a，b，可以得到多少個焦點在x軸上的雙曲線方程？上面四個問題屬于排列問題的是（

）A．①②③④ B．②④ C．②③ D．①④題型二：畫樹形圖寫排列【典例21】寫出從a、b、c、d四個元素中任取兩個不同元素的所有排列．【典例22】寫出下列問題的所有排列：(1)從1，2，3，4四個數字中任取兩個數字組成兩位數，共有多少個不同的兩位數？(2)由1，2，3，4四個數字能組成多少個沒有重復數字的四位數？試全部列出.【方法技巧與總結】樹形圖的畫法（1）確定首位，以哪個元素在首位為分類標準進行確定首位．（2）確定第二位，在每一個分支上再按余下的元素，在前面元素不變的情況下定第二位并按順序分類．（3）重復以上步驟，直到寫完一個排列為止．【變式21】從四個數字中任取兩個數字組成兩位不同的數，一共可以組成多少個？（2）寫出從4個元素中任取3個元素的所有排列．【變式22】求從A，B，C這3個對象中取出3個對象的所有排列的個數，并寫出所有的排列.題型三：簡單的排列問題【典例31】寫出從a、b、c、d、e這五個不同元素中任意取出兩個元素的所有排列．【典例32】將A、B、C、D四名同學按一定順序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四．試寫出他們四人所有不同的排法．【方法技巧與總結】對于簡單的排列問題，其解題思路可借助分步乘法計數原理進行，即采用元素分析法或位置分析法求解．【變式31】從1，2，3，4這4個數字中，每次取出3不同的數字排成一個三位數，寫出得到的所有三位數，并求出排列數；（2）試寫出由1，2，3，4四個數字組成的沒有重復數字的四位數，并求出排列數.【變式32】從、、、這個數字中選出個不同的數字組成個三位數，試寫出所有滿足條件的三位數．題型四：排列數公式的應用【典例41】計算下列各式．(1)；(2)．【典例42】計算：(1)；(2)；(3)已知，求【方法技巧與總結】排列數公式的選擇（1）排列數公式的乘積形式適用于計算排列數．（2）排列數公式的階乘形式主要用于與排列數有關的證明、解方程和不等式等問題，具體應用時注意階乘的性質，提取公因式，可以簡化計算．【變式41】計算下列各題：(1)；(2)解方程：.【變式42】計算：；

（2）解不等式：.題型五：階乘的概念及性質【典例51】解關于的不等式；（2）解不等式：.【典例52】已知，求x的值．【方法技巧與總結】排列數公式的階乘形式主要用于與排列數有關的證明、解方程和不等式等問題，具體應用時注意階乘的性質，提取公因式，可以簡化計算．【變式51】證明，并用它來化簡．【變式52】求解下列問題：(1)計算：；(2)求證：．【變式53】求證：題型六：與排列數公式有關的證明問題【典例61】證明：；（2）化簡：．【典例62】“數”在研究某電動汽車工廠生產中的相關數據發揮了重要作用，設為非零實數，對任意，有如下定義：定義：“數”：；定義：“階乘”：規定；定義：“組合數”：(1)求的值．(2)證明：對任意，都有①；②(3)證明：對任意，都有【方法技巧與總結】對含有字母的排列數的式子進行變形式有關的論證時，一般用階乘式．【變式61】證明下列等式．(1)；(2)．【變式62】證明，并利用這一結果化簡：(1)；(2)．【變式63】證明：；（2）化簡：．題型七：相鄰問題【典例71】有7個同學要排隊做操，其中甲乙丙必須相鄰，則總共有種排法．【典例72】行知中學高二有6名數學老師排成一排照相，陳老師和姜老師相鄰的排法種數為.【方法技巧與總結】相鄰問題捆綁法【變式71】名男生、名女生站成一排，至少有兩個女生相鄰的站法種數為（用數字作答）．【變式72】甲、乙、丙、丁、戊5人站成兩排照相，前排站2人，后排站3人，其中甲和乙須左右相鄰，丙不站前排，則不同的站法共有種（用數字作答）．【變式73】若五人站成一排，如果必須相鄰，那么排法共種.題型八：不相鄰問題【典例81】甲、乙等4人排成一列，則甲乙兩人不相鄰的排法種數為．【典例82】五種不同商品在貨架上排成一排，其中A，B兩種必須連排，而C，D兩種不能連排，則不同的排法共有種．【方法技巧與總結】不相鄰問題插空法【變式81】隨著杭州亞運會的舉辦，吉祥物“琮琮”、蓮蓮”、宸宸”火遍全國.現有甲、乙、丙3位運動員要與“琮琮”、蓮蓮”、宸宸”站成一排拍照留念，則這3個吉祥物互不相鄰的排隊方法數為.（用數字作答）【變式82】、、、、五人住進編號為1，2，3，4，5的五個房間，每個房間只住一人，則不住2號房間，且、兩人不住編號相鄰房間的住法種數為．【變式83】2024年3月5日至11日，第十四屆全國人民代表大會第二次會議勝利召開.此次大會是高舉旗幟、真抓實干、團結奮進的大會，全國人大代表不負人民重托、認真履職盡責，凝聚起扎實推進中國式現代化的磅礴力量.某村小校黨支部包含甲、乙、丙、丁的10位黨員開展“學習貫徹2024年全國兩會精神”圓桌會議，根據會議要求：甲、乙必須相鄰，甲、丙、丁不能相鄰.則不同的座位安排有種（用數字作答）.題型九：定序問題【典例91】某次演出有6個節目，若甲、乙、丙3個節目的先后順序已確定，則不同的排法有____種．【典例92】期中安排考試科目9門，語文，數學，英語三門課的前后順序已經確定，則期中考試不同的安排順序有______種．【變式91】將A，B，C，D，E這5個字母排成一列，要求A，B，C在排列中的順序為A，B，C或C，B，A（可以不相鄰），這樣的排列方法有______種.（用數字作答）【變式92】如圖所示，某貨場有三堆集裝箱，每堆2個，現需要全部裝運，每次只能從其中一堆取最上面的一個集裝箱，則在裝運的過程中不同取法的種數是____________（用數字作答）.題型十：間接法【典例101】3名女生和2名男生站成一排照相，若每名男生至少與1名女生相鄰，則共有種站法【典例102】由字母A，B構成的一個6位的序列，含有連續子序列ABA的序列有個（例如ABAAAA，BAABAB符合題意）【方法技巧與總結】正難則反【變式101】現有9位同學圍著圓桌坐成一圈，他們的衣服上分別標有號碼1，2，3，…，9，若任意相鄰兩個號碼之積不小于4，則不同的坐法有種．【變式102】第21屆“東盟博覽會”于2024年9月24號至9月28號在南寧召開，某記者與參會的4名國際友人代表一起合影留念（5人站成一排）.若記者不站中間，國際友人甲不站兩邊則有種排法.

1．某次會議安排甲、乙等六人的座位在第一排的號，其中甲的座位號為奇數，乙的座位號為偶數，且甲、乙不相鄰，則這六人不同的座位安排方法種數為（

）A．48 B．96 C．128 D．1862．兩男兩女站成一排照相，女生相鄰的所有排列種數為（

）A．3 B．6 C．12 D．243．是自然對數函數的底數，被稱為自然常數或者歐拉數．最初由雅各布·伯努利在研究復利時發現，后由萊昂哈德·歐拉證明其為無理數，大約為．小明是個數學迷，他在設置的數字密碼時，打算將自然常數的前6位數字2，7，1，8，2，8進行排列得到一個六位數密碼，那么小明可以設置（

）個不同密碼．A．240 B．180 C．120 D．724．要排出某班一天中語文、數學、政治、英語、體育和藝術6門課各一節的課程表，要求數學課排在前3節，英語課不排在第6節，則不同的排法共有（

）A．75種 B．144種 C．288種 D．360種5．有3位男生和2位女生站成一排拍照，要求2位女生不能相鄰，不同的站法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種6．小花準備將一顆黃色圣女果、一顆紅色圣女果、一顆山楂、一顆草莓、一顆葡萄串起來制作一串冰糖葫蘆，若要求兩顆圣女果不相鄰，則不同的串法有（

）A．種 B．種 C．種 D．種7．北京時間2024年6月2日，嫦娥六號成功著陸月球背面，開啟人類探測器首次在月球背面實施的樣品采集任務.某天文興趣小組在此基礎上開展了月球知識宣傳活動，活動結束后該天文興趣小組的4名男生和4名女生站成一排拍照留念，則4名女生相鄰的站法種數為（

）A．2880 B．1440 C．720 D．5768．某班一天上午有4節課，下午有2節課，現要安排該班一天中語文、數學、英語、體育、藝術、通技各一節課的課表，要求數學課排在上午，體育課排在下午，不同的排法種數是（

）A． B． C． D．9．（多選題）某學校高二年級數學課外活動小組中有男生5人，女生3人，則下列說法正確的是（

）A．從中選2人，1人做正組長，1人做副組長，共有64種不同的選法B．從中選2人參加數學競賽，其中男、女生各1人，共有15種不同的選法C．將這8名學生排成一排，3位女生排在一起的方法共有4320種D．8名學生排成一排，已知5名男生已排好，現將3名女生插入隊伍中，則共有336種排法.10．（多選題）某專賣店新進，，，，，，這7款充電寶，準備將它們在貨柜里擺成一排售賣，則下列說法正確的是（

）A．若，，必須擺在前三個位置，則不同的擺法有144種B．若，，彼此不相鄰，，，，也彼此不相鄰，則不同的擺法有72種C．若，，彼此不相鄰，則不同的擺法有1440種D．若不能擺在后兩個位置，則不同的擺法有3600種11．（多選題）“六藝”即“禮?樂?射?御?書?數”，為春秋戰國時期讀書人必須學習的六種技藝，分別為禮法?樂舞?射箭?駕車?書法和算術，其中射箭?駕車（御戰車?駕車）為軍事技能．某國學館開設“傳承優秀文化”專題培訓班，對這六種技藝要逐項培訓，下列敘述正確的是（

）A．“禮”與“射”必須相鄰的培訓方法有種B．先培訓“數”后培訓“樂”的培訓方法種數為C．“御?書?數”相鄰的培訓方法種數為D．“射”排在最后的培訓方法種數為12．第13屆中國電子信息博覽會將于2025年4月在深圳舉行．某公司要從，，，，，共6個不同的展位中選3個分別展示甲、乙、丙3種不同的電子產品，且主推產品甲必須在展位，則共有種不同的展示方法．13．某中學正在籌