以求和為主導的數列綜合高考定位數列是高中數學的重要內容,又是高中數學與高等數學的重要銜接點,其涉及的基礎知識、數學思想與方法,在高等數學的學習中起著重要作用,因而成為歷年高考久考不衰的熱點題型,在歷年的高考中都占有重要地位.數列求和的常用方法是我們在高中數學學習中必須掌握的基本方法，是高考的必考熱點之一.此類問題中除了利用等差數列和等比數列求和公式外，大部分數列的求和都需要一定的技巧.下面，就近幾年高考數學中的幾個例子來談談數列求和的基本方法和技巧.專題解析（1）能夠通過通項或遞推公式辨析求和方法（2）分組求和、錯位相減法，學生錯因在運算能力（3）裂項、并項兼具運算與思想方法、模型多樣（4）探索發現項與和的新規律，辨析求和方法（5）通項與和之間的相互轉換數列數列求通項求和公式法疊加法疊乘法構造法分組法裂項法錯位法并項法專項突破基礎類型一、錯位相減例1．已知數列中，，.（1）求證：數列是等比數列；（2）數列滿足的，數列的前項和為，若不等式對一切恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）將遞推公式兩邊取倒數，即可得到，從而得到，即可得證；（2）由（1）可得，從而得到，再利用錯位相減法求和即可得到，即可得到，對一切恒成立，再對分奇偶討論，即可求出的取值范圍；（1）解：由，得∴，所以數列是以3為公比，以為首項的等比數列.（2）解：由（1）得，即.所以.兩式相減得:，∴因為不等式對一切恒成立，所以，對一切恒成立，因為單調遞增若為偶數，則，對一切恒成立，∴；若為奇數，則，對一切恒成立，∴，∴綜上：.練.（2020·山東省高考真題）已知公比大于的等比數列滿足．（1）求的通項公式；（2）記為在區間中的項的個數，求數列的前項和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由于數列是公比大于的等比數列，設首項為，公比為，依題意有，解得解得，或(舍)，所以，所以數列的通項公式為.（2）由于，所以對應的區間為：，則；對應的區間分別為：，則，即有個；對應的區間分別為：，則，即有個；對應的區間分別為：，則，即有個；對應的區間分別為：，則，即有個；對應的區間分別為：，則，即有個；對應的區間分別為：，則，即有個.所以基礎類型二、分組求和法例2．記數列的前項和為，若，，則（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題設中的遞推關系可得，從而可求的通項，故可求.【詳解】因為，故，而，故，故為等比數列且為等比數列，公比均為.而，故，.所以，故選：B.練．已知數列滿足，，（），則數列的前2017項的和為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據給定條件求出與的通項，進而求得即可求出數列的前2017項的和.【詳解】在數列中，，，，，則有，即，而，于是得，因此，，則，數列的前2017項的和為.故選：D練．已知數列滿足，且，則該數列的前9項之和為（）A．32 B．43 C．34 D．35【答案】C【分析】討論為奇數、偶數的情況數列的性質，并寫出對應通項公式，進而應用分組求和的方法求數列的前9項之和.【詳解】，當為奇數時，，則數列是常數列，；當為偶數時，，則數列是以為首項，公差為的等差數列，.故選：C提高類型三、列項相消求和法例3-1．在數列中，，且，則數列的前項和為__________.【答案】【分析】將已知數列的遞推關系式化簡可得，通過累加法和等差數列的求和公式得出數列的通項公式，利用裂項相消法求和即可．【詳解】，，即，，，…，將以上各式累加，可得，將代入，可得，，則，數列的前項和為.故答案為：.練．已知數列的前項和為，且，，則數列的前2020項的和為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據已知條件求得，然后求得，利用裂項求和法求得正確答案.【詳解】數列的前項和為，且，，則.所以，兩式相減得：，且，，當為奇數時，，當為偶數時，，所以，所以數列是首項為，公差為的等差數列.所以，故，所以，則.故選：B練．設數列滿足，若，且數列的前項和為，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據的遞推關系求出的通項公式，代入的表達式中，求出的通項，即可求解的前項和【詳解】由可得,∵,∴,則可得數列為常數列，即,∴∴,∴.故選:D例3-2．已知正項數列的前項和為，且，.數列滿足，.（1）求數列的通項公式；（2）證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）根據與的關系以及等差數列的通項公式即可求解.（2）由，利用疊加，裂項相消法即可證明.（1）∵，，∴，∴，當時，有，∴，∴，∵，∴∴數列的奇數項是以1為首項，4為公差的等差數列，，偶數項是以3為首項，4為公差的等差數列，，∴.（2），所以得，從而，從而可得練．數列滿足，，數列的前項和為，則（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用遞推關系，確定數列是遞增數列，把遞推關系變形得出，便于用裂項相消法求得和，再由計算數列的前幾項，最終得出，從而估計出的范圍．【詳解】因為，，所以，即，是遞增數列，，，，所以，，，，，所以，，．故選：B．例3-3．已知數列的前項和為，，數列滿足，．（1）求數列、的通項公式；（2）若數列滿足，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析【分析】（1）利用與的關系可求出數列的通項公式；利用累加法可求出數列的通項公式；（2）由（1）問結論求出，然后利用裂項相消求和法，求出的和即可證明原不等式.（1）解：由，得，所以又由，得，滿足，所以，而，所以，所以；（2）證明：因為，所以.練．已知數列的各項均為正數，，，，數列的前項和為，若對任意正整數都成立，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】先將因式分解，結合數列的各項均為正數，推導出是等比數列，求出數列的通項公式；將數列的通項公式代入中，得到數列的通項公式；將數列的通項公式裂項，求出數列的前項和為；然后判斷的單調性，求出的取值范圍，確定的取值范圍，最后求出的取值范圍.【詳解】數列的各項均為正數(舍去)數列是以為首項，以為公比的等比數列.數列的前項和為,單調遞增，單調遞減單調遞增，又的取值范圍是故答案為：例3-4．設正項數列的前項和為，滿足.（1）求數列的通項公式；（2）令，若數列的前項和為，證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）利用時，得出的遞推關系式，確定是等差數列，從而得通項公式；（2）用裂項相消法求得和后根據的單調性證明不等式．（1）解：由題意得，當時，，解得或，因為，所以.當時，，，兩式相減，得，整理得，因為，所以，，，故數列是以為首項，為公差的等差數列，所以.（2）證明：因為，所以則，因為，所以，又，所以單調遞增，所以，所以.練．已知是等差數列的前項和，若，設，則數列的前項和取最大值時的值為______________【答案】2019【分析】設等差數列的公差為，運用等差數列的性質，可得數列的公差，且，，，，，，求得，計算可得，分析比較，即可得到所求最大值時的值．【詳解】解：等差數列的公差設為，若，則，，所以公差，，即，，即，可得，即數列遞減，且，，，，，，，則，由，要使取最大值，可得取得最小值，顯然，而，可得時，取得最小值，故答案為：．例3-5．已知正項數列滿足，，則數列的前項和為___________．【答案】【分析】由已知表達式因式分解得到數列的遞推式，再運用累乘的方法求得通項公式，再將通項公式裂項，利用裂項相消求和得解.【詳解】由已知得所以又因為所以所以所以；累乘得所以所以=所以累加求和得故答案為練．已知等比數列的各項均為正數，，，成等差數列，且滿足，數列的前項之積為，且．（1）求數列和的通項公式；（2）設，若數列的前項和，證明：．【答案】（1），（2）（3）證明見解析【分析】（1）設等比數列的公比為，根據條件求出首項及可得，由代入可得為等差數列即可求解；（2）由（1）可知，利用裂項相消法求和后根據單調性及有界性即可得證.【詳解】（1）設等比數列的公比為，，，成等差數列，，，化為：，，解得．又滿足，，即，解得．，數列的前項之積為，，，即，是以2為公差的等差數列.又，即，所以（2）所以數列的前項和，又，是單調遞增，所以.練．已知數列的前項和為.若，且（1）求；（2）設，記數列的前項和為.證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）由題意得，從而得到數列是以為首項?為公差的等差數列，即可得到答案；（2）求得數列的通項公式，再利用裂項相消法求和，結合不等式的放縮法，即可得到答案；（1）因為數列的前項和為，所以由可得又因為，所以，因此，數列是以為首項?為公差的等差數列，所以.（2）因為而，所以所以數列的前項和為故，命題得證.例3-6．已知數列的通項公式，設其前項和為，則使成立的最小的自然為__________.【答案】14【分析】先利用其通項公式以及對數函數的運算公式求出．再利用對數的運算性質解不等式即可求出對應的自然數．【詳解】解：因為，所以．．故答案為：14．練．已知數列是正項等差數列，，且.數列滿足，數列前項和記為，且.（1）求數列的通項公式；（2）若數列滿足，其前項和記為，試比較與的大小.【答案】（1）（2），過程見解析【分析】（1）將分母有理化，然后利用求和公式求出，再結合即可求出數列的通項公式；（2）由（1）的結果求出，再由裂項相消法求出，然后利用作差法即可比較大小.（1）解：設數列的公差為，，，，可得又，.（2）解：由（1）可得，不妨記，則，.例3-7．正項數列的前n項和為，且，設，則數列的前2020項的和為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據和項與通項關系得，再根據等差數列定義與通項公式、求和公式得，代入化簡，最后利用分組求和法求結果.【詳解】因為，所以當時，，解得，當時，，所以，因為，所以，所以數列是等差數列，公差為1，首項為1，所以，所以，則數列的前2020項的和.故選：C練．已知數列滿足，其前項和，數列滿足，其前項和為，若對任意恒成立，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用與關系可證得為等差數列，由此可求得，將進行裂項后，前后相消可求得，將問題轉化為；令，可證得為遞增數列，由此得到.【詳解】當時，，解得：或，又，；當時，由得：，，整理可得：，，，即，是以為首項，為公差的等差數列，；經檢驗：滿足；綜上所述：，，，由得：，令，則，為遞增數列，，，即實數的取值范圍為.故選：A.類型四、并項求和法例4．已知數列滿足，則的前20項和________．【答案】95【分析】利用分組求和法以及等差數列的前n項和公式即可求出結果.【詳解】因為，則，所以所以，故答案為：95.練．設數列滿足，，，則數列的前50項和是________．【答案】1300【分析】利用累加法可求得數列的通項公式，再并項求和求解前50項和即可.【詳解】因為，，且，故時，，，…，，累加可得，，滿足上式，即，故的前5