相似全章復習與鞏固（知識講解）【學習目標】1、了解比例的基本性質，線段的比、成比例線段；

2、通過具體實例認識圖形的相似，探索相似圖形的性質，理解相似多邊形對應角相等、對應邊成比例、周長的比等于相似比、面積的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用這些性質和判定方法解決生活中的一些實際問題；

3、了解圖形的位似，能夠利用位似將一個圖形放大或縮小，在同一直角坐標系中，感受位似變換后點的坐標的變化；

4、結合相似圖形性質和判定方法的探索和證明，進一步培養推理能力，發展邏輯思維能力和推理論證的表達能力，以及綜合運用知識的能力，運用學過的知識解決問題的能力.【知識網絡】【要點梳理】要點一、相似圖形及比例線段1．相似圖形：在數學上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形(similarfigures).要點詮釋：

(1)相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；

(2)“全等”是“相似”的一種特殊情況，即當“形狀相同”且“大小相同”時，兩個圖形全等；2.相似多邊形如果兩個多邊形的對應角相等，對應邊的比相等，我們就說它們是相似多邊形．要點詮釋：（1）相似多邊形的定義既是判定方法，又是它的性質．（2）相似多邊形對應邊的比稱為相似比.3.比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如a:b=c:d，我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．要點詮釋：（1）若a:b=c:d，則ad=bc；（d也叫第四比例項）（2）若a:b=b:c，則=ac（b稱為a、c的比例中項）．要點二、相似三角形相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似.判定方法（三）：如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且相應的夾角相等，那么這兩個三角形相似.要點詮釋：

此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個三角形相似，應用時必須注意這個角必須是兩邊的夾角，否則，判斷的結果可能是錯誤的.判定方法（四）：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似.

要點詮釋：

要判定兩個三角形是否相似，只需找到這兩個三角形的兩個對應角相等即可，對于直角三角形而言，若有一個銳角對應相等，那么這兩個三角形相似.相似三角形的性質：（1）相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等；（2）相似三角形中的重要線段的比等于相似比；相似三角形對應高，對應中線，對應角平分線的比都等于相似比.要點詮釋：要特別注意“對應”兩個字，在應用時，要注意找準對應線段.(3)相似三角形周長的比等于相似比；（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方。3.相似多邊形的性質：（1）相似多邊形的對應角相等，對應邊的比相等．（2）相似多邊形的周長比等于相似比．（3）相似多邊形的面積比等于相似比的平方．要點三、位似1.位似圖形定義:如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點所在的直線都經過同一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．2.位似圖形的性質:（1）位似圖形的對應點和位似中心在同一條直線上；

（2)位似圖形的對應點到位似中心的距離之比等于相似比；

（3）位似圖形中不經過位似中心的對應線段平行.要點詮釋：(1）位似圖形與相似圖形的區別：位似圖形是一種特殊的相似圖形，而相似圖形未必能構成位似圖形.（2）位似變換中對應點的坐標變化規律:在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k.

【典型例題】類型一、相似圖形及比例線段1.如圖，已知AD∥BE∥CF，它們依次交直線l1、l2于點A、B、C和點D、E、F，，AC=14；（1）求AB、BC的長；（2）如果AD=7，CF=14，求BE的長．【答案與解析】

解：（1）∵AD∥BE∥CF，∴，∴，∵AC=14，∴AB=4，∴BC=14﹣4=10；（2）過點A作AG∥DF交BE于點H，交CF于點G，如圖所示：又∵AD∥BE∥CF，AD=7，∴AD=HE=GF=7，∵CF=14，∴CG=14﹣7=7，∵BE∥CF，∴，∴BH=2，∴BE=2+7=9．舉一反三【變式】（2015?眉山）如圖，AD∥BE∥CF，直線l1、l2這與三條平行線分別交于點A、B、C和點D、E、F．已知AB=1，BC=3，DE=2，則EF的長為（） A．4 B． 5 C． 6 D．8【答案】C.類型二、相似三角形2.如圖所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上．

(1)∠ABC=________，BC=________；

(2)判斷△ABC與△DEF是否相似，并說明理由.【答案與解析】(1)135°，

(2)△ABC和△DEF相似(或△ABC∽△DEF).

因為，，所以.

又因為∠ABC=∠DEF=90°+45°=135°，所以△ABC∽△DEF.舉一反三：【變式】下列4×4的正方形網格中，小正方形的邊長均為1，三角形的頂點都在格點上，則與△ABC相似的三角形所在的網格圖形是（）.A．B．C．D．【答案】B.3.在正方形ABCD中，P是BC上的點，BP=3PC，Q是CD的中點，求證：△ADQ∽△QCP．【答案與解析】∵BP=3PC，Q是CD的中點，∴，又∵∠ADQ=∠QCP=90°，

∴△ADQ∽△QCP.4.如圖所示，在△ABC和△DBE中，若.

(1)△ABC與△DBE的周長差為10cm，求△ABC的周長；

(2)△ABC與△DBE的面積之和為170cm2，求△DBE的面積．【答案與解析】(1)∵，

∴△ABC∽△DBE.

∴，設△ABC的周長為5kcm，△DBE的周長為3kcm，

∴，，，

∴△ABC的周長為.

(2)∵△ABC∽△DBE，∴.

設，.

∴，解得k=5，

∴.舉一反三

【變式】如圖，在平行四邊形ABCD中，E是CD上的一點，DE：EC=2：3，連接AE、BE、BD，且AE、BD交于點F，則S△DEF：S△EBF：S△ABF=（）A．2：5：25B．4：9：25C．2：3：5D．4：10：25【答案】D.5.如圖所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，點E，F分別在線段AD，DC上(點E與點A，D不重合)，且∠BEF=120°，設，.

(1)求y與x的函數解析式；

(2)當x為何值時，y有最大值？最大值是多少？【答案與解析】(1)在梯形ABCD中，AD∥BC，

AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，所以∠A=∠D=120°，

所以∠AEB+∠ABE=180°-120°=60°.

因為∠BEF=120°，所以∠AEB+∠DEF=180°-120°=60°，

所以∠ABE=∠DEF.

所以△ABE∽△DEF，所以.

因為，，所以，

所以y與x的函數解析式是.

(2)，

所以當時，y有最大值，最大值為.舉一反三

【變式】如圖所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6．若動點D從點B出發，沿線段BA運動到點A為止，運動速度為每秒2個單位長度．過點D作DE∥BC交AC于點E，設動點D運動的時間為x秒，AE的長為y．

(1)求出y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

(2)當x為何值時，△BDE的面積S有最大值，最大值為多少?

【答案】(1)因為DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，

所以.

又因為AB=8，AC=6，，，

所以，即，

自變量x的取值范圍為.

(2)

.

所以當時，S有最大值，且最大值為6.類型三、位似6.將下圖中的△ABC作下列變換，畫出相應的圖形，指出三個頂點的坐標所發生的變化．

(1)沿y軸負方向平移1個單位；

(2)關于x軸對稱；

(3)以C點為位似中心，放大到1.5倍．

【答案與解析】變換后的圖形如下圖所示．

(1)將△ABC沿y軸負方向平移1個單位后得到△A1B1C1，

A1(-5，-1)，B1(0，2)，C1(0，-1)．

即橫坐標不變，縱坐標減小．

(2)將△ABC關于x軸對稱后，得△A2B2C2，A2(-5，0)，B2(0，-3)，C2(0，0)．

即橫坐標不變，縱坐標變為原來的相反數．

(3)將△ABC以C點為位似中心，放大到1.5倍得△