第1頁/共1頁2024-2025學年湖北省武漢市部分重點中學高二上學期期末聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.拋物線的焦點到準線的距離為（）A. B.1 C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義求解即可.【詳解】拋物線，則，焦點為，準線為，所以焦點到準線的距離為2.故選：C2.在等差數(shù)列中，若，則的值為（）A.30 B.40 C.50 D.60【答案】D【解析】【分析】利用等差數(shù)列下標和的性質得，進而可求.【詳解】由，得，即，所以故選：D3.已知，是雙曲線的左，右焦點，P是雙曲線右支上一點，且是和的等差中項，則的值為（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線方程及其定義有，結合等差中項的性質有，可求，進而可證，即可求.【詳解】由雙曲線，得，，因為是和的等差中項，所以，即

①，由雙曲線的定義得

②，由①②得，，，所以，即，故故選：B4.已知數(shù)列為等比數(shù)列，，公比，若是數(shù)列的前n項積，則取最小值時n為（）A.8 B.9 C.8或9 D.9或10【答案】C【解析】【分析】由等比數(shù)列的通項公式可得，利用二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質即可求解.【詳解】由題意得，因為，，所以，函數(shù)的開口向上，對稱軸為，因為，所以或時，取最小值，即取最小值.故選：C.5.在平面直角坐標系中，已知點，，點是平面內一個動點，則下列說法正確的是（）A.若，則點的軌跡為橢圓B.若，則點的軌跡為橢圓C.若，則點的軌跡為直線D.若，則點的軌跡為雙曲線的一支【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓、雙曲線的定義一一判斷即可.【詳解】由，結合橢圓的定義，顯然的軌跡不是橢圓而是線段，故A錯誤；設，由，所以，整理得，所以點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，故B錯誤；由，則點的軌跡為以為端點（向右）的射線，故C錯誤；由，根據(jù)雙曲線的定義，則點的軌跡為雙曲線的右支，故D正確.故選：D6.設等差數(shù)列，的前n項和分別為Sn，，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依題意可設，，結合與的關系可得.【詳解】因數(shù)列，均為等差數(shù)列，故由，可設，，則，，則故選：B7.已知橢圓的左，右焦點分別為，，點P是橢圓上的一點，且點P在x軸上方，的內切圓圓心為I，若則橢圓的離心率e的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由內切圓性質可得，結合橢圓的定義即可求解.【詳解】連接并延長，交x軸于點Q，則，則，所以，所以，由得，所以.故選:C.8.已知橢圓的上，下焦點分別為，，拋物線的焦點與橢圓的上焦點重合，過的傾斜角為的直線交橢圓于A，B兩點，且，點是拋物線上在第一象限的點，且在該點處的切線與x軸的交點為，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意以及橢圓的幾何性質得，，以及拋物線的標準方程以及其在點處的切線方程，進而即可求解.【詳解】解：由題可知，直線AB的斜率k為，設，則橢圓的離心率，所以，，即焦點坐標為，所以拋物線方程為，故在點處的切線方程為，令，，因為，所以是首項2，公比的等比數(shù)列，即故選：A.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.拋物線的焦點為F，過焦點的傾斜角為的直線交拋物線于A，B兩點，設，，則下列結論正確的是（）A. B.C.若，則 D.【答案】BCD【解析】【分析】由題設直線AB的方程，聯(lián)立拋物線方程結合韋達定理可判斷A，B；再依次應用拋物線焦點弦長公式和焦半徑公式計算即可判斷C，D..【詳解】對于AB，由拋物線的方程可知，，即，

，直線AB的斜率不可能為0，設其方程為，聯(lián)立，消去x，得，，故，故A錯誤，B正確；對于C，若，則，則，C正確；對于D，由拋物線的定義知，，又，，即選項D正確.故選:BCD10.設等差數(shù)列的前n項和為Sn，若Sn有最大值，且，則下列結論正確的是（）A.當Sn最大時，B.使的最大k值為4045C.D.在數(shù)列中，當時，取最大值【答案】ACD【解析】【分析】由，則或，結合Sn有最大值，則，利用等差數(shù)列前n項和最值即可判斷A，利用等差數(shù)列的性質與前n項和公式即可判斷B，利用二次函數(shù)的性質可判斷C，利用數(shù)列與不等式可判斷D.【詳解】由得，則或，即或，因Sn有最大值，所以，故當Sn最大時，，A正確；因為，，B錯誤；根據(jù)等差數(shù)列前n項和的函數(shù)性質，Sn因為Sn的圖象過原點，且，又因為，，所以，所以C正確；當時，，又因為，當時，，當時，，因為且，所以，D正確.故選：ACD.11.已知雙曲線的右頂點為，過點A作的一條切線與雙曲線交于點B，若AB中點為P，且，過點A作的另一條切線與雙曲線交于點D，設直線AB，AD的斜率分別為，，則下列結論正確的是（）A.雙曲線方程為 B.雙曲線的離心率C. D.過定點【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意設點代入方程化簡得出即求出離心率判斷B，得出軌跡方程可判斷A，結合點到直線距離及韋達定理即可判斷C，應用斜率公式計算求解得出定點判斷D.【詳解】設，，將，代入雙曲線方程得：①，②，①-②得：，即，由題可知，，，所以，又因為是AB中點，所以，，即，所以，則，故B正確;由題得a=2，，所以雙曲線方程為，故A正確；圓M的圓心為，半徑為r，設切線方程為，則，即，則，是上述方程的兩根，根據(jù)韋達定理可得，故C錯誤;由，則，，設AD的中點為Q，由①可得：，即：，，因為，，所以③，④，因為，將③④分別代入，則：，即⑤，，即⑥，⑤-⑥得：，所以直線BD過定點，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則__________.【答案】6【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列下標和性質和對數(shù)運算求解可得.【詳解】解：因為等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則，因為，由等比數(shù)列的性質知：，所以故答案為：613.已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項公式為__________.【答案】【解析】【分析】由遞推公式可得，從而得到是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列通項公式得到從而得到的通項公式.【詳解】解：因為，所以，又因為，所以，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，即故答案為：14.已知橢圓的左，右焦點分別為，，點P是橢圓上在第二象限的點，且P的縱坐標為，若橢圓的離心率e的范圍是，則的范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件依次求得P點坐標、與，進而得，由，令，則，即可求得t的取值范圍.【詳解】將P的縱坐標代入橢圓的方程，則，所以，，即，所以，因為，令，則所以，即，所以，故故答案為：【點睛】關鍵點睛：關鍵在于利用向量數(shù)量積判斷為直徑，利用勾股定理和雙曲線定義表示出離心率，然后根據(jù)離心率范圍求解.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列各項均為正數(shù)，設數(shù)列的前n項和為Sn，其中（1）求數(shù)列的通項公式;（2）令，求數(shù)列的前n項和【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用前n項和與通項公式的關系證明是等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的通項公式求解即可.（2）寫出新數(shù)列的通項公式，利用錯位相減法，結合等比數(shù)列的求和公式求和即可.【小問1詳解】，當時，，得或舍)，當時，，，即，數(shù)列的各項均為正數(shù)，即，，即數(shù)列是首項為1，公差為1等差數(shù)列，【小問2詳解】，①，②，①-②得：，16.已知雙曲線的左頂點為，離心率e為2，過點的直線l交雙曲線左支于A，B兩點.（1）求雙曲線C的標準方程;（2）若O是坐標原點，且，求直線l的斜率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)頂點和離心率列方程求解可得；（2）設出直線方程，聯(lián)立雙曲線方程消去y，韋達定理結合列方程求解可得.【小問1詳解】由題得，解得，雙曲線C的標準方程為【小問2詳解】由題可知，直線l斜率存在，設直線l的方程為，聯(lián)立雙曲線的方程，得，設Ax1,y1，B直線l交雙曲線左支于A，B兩點，，解得，，，即，解得或，，時，

17.設數(shù)列的前n項和為Sn，且（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，設為數(shù)列的前n項和，是否存在常數(shù)t，使對恒成立?若存在，求出t的最小值；若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）存在，最小值為【解析】【分析】（1）利用數(shù)列的與的關系式消去，判斷為等比數(shù)列，即得其通項；（2）代入計算并化簡，利用裂項相消法求得，由數(shù)列解析式的單調性求得其范圍即可.【小問1詳解】由①，當時，，即，當時，②，

①-②得：，即，所以，數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，故，【小問2詳解】由，可得，，，故由于單調遞增，可得，即，則存在常數(shù)t，使對恒成立，即，故t的最小值為18.已知平面內一個動點Q到點的距離比它到直線的距離少（1）求點Q的軌跡方程;（2）已知是點Q的軌跡上不同的四點，點P在x軸下方，直線AC，BD交于點P，且，設的中點分別為點①證明：三點共線;②若點P為半橢圓上的動點，求四邊形面積的最大值.【答案】（1）（2）①證明見解析；②【解析】【分析】（1）設點，由題意得，化簡可得；（2）①由已知可得，則，利用斜率公式可得，則軸，由C，D分別為PA，PB的中點，可得軸，則M，N，P三點共線；②點Px0,y0，Ax1,x12，Bx2,x【小問1詳解】設點，由題得，將上式兩邊同時平方，得，化簡得：，當時，，當時，，此時軌跡不存在，綜上：點Q的軌跡方程為【小問2詳解】①由，，可知C，D分別為的中點，即得，則直線AB和直線CD的斜率相等，即，設Ax1,x12，則點M的橫坐標，點N的橫坐標，由，得，即，則，所以，所以軸.設Px0,y0，由點是的中點，可得，因點在拋物線上，故，整理得，同理得，，是方程的兩個根，，且，，有，得軸，故三點共線.②因為點Px0,則，且，又，則，因為，因，且相似比為，故，其中，當時，取得最大值，此時四邊形面積取得最大值為【點睛】關鍵點點睛：（2）①得到后，利用斜率公式得，則軸，再證得軸，即得M，N，P三點共線；②結合圖象，將四邊形的面積用表示為：，再利用二次函數(shù)的性質求最大值.19.已知，，定義：數(shù)列共有m項，對任意i，，或中至少有一個仍是中的項，則稱數(shù)列為“乘或除封閉數(shù)列”.（1）若且，判斷數(shù)列是否為“乘或除封閉數(shù)列”;（2）已知遞增數(shù)列，3，，27，為“乘或除封閉數(shù)列”，求，，（3）已知各項均為正且單調遞增數(shù)列為“乘或除封閉數(shù)列”，若，證明：數(shù)列是等比數(shù)列.【答案】（1）不是（2），，；（3）證明見解析【解析】【分析】（1）利用題目定義驗證即可；（2）利用或中至少有一個仍是中的項，推理可得答案；（3）結合新定義得出，進而可得數(shù)列是等比數(shù)列.【小問1詳解】由題意知，數(shù)列為2，4，8，16，32，因