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第1頁/共1頁2024-2025學(xué)年湖北省武漢市部分重點中學(xué)高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的選項中,只有一項是符合題目要求的.1.拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為()A. B.1 C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義求解即可.【詳解】拋物線,則,焦點為,準(zhǔn)線為,所以焦點到準(zhǔn)線的距離為2.故選:C2.在等差數(shù)列中,若,則的值為()A.30 B.40 C.50 D.60【答案】D【解析】【分析】利用等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)得,進(jìn)而可求.【詳解】由,得,即,所以故選:D3.已知,是雙曲線的左,右焦點,P是雙曲線右支上一點,且是和的等差中項,則的值為()A.4 B.6 C.8 D.10【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線方程及其定義有,結(jié)合等差中項的性質(zhì)有,可求,進(jìn)而可證,即可求.【詳解】由雙曲線,得,,因為是和的等差中項,所以,即
①,由雙曲線的定義得
②,由①②得,,,所以,即,故故選:B4.已知數(shù)列為等比數(shù)列,,公比,若是數(shù)列的前n項積,則取最小值時n為()A.8 B.9 C.8或9 D.9或10【答案】C【解析】【分析】由等比數(shù)列的通項公式可得,利用二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意得,因為,,所以,函數(shù)的開口向上,對稱軸為,因為,所以或時,取最小值,即取最小值.故選:C.5.在平面直角坐標(biāo)系中,已知點,,點是平面內(nèi)一個動點,則下列說法正確的是()A.若,則點的軌跡為橢圓B.若,則點的軌跡為橢圓C.若,則點的軌跡為直線D.若,則點的軌跡為雙曲線的一支【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓、雙曲線的定義一一判斷即可.【詳解】由,結(jié)合橢圓的定義,顯然的軌跡不是橢圓而是線段,故A錯誤;設(shè),由,所以,整理得,所以點的軌跡為以為圓心,為半徑的圓,故B錯誤;由,則點的軌跡為以為端點(向右)的射線,故C錯誤;由,根據(jù)雙曲線的定義,則點的軌跡為雙曲線的右支,故D正確.故選:D6.設(shè)等差數(shù)列,的前n項和分別為Sn,,若,則的值為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依題意可設(shè),,結(jié)合與的關(guān)系可得.【詳解】因數(shù)列,均為等差數(shù)列,故由,可設(shè),,則,,則故選:B7.已知橢圓的左,右焦點分別為,,點P是橢圓上的一點,且點P在x軸上方,的內(nèi)切圓圓心為I,若則橢圓的離心率e的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由內(nèi)切圓性質(zhì)可得,結(jié)合橢圓的定義即可求解.【詳解】連接并延長,交x軸于點Q,則,則,所以,所以,由得,所以.故選:C.8.已知橢圓的上,下焦點分別為,,拋物線的焦點與橢圓的上焦點重合,過的傾斜角為的直線交橢圓于A,B兩點,且,點是拋物線上在第一象限的點,且在該點處的切線與x軸的交點為,若,則的值為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意以及橢圓的幾何性質(zhì)得,,以及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及其在點處的切線方程,進(jìn)而即可求解.【詳解】解:由題可知,直線AB的斜率k為,設(shè),則橢圓的離心率,所以,,即焦點坐標(biāo)為,所以拋物線方程為,故在點處的切線方程為,令,,因為,所以是首項2,公比的等比數(shù)列,即故選:A.二、多選題:本題共3小題,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.拋物線的焦點為F,過焦點的傾斜角為的直線交拋物線于A,B兩點,設(shè),,則下列結(jié)論正確的是()A. B.C.若,則 D.【答案】BCD【解析】【分析】由題設(shè)直線AB的方程,聯(lián)立拋物線方程結(jié)合韋達(dá)定理可判斷A,B;再依次應(yīng)用拋物線焦點弦長公式和焦半徑公式計算即可判斷C,D..【詳解】對于AB,由拋物線的方程可知,,即,
,直線AB的斜率不可能為0,設(shè)其方程為,聯(lián)立,消去x,得,,故,故A錯誤,B正確;對于C,若,則,則,C正確;對于D,由拋物線的定義知,,又,,即選項D正確.故選:BCD10.設(shè)等差數(shù)列的前n項和為Sn,若Sn有最大值,且,則下列結(jié)論正確的是()A.當(dāng)Sn最大時,B.使的最大k值為4045C.D.在數(shù)列中,當(dāng)時,取最大值【答案】ACD【解析】【分析】由,則或,結(jié)合Sn有最大值,則,利用等差數(shù)列前n項和最值即可判斷A,利用等差數(shù)列的性質(zhì)與前n項和公式即可判斷B,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷C,利用數(shù)列與不等式可判斷D.【詳解】由得,則或,即或,因Sn有最大值,所以,故當(dāng)Sn最大時,,A正確;因為,,B錯誤;根據(jù)等差數(shù)列前n項和的函數(shù)性質(zhì),Sn因為Sn的圖象過原點,且,又因為,,所以,所以C正確;當(dāng)時,,又因為,當(dāng)時,,當(dāng)時,,因為且,所以,D正確.故選:ACD.11.已知雙曲線的右頂點為,過點A作的一條切線與雙曲線交于點B,若AB中點為P,且,過點A作的另一條切線與雙曲線交于點D,設(shè)直線AB,AD的斜率分別為,,則下列結(jié)論正確的是()A.雙曲線方程為 B.雙曲線的離心率C. D.過定點【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)點代入方程化簡得出即求出離心率判斷B,得出軌跡方程可判斷A,結(jié)合點到直線距離及韋達(dá)定理即可判斷C,應(yīng)用斜率公式計算求解得出定點判斷D.【詳解】設(shè),,將,代入雙曲線方程得:①,②,①-②得:,即,由題可知,,,所以,又因為是AB中點,所以,,即,所以,則,故B正確;由題得a=2,,所以雙曲線方程為,故A正確;圓M的圓心為,半徑為r,設(shè)切線方程為,則,即,則,是上述方程的兩根,根據(jù)韋達(dá)定理可得,故C錯誤;由,則,,設(shè)AD的中點為Q,由①可得:,即:,,因為,,所以③,④,因為,將③④分別代入,則:,即⑤,,即⑥,⑤-⑥得:,所以直線BD過定點,故D正確.故選:ABD.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.若等比數(shù)列的各項均為正數(shù),且,則__________.【答案】6【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)和對數(shù)運算求解可得.【詳解】解:因為等比數(shù)列的各項均為正數(shù),且,則,因為,由等比數(shù)列的性質(zhì)知:,所以故答案為:613.已知數(shù)列滿足,且,則數(shù)列的通項公式為__________.【答案】【解析】【分析】由遞推公式可得,從而得到是等比數(shù)列,利用等比數(shù)列通項公式得到從而得到的通項公式.【詳解】解:因為,所以,又因為,所以,所以數(shù)列是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列,所以,即故答案為:14.已知橢圓的左,右焦點分別為,,點P是橢圓上在第二象限的點,且P的縱坐標(biāo)為,若橢圓的離心率e的范圍是,則的范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件依次求得P點坐標(biāo)、與,進(jìn)而得,由,令,則,即可求得t的取值范圍.【詳解】將P的縱坐標(biāo)代入橢圓的方程,則,所以,,即,所以,因為,令,則所以,即,所以,故故答案為:【點睛】關(guān)鍵點睛:關(guān)鍵在于利用向量數(shù)量積判斷為直徑,利用勾股定理和雙曲線定義表示出離心率,然后根據(jù)離心率范圍求解.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列各項均為正數(shù),設(shè)數(shù)列的前n項和為Sn,其中(1)求數(shù)列的通項公式;(2)令,求數(shù)列的前n項和【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用前n項和與通項公式的關(guān)系證明是等差數(shù)列,再利用等差數(shù)列的通項公式求解即可.(2)寫出新數(shù)列的通項公式,利用錯位相減法,結(jié)合等比數(shù)列的求和公式求和即可.【小問1詳解】,當(dāng)時,,得或舍),當(dāng)時,,,即,數(shù)列的各項均為正數(shù),即,,即數(shù)列是首項為1,公差為1等差數(shù)列,【小問2詳解】,①,②,①-②得:,16.已知雙曲線的左頂點為,離心率e為2,過點的直線l交雙曲線左支于A,B兩點.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若O是坐標(biāo)原點,且,求直線l的斜率.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)頂點和離心率列方程求解可得;(2)設(shè)出直線方程,聯(lián)立雙曲線方程消去y,韋達(dá)定理結(jié)合列方程求解可得.【小問1詳解】由題得,解得,雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】由題可知,直線l斜率存在,設(shè)直線l的方程為,聯(lián)立雙曲線的方程,得,設(shè)Ax1,y1,B直線l交雙曲線左支于A,B兩點,,解得,,,即,解得或,,時,
17.設(shè)數(shù)列的前n項和為Sn,且(1)求數(shù)列的通項公式;(2)令,設(shè)為數(shù)列的前n項和,是否存在常數(shù)t,使對恒成立?若存在,求出t的最小值;若不存在,說明理由.【答案】(1)(2)存在,最小值為【解析】【分析】(1)利用數(shù)列的與的關(guān)系式消去,判斷為等比數(shù)列,即得其通項;(2)代入計算并化簡,利用裂項相消法求得,由數(shù)列解析式的單調(diào)性求得其范圍即可.【小問1詳解】由①,當(dāng)時,,即,當(dāng)時,②,
①-②得:,即,所以,數(shù)列是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,故,【小問2詳解】由,可得,,,故由于單調(diào)遞增,可得,即,則存在常數(shù)t,使對恒成立,即,故t的最小值為18.已知平面內(nèi)一個動點Q到點的距離比它到直線的距離少(1)求點Q的軌跡方程;(2)已知是點Q的軌跡上不同的四點,點P在x軸下方,直線AC,BD交于點P,且,設(shè)的中點分別為點①證明:三點共線;②若點P為半橢圓上的動點,求四邊形面積的最大值.【答案】(1)(2)①證明見解析;②【解析】【分析】(1)設(shè)點,由題意得,化簡可得;(2)①由已知可得,則,利用斜率公式可得,則軸,由C,D分別為PA,PB的中點,可得軸,則M,N,P三點共線;②點Px0,y0,Ax1,x12,Bx2,x【小問1詳解】設(shè)點,由題得,將上式兩邊同時平方,得,化簡得:,當(dāng)時,,當(dāng)時,,此時軌跡不存在,綜上:點Q的軌跡方程為【小問2詳解】①由,,可知C,D分別為的中點,即得,則直線AB和直線CD的斜率相等,即,設(shè)Ax1,x12,則點M的橫坐標(biāo),點N的橫坐標(biāo),由,得,即,則,所以,所以軸.設(shè)Px0,y0,由點是的中點,可得,因點在拋物線上,故,整理得,同理得,,是方程的兩個根,,且,,有,得軸,故三點共線.②因為點Px0,則,且,又,則,因為,因,且相似比為,故,其中,當(dāng)時,取得最大值,此時四邊形面積取得最大值為【點睛】關(guān)鍵點點睛:(2)①得到后,利用斜率公式得,則軸,再證得軸,即得M,N,P三點共線;②結(jié)合圖象,將四邊形的面積用表示為:,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值.19.已知,,定義:數(shù)列共有m項,對任意i,,或中至少有一個仍是中的項,則稱數(shù)列為“乘或除封閉數(shù)列”.(1)若且,判斷數(shù)列是否為“乘或除封閉數(shù)列”;(2)已知遞增數(shù)列,3,,27,為“乘或除封閉數(shù)列”,求,,(3)已知各項均為正且單調(diào)遞增數(shù)列為“乘或除封閉數(shù)列”,若,證明:數(shù)列是等比數(shù)列.【答案】(1)不是(2),,;(3)證明見解析【解析】【分析】(1)利用題目定義驗證即可;(2)利用或中至少有一個仍是中的項,推理可得答案;(3)結(jié)合新定義得出,進(jìn)而可得數(shù)列是等比數(shù)列.【小問1詳解】由題意知,數(shù)列為2,4,8,16,32,因
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