第1頁/共1頁黑龍江省新時代高中教育聯合體2024—2025學年度上學期期末聯合考試高二數學試卷B（本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.）注意事項：1.答題前，考生務必用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將自己的姓名、準考證號分別填寫在試卷和答題卡規定的位置上.2.答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對應題目的答案涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再涂其它答案.非選擇題的答案必須使用黑色字跡的簽字筆或鋼筆寫在答題卡上相應的區域內，寫在本試卷上無效.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.數據2，4，6，8，10，12，14的第70百分位數是（）A.6 B.8 C.9 D.10【答案】D【解析】【分析】根據百分位數的定義計算即可.【詳解】因為，所以數據2，4，6，8，10，12，14的第70百分位數是，故選：D2.已知直線是雙曲線的一條漸近線，則（）A.1 B.2 C.4 D.16【答案】B【解析】【分析】根據雙曲線的漸近線方程求解.【詳解】由雙曲線可知，漸近線方程為，又直線是其中一條漸近線，所以，即，故選：B3.先后拋擲兩枚質地均勻的骰子，第一次和第二次出現的點數分別記為a，b，則下列結論正確的是（）A.“第一次出現的點數為1點”與“第二次出現的點數為2點”為互斥事件B.“兩次出現的點數之和大于6”與“兩次出現的點數之和小于6”為對立事件C.的概率為D.的概率為【答案】C【解析】【分析】由互斥事件、對立事件的定義判斷AB，根據古典概型，判斷CD選項即可得答案.【詳解】先后拋擲兩枚質地均勻的骰子，共有種不同的情形．對于A選項，“第一次出現的點數為1點”與“第二次出現的點數為2點”可以同時發生，故不是互斥事件，故A錯誤；對于B選項，“兩次出現的點數之和大于6”與“兩次出現的點數之和小于6”不能同時發生，是互斥事件，但是其中一個事件不發生時，另一個事件不一定發生（例如可發生“兩次出現的點數之和為6”），所以不是對立事件，故B錯誤；對于C選項，包含的樣本點有，，共2個，所以，故C正確；對于D選項，包含的樣本點有，，，，，共5個，所以，故D錯誤.故選：C．4.已知的展開式的第2項系數為，則下列結論中錯誤的是（）A. B.展開式的常數項為第5項C.展開式的各二項式系數的和為256 D.展開式的各項系數的和為【答案】D【解析】【分析】應用的展開式的通項公式結合題意求出，再利用通項公式研究常數項；由可求展開式的各項系數的和；由二項式系數性質可求展開式的各二項式系數的和.【詳解】因為的展開式的通項公式為，（），所以，即，解得，故A正確；所以（），當，即時為常數項,故B正確；所以展開式的各二項式系數的和為，故C正確；所以展開式的各項系數的和為，故D錯誤.故選：D.5.某類汽車在今年1至5月銷量y（單位：萬輛），如下表所示：月份x12345銷量y54.543.52.5若x與y線性相關，且線性回歸方程為，則下列說法不正確的是（）A.樣本的相關系數為負數 B.C.當時，殘差的絕對值為0.1 D.可預測當時銷量約為1.5萬輛【答案】C【解析】【分析】對于A，利用表中的數據就化情況分析判斷；對于B，利用樣本中心點滿足回歸方程，求出；對于C，利用回歸方程可求出預測值，進而可求出殘差絕對值；對于D，利用回歸方程可求出預測值.【詳解】對于A，從表中的數據看，隨的增大而減小，所以變量負相關，則樣本的相關系數為負數，故A正確；對于B，，所以，得，故B正確；對于C，因為，所以當時，殘差的絕對值為，故C錯誤；對于D，當時，，所以預測當時銷量約為1.5萬瓶，故D正確，故選：C.6.今年暑期檔推出多部精彩影片，其中比較熱門的有《解密》，《名偵探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《死侍與金剛狼》，甲和乙兩位同學準備從這5部影片中各選2部觀看.若兩人所選的影片恰有一部相同，且甲一定選《抓娃娃》，則兩位同學不同的觀影方案種數為（）A.24 B.28 C.36 D.12【答案】A【解析】【分析】分兩種情況，兩人所選影片中，《抓娃娃》相同，不是《抓娃娃》相同，分別計算出相應的方案數，相加即可.【詳解】若兩人所選影片中，《抓娃娃》相同，則兩人從剩余4部中各選1部，有種方案，若兩人所選影片中，不是《抓娃娃》相同，相同的影片為4部中1部，有種選擇，再給乙從剩余3部中選擇一部，有種選擇，故共有種方案，綜上，共有種方案.故選：A.7.已知點F是拋物線的焦點，經過F的兩條直線分別交拋物線于A，B和C，D，其中B，C兩點在x軸上方.若，則四邊形面積的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設直線CD的方程為，將該直線CD的方程與拋物線的方程聯立，列出韋達定理，求出、關于的表達式，利用基本不等式求出答案.【詳解】設直線CD的方程為，設點、，聯立，可得，所以，所以，同理可得，所以，四邊形的面積為，當且僅當時，等號成立，所以四邊形面積的最小值為，故選：D.8.春夏換季是流行性感冒爆發期，已知A，B，C三個地區分別有，，的人患了流感，且這三個地區的人口數之比是5:8:9，現從這三個地區中任意選取1人，若選取的這人患了流感，則這人來自B地區的概率是（）A.0.25 B.0.27 C.0.48 D.0.52【答案】C【解析】【分析】根據古典概型的概率公式，求得選取的人為A，B，C三個地區的概率，由題意，明確A，B，C三個地區患流感的條件概率，利用全概率公式求得患流感的概率，根據條件概率的定義，可得答案.【詳解】記事件表示“這人患了流感”，事件分別表示“這人來自地區”，由題意可知，，，，，，則故.故選：C.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.為了提高身體素質，小偉今年12月份一直堅持運動，他將1~10日每天運動時長繪制成了折線圖，如圖所示，則（）A.小偉1~10日每天運動時長的極差為39分鐘B.小偉1~10日每天運動時長的中位數為34.5分鐘C.小偉1~10日每天運動時長的眾數為55分鐘D.小偉1~3日每天運動時長的方差大于5~7日每天運動時長的方差【答案】AB【解析】【分析】根據已知條件，計算極差、中位數，結合眾數的定義，方差的意義，即可求解．【詳解】將這10個數據從小到大排序：，故極差為，A正確，中位數為，故B正確；眾數為31，C錯誤，由折線圖可知1~3日每天運動時長的波動小，5~7日每天運動時長的波動大，故1~3日每天運動時長的方差小于5~7日每天運動時長的方差，故D錯誤；故選：AB．10.已知點為圓C：上的動點，，，則下列說法正確的是（）A.面積的最大值為3 B.直線，與圓C相交或相切C. D.最大時，【答案】ACD【解析】【分析】到的最大距離為，即可求出最大面積可判斷A，根據直線過定點在圓上可判斷B，根據已知距離之比建立關系利用圓的方程化簡可判斷C，當最大時，直線與圓相切，利用勾股定理可判斷可判斷D.【詳解】如圖，對于A選項，因為底為定值，所以當到（即x軸）距離最大時三角形面積最大，為點Mx,y為圓C：上的動點，所以到的最大距離為半徑，所以面積的最大值是，故A正確；對于B選項，因為直線y=kx?1，恒過定點1,0，而點1,0在圓C：上，又直線不垂直軸，所以直線與圓相交，故B錯誤；對于C選項，，故C正確；對于D選項，當最大時，此時，直線與圓相切，點，則，且，由勾股定理可得，故D正確.故選：ACD.11.已知橢圓：的左、右頂點分別為，，左、右焦點分別為，，M是橢圓C上異于，的一點，且（為坐標原點），記，的斜率分別為，，設I為的內心，記，，的面積分別為，，，則（）A. B.橢圓的離心率為C. D.【答案】ACD【解析】【分析】對于A，根據橢圓焦點與焦距的概念，結合直角三角形的性質以及垂直向量的數量積，可得答案；對于B，利用勾股定理以及橢圓的定義，求得參數的值，根據焦距的概念，可得參數的值，結合離心率的計算，可得答案；對于C，利用等邊三角形的性質，求得的坐標，根據B以及橢圓頂點的概念，可得頂點的坐標，結合兩點斜率公式，可得答案；對于D，根據三角形內切圓的概念，結合三角形的面積公式，可得答案.【詳解】由題意作圖如下：對于A，由，則在中，，即，故A正確；對于B，由，則，在中，，由，則，所以離心率，故B錯誤；對于C，取線段的中點為，連接，如下圖：在中，，易知，，則，由，，則，，所以，故C正確；對于D，設內切圓半徑為，則，，，所以，即，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若隨機變量，則的值為______.【答案】【解析】【分析】根據二項分布方差的計算方式以及方差的性質，可得答案.【詳解】由題意可得，.故答案為：.13.2025年“第九屆亞冬會”即將在哈爾濱舉辦.現需要分配4名志愿者對2種不同的體育運動進行宣講，每個宣講至少分配1人，則不同的分配方案種數為______.【答案】14【解析】【分析】先將4名學生分為2組，然后再分配到2種不同體育運動進行宣講，根據分步乘法計數原理可求結果.【詳解】第步：根據分類加法計數原理求名學生志愿者分組的種數，4名學生志愿者分為2組，共有兩種情況：①一組3人，另一組1人，共有種；②一組2人，另一組2人，共有種，所以共有種分法，第2步：根據分步乘法計數原理計算所求，由上可知，不同的分配方案種數為種．故答案為：.14.已知離心率為的橢圓：和離心率為的雙曲線：有公共的焦點，其中，分別為左、右焦點，P是與在第一象限的公共點.若線段的垂直平分線經過坐標原點，則當取最小值時，為_____.【答案】【解析】【分析】由題意，，利用橢圓和雙曲線的性質有，最后用均值不等式即可求解．【詳解】設半焦距為，，，為中點，線段的垂直平分線經過坐標原點，為中點，則，由，，則，，，所以，從而有，故，當且僅當，即時取等.故答案為：．【點睛】關鍵點點睛：關于離心率問題，可以根據條件得到關于a，c的齊次式，設，，利用橢圓和雙曲線的性質有，，結合，得到，利用基本不等式求的最小值即可．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知，直線：與圓C：交于A，B兩點.（1）證明恒過定點，并求出原點到直線的最大距離；（2）已知點在圓C上，求的取值范圍.【答案】（1）證明見解析，最大距離（2）【解析】【分析】（1）將化為，令即可求出定點，當直線與定點和原點構成直線垂直時，原點到直線的距離最大，得到答案；（2）根據的幾何意義為點到2,0的距離，結合2,0與圓的位置關系，結合半徑和圓心到2,0得到答案.【小問1詳解】由直線：，得，聯立，解得，所以恒過定點，設直線恒過定點為,則當時，原點到直線距離最大，最大距離為.【小問2詳解】點在圓C上，的幾何意義為點到2,0的距離，因為圓C：，即，圓心，又因為，所以2,0在圓內，所以到2,0的距離的最大值為，到2,0的距離的最大值為所以，所以的取值范圍為.16.教育局組織學生參加“防溺水”網絡知識問答，該地區有小學生4500人，初中生4300人，高中生2200人，按學段比例分層抽樣，從中抽取220名學生，對其成績進行統計頻率分析，得到如下圖所示的頻率分布直方圖.（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）用樣本估計總體，估計該地區成績的中位數（保留小數點后兩位），并估計該地區學生成績大于等于90分的人數；（3）教育局的工作人員在此次競賽成績中抽取了10名同學的分數：，已知這10個分數的平均數，方差，若剔除其中的最高分98和最低分86，求剩余8個分數的平均數與方差.（參考數據：，，）【答案】（1）（2），550人（3）【解析】【分析】（1）利用頻率之和為1列方程求解；（2）根據中位數的定義計算中位數，利用頻率計算成績不小于90的人數即可；（3）根據平均數及方差的計算公式計算即可得解.【小問1詳解】由，解得.【小問2詳解】因為，，所以中位數滿足，由，解得，即估計該地區成績的中位數為分；估計該地區學生成績大于等于90分的人數為（人）.【小問3詳解】由題意，剩余8個成績的平均值為，因為10個分數的方差，所以，所以剩余8個分數的方差，即剩余8個分數的平均數與方差分別為.17.目前電動車的電池有石墨烯電池與鉛酸電池兩種，某公司為了了解該市電動車消費者對這兩種電池電動車的偏好，隨機調查了500名電動車用戶，其中男性用戶300名，在被調查的女性用戶中偏好鉛酸電池電動車的占，得到以下的2×2列聯表：偏好石墨烯電池電動車偏好鉛酸電池電動車合計男性用戶200300女性用戶合計500（1）根據以上數據，完成2×2列聯表，依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為該市電動車用戶對這兩種電池的電動車的偏好與性別有關；（2）從偏好石墨烯電池電動車的用戶中按性別比例用分層隨機抽樣的方法隨機抽取7人進行問卷調查，再從這7名用戶中抽取2人進行座談，在有女性用戶參加座談的條件下，求恰有兩名女性用戶參加座談的概率；（3）用樣本的頻率估計概率，在該市所有女性電動車用戶中隨機抽取3名進行新車試駕，記3名參加試駕的女性用戶中偏好石墨烯電池電動車的人數為X，求X的分布列.參考公式：，其中.參考數據：0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）列聯表見解析，能（2）（3）分布列見解析【解析】【分析】（1）由題意直接確定列聯表，計算，對比數據即可判斷；（2）由條件概率計算公式即可求解；（3）女性用戶中偏好石墨烯電池電動車的概率為，偏好鉛酸電池電動車的概率為，可能取值為0，1，2，3，根據二項分布對應的概率，即可求分布列.【小問1詳解】被調查的女性市民人數為，其中偏好鉛酸電池電動車的女性市民人數為.偏好石墨烯電池電動車的女性市民人數為，所以2×2列聯表為：

偏好石墨烯電池電動車偏好鉛酸電池電動車合計男性市民200100300女性市民80120200合計280220500零假設：市民對這兩種電池的電動車的偏好與市民的性別無關，根據列聯表中數據可以求得，由于，根據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為市民對這兩種電池的電動車的偏好與市民的性別有關.【小問2詳解】因為偏好石墨烯電池電動車的市民中，男性市民與女性市民的比為，所以采用分層抽樣的方法抽取7的人中，男性市民有5人，女性市民有2人，設“有女性市民參加座談”為事件A，“恰有兩名女性市民參加座談”為事件B，則，，所以.【小問3詳解】根據頻率估計概率知，女性用戶中偏好石墨烯電池電動車的概率為，偏好鉛酸電池電動車概率為，參加試駕的女性用戶中偏好石墨烯電池電動車的人數為X，可能取值為0，1，2，3，，，，，故X的分布列如下：X0123P18.某大公司招聘分為筆試和面試，筆試通過后才能進入面試環節，面試環節各部門從筆試通過的人員中抽取部分人員進行該部門的面試.2024年應聘該公司的學生的筆試成績Y近似服從正態分布，其中近似為樣本平均數，近似為樣本方差.已知的近似值為76.5，的近似值為5.5，以樣本估計總體.（1）假設有84.135%的學生的筆試成績高于該公司預期的平均成績，求該公司預期的平均成績大約是多少?（2）現有甲、乙、丙三名應聘者進入了面試，該公司某部門有意在這3人中隨機選取2人參加面試.面試分為初試和復試并且采用積分制，滿分為10分，其中通過初試考核記6分，通過復試考核記4分，初試通過才能參加復試，應聘者能否正確回答初試與復試的問題相互獨立.已知甲和乙通過初試的概率均為，丙通過初試的概率為，甲和乙通過復試的概率均為，丙通過復試的概率為.①若從這3人中隨機選取2人參加面試，求這兩人本次面試的得分之和不低于16分的概率；②若甲和乙兩人一起參加本次該部門的面試，記他們本次面試的得分之和為X，求X的分布列以及數學期望.參考數據：若，則：；；.【答案】（1）71分（2）①②分布列見解析，13【解析】【分析】（1