第1頁/共1頁甘肅省張掖市2024-2025學年高三上學期第一次聯考數學試題1．答卷前，考生務必將自己的姓名，考場號，座位號，準考證號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數（i為虛數單位），則復數在復平面上對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】由題意，根據共軛復數的定義和復數的幾何意義即可求解.【詳解】因為，所以，所以復數對應的點的坐標為，位于復平面的第三象限，故選：C.2.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式化簡集合A，然后利用并集概念求解即可.【詳解】解不等式，得，所以.因為，所以.故選：B3.已知命題；命題．則（）A.和都是真命題 B.和都是真命題C.和都是真命題 D.和都是真命題【答案】A【解析】【分析】根據對數函數的單調性判斷命題p，再根據時，判斷即可選擇.【詳解】因為對數函數在上單調遞增，所以當時，，故命題是真命題；由指數函數的性質可知，所以當時，，所以．故命題是真命題．故選:A.4.已知平面向量，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由和平面數量積的運算律可得，結合平面向量數量積的坐標表示建立關于的方程，解之即可求解.【詳解】由，得，即，得，即，又，所以，解得，故選：D.5.已知圓，半徑為3的圓與圓外切，則點的軌跡方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據圓的標準方程得出圓心及半徑，再設點應用圓外切得出化簡得出軌跡方程.【詳解】圓的標準方程為，所以圓的圓心為，半徑．因為圓與圓外切，且半徑為3，所以點與點的距離．設，則，化簡得，故選:C.6.已知函數若對任意恒成立，則實數a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由任意得在上單調遞減，從而得出的不等關系解出即可.【詳解】因為，所以在上單調遞減．因為在上單調遞減,所以解得，即實數的取值范圍是．故選：B.7.在圓臺中，下底面半徑為上底面半徑的4倍，高為4，體積為，則圓臺的母線與下底面所成角的正切值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】結合題目條件根據圓臺體積公式求出底面半徑，作出圓臺的軸截面，利用線面角的定義知為母線CB與下底面所成的角，結合等腰梯形的性質在直角三角形中求解即可.【詳解】由題意得，圓臺的高，體積，設上底面半徑為，則下底面半徑為4r.圓臺的體積，解得.作出圓臺的軸截面，如圖，則，為母線CB與下底面所成的角.過點作于點，則1，所以，所以.故選：A.8.在中，內角的對邊分別為，記的面積為，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據三角形的面積公式將原條件轉化化簡為，再利用二倍角即可求得角A.【詳解】因為，所以．結合余弦定理，得，所以．所以，解得．因為，所以，所以．故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知雙曲線的左，右焦點分別是，下列說法正確的有（）A.若雙曲線的離心率為，則雙曲線的漸近線方程為B.若雙曲線的通徑長為2，則C.若是雙曲線與以為直徑的圓的交點，則的面積為2D.若點在雙曲線上，則【答案】ABC【解析】【詳解】在雙曲線中，.若離心率，則，所以，所以雙曲線的漸近線方程為，A正確．將代入，得，又，所以，解得．由題意得，解得，B正確．由題意，得．不妨設點在第一象限，，則，所以，解得，所以的面積，C正確．因為點在雙曲線上，所以，解得．因為點在第一象限，所以，D錯誤．故選：ABC10.為了解某地農村經濟情況，對該地農戶家庭年收入進行抽樣調查，將農戶家庭年收入的調查數據整理得到如下頻率分布直方圖.根據此頻率分布直方圖，下面結論中正確的有（）A.該地家庭年收入低于5.5萬元的農戶所占比例估計為B.估計該地農戶家庭年收入的分位數為9萬元C.估計該地農戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元D.估計該地有一半以上的農戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間【答案】ABD【解析】【分析】根據頻率分布直方圖求出各組頻率即可判斷AD，確定分位數判斷B，利用頻率分布直方圖的平均數運算法則求解判斷C.【詳解】對于A，由頻率分布直方圖知，家庭年收入低于5.5萬元的農戶所占比例約為，A正確；對于B，由頻率分布直方圖知，家庭年收入不超過8.5萬元的農戶約占，家庭年收入不超過9.5萬元的農戶約占，因此分位數為9，B正確；對于C，由頻率分布直方圖知，該地農戶家庭年收入的平均值約為（萬元）（萬元），C錯誤；對于D，家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的農戶約占，D正確.故選：ABD.11.函數，其中是常數，則（）A.當時，是增函數 B.若是的極大值點，則C.若，且有2個零點，則 D.當時，有3個零點【答案】ABC【解析】【分析】利用導數討論函數的單調性和極值即可判斷AB；結合導數的應用和零點的概念計算即可判斷CD.【詳解】因為，所以.當時，恒成立，所以在R上單調遞增，故A正確．因為是的極大值點，所以，解得．當時，，則當時，，當時，，所以是的極大值點，符合題意，故B正確．令得或，因為，所以，所以當或時，單調遞增，當時單調遞減，所以當時，取得極大值，當時，取得極小值，且.又當時，，所以若有2個零點，則，解得，故C正確．當時，，同理當或時，單調遞增，當時，單調遞減，所以當時，取得極大值，當時，取得極小值，且，又當時，，所以有1個零點，故D錯誤．故選：ABC.【點睛】方法點睛：已知函數零點的個數(方程根的個數)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設是等差數列前項和，若，則____________．【答案】72【解析】【分析】根據等差數列的性質和通項公式求出公差和首項，結合等差數列前項和公式計算即可求解.【詳解】設等差數列的公差為.由等差數列的性質，得.因為36，所以，解得．所以，解得，所以，所以，故答案為：72.13.已知，則____________．【答案】【解析】【分析】根據已知得即可求得，利用倍角公式有即可得解.【詳解】由得，又，所以，所以．故答案為：．14.將分別標有號碼的6個小球平均分為兩組，則“標號為4的小球不是所在組標號最大的且標號為3的小球不是所在組標號最小的”的分組方式有______種.【答案】5【解析】【分析】間接法：利用分類加法原理求出“標號為4的小球不是所在組標號最大的且標號為3的小球不是所在組標號最小的”的反面的情形，利用組合知識求解平均分兩組的情形，作差即可求解；直接法：由題意可得，標號為1，2的小球中至少有1個與標號為3的小球一組，標號為5，6的小球中至少有1個與標號為4的小球一組，利用分類加法原理和組合數求解即可.【詳解】方法一（間接法）：事件“標號為4的小球不是所在組標號最大的且標號為3的小球不是所在組標號最小的”的反面是“標號為4的小球是所在組標號最大的”“標號為3的小球是所在組標號最小的”至少一個成立.當標號分別為3和4的小球不在同一組時，有124，356一種分法，且“標號為4的小球是所在組標號最大的”和“標號為3的小球是所在組標號最小的”同時成立.當標號分別為3和4的小球在同一組時，若“標號為4小球是所在組標號最大的”成立，則有134，256和234，156兩種分法；若“標號為3的小球是所在組標號最小的”成立，則有126，345和125，346兩種分法．綜上，不符合題意的分法有5種.將6個小球平均分成兩組，有種分法，所以符合題意的分法有種．方法二（直接法）：當標號分別為3和4的小球在同一組時，不論和它們在一組小球的標號是1，2，5，6中的哪一個，“標號為4的小球不是所在組標號最大的”和“標號為3的小球不是所在組標號最小的”不能同時成立，所以標號分別為3和4的小球不在同一組.由題意可得，標號為1，2的小球中至少有1個與標號為3的小球一組，標號為5，6小球中至少有1個與標號為4的小球一組．故符合題意的分組方式有種．故答案為：5【點睛】方法點睛：對較復雜的組合問題，要搞清是“分類”還是“分步”，一般是先整體分類，然后局部分步，將復雜問題通過兩個計數原理化歸為簡單問題；組合問題的限制條件主要體現在取出元素中“含”或“不含”某些元素，或者“至少”或“最多”含有幾個元素：①“含有”或“不含有”某些元素的組合題型．“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取．②“至少”或“最多”含有幾個元素的題型，考慮逆向思維，用間接法處理．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知數列滿足．（1）若，求證：為等差數列；（2）求數列的前項和．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取倒數，即可根據等差數列的定義求證，（2）利用裂項相消法求和即可得解.【小問1詳解】證明：因為，所以，即因為，所以．又因為，所以是以2為首項，2為公差的等差數列【小問2詳解】由（1）得，所以，所以．所以16.已知函數的圖象在點處的切線斜率為．（1）求實數的值；（2）求在區間上的最大值．【答案】（1）2；（2）2.【解析】【分析】（1）求出函數的導數，再利用導數的幾何意義求出值.（2）由（1）的結論，求出函數在上的單調區間，進而求出最大值.【小問1詳解】函數的定義域為，求導得，由函數的圖象在點處的切線斜率為，得，所以.【小問2詳解】由（1）得，由，得或，當或時，，當時，，函數在上單調遞增，在上單調遞減，而，，函數在區間上的最大值為2.17.近年來，隨著智能手機的普及，網上買菜迅速進入了我們的生活，某小區將一周網上買菜次數超過3次的居民認定為“喜歡網上買菜”，不超過3次甚至從不在網上買菜的居民認定為“不喜歡網上買菜”.為了解該社區居民網上買菜的情況，工作人員隨機抽取了該社區100名居民，得到的統計數據如下表所示：

喜歡網上買菜不喜歡網上買菜合計年齡不超過45歲的居民401050年齡超過45歲的居民203050合計6040100（1）試根據的獨立性檢驗，分析該社區的居民是否喜歡網上買菜與年齡有關系．（2）居民小張周一、二均在網上買菜，且周一等可能地從兩個買菜平臺隨機選擇一個下單買菜．如果周一選擇在平臺買菜，那么周二選擇在平臺買菜的概率為；如果周一選擇在平臺買菜，那么周二選擇在平臺買菜的概率為，求小張周二選擇在平臺買菜的概率.（3）用頻率估計概率，現從該社區隨機抽取10名居民，記其中喜歡網上買菜的居民人數為隨機變量，并記隨機變量，求X，Y的數學期望和方差．參考公式及數據：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）認為是否喜歡網上買菜與年齡有關系，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05（2）（3）的數學期望，方差，的數學期望，方差【解析】【分析】（1）根據給定數表，求出的觀測值，再與臨界值表比較即可求解；（2）根據給定條件，利用全概率公式計算作答；（3）由二項分布的期望、方差公式求解隨機變量X的數學期望和方差，再利用數學期望和方差的性質求解Y的數學期望和方差即可.【小問1詳解】統計假設：該社區的居民是否喜歡網上買菜與年齡無關系，由給定的2×2列聯表，得根據小概率值的獨立性檢驗，否定假設，即認為是否喜歡網上買菜與年齡有關系，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05；【小問2詳解】設表示周在平臺買菜，表示周在平臺買菜，.由題可得．由全概率公式，小張周二選擇在平臺買菜的概率；【小問3詳解】依題意，該社區居民喜歡網上買菜的概率估計值為.從該社區隨機抽取10名居民，其中喜歡網上買菜的居民人數，所以的數學期望，方差.又，所以的數學期望，方差.18.圖1是直角梯形，，四邊形是邊長為2的菱形，并且，以為折痕將折起，使點到達點的位置，如圖2.（1）求證：；（2）若平面平面，在棱上找一點，使得點到平面的距離為，并求的值；（3）在（2）的前提下，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）取的中點，連接，證明平面，再根據線面垂直的性質即可得證；（2）先說明即為二面角的平面角，則，以點為原點建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可；（3）根據線面角的向量求法計算即可.【小問1詳解】取的中點，連接，四邊形?是邊長為2的菱形則，又平面，所以平面，又平面，所以；【小問2詳解】在菱形中，，則，所以，所以，因為，所以即為二面角的平面角，因為平面平面，所以，即，如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，則，故，設，設平面的法向量為，則有，可取，因為點到平面的距離為，所以，解得，所以；【小問3詳解】由（2）得，，則，故，所以直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】方法點睛：計算線面角，一般有如下幾種方法：（1）利用面面垂直的性質定理，得到線面垂直，進而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內的射影，即可確定線面角；（2）在構成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（為斜線段長），進而可求得線面角；（3