第1章信號與系統概述1.1信號1.2系統

1.1信號

1.1.1信號的基本分類

由語音、圖像、數碼等形成的電信號,其形式是多種多樣的,根據其本身的特征,可以進行如下分類。

1.確定信號與隨機信號

如果信號可以表示為一個或幾個自變量的確定函數,則稱此信號為確定信號,例如正弦信號、階躍信號等。

如果一個信號在發生之前無法確定它的波形,即該信號沒有確定的函數表達式,而只能預測該信號對某一數值的概率,這樣的信號稱之為隨機信號。信息傳輸過程中的信號嚴格說來都是隨機的,因為這種信號包含著干擾和噪聲。

2.周期信號與非周期信號

如果一個信號每隔固定的時間T精確地再現該信號的本身則稱為周期信號。周期信號的特點是:既周而復始又無始無終。一個時間周期信號的表達式為

f(t)=f(t±nT)n=0,1,2,…

滿足此式的最小T值為信號的周期。只要給出該信號在一個周期內的變化過程,便可以確定它在任一時刻的數值。通信系統中測試所采用的正弦波,雷達中的矩形脈沖等都是周期信號。

非周期信號則具有無固定時間長度的周期。如語音波形、開關啟閉所造成的瞬態等都是非周期信號。

3.連續信號與離散信號

連續信號也可稱為模擬信號,如果一個信號在所討論的時間內,除有限個間斷點外都有定義,即能夠表示為連續時間t的函數,便稱此信號在此時間范圍內為連續時間信號,簡稱連續信號,用f(t)表示。如生物的生長與時間的關系、一年四季溫度的變化等,這些都是隨連續時間t變化的連續時間信號。在某些離散的時刻有定義的信號稱為離散時間信號,簡稱離散信號,又稱為離散序列,通常用函數f(n)表示。在離散信號中,相鄰離散時刻的間隔可以是相等的,也可以是不相等的,在這些離散時刻以外的時間信號無定義。如電傳打字機輸出的電信號、電子計算機輸出的脈沖信號都是離散信號。離散時間信號中時間離散、幅值連續的信號稱為抽樣信號;經過量化后的離散信號,其時間和幅值均離散,稱為數字信號。圖1-1(a)所示信號為連續信號,而圖1-1(b)所示信號為離散信號。圖1-1連續信號與離散信號

4.能量信號與功率信號

能量信號是一個脈沖式信號,它通常只存在于有限的時間間隔內。當然還有一些信號存在于無限時間間隔內,但其能量的主要部分都集中在有限時間間隔內,對于這樣的信號也稱為能量信號。圖1-2所示是某些能量信號。

為了了解信號能量或功率特性，常常研究信號f(t)(電壓或電流)在單位電阻上消耗的能量或功率。

在(－∞,∞)區間信號的平均功率P為圖1-2某些能量信號在(－∞,∞)區間信號的能量E為如果信號f(t)的能量有界，即0<E<∞,而平均功率P=0,則它就是能量信號，例如單脈沖信號。如果信號f(t)的平均功率有界，即0<P<∞,而能量E趨于無窮大，那么它就是功率信號，例如周期正弦信號。如果有信號能量E趨于無窮大，且功率P亦趨于無窮大，那么它就是非能量非功率信號，例如e－an信號。也就是說，按能量信號與功率信號分類并不能包括所有信號。

【例1-1】判斷下列信號是能量信號還是功率信號。

(1)f1(t)=e－at

a>0,t>0;

(2)f2(t)=e－t。

解

(1)(2)故信號f1(t)為能量信號,f2(t)是一個既非能量信號又非功率信號的信號。1.1.2信號的基本運算及波形變換

1.加法運算

已知信號f1(t)和f2(t),它們的和是指同一瞬時兩信號的函數值對應相加所構成的“和信號”,相加后的表達式為

f(t)=f1(t)+f2(t)

【例1-2】

信號f1(t)和f2(t)如圖1-3所示,求信號f1(t)與f2(t)之和。圖1-3信號的加法解信號f1(t)與f2(t)的函數表達式分別為

f1(t)=t,－∞<t<∞f1(t)與f2(t)之和為

2.乘法運算

已知信號f1(t)和f2(t),它們的積是指同一瞬時兩信號的函數值對應相乘所構成的“積信號”,相乘后的表達式為

f(t)=f1(t)·f2(t)

【例1-3】信號f1(t)和f2(t)如圖1-4(a)和圖(b)所示,求信號

f1(t)與f2(t)之積。圖1-4信號的乘法解

f1(t)與f2(t)之積為

3.信號的反折

信號的反折又稱翻轉,就是把原信號沿縱軸翻轉180°。已知原信號f(t),其反折運算后得到y(t),表示為

y(t)=f(－t)

上式表明,將f(t)中的自變量t置換為(－t)就得到反折信號f(－t)。實際上,對錄制好的音像信號進行倒放的過程就是對信號的反折過程,如圖1-5所示。圖1-5信號的反折

4.信號的時移

信號的時移又稱平移,是將原信號沿時間軸向左或向右移動,但波形的形狀不變。原信號為f(t),時移后得到y(t),表示為

y(t)=f(t+b)

其中,b為實常數,信號是將f(t)平移|b|個單位后的信號。當b<0時,信號滯后于f(t),f(t)向右平移|b|個單位;當b>0時,信號超前于f(t),將f(t)向左平移b個單位。用表達式表示時將信號f(t)函數式中的t置換為t+b。

超前可以簡單地認為“時間起點(或終點)靠前”;滯后可以簡單地認為“時間起點(或終點)靠后”,如圖1-6所示。圖1-6信號的時移

5.信號尺度變換

信號尺度變換運算(信號壓、擴運算)就是將信號由f(t)轉換成新信號f(at)的過程,即f(t)→f(at),其中a為壓擴系數,a為正實常數,但a≠0。

若a>1,則是將f(t)的圖像壓縮到原來的1/a,即得到f(at)的圖像,就是說圖像壓縮了;若0<a<1,則是將f(t)圖像擴展a倍,即得到的圖像,就是說圖像展寬了。

【例1-4】畫出圖1-7所示信號f(t)的尺度變換信號f(2t)及

。

解以新的時間變量2t代替f(t)中變量t,此時壓擴系數a=2,因此得到f(2t)的圖像是將原信號f(t)圖像沿時間軸壓縮1/2,如圖1-8(a)所示。同理,以新的時間變量(1/2)t代替f(t)中變量t,此時壓擴系數a=1/2,則f(

t)的圖像是將原信號f(t)圖像沿時間軸擴展1倍,如圖1-8(b)所示。圖1-7原信號f(t)圖1-8f(2t)及f(t)的圖像

【例1-5】信號f(t)的波形如圖1-9(a)所示。畫出信號

f(－2t+4)的波形。圖1-9例1-5的圖形解將信號f(t)翻轉得到f(－t),如圖1-9(b)所示;然后將f(－t)波形向右平移,得到f(－t+4)波形,如圖1-9(c)所示;最后將

f(－t+4)波形壓縮,即得f(－2t+4)的波形,如圖1-9(d)所示。也可以將信號f(t)先向左平移,得到f(t+4),然后再翻轉,得到信號f(－t+4)的波形,最后進行尺度變換,得到f(－2t+4)的波形。

1.2系統

1.2.1系統的定義及描述

廣義而言,系統是一個由若干相互關聯的事物組成的具有某種特定功能的整體。如宇宙、太陽系、地球、人體等屬于自然系統;社會、國家、民族、政治機構、企事業管理機構等屬于非物理系統;人為建立的通信系統、控制系統、計算機網絡等屬于物理系統。而在通信系統、控制系統、計算機網絡等物理系統中,若僅傳輸電信號,則稱之為電系統;若僅傳輸光信號,則稱之為光系統;若既傳輸電信號,又傳輸光信號,則稱之為光電系統。

電系統是指對電信號進行產生、傳輸、加工處理和存儲的電路(網絡)或設備(包括軟件和硬件設備),簡稱系統。如由R、C組成的積分器、微分器;由R、L、C組成的振蕩器、濾波器;由晶體管等組成的放大器、檢波器、混頻器、分頻器、直流穩壓電源、交流發電設備、雷達等。

系統表示為方框形式,如圖1-10所示。系統的輸入信號x(t)稱為激勵信號,輸出信號y(t)稱為響應信號。系統的功能是將x(t)轉變為y(t),其中輸入x(t)與輸出y(t)呈現一一對應的關系,表示為

y(t)=H［x(t)］圖1-10系統的框圖系統的輸入與輸出關系還可以簡單地表示為

x(t)→y(t)

同一系統在不同激勵作用下,一般會產生不同的響應。不同系統在同一激勵作用下,一般也會產生不同的響應,這說明系統不同,功能各異。

圖1-10所示的系統只有一個輸入信號,一個輸出信號,稱為單輸入單輸出系統。另外還有單輸入多輸出系統、多輸入單輸出系統和多輸入多輸出系統。1.2.2系統的特性及分類

1.動態系統與非動態系統

按照是否含有存儲元件,可以將系統劃分為動態系統和非動態系統。

含有儲能元件的系統,在某時刻t0的輸出,不僅與該時刻的輸入有關,還與該時刻的系統狀態有關,這類系統稱為動態系統,又稱為記憶系統。系統狀態是t0時刻以前的激勵信號對系統作用后產生的持續性影響。

不含儲能元件的系統,在某時刻t0的輸出僅與該時刻的輸入有關,這類系統稱為非動態系統,又稱為即時系統。

2.連續時間系統與離散時間系統

按照系統傳輸、處理的信號是連續時間信號還是離散時間信號,可將系統劃分為連續時間系統和離散時間系統。

傳輸和處理連續時間信號的系統稱為連續時間系統。由R、L、C組成的振蕩器,以及由晶體管組成的放大器等都屬于連續時間系統。

傳輸和處理離散時間信號的系統稱為離散時間系統,如單片機和計算機等都屬于離散時間系統。

3.線性系統與非線性系統

按照組成系統的元件是否為線性元件,可將系統劃分為線性系統和非線性系統。由線性元件所組成的系統稱為線性系統,其同時具有疊加性和齊次性。含有非線性元件的系統稱為非線性系統,其不具備疊加性和齊次性。線性系統不含非線性元件,但是非線性系統可以含有線性元件。

4.時不變系統與時變系統

按照組成系統的元件的參數是否時變,可將系統劃分為時不變系統或時變系統。

如果系統內元器件的參數不隨時間而變化,則稱此系統為時不變系統或非時變系統,也稱定長系統。如果系統內元器件的參數隨時間而變化,則稱此系統為時變系統或參變系統。

5.因果系統與非因果系統

按照系統是否具有物理可實現性,可將系統分為因果系統和非因果系統。

先有起因,后有結果,在物理上可以實現的系統稱為因果系統,該類系統在激勵信號作用之后才會產生輸出響應,激勵是產生響應的原因,響應是引入激勵的結果。實際的物理系統均為因果系統。

非因果系統則是先有結果,后有起因,在物理上是不可以實現的系統。非因果系統的響應出現在激勵之前。1.2.3系統模擬與相似系統

1.系統的數學模型

當系統的激勵是連續信號時,若其響應也是連續信號,則稱其為連續系統。當系統的激勵是離散信號時,若其響應也是離散信號,則稱其為離散系統。連續系統與離散系統常組合使用,稱為混合系統。

描述連續系統的數學模型是微分方程,而描述離散系統的數學模型是差分方程。

如果系統的輸入、輸出信號都只有一個,則稱為單輸入單輸出系統,如果系統的輸入、輸出信號有多個,則稱為多輸入多輸出系統。

圖1-11所示是RLC串聯電路。圖1-11電路系統如將電壓源us(t)看做是激勵,選電容兩端電壓uC(t)為

響應,則由基爾霍夫電壓定律(KVL)有

uL(