北京市西城區第三十九中2024年高三第二次診斷性檢測數學試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知”>/?>（）,橢圓G的方程￡+4=1，雙曲線。，的方程為1-￡=1，G和G的離心率之積為且，則

a~b~a-b~2

G的漸近線方程為（）

A.x±V2y=0B.缶±y=0C.x±2y=0D.2x士y=0

2.如圖，AA3C內接于圓。，AB是圓。的直徑，DC=BE,DC/1BE,DCLCB,DCYCA,AB=2EB=2,則

三棱錐E-A3c體積的最大值為（）

3.已知拋物線丁=2陽〃>0）經過點見2,2⑹，焦點為F,則直線板的斜率為（

A.2>/2c五D.-2&

4.閱讀如圖的程序框圖，運行相應的程序，則輸出的。的值為（）

23

A.—B.--

32c1

5.若等差數列｛q｝的前〃項和為S”，且％=0,%+q=21,則跖的值為（）.

A.21B.63C.13D.84

6.己知數列｛%｝是以1為首項，2為公差的等差數列，｛包｝是以1為首項，2為公比的等比數列，設4=4.，

9=q+C2+-+G（〃€N"），則當（V2020時，〃的最大值是（）

A.8B.9C.10D.11

7.如圖所示的“數字塔”有以下規律：每一層最左與最右的數字均為2,除此之外每個數字均為其兩肩的數字之積，則

該"數字塔''前10層的所有數字之積最接近（愴2。0.3）（）

2

22

242

2882

21664162

A.10^B.10^C.IO500D.1O600

8.已知復數z滿足：zi=3+4i（i為虛數單位），貝匹=（）

A.4+3/B.4-3/C.-4+3/D.-4-3Z

9.自2019年12月以來，在湖北省武漢市發現多起病毒性肺炎病例，研究表明，該新型冠狀病毒具有很強的傳染性各

級政府反應迅速，采取了有效的防控阻擊措施，把疫情控制在最低范圍之內.某社區按上級要求做好在鄂返鄉人員體格

檢查登記，有3個不同的住戶屬在鄂返鄉住戶，負責該小區體格檢查的社區診所共有4名醫生，現要求這4名醫生都

要分配出去，且每個住戶家里都要有醫生去檢查登記，則不同的分配方案共有（）

A.12種B.24種C.36種D.72種

10.%工（/'”是函數〃力二|（火-山|在區間。一工）內單調遞增”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

11.下列函數中，在區間（O,y）上為減函數的是（）

_____/1Y

2

A.y=Jx+\B.y=xC.y=-D.y=log2X

k

12.在復平面內，出復數（i為虛數單位）的共扼復數對應的點位于（）

1i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知雙曲線0￡—4=1的左、右焦點為"，匕,尸（2,我）為雙曲線C上一點，且=

a~b~、，|尸叼

若線段尸耳與雙曲線C交于另一點A,則APA5的面積為.

22

14.已知尸為橢圓二+21=1上的一個動點，A（—2,l）,8（2,-1）,設直線AP和8P分別與直線工=4交于M,N

82

兩點，若AA5尸與AMNP的面積相等，則線段OP的長為.

15.已知數歹!滿足q+2。2+3%+…+=2",則凡=.

16.在一塊土地上種植某種農作物，連續5年的產量（單位：噸）分別為9.4,9.7,9.8,10.3,10.8.則該農作物的年

平均產量是_____噸.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步躲。

17.（12分）在最新公布的湖南新高考方案中，“3+1+2”模式要求學生在語數外3門全國統考科目之外，在歷史和物

理2門科目中必選且只選1門，再從化學、生物、地理、政治4門科目中任選2門，后三科的高考成績按新的規則轉

換后計入高考總分,相應地，高校在招生時可對特定專業設置具體的選修科目要求.雙超中學高一年級有學生1200人，

現從中隨機抽取40人進行選科情況調查，用數字1~6分別依次代表歷史、物理、化學、生物、地理、政治6科，得到

如下的統計表：

序號選科情況序號選科情況序號選科情況序號選科情況

1134112362115631235

2235122342223532236

3235131452324533235

4145141352423534135

5156152362525635156

6245162362615636236

7256171562713437156

8235182362823538134

9235191452924639235

10236202353015640245

（1）雙超中學規定：每個選修班最多編排50人且盡量滿額編班，每位老師執教2個選修班（當且僅當一門科目的選

課班級總數為奇數時，允許這門科目的1位老師只教1個班）.已知雙超中學高一年級現有化學、生物科目教師每科各

8人，用樣本估計總體，則化學、生物兩科的教師人數是否需要調整？如果需要調整，各需增加或減少多少人？

（2）請創建列聯表，運用獨立性檢驗的知識進行分析，探究是否有99%的把握判斷學生“選擇化學科目”與“選擇物理

科目”有關.

n(ad-be)"

(a+Z?)(c+c/)(a+c)(%+d)

P（K』）0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

（3）某高校A在其熱門人文專業笈的招生簡章中明確要求，僅允許選修了歷史科目，且在政治和地理2門中至少選

修了1門的考生報名.現從雙超中學高一新生中隨機抽取3人，設具備A高校8專業報名資格的人數為X,用樣本的

頻率估計概率，求X的分布列與期望.

18.（12分）如圖，在直角AAO8中，04=08=2,AAOC通過AAQ8以直線04為軸順時針旋轉120。得到

（ZBOC=120°）.點。為斜邊A3上一點.點M為線段8c上一點，且=勺叵.

3

（1）證明：MOJ_平面408；

（2）當直線與平面AO8所成的角取最大值時，求二面角B—CO—O的正弦值.

19.（12分）在AABC中，內角4注。的對邊分別是4也乙已知A=上,b?+c?-&abc=a1.

33

（1）求。的值；

（2）若b=l,求AA8C的面積.

22

20.（12分）已知橢圓：C:=十三=1（〃＞。＞0）的四個頂點圍成的四邊形的面積為2厲，原點到直線4+與=1的

a~b~ab

距離為叵.

4

（1）求橢圓。的方程；

（2）已知定點尸（0,2）,是否存在過戶的直線/,使/與橢圓C交于4,4兩點，且以IA例為直徑的圓過橢圓。的左

頂點？若存在，求出/的方程：若不存在，請說明理由.

21.（12分）如圖，三棱錐尸―ABC中，點。，E分別為A3,BC的中點，且平面力汨平面ABC.

（1）求證：AC//平面POE；

（2）若/＞D=AC=2,PE=6求證：平面尸8CJ_平面ABC.

22.（10分）某大型單位舉行了一次全體員工都參加的考試，從中隨機抽取了20人的分數.以下莖葉圖記錄了他們的考

試分數（以十位數字為莖，個位數字為葉）：

分匕

615

7B63331

89RR7763J

若分數不低于95分，則稱該員工的成績為“優秀”.

（1）從這20人中任取3人，求恰有1人成績“優秀”的概率：

（2）根據這20人的分數補全下方的頻率分布表和頻率分布直方圖，并根據頻率分布直方圖解決下面的問題.

頻率

組別分組頻數頻率

組距

1[60,70)

2[70,80)

3[80,90)

4[90,100]

收率血￥

AM

11111

Ofki

11111

11111

003一——r-7一?7

IVI11

002

11111

11111

V.Vl4-J丁j-1

11111

Illi?THK

06G70SO90100

①估計所有員工的平均分數（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）；

②若從所有員工中任選3人，記X表示抽到的員工成績為“優秀”的人數，求X的分布列和數學期望.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、A

【解析】

根據橢圓與雙曲線離心率的表示形式，結合G和c2的離心率之積為巫，即可得。涉的關系，進而得雙曲線的離心率

2

方程.

【詳解】

2222

橢圓G的方程馬+馬=1，雙曲線c?的方程為之一與二1,

crb~a~b~

則橢圓離心率G=，雙曲線的離心率&=,

a~a

由q和c,的離心率之積為正，

2

gny]a2-b2J/+評上

即qe=------------x------------=—'

2aa2

解得2=±立，

a2

所以漸近線方程為），=士YZx,

2

化簡可得工±&》=0,

故選：A.

【點睛】

本題考查了橢圓與雙曲線簡單幾何性質應用，橢圓與雙曲線離心率表示形式，雙曲線漸近線方程求法，屬于基礎題.

2、B

【解析】

根據已知證明BE1平面A3C,只要設AC=x,則BC=J4T2（O〈XV2〉從而可得體積

22

VETBC=[x?V4-x2=^X（4-X）,利用基本不等式可得最大值.

【詳解】

因為DC=BE,DC11BEt所以四邊形0c8E為平行四邊形.又因為DC_LCB、DC±C4,CBnCA=C,CBu平面

ABC,CAu平面ABC,

所以。CJ_平面ABC,所以BE1平面A8C.在直角三角形ABE中，AB=2EB=2,

設AC=x,則8c=，4-/（0。＜2）,

所以S&3C==J、/4一/，所

以％T8c=:—工2）又因為/（4_/）《（廠+：—廠],當且僅當

b。\L）

＜2j2、2

X2（4-A2）＜,即x=時等號成立，

所以（嚏械）2=3

故選：B.

【點睛】

本題考查求棱錐體積的最大值.解題方法是：首先證明線面垂直同，得棱錐的高，然后設出底面三角形一邊長為X,

用建立體積丫與邊長犬的函數關系，由基本不等式得最值，或由函數的性質得最值.

3、A

【解析】

先求出〃，再求焦點/坐標，最后求Mb的斜率

【詳解】

解：拋物線），=2PMP>0）經過點加（2,2垃）

（2>/2）2=2px2,〃=2,

“。，0），褊=2立，

故選：A

【點睛】

考查拋物線的基礎知識及斜率的運算公式，基礎題.

4、C

【解析】

根據給定的程序框圖，計算前幾次的運算規律，得出運算的周期性，確定跳出循環時的〃的值，進而求解。的值，得

到答案.

【詳解】

3

由題意，4=—=

5

2

第1次循環，〃==2,滿足判斷條件；

第2次循環，?=1,H=3,滿足判斷條件；

2

3

第3次循環，?=-,n=4,滿足判斷條件；

可得。的值滿足以3項為周期的計算規律，

所以當〃=2019時，跳出循環，此時“和"=3時的值對應的〃相同，即a=?.

2

故選：c

【點睛】

本題主要考查了循環結構的程序框圖的計算與輸出問題，其中解答中認真審題，得出程序運行時的計算規律是解答的

關鍵，著重考查了推理與計算能力.

5、B

【解析】

由已知結合等差數列的通項公式及求和公式可求4,%,然后結合等差數列的求和公式即可求解.

【詳解】

解：因為S”=0,%+4=21,

13%+13x64=0

所以七一》，解可得，(1=-3,6=18，

2q+51=21

貝QS7=7xl8+^x7x6x(-3)=63.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查等差數列的通項公式及求和公式的簡單應用，屬于基礎題.

6、B

【解析】

根據題意計算。4=2j7；=2向一〃-2,解不等式得到答案.

【詳解】

???｛凡｝是以1為首項，2為公差的等差數列，???4=2〃-1.

???｛〃｝是以1為首項，2為公比的等比數列，???4=2"T.

??.7；=c+/??+%=4+%+…+%―+/+4+…+仁

Mw-,

=(2xl-l)+(2x2-l)4-(2x4-l)4---+(2x2-'-l)=2(l+2+44----4-2)-n=2X-!^n=2n+'-n-2.

???7；＜2020,???2?一〃一2v2020,解得〃49.則當［＜2020時，〃的最大值是9.

故選：B.

【點睛】

本題考食了等差數列，等比數列，f分組求和，意在考查學生對于數列公式方法的靈活運用.

7、A

【解析】

結合所給數字特征，我們可將每層數字表示成2的指數的形式，觀察可知，每層指數的和成等比數列分布，結合等比

數列前〃項和公式和對數恒等式即可求解

【詳解】

如圖，將數字塔中的數寫成指數形式，可發現其指數恰好構成“楊輝三角％前10層的指數之和為

1+2+2,+…+2"=-1=1023,所以原數字塔中前10層所有數字之積為2儂3=io,<m，s2?10^.

21

2'2,

2,222'

2'2s2i2,

故選：A

【點睛】

本題考查與“楊輝三角”有關的規律求解問題，邏輯推理，等比數列前〃項和公式應用，屬于中檔題

8、A

【解析】

利用復數的乘法、除法運算求出z,再根據共朝復數的概念即可求解.

【詳解】

由力=3+4i,則z=^3+^4，=^3/-^4=4-3i,

i-1

所以W=4+3i.

故選：A

【點睛】

本題考查了復數的四則運算、共枕復數的概念，屬于基礎題.

9、C

【解析】

先將4名醫生分成3組，其中1組有2人，共有種選法，然后將這3組醫生分配到3個不同的住戶中去，有A；種

方法，由分步原理可知共有種.

【詳解】

不同分配方法總數為C：A；=36種.

故選：C

【點睛】

此題考查的是排列組合知識，解此類題時一般先組合再排列，屬于基礎題.

10、C

【解析】

/（x）=|（O￥-I）x|=|ar2-x,令ad_x=O.解得芭=（）,/=-

當〃（（），/（x）的圖像如下圖

由上兩國可知，是充要條件

【考點定位】考查充分條件和必要條件的概念，以及函數圖像的畫法.

11、C

【解析】

利用基本初等函數的單調性判斷各選項中函數在區間（0,y）上的單調性，進而可得出結果.

【詳解】

對于A選項，函數），在區間（o,+8）上為增函數；

對于B選項，函數），=/_］在區間（0,y）上為增函數；

對于C選項，函數

對于D選項，函數=10g2X在區間（0,+8）上為增函數.

故選：C.

【點睛】

本題考查函數在區間上單調性的判斷，熟悉一些常見的基本初等函數的單調性是判斷的關鍵，屬于基礎題.

12、D

【解析】

將復數化簡得z=l+2/,z=1一21,即可得到對應的點為（1,一2），即可得出結果.

【詳解】

"二含二黑翳4?—,對應的點位于第四象限.

故選:

【點睛】

本題考查復數的四則運算，考查共匏復數和復數與平面內點的對應，難度容易.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

【解析】

由已知得歸國二3|尸圖即歸/2=9儼曰2,歸段2=Q一蛾+2,可解得c油尸（2,五）在雙曲線C上,代入即可求得

雙曲線方程,然后求得直線P"的方程與雙曲線方程聯立求得點A坐標，借助SWAB=Szpg—S必寫生,即可解得所求.

【詳解】

由已知得歸國二3|尸園，又|可「=（2+4+2,|丹珠=（2-4+2,所以（2+cy+2=9[（2-c『+2],解得

42A_A

不一層句或，=1

c=3或。=2,由《2,也）在雙曲線C上，所以，/b2,所以?（舍去），因

a2+b2=9a1+b2=4/r=2

此雙曲線。的方程為亡=1.又6（-3.0）,所以線段的方程為y=XZ（x+3）,與雙曲線。的方程聯立消去

x整理得8y2-1（）、笈），+4=0,所以y=￥，所以點A坐標為一;，仔，所以

SAPAF]=S"g_SMF\&=g叵-;x6義號?

【點睛】

本題主要考查直線與雙曲線的位置關系，考查雙曲線方程的求解，考查求三角形面積，考查學生的計算能力，難度較難.

x/107

14、

~1~

【解析】

先設P點坐標，由三角形面積相等得出兩個三角形的邊之間的比例關系，這個比例關系又可用線段上點的坐標表示出

來，從而可求得點。的橫坐標，代入橢圓方程得縱坐標，然后可得

【詳解】

如圖，設夕（%,兒），-2>/2<^<2>/2,/工±2,

由S^BP=S^NP，得』A4||〃MsinZAPB=-\MP\\NP\sin乙MPN,

由sinZ/lPB=sinZMPN。0得|畫=I阿'.|4』|2r解得/—2'

本題考查直線與橢圓相交問題，解題時由三角形面積相等得出線段長的比例關系，解題是由把線段長的比例關系用點

的橫坐標表示.

2,7Z=1

【解析】

項和轉化可得〃4=2"-2"7=2'1522),討論〃=1是否滿足，分段表示即得解

【詳解】

當〃=1時，由己知，可得q=21=2,

Vq+2a2+3/+…+nan=T,①

故+2%+3^3+???+(〃-1)。〃一1二2"?22),②

由①?②得〃%=2"—2'"=2")

顯然當〃=1時不滿足上式,

2,〃=1

,/?>2

2,/?=1

故答案為：q

,/?>2

【點睛】

本題考查了利用S“求考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算，分類討論的能力，屬于中檔題.

16、10

【解析】

根據己知數據直接計算即得.

【詳解】

,一-9.4+9.7+9.8+10.3+10.8_

由題得，x—

故答案為：10

【點睛】

本題考杳求平均數，是基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)不需調整(2)列聯表見解析；有99%的把握判斷學生“選擇化學科目”與“選擇物理科目”有關(3)詳見解析

【解析】

(1)可估計高一年級選修相應科目的人數分別為120,2,推理得對應開設選修班的數目分別為15,1.推理知生物科

目需要減少4名教師，化學科目不需要調整.(2)根據列聯表計算觀測值，根據臨界值表可得結論,(3)經統計，樣

12

本中選修了歷史科目且在政治和地理2門中至少選修了一門的人數為12,頻率為〃=h=0.3.用頻率估計概率，則

40

X~8(3,0.3),根據二項分布概率公式可得分布列和數學期望.

【詳解】

(1)經統計可知，樣本40人中，選修化學、生物的人數分別為24,11,則可估計高一年級選修相應科目的人數分別

為120,2.根據每個選修班最多編排5。人，且盡量滿額編班，得對應開設選修班的數目分別為15,1.現有化學、生

物科目教師每科各8人，根據每位教師執教2個選修班，當且僅當一門科目的選課班級總數為奇數時，允許這門科目

的一位教師執教一個班的條件，知生物科目需要減少4名教師，化學科目不需要調整.

有99%的把握判斷學生”選擇化學科目”與“選擇物理科目”有關.

12

(3)經統計，樣本中選修了歷史科目且在政治和地理2門中至少選修了一門的人數為12,頻率為p=—=0.3.

40

用頻率估計概率，則X~8(3,0.3),分布列如下：

X0123

P0.3430.4410.1890.021

數學期望為E(X)=np=3x03=0.9.

【點睛】

本題主要考查了離散型隨機變量的期望與方差，考查獨立性檢驗，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推

理能力.

18、(1)見解析；(2),一

35

【解析】

(1)先算出OM的長度，利用勾股定理證明OM_LO8,再由己知可得。4_LOM,利用線面垂直的判定定理即可

證明；

(2)由(1)可得NMDO為直線與平面A08所成的角，要使其最大，則OQ應最小，可得D為A8中點，然后

建系分別求出平面的法向量即可算得二面角的余弦值，進一步得到正弦值.

【詳解】

(1)在中，ZOBC=30，由余弦定理得

OM=yJOB2+BM2-20BBMcos30

3

：?OM、OB?=MB?,

：?OM1OB,

由題意可知：???Q4J_OB,OA1.OC,OBf}OC=Ot

???OA_L平面COB,

0加匚平面。。8,???04_1。〃，

又Q4(OB=O,

???QWJ_平面人O".

(2)以。為坐標原點，以OM，OB，04的方向為％，)'，z軸的正方向，建立空間直角坐標系.

VOM1平面A08,???MD在平面A08上的射影是OD,

???M￡＞與平面A03所成的角是NMD。，???NMOO最大時，即。。_LA8,點。為AB中點.

8(020),C(G,-1,O),40,0,2),D(0,l,l),CD=(-瓜2,1),

DB=(OJ,-1),OD=(0,1J),設平面CQ8的法向量〃=(x,y,z),

n-CD=O-\/3x+2y+z=0

由《,得M《令z=l,得y=l,x=6.

n?DB=0y-z=O

所以平面CDB的法向量〃=(V3,l,l),

同理，設平面CQ。的法向量機二(x,yz),由["70°二°,得v-+2），+z=0

'7[mOD=0y+z=0

令)，=1,得z=—l,x=與，所以平面CDO的法向量〃7=半，1,-1

???3<叫〃*叵，sin-、/=也

35V3535

故二面角8-CO—O的正弦值為生包.

35

【點睛】

本題考杳線面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角的正弦值，考查學生的運算求解能力，是一道中檔題.

19、(1)6；(2)B.

2

【解析】

(1)由/+02-立4反=/,利用余弦定理可得2/cosA=E"c,結合A=f可得結果；

333

(2)由正弦定理sin3=!，8=-,利用三角形內角和定理可得C==,由三角形面積公式可得結果.

262

【詳解】

(1)由題意，得匕2+d—a2di

3

***b2+c1-a2=2Z?ccosA?

工2bgA=Babe,

3

A=§,/.a-25/3cosA=>/3.

(2)?：。=舊,

ab,可得

由正弦定理sinB=2.

sinAsinB2

Va>b,B=—,

6

C=7t—A—B=三.

2

：*SMBC=^ab^nC=x/3

【點睛】

本題主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函數，屬于中檔題.對余弦定理一定要熟記兩種形式：(1)

/n^+cZ—%ccosA;(2)cosAJ2+C2/,同時還要熟練掌握運用兩種形式的條件另外，在解與三角形、

2bc

三角函數有關的問題時，還需要記住30",45”,60〃等特殊角的三角函數值，以便在解題中直接應用.

20、(1)—+21=1.(2)存在，且方程為),=名叵工+2或丁=至1+2.

535,5

【解析】

(1)依題意列出關于a,b,c的方程組，求得a,b,進而可得到橢圓方程；(2)聯立直線和橢圓得到

(3+5/產+2()區+5=(),要使以卜8|為直徑的圓過橢圓。的左頂點。卜石,0),則0403=()，結合韋達定理

可得到參數值.

【詳解】

(1)直線二十；=1的一般方程為"+沖-必=0.

ab

2ab=2屈

ab_V30\a=y/522

故橢圓c的方程式為上十二二I.

依題意j,解得

\la2+b2453

a2=b2+c2

(2)假若存在這樣的直線/,

當斜率不存在時，以|A3|為直徑的圓顯然不經過橢圓C的左頂點,

所以可設直線/的斜率為則直線/的方程為>=代+2.

由.:一，得(3+5公卜2+20"+5=0.

由△=400公一20(3+5r)>0,得kwu倍收

55

記A,8的坐標分別為（％,y）,（七,丫2），

20Z5

則藥+工=

3+5公1-3+5P

而y%=（何+2）（應+2）=%2Al/+2%（5+/）+4.

要使以從邳為直徑的圓過橢圓C的左頂點。卜石,0）,則D4.OB=0，

即乂%+（,+&）（%+6）=（、2+i）xw+Ql+石）（％+%）+9=0,

所以僅申）春一（2人司建+9=0,

整理解得攵=馬公或出=必

55

所以存在過P的直線/,使/與橢圓C交于A,4兩點，且以|4卻為直徑的圓過橢圓。的左頂點，直線/的方程為

2亞…8石0

y=-----4十2或y二----八+2?

55

【點睛】

本題主要考查直線與圓錐曲線位置關系，所使用方法為韋達定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次

的，故直線與圓錐曲線的問題常轉化為方程組關系問題，最終轉化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解

決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達定理直接解決，但應注意不要忽視判別式

的作用.

21、⑴證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）利用線面平行的判定定理求證即可；

（2）。為中點，E為BC中點,可得。E=；AC=1,PD=2,PE=6，可知PD?=PE?+D