11.2平面的基本事實與推論第十一章1.會用平面的基本事實證明點共線、線共點、點線共面三個典型問題.2.熟悉符號語言、文字語言和圖形語言之間的轉換.重點：平面的基本事實.難點：符號語言、文字語言、圖形語言之間的轉換.學習目標基本事實1經過不在一條直線上的3個點，有且只有一個平面.一、平面的基本事實新知學習基本事實3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.基本事實2如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內.推論1經過一條直線與直線外一點，有且只有一個平面.二、平面基本事實的推論推論2經過兩條相交直線，有且只有一個平面.推論3經過兩條平行直線，有且只有一個平面.例1一點、線確定平面問題空間中的五個點，其中有四個點在同一平面內，但沒有任何三點共線，這樣的五個點確定的平面最多有

個.【解析】∵空間中有五個點，其中有四個點在同一平面內，但沒有任何三點共線，∴同一平面的四個點一定能兩兩連線，最多可連6條線，任意一條線與第五個點都會形成一個面，因此有6個面，再加上同一平面內四點確定的面，總共是7個面.【答案】7例2二證明點、線共面問題如圖，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內.

解題歸納證明點線共面問題的方法（1）納入平面法，先由部分元素確定一個平面，再證其他元素也在該平面內；（2）輔助平面法（平面重合法），先由有關的點、線確定平面α，再由其余元素確定平面β，最后證明平面α，β重合；（3）反證法.三點共線、線共點問題<1>三點共線問題例3如圖所示，已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q.求證：P，Q，R三點共線.【解題提示】可以證明P，Q，R既在平面ABC內，又在平面α內，從而P，Q，R都在平面ABC與平面α的交線上.也可以先由AP，AR確定一個平面，說明平面APR與平面α交于PR，再證Q在直線PR上.

解題歸納證明三點共線的方法（1）找出兩個平面，然后證明三點都是這兩個平面的公共點，根據基本事實3可知，這些點都在交線上.（2）選擇其中兩點確定一條直線，然后證明另一點也在此直線上.變式訓練如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，R分別在棱AB，BB1，CC1上，且PD，QR相交于點O.求證：O，B，C三點共線.1.證明：因為QR∩PD＝O，所以O∈QR且O∈PD，所以O∈平面BCC1B1且O∈平面ABCD.又平面ABCD∩平面BCC1B1＝BC，所以O∈BC，所以O，B，C三點共線.變式訓練如圖，AB∩α＝P，CD∩α＝P，點A，D與B，C分別在平面α的兩側，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.求證：P，Q，R三點共線.

2.<2>畫兩個平面的交線例4如圖①所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別為CC1和AA1的中點，請畫出平面BED1F與平面ABCD的交線.【解題提示】

【分析】利用平面的性質，延展平面BED1F，尋找其與平面ABCD的另一個交點G，連接BG，由基本事實2知直線BG即為平面BED1F與平面ABCD的交線.【解】畫法：延長D1F，與DA的延長線交于點G，連接BG，BG即為平面ABCD與平面BED1F的交線，如圖②所示.①

②<3>三線共點問題例5如圖，在四面體ABCD中，E，G分別是BC，AB的中點，點F在CD上，點H在AD上，且DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3.求證：EF，GH，BD交于一點.

解題歸納證明三線共點問題的方法先確定待證的三線中的兩條相交于一點，再證明第三條直線也過該點.常結合基本事實3，證出該點在不重合的兩個平面內，故該點在它們的交線（第三條直線）上，從而證明三線共點.變式訓練已知三個平面α，β，γ兩兩相交，且α∩β＝c，β∩γ＝a，α∩γ＝b，若直線a和b不平行，求證：a，b，c三條直線相交于同一點.

一、平面的基本事實基本事實1經過不在一條直線上的3個點，有且只有一個平面.基本事實2如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內.基本事實3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的