PAGEPAGE1§8.1空間幾何體的結構、表面積與體積最新考綱1.利用實物模型、計算機軟件視察大量空間圖形，相識柱、錐、臺、球及其簡潔組合體的結構特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡潔物體的結構.2.了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式(不要求記憶公式)．1．空間幾何體的結構特征(1)多面體的結構特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面相互平行且全等多邊形相互平行側棱平行且相等相交于一點但不肯定相等延長線交于一點側面形態(tài)平行四邊形三角形梯形(2)旋轉體的結構特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線平行、相等且垂直于底面相交于一點延長線交于一點軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓側面綻開圖矩形扇形扇環(huán)2.圓柱、圓錐、圓臺的側面綻開圖及側面積公式圓柱圓錐圓臺側面綻開圖側面積公式S圓柱側＝2πrlS圓錐側＝πrlS圓臺側＝π(r1＋r2)l3.空間幾何體的表面積與體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側＋2S底V＝S底·h錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側＋S底V＝eq\f(1,3)S底·h臺體(棱臺和圓臺)S表面積＝S側＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3概念方法微思索1．底面是正多邊形的棱柱是正棱柱嗎？為什么？提示不肯定．因為底面是正多邊形的直棱柱才是正棱柱．2．如何求不規(guī)則幾何體的體積？提示求不規(guī)則幾何體的體積要留意分割與補形，將不規(guī)則的幾何體通過分割或補形轉化為規(guī)則的幾何體求解．題組一思索辨析1．推斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱．(×)(2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．(×)(3)棱臺是由平行于底面的平面截棱錐所得的平面與底面之間的部分．(√)(4)錐體的體積等于底面積與高之積．(×)(5)已知球O的半徑為R，其內接正方體的邊長為a，則R＝eq\f(\r(3),2)a.(√)(6)圓柱的一個底面積為S，側面綻開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側面積是2πS.(×)題組二教材改編2．已知圓錐的表面積等于12πcm2，其側面綻開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為()A．1cmB．2cmC．3cmD.eq\f(3,2)cm答案B解析S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2.3．在如圖所示的幾何體中，是棱柱的為________．(填寫全部正確的序號)答案③⑤題組三易錯自糾4．體積為8的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為()A．12πB.eq\f(32,3)πC．8πD．4π答案A解析由題意可知正方體的棱長為2，其體對角線為2eq\r(3)即為球的直徑，所以球的表面積為4πR2＝(2R)2π＝12π，故選A.5.如圖，將一個長方體用過相鄰三條棱的中點的平面截出一個棱錐，則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為________．答案1∶47解析設長方體的相鄰三條棱長分別為a，b，c，它截出棱錐的體積V1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)a×eq\f(1,2)b×eq\f(1,2)c＝eq\f(1,48)abc，剩下的幾何體的體積V2＝abc－eq\f(1,48)abc＝eq\f(47,48)abc，所以V1∶V2＝1∶47.題型一空間幾何體的結構特征1．以下命題：①以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓錐；②以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓臺；③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面；④一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺．其中正確命題的個數(shù)為()A．0B．1C．2D．3答案B解析由圓錐、圓臺、圓柱的定義可知①②錯誤，③正確．對于命題④，只有用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，才能得到一個圓錐和一個圓臺，④不正確．2．給出下列四個命題：①有兩個側面是矩形的立體圖形是直棱柱；②側面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐；③側面都是矩形的直四棱柱是長方體；④底面為正多邊形，且有相鄰兩個側面與底面垂直的棱柱是正棱柱．其中不正確的命題為________．(填序號)答案①②③解析對于①，平行六面體的兩個相對側面也可能是矩形，故①錯；對于②，對等腰三角形的腰是否為側棱未作說明(如圖)，故②錯；對于③，若底面不是矩形，則③錯；④由線面垂直的判定，可知側棱垂直于底面，故④正確．綜上，命題①②③不正確．思維升華空間幾何體概念辨析題的常用方法(1)定義法：緊扣定義，由已知構建幾何模型，在條件不變的狀況下，變換模型中的線面關系或增加線、面等基本元素，依據(jù)定義進行判定．(2)反例法：通過反例對結構特征進行辨析．題型二空間幾何體的表面積與體積命題點1空間幾何體的表面積例1(2024·全國Ⅰ)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()A．12eq\r(2)π B．12πC．8eq\r(2)π D．10π答案B解析設圓柱的軸截面的邊長為x，則由x2＝8，得x＝2eq\r(2)，∴S圓柱表＝2S底＋S側＝2×π×(eq\r(2))2＋2π×eq\r(2)×2eq\r(2)＝12π.故選B.命題點2求簡潔幾何體的體積例2如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長為2，側棱長為eq\r(3)，D為BC的中點，則三棱錐A－B1DC1的體積為()A．3 B.eq\f(3,2)C．1 D.eq\f(\r(3),2)答案C解析如題圖，因為△ABC是正三角形，且D為BC中點，則AD⊥BC.又因為BB1⊥平面ABC，AD?平面ABC，故BB1⊥AD，且BB1∩BC＝B，BB1，BC?平面BCC1B1，所以AD⊥平面BCC1B1，所以AD是三棱錐A－B1DC1的高．所以V三棱錐A－B1DC1＝eq\f(1,3)S△B1DC1·AD＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\r(3)＝1.思維升華空間幾何體表面積、體積的求法(1)旋轉體的表面積問題留意其側面綻開圖的應用．(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積留意連接部分的處理．(3)體積可用公式法、轉換法、分割法、補形法等求解．跟蹤訓練1如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1的各條棱長均為2，D為棱B1C1上隨意一點，則三棱錐D－A1BC的體積是______．答案eq\f(2\r(3),3)解析VD－A1BC＝VB1－A1BC＝VA1－B1BC＝eq\f(1,3)×S△B1BC×eq\r(3)＝eq\f(2\r(3),3).題型三與球有關的切、接問題例3已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為()A.eq\f(3\r(17),2)B．2eq\r(10)C.eq\f(13,2)D．3eq\r(10)答案C解析如圖所示，由球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點M.又AM＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(5,2)，OM＝eq\f(1,2)AA1＝6，所以球O的半徑R＝OA＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2＋62)＝eq\f(13,2).引申探究1．本例若將直三棱柱改為“棱長為4的正方體”，則此正方體外接球和內切球的體積各是多少？解由題意可知，此正方體的體對角線長即為其外接球的直徑，正方體的棱長即為其內切球的直徑．設該正方體外接球的半徑為R，內切球的半徑為r.又正方體的棱長為4，故其體對角線長為4eq\r(3)，從而V外接球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×(2eq\r(3))3＝32eq\r(3)π，V內切球＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4,3)π×23＝eq\f(32π,3).2．本例若將直三棱柱改為“正四面體”，則此正四面體的表面積S1與其內切球的表面積S2的比值為多少？解正四面體棱長為a，則正四面體表面積為S1＝4×eq\f(\r(3),4)·a2＝eq\r(3)a2，其內切球半徑r為正四面體高的eq\f(1,4)，即r＝eq\f(1,4)·eq\f(\r(6),3)a＝eq\f(\r(6),12)a，因此內切球表面積為S2＝4πr2＝eq\f(πa2,6)，則eq\f(S1,S2)＝eq\f(\r(3)a2,\f(πa2,6))＝eq\f(6\r(3),π).3．本例中若將直三棱柱改為“側棱和底面邊長都是3eq\r(2)的正四棱錐”，則其外接球的半徑是多少？解依題意，得該正四棱錐底面對角線的長為3eq\r(2)×eq\r(2)＝6，高為eq\r(3\r(2)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×6))2)＝3，因此底面中心到各頂點的距離均等于3，所以該正四棱錐的外接球的球心即為底面正方形的中心，其外接球的半徑為3.思維升華“切”“接”問題的處理規(guī)律(1)“切”的處理首先要找準切點，通過作截面來解決，截面過球心．(2)“接”的處理抓住外接的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑．跟蹤訓練2(2024·全國Ⅲ)設A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且其面積為9eq\r(3)，則三棱錐D－ABC體積的最大值為()A．12eq\r(3)B．18eq\r(3)C．24eq\r(3)D．54eq\r(3)答案B解析由等邊△ABC的面積為9eq\r(3)，可得eq\f(\r(3),4)AB2＝9eq\r(3)，所以AB＝6，所以等邊△ABC的外接圓的半徑為r＝eq\f(\r(3),3)AB＝2eq\r(3).所以三棱錐D－ABC高的最大值為2＋4＝6，所以三棱錐D－ABC體積的最大值為eq\f(1,3)×9eq\r(3)×6＝18eq\r(3).1．將一個等腰梯形繞它的較長的底邊所在的直線旋轉一周，所得的幾何體包括()A．一個圓臺、兩個圓錐 B．兩個圓臺、一個圓柱C．兩個圓柱、一個圓臺 D．一個圓柱、兩個圓錐答案D解析從較短的底邊的端點向另一底邊作垂線，兩條垂線把等腰梯形分成了兩個直角三角形，一個矩形，所以一個等腰梯形繞它的較長的底邊所在直線旋轉一周形成的是由一個圓柱，兩個圓錐所組成的幾何體，如圖：2．用長為8，寬為4的矩形做側面圍成一個圓柱，則圓柱的軸截面的面積為()A．32B.eq\f(32,π)C.eq\f(16,π)D.eq\f(8,π)答案B解析若8為底面周長，則圓柱的高為4，此時圓柱的底面直徑為eq\f(8,π)，其軸截面的面積為eq\f(32,π)；若4為底面周長，則圓柱的高為8，此時圓柱的底面直徑為eq\f(4,π)，其軸截面的面積為eq\f(32,π).3．(2024·遼寧部分重點中學協(xié)作體模擬)在一個密閉透亮的圓柱筒內裝肯定體積的水，將該圓柱筒分別豎直、水平、傾斜放置時，指出圓柱桶內的水平面可以呈現(xiàn)出的幾何形態(tài)不行能是()A．圓面 B．矩形面C．梯形面 D．橢圓面或部分橢圓面答案C解析將圓柱桶豎放，水面為圓面；將圓柱桶斜放，水面為橢圓面或部分橢圓面；將圓柱桶水平放置，水面為矩形面，所以圓柱桶內的水平面可以呈現(xiàn)出的幾何形態(tài)不行能是梯形面，故選C.4．棱長為a的正四面體的表面積是()A.eq\f(\r(3),6)a2B.eq\f(\r(3),12)a2C.eq\f(\r(3),4)a2D.eq\r(3)a2答案D解析棱長為a的正四面體的四個面都是正三角形，正四面體的表面積是4×eq\f(\r(3),4)a2＝eq\r(3)a2.5．(2024·江西重點中學聯(lián)考)《算術書》竹簡于上世紀八十年頭在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學典著，其中記載有求“囷蓋”的術：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，該術相當于給出圓錐的底面周長l與高h，計算其體積V的近似公式V＝eq\f(1,36)l2h，它事實上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取3，那么，近似公式V≈eq\f(25,942)l2h相當于將圓錐體積公式中的π近似取()A.eq\f(22,7) B.eq\f(25,8)C.eq\f(157,50) D.eq\f(355,113)答案C解析V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2π)))2h＝eq\f(1,12π)l2h，由eq\f(1,12π)≈eq\f(25,942)，得π≈eq\f(157,50)，故選C.6．(2024·四川棠湖中學月考)用一個平面去截正方體，則截面不行能是()A．直角三角形 B．等邊三角形C．正方形 D．正六邊形答案A解析用一個平面去截正方體，則截面的狀況為：①截面為三角形時，可以是銳角三角形、等腰三角形、等邊三角形，但不行能是鈍角三角形、直角三角形；②截面為四邊形時，可以是梯形(等腰梯形)、平行四邊形、菱形、矩形，但不行能是直角梯形；③截面為五邊形時，不行能是正五邊形；④截面為六邊形時，可以是正六邊形．7．給出下列命題：①棱柱的側棱都相等，側面都是全等的平行四邊形；②若三棱錐的三條側棱兩兩垂直，則其三個側面也兩兩垂直；③在四棱柱中，若兩個過相對側棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；④存在每個面都是直角三角形的四面體．其中正確命題的序號是________．答案②③④解析①不正確，依據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個側面都是平行四邊形，但不肯定全等；②正確，若三棱錐的三條側棱兩兩垂直，則三個側面所在的三個平面的二面角都是直二面角；③正確，因為兩個過相對側棱的截面的交線平行于側棱，又垂直于底面；④正確，如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中的三棱錐C1－ABC，四個面都是直角三角形．8．如圖所示，一個底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水．若放入一個半徑為r的實心鐵球，水面高度恰好上升r，則eq\f(R,r)＝________.答案eq\f(2\r(3),3)解析由水面高度上升r，得圓柱體積增加了πR2r，恰好是半徑為r的實心鐵球的體積，因此有eq\f(4,3)πr3＝πR2r.故eq\f(R,r)＝eq\f(2\r(3),3).9．一個六棱錐的體積為2eq\r(3)，其底面是邊長為2的正六邊形，側棱長都相等，則該六棱錐的側面積為________．答案12解析設六棱錐的高為h，則V＝eq\f(1,3)Sh，所以eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×4×6h＝2eq\r(3)，解得h＝1.設六棱錐的斜高為h′，則h2＋(eq\r(3))2＝h′2，故h′＝2.所以該六棱錐的側面積為eq\f(1,2)×2×2×6＝12.10．(2024·全國Ⅱ)長方體的長、寬、高分別為3,2,1，其頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為________．答案14π解析∵長方體的頂點都在球O的球面上，∴長方體的體對角線的長度就是其外接球的直徑．設球的半徑為R，則2R＝eq\r(32＋22＋12)＝eq\r(14).∴球O的表面積為S＝4πR2＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(14),2)))2＝14π.11．若圓錐的表面積是15π，側面綻開圖的圓心角是60°，求圓錐的體積．解設圓錐的底面半徑為r，母線為l，則2πr＝eq\f(1,3)πl(wèi)，得l＝6r.又S錐＝πr2＋πr·6r＝7πr2＝15π，得r＝eq\r(\f(15,7))，圓錐的高h＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(36r2－r2)＝eq\r(35)·r＝eq\r(35)·eq\r(\f(15,7))＝5eq\r(3)，V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×eq\f(15,7)×5eq\r(3)＝eq\f(25\r(3),7)π.12．若E，F(xiàn)是三棱柱ABC—A1B1C1側棱BB1和CC1上的點，且B1E＝CF，三棱柱的體積為m，求四棱錐A—BEFC的體積．解如圖所示，連接AB1，AC1.因為B1E＝CF，所以梯形BEFC的面積等于梯形B1EFC1的面積．又四棱錐A—BEFC的高與四棱錐A—B1EFC1的高相等，所以VA—BEFC＝＝eq\f(1,2)又＝eq\f(1,3)·h，＝·h＝m，所以＝eq\f(m,3)，所以＝－＝eq\f(2m,3)，所以VA—BEFC＝eq\f(1,2)×eq\f(2m,3)＝eq\f(m,3)，即四棱錐A—BEFC的體積是eq\f(m,3).13．已知邊長為a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，將該菱形沿對角線AC折起，使BD＝a，則三棱錐D—ABC的體積為()A.eq\f(a3,6)B.eq\f(a3,12)C.eq\f(\r(3)a3,12)D.eq\f(\r(2)a3,12)答案D解析在邊長為a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，將該菱形沿對角線AC折起，使BD＝a，則三棱錐D—ABC為正四面體，D在底面的射影為正三角形的中心O，h＝OD＝eq\r(DE2－OE2)＝eq\r(\f(3,4)a2－\f(1,12)a2)＝eq\f(\r(6)a,3)，所以三棱錐D—ABC的體積為V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)·eq\f(\r(3)a2,4)·eq\f(\r(6)a,3)＝eq\f(\r(2)a3,12).14.如圖，一立在水平地面上的圓錐形物體的母線長為4m，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點P動身，繞圓錐表面爬行一周后回到點P處．若該小蟲爬行的最短路程為4eq\r(2)m，則圓錐底面圓的半徑等于________m.答案1解析把圓錐側面沿過點P的母線綻開成如圖所示的扇形，由題意OP＝4，PP′＝4eq\r(2)，則cos∠POP′＝eq\f(42＋42－4\r(2)2,2×4×4)＝0，且∠POP′是三角形的內角，所以∠POP′＝eq\f(π,2).設底面圓的半徑為r，則2πr＝eq\f(π,2)×4，所以r＝1.15．已知過球面上A，B，C三點的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的表面積和體積．解因為AB∶BC∶AC＝18∶24∶30＝3∶4∶5，所以△ABC是直角三角形，∠B＝90°.又球心O在截面△ABC上的投影O′為截面圓的圓心，也即是Rt△ABC的外接圓的圓心，所以