第八章平面解析幾何第3節橢圓1．掌握橢圓的定義、幾何圖形、標準方程及簡單幾何性質(范圍、對稱性、頂點、離心率)．2．了解橢圓的簡單應用．3．理解數形結合的思想．[要點梳理]1．橢圓的概念平面內與兩個定點F1、F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡(或集合)叫做__________．這兩個定點叫做橢圓的_____，兩焦點間的距離叫做橢圓的_____．橢圓焦點焦距質疑探究1：橢圓的定義中，為何有常數2a大于|F1F2|的限制？提示：當2a＝|F1F2|時動點的軌跡是線段F1F2；當2a＜|F1F2|時動點的軌跡是不存在的．只有2a＞|F1F2|時動點的軌跡是橢圓．2．橢圓的標準方程和幾何性質質疑探究2：方程Ax2＋By2＝1(AB≠0)表示橢圓的充要條件是什么？質疑探究3：橢圓的離心率的大小與橢圓的扁平程度有怎樣的關系？4．已知F1、F2是橢圓C的左、右焦點，點P在橢圓上，且滿足|PF1|＝2|PF2|，∠PF1F2＝30°，則橢圓的離心率為________．[答案]8[典例透析]考向一橢圓的定義及應用例1(1)已知圓(x＋2)2＋y2＝36的圓心為M，設A為圓上任一點N(2,0)，線段AN的垂直平分線交MA于點P，則動點P的軌跡是()A．圓B．橢圓C．雙曲線 D．拋物線[答案]3拓展提高1.橢圓定義的應用范圍(1)確認平面內與兩定點有關的軌跡是否為橢圓．(2)解決與焦點有關的距離問題．2.焦點三角形的應用橢圓上一點P與橢圓的兩焦點組成的三角形通常稱為“焦點三角形”，利用定義可求其周長；利用定義和余弦定理可求|PF1||PF2|；通過整體代入可求其面積等．思路點撥(1)將重心G到B，C的距離之和轉化為AC，AB邊上的中線長之和，與橢圓定義相聯系．(2)建立a、c的方程，再求b.(3)可確定焦點，利用定義或者利用其焦點的橢圓方程求解．(2)已知橢圓以坐標軸為對稱軸，且長軸是短軸的3倍，并且過點P(3,0)，則橢圓的方程為________．(3)求橢圓的離心率，常見的有三種方法：一是通過已知條件列方程組，解出a，c的值；二是由已知條件得出關于a，c的二元齊次方程，然后轉化為關于離心率e的一元二次方程求解；三是通過取特殊值或特殊位置，求出離心率．審題視角橢圓的離心率利用方程思想，只需利用題目條件得到a，b，c的一個關系式即可．若得到的關系式含b，可利用a2＝b2＋c2轉化為只含a，c的關系式．方法點睛離心率是橢圓的重要幾何性質，是高考重點考查的一個知識點．這類問題一般有兩類：一類是根據一定的條件求橢圓的離心率；另一類是根據一定的條件求離心率的取值范圍．無論是哪類問題，其難點都是建立關于a，b，c的關系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表達，轉化為關于離心率e的關系式，這是化解有關橢圓的離心率問題難點的根本方法．(2)設另一個焦點為F，如圖所示，[思維升華]【方法與技巧】1．求橢圓的標準方程時，應從“定形”“定式”“定量”三個方面去思考．“定形”就是指橢圓的對稱中心在原點，以坐標軸為對稱軸的情況下，能否確定橢圓的焦點在哪個坐標軸上．“定式”就是根據“形”設出橢圓方程的具體形式，“定量”就是指利用定義和已知條件確定方程中的系數a，b或m，n.2．討論橢圓的幾何性質時，離心率問題是重點，求離心率的常用方法有以下兩種：【失誤與防范】課時作業點擊圖標進入…

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