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文檔簡介

第二節一、對坐標曲線積分概念與性質二、對坐標曲線積分計算法三、兩類曲線積分之間聯絡對坐標曲線積分第1頁一、對坐標曲線積分概念與性質1.

引例:

變力沿曲線所作功.設一質點受以下變力作用在xOy

平面內從點A沿光滑曲線弧L

移動到點B,求移“大化小”“常代變”“近似和”“取極限”變力沿直線所作功處理方法:動過程中變力所作功W.第2頁1)“大化小”.2)“常代變”把L分成n個小弧段,有向小弧段近似代替,則有所做功為F

沿則用有向線段上任取一點在第3頁3)“近似和”4)“取極限”(其中

為n

個小弧段最大長度)第4頁2.定義.設

L

為xOy

平面內從A到B一條有向光滑弧,若對L任意分割和在局部弧段上任意取點,都存在,在有向曲線弧L上對坐標曲線積分,則稱此極限為函數或第二類曲線積分.其中,L

稱為積分弧段或積分曲線.稱為被積函數,在L上定義了一個向量函數極限記作第5頁若

為空間曲線弧,記稱為對x曲線積分;稱為對y曲線積分.若記,對坐標曲線積分也可寫作類似地,第6頁3.性質(1)若L

可分成k條有向光滑曲線弧(2)用L－

表示L反向弧,則則

定積分是第二類曲線積分特例.說明:

對坐標曲線積分必須注意積分弧段方向

!第7頁二、對坐標曲線積分計算法定理:在有向光滑弧L上有定義且L參數方程為則曲線積分連續,存在,且有第8頁尤其是,假如L

方程為則對空間光滑曲線弧

:類似有定理第9頁例1.計算其中L為沿拋物線解法1

取x

為參數,則解法2取y

為參數,則從點一段.第10頁例2.計算其中L為(1)半徑為a

圓心在原點上半圓周,方向為逆時針方向;(2)從點A(a,0)沿x軸到點

B(–a,0).解:(1)取L參數方程為(2)取L方程為則則第11頁例3.計算其中L為(1)拋物線(2)拋物線(3)有向折線

解:

(1)原式(2)原式(3)原式第12頁例4.設在力場作用下,質點由沿

移動到解:(1)(2)

參數方程為試求力場對質點所作功.其中

為第13頁例5.求其中從

z

軸正向看為順時針方向.解:取

參數方程第14頁三、兩類曲線積分之間聯絡設有向光滑弧L

以弧長為參數

參數方程為已知L切向量方向余弦為則兩類曲線積分有以下聯絡第15頁類似地,在空間曲線

上兩類曲線積分聯絡是第16頁例7.

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