專題四平面向量——2025屆高考數學考點剖析精創專題卷學校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、選擇題1．[2022年全國高考真題]在中，點D在邊AB上，.記，，則()A. B. C. D.1．答案：B解析：如圖，因為點D在邊AB上，，所以，故選B.2．已知O是平面內一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，則點P的軌跡一定通過的()A.外心 B.內心 C.重心 D.垂心2．答案：B解析：為上的單位向量，為上的單位向量，則的方向為在的平分線上的向量的方向.又因為，所以的方向與的方向相同.因為，所以，所以點P在上移動，即點P的軌跡一定通過的內心.3．[2023秋·高三·河北保定·期末聯考]已知向量，，，若正實數m，n滿足，則的值為()A. B. C. D.3．答案：A解析：因為，，，所以，所以解得所以.故選A.4．[2024春·高一·甘肅武威·期中聯考]在平行四邊形ABCD中，E是對角線AC上靠近點C的三等分點，點F在BE上.若，則()A. B. C. D.4．答案：C解析：由題可知，因為點F在BE上，所以存在實數使得，即.從而有，解得.所以.故選C.5．[2024年全國高考真題]已知向量，，若，則()A.-2 B.-1 C.1 D.25．答案：D解析：解法一：因為，所以，即.因為，，所以，，得，所以，解得，故選D.解法二：因為，，所以.因為，所以，所以，所以，解得，故選D.6．[2024年全國高考真題]已知向量a，b滿足，，且，則()A. B. C. D.16．答案：B解析：由，得，所以.將的兩邊同時平方，得，即，解得，所以，故選B.7．[2023春·高二·長沙市第一中學·開學考試]已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內的一點，則的取值范圍是()A. B. C. D.7．答案：A解析：解法一：如圖，過點P作直線AB于，過點C作直線AB于，過點F作直線AB于，，當為銳角時，，當為鈍角時，，所以當點P與C重合時，最大，此時，當點P與F重合時，最小，此時，又因為點P是正六邊形ABCDEF內的一點，所以.故選A.解法二：連接AE，以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，AE所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，則，，設，則.，，則，故選A.8．[2023春·高一·遼寧鞍山·月考聯考]已知中，，，，點D在BC邊上，且，則線段AD的長度為()A. B. C. D.8．答案：D解析：由題意得，因為，，，所以，即線段AD的長度為.故選D.二、多項選擇題9．[2024春·高一·湖南衡陽·月考校考]下列結果為零向量的是()A. B.C. D.9．答案：BCD解析：A項，；B項，；C項，；D項，.故選：BCD.10．[2023春·高一·湖南·月考校考]已知向量，，，則()A. B.向量a，b的夾角為C. D.a在b上的投影向量是10．答案：BD解析：，，，，，，，故A錯誤；，又，向量a，b的夾角為，故B正確；，，故C錯誤；a在b上的投影向量為，故D正確.故選BD.11．[2024春·高一·湖南常德·月考校考]若正方形ABCD中，O為正方形ABCD所在平面內一點，且，，則下列說法正確的是()A.可以是平面內任意一個向量B.若，則O在直線BD上C.若，，則D.若，則11．答案：ABD解析：對于A，由題意，又，，以為基底的坐標系中，根據平面向量基本定理易知可以是平面內任意一個向量，故A正確；對于B，由向量共線的推論知，若，則O在直線BD上，故B正確；對于C，由題設，則，所以，故C錯誤；對于D，由，則，作E為BC的中點，連接OE，則，即，且，如圖所示，所以，故D正確.故選ABD.三、填空題12．設D為所在平面內一點，.若，則__________.12．答案：-3解析：因為，所以，即，又，所以，解得.13．已知平面向量，，且，則_________.13．答案：3解析：因為，所以，所以.又，，所以，解得，所以，所以.14．[2023春·高一·山西陽泉·期中校考]如圖，在矩形ABCD中，，，E為BC的中點，點F在邊CD上，若，則的值是__________.14．答案：解析：以A為坐標原點，直線AB為x軸，直線AD為y軸建立平面直角坐標系，如圖所示.則，，，.設.因為，所以，所以.四、解答題15．給定三個向量，，.（1）若，求的值；（2）若向量與向量共線，求實數k的值.15．答案：（1）（2）解析：（1）由題知，，所以，又因為，所以解得所以.（2）由題知，，又因為與共線，所以，解得.16．[2024春·高一·青海西寧·月考校考]如圖，AB為半圓O的直徑，，C為上一點（不含端點）.（1）用向量的方法證明；（2）若C是上更靠近點B的三等分點，Q為上的任意一點（不含端點），求的最大值.16．答案：（1）證明見解析（2）解析：（1）證明：建立平面直角坐標系如圖所示.由題意可知，，，設，則，得.由于，，所以，故，即.（2）由題意知，則，連接OQ，設，則，.因為，，所以，又，所以，故當，即時，取得最大值.17．[2024春·高一·福建寧德·月考校考]如圖，在平行四邊形中，，垂足為P.（1）若，求的長；（2）設，，，，求的值.17．答案：（1）2（2）解析：（1）在平行四邊形中，，垂足為P，，，解得，故長為2.（2），且B，P，O三點共線，①，又，，，則，由可知，展開，化簡得到②，聯立①②解得，，故.18．已知四邊形ABCD的頂點坐標為，，，且.（1）若點C在第一象限，求實數的取值范圍；（2）若點M為直線AC外一點，且，問實數為何值時，點P恰為四邊形ABCD對角線的交點.18．答案：（1）（2）解析：（1）因為，，所以.設點C的坐標為，，，則.由，得解得因為點C在第一象限，所以，，解得.故實數的取值范圍是.（2）由得，即，所以.因為，所以，又點P恰為四邊形ABCD對角線的交點，所以，則，又，所以.19．[2023春·高一·江蘇常州·月考校考]如圖，在直角三角形ABC中，，