專題2.3冪函數與二次函數【七大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1冪函數的定義】 2【題型2比較冪值的大小】 3【題型3冪函數的圖象與性質的綜合應用】 3【題型4求二次函數的解析式】 4【題型5二次函數的圖象問題】 4【題型6二次函數的最值問題】 6【題型7二次函數的恒成立問題】 61、冪函數與二次函數考點要求真題統計考情分析(1)了解冪函數的定義，掌握冪函數的圖象與性質(2)熟練掌握二次函數的圖象與性質（單調性、對稱性與最值等）2020年江蘇卷：第7題，5分2024年天津卷：第2題，5分冪函數與二次函數是常見的重要函數，在歷年的高考中都占據著重要的地位，是高考常考的熱點內容，從近幾年的高考形勢來看，冪函數較少單獨考查，常與指、對數函數結合考查，包括比較指對冪的大小、解不等式等考法，主要出現在選擇題、填空題中，難度較易；二次函數常與其他知識相結合，考查二次函數的圖象與性質.【知識點1冪函數的解題技巧】1.冪函數的解析式冪函數的形式是(∈R)，其中只有一個參數，因此只需一個條件即可確定其解析式.2.冪函數的圖象與性質在區間(0,1)上，冪函數中指數越大，函數圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”),在區間(1,+)上，冪函數中指數越大，函數圖象越遠離x軸.3.比較冪值的大小在比較冪值的大小時，必須結合冪值的特點，選擇適當的函數，借助其單調性進行比較，準確掌握各個冪函數的圖象和性質是解題的關鍵.【知識點2求二次函數解析式的方法】1．二次函數解析式的求法(1)一般式法：已知三點坐標，選用一般式.(2)頂點式法：已知頂點坐標、對稱軸或最大（小）值，選用頂點式.(3)零點式法：已知與x軸兩交點坐標，選用零點式.【知識點3二次函數的圖象與性質】1．二次函數的圖象問題(1)研究二次函數圖象應從“三點一線一開口”進行分析，“三點”中有一個點是頂點，另兩個點是圖象上關于對稱軸對稱的兩個點，常取與x軸的交點；“一線”是指對稱軸這條直線；“一開口”是指拋物線的開口方向.(2)求解與二次函數有關的不等式問題，可借助二次函數的圖象特征，分析不等關系成立的條件.2．二次函數的單調性與最值閉區間上二次函數最值問題的解法：抓住“三點一軸”數形結合，三點是指區間兩個端點和中點，一軸指的是對稱軸，結合圖象，根據函數的單調性及分類討論的思想求解.3．二次函數的恒成立問題不等式恒成立求參數范圍，一般有兩個解題思路：一是分離參數；二是不分離參數，直接借助于函數圖象求最值.這兩個思路，最后都是轉化為求函數的最值問題.【題型1冪函數的定義】【例1】（23-24高一下·湖北·階段練習）下列函數是冪函數的是（

）A．y=1x3 B．y=2x 【變式1-1】（23-24高一上·云南西雙版納·期中）下列結論正確的是（

）A．冪函數的圖象一定過原點B．α=1,3,12時，冪函數C．冪函數的圖象會出現在第四象限D．y=2x【變式1-2】（23-24高一上·山東濟寧·期中）下列函數是冪函數且在?∞,0是增函數的是（A．y=1x B．y=x3+1 【變式1-3】（23-24高一上·陜西咸陽·期中）現有下列函數：①y=x3；②y=4x2；③y=x5+1A．4 B．3 C．2 D．1【題型2比較冪值的大小】【例2】（2023·上海青浦·一模）已知a，b∈R，則“a>b”是“a3>A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【變式2-1】（2024·全國·模擬預測）已知a=log510，b=log48，c=4b?7A．a>b>c B．b>c>aC．c>b>a D．c>a>b【變式2-2】（2024·江西宜春·模擬預測）已知冪函數f(x)=(m?1)xn的圖象過點(m,8)．設a=f20.3，b=f0.32，c=flog20.3A．b<c<a B．a<c<bC．a<b<c D．c<b<a【變式2-3】（2023·湖北孝感·模擬預測）已知f(x)為奇函數，當0≤x≤2時，f(x)=2x?x2，當x>2時，f(x)=x?3A．?f?26>fC．?f?26>f【題型3冪函數的圖象與性質的綜合應用】【例3】（2024·湖南岳陽·模擬預測）探究冪函數fx=xα當α=2,3,12,?1A．2 B．3 C．12 【變式3-1】（2023·四川南充·模擬預測）已知冪函數fx=xmnm,n∈ZA．m=?3,n=1 B．m=1,n=2C．m=2,n=3 D．m=1,n=3【變式3-2】（23-24高三上·上海浦東新·階段練習）如圖所示是函數y=xmn（m,n均為正整數且m,nA．m,n是奇數且mB．m是偶數，n是奇數，且mC．m是偶數，n是奇數，且mD．m,n是奇數，且m【變式3-3】（2023·山東菏澤·三模）已知函數fx=x3+a?2xA．?2,4 B．?3,5 C．?52,2【題型4求二次函數的解析式】【例4】（23-24高一上·河北保定·期末）寫出一個同時具有下列四個性質中的三個性質的二次函數：f(x)=．①f(x)的最小值為?1；②f(x)的一次項系數為?4；③f(0)=3；④f(x)=f(?x+2)．【變式4-1】（2023高三·全國·專題練習）已知二次函數fx的兩個零點分別是0和5，圖象開口向上，且fx在區間?1,4上的最大值為12，則函數fx【變式4-2】（23-24高一上·新疆克拉瑪依·期中）已知二次函數f(x)=ax2+bx+c(a>0,a,b,c∈R)，f(1)=1，對任意x∈R，f(x?2)=f(?x)，且【變式4-3】（23-24高一上·浙江金華·開學考試）已知二次函數fx=ax2+bx+c的對稱軸是x=1，且不等式fx≤2x的解集為【題型5二次函數的圖象問題】【例5】（2020·山東·高考真題）已知二次函數y=ax2+bx+c的圖像如圖所示，則不等式aA．?2,1 B．?∞,?2∪1,+∞ C．?2,1 【變式5-1】（23-24高一上·湖南株洲·階段練習）不等式cx2+ax+b>0的解集為x∣?1<x<12A．

B．

C．

D．

【變式5-2】（23-24高二下·北京昌平·期末）若不等式ax2?x?c>0的解集為{x|?1<x<12A． B．C． D．【變式5-3】（2024高一·全國·專題練習）不等式ax2?bx+c>0的解集為A． B．C． D．【題型6二次函數的最值問題】【例6】（23-24高二下·天津河西·期末）下面關于函數fx=xA．fx>0恒成立 B．fC．fx與y軸無交點 D．f【變式6-1】（2024高三·全國·專題練習）設二次函數f(x)=(a?2)x2+3ax+2在R上有最大值，最大值為ma，當maA．0 B．1 C．12 D．【變式6-2】（23-24高一上·重慶沙坪壩·階段練習）fx=2017x2?2018x+2019×2020,x∈t,t+2.則當A．2020 B．2019 C．2018 D．2017【變式6-3】（21-22高一上·浙江臺州·期末）已知函數fx=ax2+2x的定義域為區間[m，n]，其中a,m,n∈R，若f（xA．[4，42] B．[22，82] C．[4，82] D．[42，8]【題型7二次函數的恒成立問題】【例7】（2024·遼寧鞍山·二模）已知當x>0時，不等式：x2?mx+16>0恒成立，則實數m的取值范圍是（A．?8,8 B．?∞,8 C．?∞【變式7-1】（2023·遼寧鞍山·二模）若對任意的x∈(0,+∞),x2?mx+1>0A．(?2,2) B．(2,+∞) C．(?∞【變式7-2】（2023·遼寧大連·模擬預測）命題“?x>0,ax2+x+1<0A．a≥?14 B．a≥0 C．a≥1 【變式7-3】（2024·江西九江·模擬預測）無論x取何值時，不等式x2?2kx+4>0恒成立，則k的取值范圍是（A．?∞,?2 B．?∞,?4 C．一、單選題1．（2024·廣東廣州·模擬預測）若冪函數fx=m2?m?1x2m?3A．2 B．1 C．?1 D．?22．（2023·湖南岳陽·模擬預測）如圖，已知冪函數y=xa,y=xbA．c<b<a B．a<c<bC．c<a<b D．a<b<c3．（2023·北京海淀·一模）已知二次函數f(x)，對任意的x∈R，有f(2x)<2f(x)，則f(x)的圖象可能是（

）A． B．C． D．4．（2024·浙江·模擬預測）若不等式kx2+k?6x+2>0A．2≤k≤18 B．?18<k<?2C．2<k<18 D．0<k<25．（23-24高一上·浙江·單元測試）設函數f(x)=x2+2(4?a)x+2在區間(?∞,3]A．a≥?7 B．a≥7 C．a≥3 D．a≤?76．（2023·四川瀘州·一模）已知點(2,18)在冪函數f(x)=xα的圖象上，設a=f(log23)，b=f(lnA．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b7．（2023·河南·模擬預測）已知冪函數fx的圖象過12,24，Px1A．x1fxC．fx1x8．（2023·江西南昌·二模）已知函數f(x)=x3+ax2+bx+c的三個零點分別為1，x1A．[0,1] B．(0,1) C．(0,2) D．[0,2]二、多選題9．（2024·全國·模擬預測）下列函數中既是奇函數，又是定義域上的減函數的是（

）A．fx=?3xC．fx=110．（2023·江蘇連云港·模擬預測）若對于任意實數x，不等式a?1x2?2a?1x?4<0A．?2 B．0 C．?4 D．111．（2024·江蘇蘇州·模擬預測）已知函數f(x)=x+1，設g1(x)=f(x)，gn(x)=fgn?1(x)A．gn(x)=x+nB．y=C．當n≤2時，存在關于x的函數y在區間(?∞,?1]D．當n>2時，存在關于x的函數y在區間(?∞,?1]三、填空題12．（2024·北京延慶·一模）已知函數f(x)=xα(0<α<1)在區間(?1,0)上單調遞減，則α13．（2024·四川宜賓·模擬預測）已知函數y=a(x?4)+2(a>0，且a≠1)的圖像恒過定點P，且P在冪函數f(x)的圖像上，則f(x)=．14．（2024·河南·模擬預測）已知函數fx=x2?6x+7在1,mm>1上的最大值為A，在m,2m?1上的最大值為B，若四、解答題15．（2024·山東·二模）已知fx是二次函數，且f(1)求fx(2)若x∈?1,5，求函數f16．（2023·山東·一模）已知二次函數fx滿足f(0)=?1，頂點為(1,?2)(1)求函數fx(2)若函數fx在區間[a?1,4]上單調遞增，求實數a17．（23-24高一下·上海·期中）已知冪函數fx=x(1)求函數y=fx(2)對任意實數x∈12,1，不等式f18．（23-24高一上·遼寧·階段練習）已知冪函數fx=m2+2m?2xm(1)求m的值；(2)?x∈1,2，不等式afx?3x+2>019．（23-24高一上·江蘇·階段練習）設函數f(x)=ax（1）若關于x的不等式fx≥?2有實數解，求實數（2）若不等式fx≥?2對于實數a∈?1,1（3）解關于x的不等式：f(x)<a?1,(a∈R).專題2.3冪函數與二次函數【七大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1冪函數的定義】 2【題型2比較冪值的大小】 3【題型3冪函數的圖象與性質的綜合應用】 5【題型4求二次函數的解析式】 7【題型5二次函數的圖象問題】 9【題型6二次函數的最值問題】 12【題型7二次函數的恒成立問題】 141、冪函數與二次函數考點要求真題統計考情分析(1)了解冪函數的定義，掌握冪函數的圖象與性質(2)熟練掌握二次函數的圖象與性質（單調性、對稱性與最值等）2020年江蘇卷：第7題，5分2024年天津卷：第2題，5分冪函數與二次函數是常見的重要函數，在歷年的高考中都占據著重要的地位，是高考常考的熱點內容，從近幾年的高考形勢來看，冪函數較少單獨考查，常與指、對數函數結合考查，包括比較指對冪的大小、解不等式等考法，主要出現在選擇題、填空題中，難度較易；二次函數常與其他知識相結合，考查二次函數的圖象與性質.【知識點1冪函數的解題技巧】1.冪函數的解析式冪函數的形式是(∈R)，其中只有一個參數，因此只需一個條件即可確定其解析式.2.冪函數的圖象與性質在區間(0,1)上，冪函數中指數越大，函數圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”),在區間(1,+)上，冪函數中指數越大，函數圖象越遠離x軸.3.比較冪值的大小在比較冪值的大小時，必須結合冪值的特點，選擇適當的函數，借助其單調性進行比較，準確掌握各個冪函數的圖象和性質是解題的關鍵.【知識點2求二次函數解析式的方法】1．二次函數解析式的求法(1)一般式法：已知三點坐標，選用一般式.(2)頂點式法：已知頂點坐標、對稱軸或最大（小）值，選用頂點式.(3)零點式法：已知與x軸兩交點坐標，選用零點式.【知識點3二次函數的圖象與性質】1．二次函數的圖象問題(1)研究二次函數圖象應從“三點一線一開口”進行分析，“三點”中有一個點是頂點，另兩個點是圖象上關于對稱軸對稱的兩個點，常取與x軸的交點；“一線”是指對稱軸這條直線；“一開口”是指拋物線的開口方向.(2)求解與二次函數有關的不等式問題，可借助二次函數的圖象特征，分析不等關系成立的條件.2．二次函數的單調性與最值閉區間上二次函數最值問題的解法：抓住“三點一軸”數形結合，三點是指區間兩個端點和中點，一軸指的是對稱軸，結合圖象，根據函數的單調性及分類討論的思想求解.3．二次函數的恒成立問題不等式恒成立求參數范圍，一般有兩個解題思路：一是分離參數；二是不分離參數，直接借助于函數圖象求最值.這兩個思路，最后都是轉化為求函數的最值問題.【題型1冪函數的定義】【例1】（23-24高一下·湖北·階段練習）下列函數是冪函數的是（

）A．y=1x3 B．y=2x 【解題思路】由冪函數的定義可判斷各選項.【解答過程】由冪函數的定義,形如y=xα，對A，y=1故選：A．【變式1-1】（23-24高一上·云南西雙版納·期中）下列結論正確的是（

）A．冪函數的圖象一定過原點B．α=1,3,12時，冪函數C．冪函數的圖象會出現在第四象限D．y=2x【解題思路】利用冪函數的簡單性質判斷即可．【解答過程】解：冪函數圖象不一定過原點，例如y=x?1，函數的圖象不經過原點，故當α=1,3,12時，冪函數y=x，y=x由函數的定義及冪函數在第一象限均有圖象可知，冪函數的圖象不會出現在第四象限，故C不正確；函數y=2x2是二次函數，但是不是冪函數，冪函數得形如故選：B.【變式1-2】（23-24高一上·山東濟寧·期中）下列函數是冪函數且在?∞,0是增函數的是（A．y=1x B．y=x3+1 【解題思路】由冪函數的概念和單調性可得選項C正確.【解答過程】由冪函數的概念可以排除B、D選項，而y=1x在?∞,0是減函數，故選：C.【變式1-3】（23-24高一上·陜西咸陽·期中）現有下列函數：①y=x3；②y=4x2；③y=x5+1A．4 B．3 C．2 D．1【解題思路】由冪函數的定義即可求解.【解答過程】由于冪函數的一般表達式為：y=x逐一對比可知題述中的冪函數有①y=x3；⑤故選：C.【題型2比較冪值的大小】【例2】（2023·上海青浦·一模）已知a，b∈R，則“a>b”是“a3>A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【解題思路】直接根據充分性和必要性的定義判斷即可.【解答過程】因為函數y=x3在所以a>b?a即“a>b”是“a3故選：C.【變式2-1】（2024·全國·模擬預測）已知a=log510，b=log48，c=4b?7A．a>b>c B．b>c>aC．c>b>a D．c>a>b【解題思路】化簡a=1+log52，b=1+log55=【解答過程】∵a=logb=log44×2=logc=432且y=x3在R上為增函數，∴c>b，即故選：C．【變式2-2】（2024·江西宜春·模擬預測）已知冪函數f(x)=(m?1)xn的圖象過點(m,8)．設a=f20.3，b=f0.32，c=flog20.3A．b<c<a B．a<c<bC．a<b<c D．c<b<a【解題思路】根據冪函數的定義求出函數f(x)解析式，再利用冪函數的單調性比較大小而得解.【解答過程】因冪函數f(x)=m?1xn的圖象過點m,8，則m?1=1于是得m=2，n=3，函數f(x)=x3，函數f(x)是而log20.3<0<0.3所以c<b<a.故選：D.【變式2-3】（2023·湖北孝感·模擬預測）已知f(x)為奇函數，當0≤x≤2時，f(x)=2x?x2，當x>2時，f(x)=x?3A．?f?26>fC．?f?26>f【解題思路】利用題給條件求得fx在1,3上單調性，利用f(x)為奇函數求得?f?26,f(1)的大小關系，再利用冪函數性質比較【解答過程】因為當0≤x≤2時，fx則fx在0,1上單調遞增，在1,2當x>2時，fx則fx在2,3上單調遞減，在3,+且f2=0=2?3?1，所以在1,3上單調遞減，在3,+∞因為?f?26=f則f所以?f?

故選：A.【題型3冪函數的圖象與性質的綜合應用】【例3】（2024·湖南岳陽·模擬預測）探究冪函數fx=xα當α=2,3,12,?1A．2 B．3 C．12 【解題思路】根據冪函數的性質即可得解.【解答過程】由題意可得α>0且α為奇數，所以α=3.故選：B.【變式3-1】（2023·四川南充·模擬預測）已知冪函數fx=xmnm,n∈ZA．m=?3,n=1 B．m=1,n=2C．m=2,n=3 D．m=1,n=3【解題思路】根據冪函數的性質，結合充分條件的定義進行判斷即可.【解答過程】當m=?3,n=1時，fx因為函數fx=1x3所以fx當m=1,n=2時，fx=x12所以fx當m=2,n=3時，fx=x32所以fx當m=1,n=3時，fx=x13所以fx故選：C.【變式3-2】（23-24高三上·上海浦東新·階段練習）如圖所示是函數y=xmn（m,n均為正整數且m,nA．m,n是奇數且mB．m是偶數，n是奇數，且mC．m是偶數，n是奇數，且mD．m,n是奇數，且m【解題思路】由冪函數性質及0<x<1時兩圖象的位置關系可知mn<1；由圖象可知y=x【解答過程】由冪函數性質可知：y=xmn與y=x恒過點1,1當0<x<1時，xmn>x又y=xmn圖象關于y軸對稱，∴y=又m,n互質，∴m為偶數，n為奇數.故選：B.【變式3-3】（2023·山東菏澤·三模）已知函數fx=x3+a?2xA．?2,4 B．?3,5 C．?52,2【解題思路】根據函數的奇偶性求出參數a、b、c的值，從而得到函數解析式與定義域，再判斷函數的單調性，結合單調性與奇偶性將函數不等式轉化為自變量的不等式，解得即可.【解答過程】因為函數fx=x所以?2c?1+c+3=0，解得c=2，又f?x即?x所以2a?2x2+2b=0，解得所以fx=x由y=x3與y=2x在定義域?5,5上單調遞增，所以fx則不等式f(2x+1)+fa+b+c>0，即f2x+1所以2x+1>?4?5≤2x+1≤5，解得?52故選：C.【題型4求二次函數的解析式】【例4】（23-24高一上·河北保定·期末）寫出一個同時具有下列四個性質中的三個性質的二次函數：f(x)=x2?4x+3或2x2?4x+1或①f(x)的最小值為?1；②f(x)的一次項系數為?4；③f(0)=3；④f(x)=f(?x+2)．【解題思路】根據二次函數的特征，如頂點、對稱軸設函數的解析式即可求解.【解答過程】第一種情況：f(x)具有①②③三個性質，由②③可設f(x)=ax2?4x+3(a≠0)，則根據①可得：12a?164a=?1第二種情況：f(x)具有①②④三個性質，由①④可設f(x)=a(x?1)2?1(a>0)，則根據②可得：?2a=?4，解得a=2第三種情況：f(x)具有①③④三個性質，由①④可設f(x)=a(x?1)2?1(a>0)，則根據③可得：f(0)=a?1=3，解得：a=4第四種情況：f(x)具有②③④三個性質，由②③可設f(x)=ax2?4x+3(a≠0)，則根據④可得：??42a故答案為：x2?4x+3或2x2?4x+1或【變式4-1】（2023高三·全國·專題練習）已知二次函數fx的兩個零點分別是0和5，圖象開口向上，且fx在區間?1,4上的最大值為12，則函數fx的解析式為【解題思路】根據函數特征設fx=axx?5【解答過程】設fx=axx?5,a>0其對稱軸為直線x=所以f?1=6a=12,a=2故答案為：f【變式4-2】（23-24高一上·新疆克拉瑪依·期中）已知二次函數f(x)=ax2+bx+c(a>0,a,b,c∈R)，f(1)=1，對任意x∈R，f(x?2)=f(?x)，且f(x)≥x恒成立．則二次函數【解題思路】根據f(x?2)=f(?x)得到b=2a，結合f(1)=1得出c=1?3a，根據f(x)≥x恒成立，求出a的值，即可求出函數解析式．【解答過程】∵對任意x∈R，f(x?2)=f(?x)，∴二次函數對稱軸為x=?2∴b=2a，∵f(1)=1，∴a+b+c=1，∴c=1?3a，又對任意x∈R，f(x)≥x∴ax2+2ax+(1?3a)≥x，即a∵a>0，∴Δ∴a=1∴b=12，c=5故答案為：f(x)=1【變式4-3】（23-24高一上·浙江金華·開學考試）已知二次函數fx=ax2+bx+c的對稱軸是x=1，且不等式fx≤2x的解集為1,3，則【解題思路】由不等式的解集得一元二次方程的兩根，由韋達定理得兩個關系式，又由對稱軸得一關系式，結合起來可求得a,b,c，得函數解析式.【解答過程】解：f(x)≤2x為ax2+(b?2)x+c≤0?b?2a=1+3ca=1×3，a>0，又函數兩者結合解得a=1,b=?2,c=3，所以f(x)=x故答案為：x2【題型5二次函數的圖象問題】【例5】（2020·山東·高考真題）已知二次函數y=ax2+bx+c的圖像如圖所示，則不等式aA．?2,1 B．?∞,?2∪1,+∞ C．?2,1 【解題思路】本題可根據圖像得出結果.【解答過程】結合圖像易知，不等式ax2+bx+c>0故選：A.【變式5-1】（23-24高一上·湖南株洲·階段練習）不等式cx2+ax+b>0的解集為x∣?1<x<12A．

B．

C．

D．

【解題思路】首先根據一元二次不等式與對應方程的關系，求解a,b,c的關系，再代入函數y=ax【解答過程】因為cx2+ax+b>0的解集為x∣?1<x<12，所以方程cx2+ax+b=0的兩根分別為12故函數y=ax2?bx?c=c2x2+c故選：A.【變式5-2】（23-24高二下·北京昌平·期末）若不等式ax2?x?c>0的解集為{x|?1<x<12A． B．C． D．【解題思路】由題可得?1和12是方程ax2【解答過程】由題可得?1和12是方程ax2∴?1+12則y=cx則函數圖象開口向下，與x軸交于?2,0，故選：C.【變式5-3】（2024高一·全國·專題練習）不等式ax2?bx+c>0的解集為A． B．C． D．【解題思路】根據題意，可得方程ax2?bx+c=0的兩個根為x=?2和x=1，且a<0，結合二次方程根與系數的關系得到a、【解答過程】根據題意，ax2?bx+c>0的解集為{x|?2<x<1}，則方程ax2?bx+c=0的兩個根為則有?2+1=ba故函數y=ax2+bx+c=ax2?ax?2a=ax?2對照四個選項，只有C符合.故選：C．【題型6二次函數的最值問題】【例6】（23-24高二下·天津河西·期末）下面關于函數fx=xA．fx>0恒成立 B．fC．fx與y軸無交點 D．f【解題思路】根據二次函數的性質即可判斷各選項.【解答過程】函數f(x)=x對于A，f(x)>0恒成立，A正確；對于BD，當x=?32時，fx對于C，當x=0時，y=4，即fx與y故選：A.【變式6-1】（2024高三·全國·專題練習）設二次函數f(x)=(a?2)x2+3ax+2在R上有最大值，最大值為ma，當maA．0 B．1 C．12 D．【解題思路】根據二次函數的性質求出ma【解答過程】∵f(x)=(a?2)x2+3ax+2在R∴a?2<0且當x=?3a2(a?2)時，f(x)的最大值為即2?a>0且ma=2?當且僅當9(2?a)4=92?a時，即故選：A．【變式6-2】（23-24高一上·重慶沙坪壩·階段練習）fx=2017x2?2018x+2019×2020,x∈t,t+2.則當A．2020 B．2019 C．2018 D．2017【解題思路】根據對稱軸和區間的位置關系對t的值進行討論，從而求出f(x)【解答過程】函數fx=2017x當t≥10092017，f(x)在所以f=2017=4034t+4032≥6050；當t+2≤10092017，即t≤?30252017時，f=?4034t?4032≥2018；當t<10092017<t+1，即f(x)無最小值；當t+1≤10092017<t+2f=2017，綜上知，f(x)max?f故選：D【變式6-3】（21-22高一上·浙江臺州·期末）已知函數fx=ax2+2x的定義域為區間[m，n]，其中a,m,n∈R，若f（xA．[4，42] B．[22，82] C．[4，82] D．[42，8]【解題思路】先討論a=0，再結合二次函數的圖象與性質分析a>0時，n?m的最大值與最小值，同理可得a<0時的情況即可得解.【解答過程】若a=0，f(x)=2x，函數為增函數，x∈[m,n]時，則f(m)=2m=?4,f(n)=2n=4，所以n?m=2?(?2)=4，當a>0時，作圖如下，為使n?m取最大，應使n盡量大，m盡量小，此時a=1由f(n)=4f(m)=4即ax所以m+n=?2所以n?m=m+n2?4mn當?1a<?4時，即0<a<14時，此時m,n則由f(n)=an解得n=?2+∴n?m=4+16a當且僅當1+4a=1?4a,即a=0時取等號，但a>0，等號取不到，∴n?m>4，a<0時，同理，當a=?14時，(n?m)max=82綜上，n?m的取值范圍是[4,82故選：C.【題型7二次函數的恒成立問題】【例7】（2024·遼寧鞍山·二模）已知當x>0時，不等式：x2?mx+16>0恒成立，則實數m的取值范圍是（A．?8,8 B．?∞,8 C．?∞【解題思路】先由x2?mx+16>0得m<x+16x，由基本不等式得【解答過程】當x>0時，由x2?mx+16>0得因x>0，故x+16x≥2x×16因當x>0時，m<x+16x恒成立，得故選：C.【變式7-1】（2023·遼寧鞍山·二模）若對任意的x∈(0,+∞),x2?mx+1>0A．(?2,2) B．(2,+∞) C．(?∞【解題思路】變形給定不等式，分離參數，利用均值不等式求出最小值作答.【解答過程】?x∈(0,+∞),x2?mx+1>0?m<x+1x，而當x>0則m<2，所以m的取值范圍是(?∞故選：C.【變式7-2】（2023·遼寧大連·模擬預測）命題“?x>0,ax2+x+1<0A．a≥?14 B．a≥0 C．a≥1 【解題思路】利用條件知，對?x>0，ax2+x+1≥0【解答過程】因為命題“?x>0,ax2+x+1<0”為假命題，所以，對?x>0當a=0時，ax2+x+1=x+1>0在x∈(0,+當a>0時，令?(x)=ax2+x+1，對稱軸x=?12a<0，且當a<0時，顯然有ax故對?x>0，ax2+x+1≥0故選：C.【變式7-3】（2024·江西九江·模擬預測）無論x取何值時，不等式x2?2kx+4>0恒成立，則k的取值范圍是（A．?∞,?2 B．?∞,?4 C．【解題思路】由題知4k【解答過程】解：因為無論x取何值時，不等式x2所以，4k2?16<0所以，k的取值范圍是?2,2故選：D.一、單選題1．（2024·廣東廣州·模擬預測）若冪函數fx=m2?m?1x2m?3A．2 B．1 C．?1 D．?2【解題思路】根據條件，利用冪函數的定義和性質，即可求出結果.【解答過程】因為冪函數fx=m所以m2?m?1=12m?3>0故選：A. 2．（2023·湖南岳陽·模擬預測）如圖，已知冪函數y=xa,y=xbA．c<b<a B．a<c<bC．c<a<b D．a<b<c【解題思路】由冪函數在0,+∞【解答過程】由題意結合圖象可知a<0<c<1<b.故選：B.3．（2023·北京海淀·一模）已知二次函數f(x)，對任意的x∈R，有f(2x)<2f(x)，則f(x)的圖象可能是（

）A． B．C． D．【解題思路】令f(2x)<2f(x)中x=0，則f(0)>0，排除C，D；又由f(2x)<2f(x)可得c>2ax2任意的x∈R恒成立，則c>0，【解答過程】因為對任意的x∈R，有f(2x)<2f(x)，令x=0，則f(0)<2f(0)，所以f(0)>0，排除C，D；即f0設二次函數f(x)=ax所以f(2x)=4ax2+2bx+c由f(2x)<2f(x)可得4ax2+2bx+c<2a所以c>2ax2任意的x∈R恒成立，則c>0，故選：A.4．（2024·浙江·模擬預測）若不等式kx2+k?6x+2>0A．2≤k≤18 B．?18<k<?2C．2<k<18 D．0<k<2【解題思路】分類討論k=0與k≠0兩種情況，結合二次不等式恒成立問題的解決方法即可得解.【解答過程】當k=0時，不等式kx2+當k≠0時，因為kx所以k>0Δ=k?6綜上：2<k<18.故選：C.5．（23-24高一上·浙江·單元測試）設函數f(x)=x2+2(4?a)x+2在區間(?∞,3]A．a≥?7 B．a≥7 C．a≥3 D．a≤?7【解題思路】根據題意，由對稱軸a?4≥3求解.【解答過程】解：函數f(x)=x2+2(4?a)x+2因為函數f(x)=x2+2(4?a)x+2所以a?4≥3，解得a≥7，故選：B.6．（2023·四川瀘州·一模）已知點(2,18)在冪函數f(x)=xα的圖象上，設a=f(log23)，b=f(lnA．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b【解題思路】首先根據冪函數所過的點求解冪函數解析式并判斷函數單調性，然后通過自變量大小關系結合函數單調性判斷函數值大小關系即可【解答過程】已知冪函數fx=xα經過點2,1即fx=x?3，易知由于log23=lg3lg又因為ln3>lne=1，0<3?綜上所述：a<b<c.故選：B.7．（2023·河南·模擬預測）已知冪函數fx的圖象過12,24，Px1A．x1fxC．fx1x【解題思路】由冪函數所過的點求出解析式，分別構造y=fxx【解答過程】設冪函數fx=xα，圖象過12所以fx=xy=fxx=xy=xfx=x52所以A、B、C錯，D對.故選：D.8．（2023·江西南昌·二模）已知函數f(x)=x3+ax2+bx+c的三個零點分別為1，x1A．[0,1] B．(0,1) C．(0,2) D．[0,2]【解題思路】利用f1=0，求得c的表達式，由函數f(x+1)為奇函數，所以fx關于1,0對稱，可求得a=?3，利用二次函數零點分布的知識，求得b滿足的不等式組，求出b【解答過程】由f1=1+a+b+c=0，得所以fx=x對于函數gx因為函數f(x+1)為奇函數，所以fx關于1,0其兩個零點x1,x且滿足?a+12=1根據二次函數零點分布的知識有g0=?3+b+1>0f2故選：B.二、多選題9．（2024·全國·模擬預測）下列函數中既是奇函數，又是定義域上的減函數的是（

）A．fx=?3xC．fx=1【解題思路】由解析式直接判斷函數的奇偶性與單調性即可得解.【解答過程】對于A，fx對于B，fx對于C，f?1=?1,f1對于D，fx故選：AD.10．（2023·江蘇連云港·模擬預測）若對于任意實數x，不等式a?1x2?2a?1x?4<0A．?2 B．0 C．?4 D．1【解題思路】首先當a=1，不等式為?4<0恒成立，故滿足題意；其次a≠1，問題變為了一元二次不等式恒成立問題，則當且僅當【解答過程】當a=1時，不等式為?4<當a≠1時，要滿足a?1<0Δ而Δ=4所以解得?3<a<1；綜上，實數a的取值范圍是?3,1；所以對比選項得，實數a可能是?2，0，1.故選：ABD.11．（2024·江蘇蘇州·模擬預測）已知函數f(x)=x+1，設g1(x)=f(x)，gn(x)=fgn?1(x)A．gn(x)=x+nB．y=C．當n≤2時，存在關于x的函數y在區間(?∞,?1]D．當n>2時，存在關于x的函數y在區間(?∞,?1]【解題思路】根據新定義，歸納推理即可判斷A，根據A及求和公式化簡即可判斷B，根據二次函數的對稱軸分別求出函數最小值，建立方程求解正整數n可判斷CD.【解答過程】因為g1(x)=f(x)=x+1，gng3(x)=f(x+2)=x+3，依次類推，可得由A選項知，y=x當n≤2時，y=n2+2n所以y在區間(?∞,?1]上單調遞減，故當x=?1時，當n>2時，y=n2+2n所以當x=?n2時，ymin故選：ABD.三、填空題12．（2024·北京延慶·一模）已知函數f(x)=xα(0<α<1)在區間(?1,0)上單調遞減，則α的一個取值為2【解題思路】根據冪函數的單調性奇偶性即可得解.【解答過程】因為f(x)=xα(0<α<1)在(0,+∞)所以f(x)可以為偶函數，不妨取α=2此時f(x)=x23且f(?x)=?x23滿足在區間(?1,0)上單調遞減.故答案為：23（不唯一）13．（2024·四川宜賓·模擬預測）已知函數y=a(x?4)+2(a>0，且a≠1)的圖像恒過定點P，且P在冪函數f(x)的圖像上，則f(x)=x．【解題思路】通過與變量無關得到定點，設出f(x)解析式，求解變量即可.【解答過程】當x=4時，y的值與a無關，且y=2，故P(將P(4，2)代入f(x)，解得m=故答案為：x.14．（2024·河南·模擬預測）已知函數fx=x2?6x+7在1,mm>1上的最大值為A，在m,2m?1上的最大值為B，若A≥2B，則實數【解題思路】作出f(x)的圖象，分1<m≤5和m>5兩種情況討論函數f(x)在1,mm>1上的最大值和在m,2m?1【解答過程】由函數fx=x由題得：f(1)=f(3)=f(5)=2，當1<m≤5時，函數fx=x2?6x+7在1,m要使A≥2B，則B≤1，令f(x)=1，解得：x1=3?3，x2=2由圖可得，要使函數fx=x2?6x+7在m,2m?1則m≥3?32m?1≤2，或m≥42m?1≤3+當m>5時，由圖，fx=x2?