第七章應力狀態和強度理論§7-1

概述§7-2

平面應力狀態的應力分析·主應力§7-3

空間應力狀態的概念§7-4

應力與應變間的關系*§7-5

空間應力狀態下的應變能密度§7-6

強度理論及其相當應力§7-8

各種強度理論的應用*§7-7

莫爾強度理論及其相當應力§7-1概述

在第二章中曾講述過桿受拉壓時桿件內一點處不同方位截面上的應力，并指出：一點處不同方位截面上應力的集合(總體)稱之為一點處的應力狀態。由于一點處任何方位截面上的應力均可根據從該點處取出的微小正六面體──單元體的三對相互垂直面上的應力來確定，故受力物體內一點處的應力狀態可用一個單元體及其上的應力來表示。第七章應力狀態和強度理論單向應力狀態第七章應力狀態和強度理論純剪切應力狀態第七章應力狀態和強度理論研究桿件受力后各點處，特別是危險點處的應力狀態可以：

1.

了解材料發生破壞的力學上的原因，例如低碳鋼拉伸時的屈服現象是由于在切應力最大的45?

斜截面上材料發生滑移所致；又如鑄鐵圓截面桿的扭轉破壞是由于在45?

方向拉應力最大從而使材料發生斷裂(fracture)所致。

2.

在不可能總是通過實驗測定材料極限應力的復雜應力狀態下，如圖所示,應力狀態分析是建立關于材料破壞規律的假設(稱為強度理論)的基礎。第七章應力狀態和強度理論本章將研究：Ⅰ.平面應力狀態下不同方位截面上的應力和關于三向應力狀態(空間應力狀態)的概念；Ⅱ.平面應力狀態和三向應力狀態下的應力－應變關系——廣義胡克定律；Ⅲ.強度理論。第七章應力狀態和強度理論§7-2

平面應力狀態的應力分析·主應力

平面應力狀態是指，如果受力物體內一點處在眾多不同方位的單元體中存在一個特定方位的單元體，它的一對平行平面上沒有應力，而另外兩對平行平面上都只有正應力而無切應力這種應力狀態。等直圓截面桿扭轉時的純剪切應力狀態就屬于平面應力狀態(參見§3-4的“Ⅱ.斜截面上的應力”)。第七章應力狀態和強度理論純剪切應力狀態第七章應力狀態和強度理論

對于圖a所示受橫力彎曲的梁，從其中A點處以包含與梁的橫截面重合的面在內的三對相互垂直的面取出的單元體如圖b(立體圖)和圖c(平面圖)，本節中的分析結果將表明A點也處于平面應力狀態。(a)(c)(b)第七章應力狀態和強度理論

平面應力狀態最一般的表現形式如圖a所示，現先分析與已知應力所在平面xy垂直的任意斜截面(圖b)上的應力。第七章應力狀態和強度理論Ⅰ.斜截面上的應力第七章應力狀態和強度理論

圖b中所示垂直于xy平面的任意斜截面ef以它的外法線n與x軸的夾角a定義，且a角以自x軸逆時針轉至外法線n為正；斜截面上圖中所示的正應力sa和切應力ta均為正值，即sa以拉應力為正，ta以使其所作用的體元有順時針轉動趨勢者為正。

由圖c知，如果斜截面ef的面積為dA，則體元左側面eb的面積為dA·cosa，而底面bf的面積為dA·sina。圖d示出了作用于體元ebf諸面上的力。體元的平衡方程為第七章應力狀態和強度理論

由以上兩個平衡方程并利用切應力互等定理可得到以2a為參變量的求a斜截面上應力sa，ta的公式：第七章應力狀態和強度理論Ⅱ.應力圓

為便于求得sa，ta，也為了便于直觀地了解平面應力狀態的一些特征，可使上述計算公式以圖形即所稱的應力圓(莫爾圓)(Mohr’scircleforstresses)來表示。

先將上述兩個計算公式中的第一式內等號右邊第一項移至等號左邊，再將兩式各自平方然后相加即得：第七章應力狀態和強度理論

而這就是如圖a所示的一個圓——應力圓，它表明代表a斜截面上應力的點必落在應力圓的圓周上。OC(a)第七章應力狀態和強度理論第七章應力狀態和強度理論OC(b)

圖a中所示的應力圓實際上可如圖b所示作出，亦即使單元體x截面上的應力sx,tx按某一比例尺定出點D1，依單元體y截面上的應力sy,ty(取ty=-tx)定出點D2，然后連以直線，以它與s軸的交點C為圓心，并且以或為半徑作圓得出。值得注意的是，在應力圓圓周上代表單元體兩個相互垂直的x截面和y截面上應力的點D1和D2所夾圓心角為180?，它是單元體上相應兩個面之間夾角的兩倍，這反映了前述sa，ta計算公式中以2a為參變量這個前提。第七章應力狀態和強度理論OC(b)

利用應力圓求a斜截面(圖a)上的應力sa，ta時，只需將應力圓圓周上表示x截面上的應力的點D1所對應的半徑按方位角a的轉向轉動2a角，得到半徑，那么圓周上E點的坐標便代表了單元體a斜截面上的應力。現證明如下(參照圖b)：第七章應力狀態和強度理論E點橫坐標第七章應力狀態和強度理論E點縱坐標第七章應力狀態和強度理論Ⅲ.主應力與主平面第七章應力狀態和強度理論

由根據圖a所示單元體上的應力所作應力圓(圖b)可見，圓周上A1和A2兩點的橫坐標分別代表該單元體的垂直于xy平面的那組截面上正應力中的最大值和最小值，它們的作用面相互垂直(由A1和A2兩點所夾圓心角為180?可知)，且這兩個截面上均無切應力。第七章應力狀態和強度理論一點處切應力等于零的截面稱為主平面，主平面上的正應力稱為主應力。據此可知，應力圓圓周上點A1和A2所代表的就是主應力；但除此之外，圖a所示單元體上平行于xy平面的面上也是沒有切應力的，所以該截面也是主平面，只是其上的主應力為零。

在彈性力學中可以證明，受力物體內一點處無論是什么應力狀態必定存在三個相互垂直的主平面和相應的三個主應力。對于一點處三個相互垂直的主應力，根據慣例按它們的代數值由大到小的次序記作s1，s2，s3。圖b所示應力圓中標出了s1和s2，而s3=0。第七章應力狀態和強度理論當三個主應力中有二個主應力不等于零時為平面應力狀態；平面應力狀態下等于零的那個主應力如下圖所示，可能是s1，也可能是s2或s3，這需要確定不等于零的兩個主應力的代數值后才能明確。第七章應力狀態和強度理論

現利用前面的圖b所示應力圓導出求不等于零的主應力數值和主平面位置方位角a0的解析式，由于

其中，為應力圓圓心的橫坐標，為應力圓的半徑。故得第七章應力狀態和強度理論第七章應力狀態和強度理論或即圖c示出了主應力和主平面的方位。討論:

1.表達圖示各單元體a斜截面上應力隨a角變化的應力圓是怎樣的？這三個單元體所表示的都是平面應力狀態嗎？第七章應力狀態和強度理論

例題7-2

簡支的焊接鋼板梁及其上的荷載如圖a所示，梁的橫截面如圖b和c。試利用應力圓求集中荷載位置C的左側橫截面上a，b兩點(圖c)處的主應力。第七章應力狀態和強度理論

解：1.

此梁的剪力圖和彎矩圖如圖d和e。危險截面為荷載作用位置C的左側橫截面。第七章應力狀態和強度理論2.

相關的截面幾何性質為第七章應力狀態和強度理論3.

危險截面上a點和b點處的應力：第七章應力狀態和強度理論4.

從危險截面上a點和b點處以包含與梁的橫截面在內的三對相互垂直的截面取出單元體，其x和y面上的應力如圖f和h中所示。據此繪出的應力圓如圖g和i。yx(f)(h)第七章應力狀態和強度理論對于點as1和s3的方向如圖f中所示。yx(f)第七章應力狀態和強度理論(g)s1注意到圖f和h所示單元體，其平行于xy平面的面為主平面（其上無切應力，相應的主應力為零，故圖g所示應力圓上點A1所表示的是s1。按作應力圓時的同一比例尺可量得：(i)(h)對于點bs1沿x方向(圖h)。實際為單軸應力狀態第七章應力狀態和強度理論

當然，點a處主應力s1和s3的值及其方向也可按應力圓上的幾何關系來計算：亦即a0＝-23.2°。第七章應力狀態和強度理論(g)s1§7-3空間應力狀態的概念

當一點處的三個主應力都不等于零時，稱該點處的應力狀態為空間應力狀態(三向應力狀態)；鋼軌在輪軌觸點處就處于空間應力狀態(圖a)。第七章應力狀態和強度理論

空間應力狀態最一般的表現形式如圖b所示；正應力sx，sy，sz的下角標表示其作用面，切應力txy，txz，tyx，tyz，tzx，tzy的第一個下角標表示其作用面，第二個下角標表示切應力的方向。(b)第七章應力狀態和強度理論

圖中所示的正應力和切應力均為正的，即正應力以拉應力為正，切應力則如果其作用面的外法線指向某一坐標軸的正向而該面上的切應力指向另一坐標軸的正向時為正。

最一般表現形式的空間應力狀態中有9個應力分量，但根據切應力互等定理有txy＝tyx，tyz＝tzy

，txz＝tzx，因而獨立的應力分量為6個，即sx，sy，sz，txy，tyz

，tzx。

當空間應力狀態的三個主應力s1，s2，s3已知時(圖a)，與任何一個主平面垂直的那些斜截面(即平行于該主平面上主應力的斜截面)上的應力均可用應力圓顯示。(a)第七章應力狀態和強度理論(b)(c)第七章應力狀態和強度理論

例如圖a中所示垂直于主應力s3所在平面的斜截面，其上的應力由圖b所示分離體可知，它們與s3無關，因而顯示這類斜截面上應力的點必落在以s1和s2作出的應力圓上(參見圖c)。

進一步的研究證明，表示與三個主平面均斜交的任意斜截面(圖a中的abc截面)上應力的點D必位于如圖c所示以主應力作出的三個應力圓所圍成的陰影范圍內。(a)第七章應力狀態和強度理論

同理，顯示與s2(或s1)所在主平面垂直的那類斜截面上應力的點必落在以s1和s3(或s2和s3)作出的應力圓上。(c)

據此可知，受力物體內一點處代數值最大的正應力smax就是主應力s1，而最大切應力為(c)第七章應力狀態和強度理論§7-4

應力與應變間的關系

前已講到，最一般表現形式的空間應力狀態有6個獨立的應力分量：sx,sy,sz,txy,tyz

,tzx；與之相應的有6個獨立的應變分量：ex,ey,ez,gxy,gyz,gzx。第七章應力狀態和強度理論關于應力分量的正負已于§7-3中講述；至于應變分量的正負為了與應力分量的正負相一致，規定：線應變ex,ey,ez以伸長變形為正，切應變gxy,gyz,gzx以使單元體的直角∠xoy,∠yoz,∠zox減小為正。第七章應力狀態和強度理論

本節討論在線彈性范圍內，且為小變形的條件下，空間應力狀態的應力分量與應變分量之間的關系，即廣義胡克定律。第七章應力狀態和強度理論

各向同性材料的廣義胡克定律

對于各向同性材料，它在任何方向上的彈性性質相同，也就是它在各個方向上應力與應變之間的關系相同。因此，對于各向同性材料：

(1)

在正應力作用下，沿正應力方向及與之垂直的方向產生線應變，而在包含正應力作用面在內的三個相互垂直的平面內不會發生切應變；

(2)

在切應力作用下只會在切應力構成的平面內產生切應變，而在與之垂直的平面內不會產生切應變；也不會在切應力方向和與它們垂直的方向產生線應變。第七章應力狀態和強度理論

現在來導出一般空間應力狀態(圖a)下的廣義胡克定律。因為在線彈性,小變形條件下可以應用疊加原理，故知x方向的線應變與正應力之間的關系為第七章應力狀態和強度理論同理有至于切應變與切應力的關系，則根據前面所述可知，切應變只與切應變平面內的切應力相關，因而有第七章應力狀態和強度理論對于圖b所示的那種平面應力狀態(sz＝0，txz=τzx=0，tyz=tzy=0)，則胡克定律為(b)第七章應力狀態和強度理論

各向同性材料的三個彈性常數E，G，n之間存在如下關系：

當空間應力狀態如下圖所示以主應力表示時，廣義胡克定律為第七章應力狀態和強度理論式中，e1，e2，e3分別為沿主應力s1，s2，s3方向的線應變。第七章應力狀態和強度理論

在平面應力狀態下，若s3＝0，則以主應力表示的胡克定律為

例題已知構件受力后其自由表面上一點處x方向的線應變ex＝240×10-6，y方向的線應變ey=-160×10-6，試求該點處x和y截面上的正應力sx和sy，并求自由表面法線的線應變ez。已知材料的彈性模量E=210GPa，泊松比n＝0.3。第七章應力狀態和強度理論

解：1.

構件的自由表面上無任何應力，故知該點處于平面應力狀態。2.根據平面應力狀態的胡克定律有聯立求解此二式得第七章應力狀態和強度理論再根據平面應力狀態的胡克定律求得

需要注意的是，題文中給出了x和y方向的線應變，并未說明在xy平面內無切應變，故不能把求得的sx和sy認為是主應力。第七章應力狀態和強度理論§7-6

強度理論及其相當應力

材料在單向應力狀態下的強度(塑性材料的屈服極限，脆性材料的強度極限)總可通過拉伸試驗和壓縮試驗加以測定；材料在純剪切這種特定平面應力狀態下的強度(剪切強度)可以通過例如圓筒的扭轉試驗來測定。第七章應力狀態和強度理論

但是對于材料在一般平面應力狀態下以及三向應力狀態下的強度，則由于不等于零的主應力可以有多種多樣的組合，所以不可能總是由試驗加以測定。因而需要通過對材料破壞現象的觀察和分析尋求材料強度破壞的規律，提出關于材料發生強度破壞的力學因素的假設──強度理論，以便利用單向拉伸、壓縮以及圓筒扭轉等試驗測得的強度來推斷復雜應力狀態下材料的強度。材料的強度破壞有兩種類型；

Ⅰ.

在沒有明顯塑性變形情況下的脆性斷裂；

Ⅱ.

產生顯著塑性變形而喪失工作能力的塑性屈服。工程中常用的強度理論按上述兩種破壞類型分為Ⅰ.研究脆性斷裂力學因素的第一類強度理論，其中包括最大拉應力理論和最大伸長線應變理論；

Ⅱ.

研究塑性屈服力學因素的第二類強度理論，其中包括最大切應力理論和形狀改變能密度理論。第七章應力狀態和強度理論(1)

最大拉應力理論(第一強度理論)

受鑄鐵等材料單向拉伸時斷口為最大拉應力作用面等現象的啟迪，第一強度理論認為，在任何應力狀態下，當一點處三個主應力中的拉伸主應力s1達到該材料在單軸拉伸試驗或其它使材料發生脆性斷裂的試驗中測定的極限應力su時就發生斷裂。第七章應力狀態和強度理論由于橫截面上的最大正應力，可見，所有應力狀態發生脆性斷裂的失效判據為而所有應力狀態發生脆性斷裂的極限值其中，sb為材料的強度極限。相應的強度條件則是第七章應力狀態和強度理論其中，[s]為對應于脆性斷裂的許用拉應力，[s]＝sb/n，而n為安全因數。

(2)最大伸長線應變理論(第二強度理論)

從大理石等材料單軸壓縮時在伸長線應變最大的橫向發生斷裂(斷裂面沿施加壓應力的方向，即所謂縱向)來判斷，第二強度理論認為，在任何應力狀態下，當一點處的最大伸長線應變e1達到該材料在單軸拉伸試驗、單軸壓縮試驗或其它試驗中發生脆性斷裂時與斷裂面垂直的極限伸長應變eu時就會發生斷裂。可見，第二強度理論關于脆性斷裂的判據為第七章應力狀態和強度理論對應于式中材料脆性斷裂的極限伸長線應變eu，如果是由單軸拉伸試驗測定的(例如對鑄鐵等脆性金屬材料)，那么eu＝su/E；如果eu是由單軸壓縮試驗測定的(例如對石料和混凝土等非金屬材料)，那么eu＝n·su/E；如果eu是在復雜應力狀態的試驗中測定的(低碳鋼在三軸拉伸應力狀態下才會未經屈服而發生脆性斷裂)，則eu與試驗中發生脆性斷裂時的三個主應力均有聯系。第七章應力狀態和強度理論亦即而相應的強度條件為

按照這一理論，似乎材料在二軸拉伸或三軸拉伸應力狀態下反而比單軸拉伸應力狀態下不易斷裂，而這與實際情況往往不符，故工程上應用較少。第七章應力狀態和強度理論

如果eu是在單軸拉伸而發生脆性斷裂情況下測定的，則第二強度理論關于脆性斷裂的判據也可以便于運用的如下應力形式表達：

(3)最大切應力理論(第三強度理論)低碳鋼在單軸拉伸而屈服時出現滑移等現象，而滑移面又基本上是最大切應力的作用面(45?

斜截面)。據此，第三強度理論認為，在任何應力狀態下當一點處的最大切應力tmax達到該材料在試驗中屈服時最大切應力的極限值tu時就發生屈服。第三強度理論的屈服判據為對于由單軸拉伸試驗可測定屈服極限ss，從而有tu＝ss/2，那么上列屈服判據可寫為即第七章應力狀態和強度理論而相應的強度條件則為

從上列屈服判據和強度條件可見，這一強度理論沒有考慮復雜應力狀態下的中間主應力s2對材料發生屈服的影響；因此它與試驗結果會有一定誤差(但偏于安全)。

(4)形狀改變能密度理論(第四強度理論)

注意到三向等值壓縮時材料不發生或很難發生屈服，第四強度理論認為，在任何應力狀態下材料發生屈服是由于一點處的形狀改變能密度vd達到極限值vdu所致。第七章應力狀態和強度理論于是，第四強度理論的屈服判據為對于由單軸拉伸試驗可測定屈服極限ss的材料，注意到試驗中s1＝ss，s2＝s3＝0，而相應的形狀改變能密度的極限值為故屈服判據可寫為第七章應力狀態和強度理論此式中，s1，s2，s3是構成危險點處的三個主應力，相應的強度條件則為

這個理論比第三強度理論更符合已有的一些平面應力狀態下的試驗結果，但在工程實踐中多半采用計算較為簡便的第三強度理論。亦即第七章應力狀態和強度理論(5)強度理論的相當應力

上述四個強度理論所建立的強度條件可統一寫作如下形式：式中，sr是根據不同強度理論以危險點處主應力表達的一個值，它相當于單軸拉伸應力狀態下強度條件s≤[s]中的拉應力s，通常稱sr為相當應力。表7-1示出了前述四個強度理論的相當應力表達式。第七章應力狀態和強度理論相當應力表達式強度理論名稱及類型

第一類強度理論(脆性斷裂的理論)

第二類強度理論(塑性屈服的理論)

第一強度理論──最大拉應力理論

第二強度理論──最大伸長線應變理論

第三強度理論──最大切應力理論

第四強度理論──形狀改變能密度理論表7-1四個強度理論的相當應力表達式第七章應力狀態和強度理論§7-8

各種強度理論的應用

前述各種強度理論是根據下列條件下材料強度破壞的情況作出的假設，它們也是應用這些強度理論的條件：常溫(室溫)，靜荷載(徐加荷載)，材料接近于均勻,連續和各向同性。

需要注意同一種材料其強度破壞的類型與應力狀態有關。第七章應力狀態和強度理論第七章應力狀態和強度理論

帶尖銳環形深切槽的低碳鋼試樣，由于切槽根部附近材料處于接近三向等值拉伸的應力狀態而發生脆性斷裂。對于像低碳鋼一類的塑性材料，除了處于三向拉伸應力狀態外，不會發生脆性斷裂。

圓柱形大理石試樣，在軸向壓縮并利用液體徑向施壓時會產生顯著的塑性變形而失效。第七章應力狀態和強度理論