第二十四章相似三角形基本知識知識點一：放縮與相似形圖形的放大或縮小，稱為圖形的放縮運動。把形狀相同的兩個圖形說成是相似的圖形，或者就說是相似性。注意：⑴相似圖形強調圖形形狀相同，與它們的位置、顏色、大小無關。⑵相似圖形不僅僅指平面圖形，也包括立體圖形相似的情況。⑶我們可以這樣理解相似形：兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作是由另一個圖形放大或縮小得到的．⑷若兩個圖形形狀與大小都相同，這時是相似圖形的一種特例——全等形．相似多邊形的性質：如果兩個多邊形是相似形，那么這兩個多邊形的對應角相等，對應邊的長度成比例。注意：當兩個相似的多邊形是全等形時，他們的對應邊的長度的比值是1.知識點二：比例線段有關概念及性質（1）有關概念1、比：選用同一長度單位量得兩條線段。a、b的長度分別是m、n，那么就說這兩條線段的比是a：b＝m：n（或）2、比的前項，比的后項：兩條線段的比a：b中。a叫做比的前項，b叫做比的后項。說明：求兩條線段的比時，對這兩條線段要用同一單位長度。3、比例：兩個比相等的式子叫做比例，如4、比例外項：在比例（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外項。5、比例內項：在比例（或a：b＝c：d）中b、c叫做比例內項。6、第四比例項：在比例（或a：b＝c：d）中，d叫a、b、c的第四比例項。7、比例中項：如果比例中兩個比例內項相等，即比例為（或a:b＝b:c時，我們把b叫做a和d的比例中項。8.比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等，即（或a：b=c：d），那么，這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段。（注意：在求線段比時，線段單位要統一，單位不統一應先化成同一單位）（2）比例性質1.基本性質:（兩外項的積等于兩內項積）2.合比性質：（分子加（減）分母,分母不變）．注意：實際上，比例的合比性質可擴展為：比例式中等號左右兩個比的前項，后項之間發生同樣和差變化比例仍成立．如：．3.等比性質：（分子分母分別相加，比值不變.）如果，那么．注意：(1)此性質的證明運用了“設法”，這種方法是有關比例計算，變形中一種常用方法．(2)應用等比性質時，要考慮到分母是否為零．(3)可利用分式性質將連等式的每一個比的前項與后項同時乘以一個數，再利用等比性質也成立．知識點三：黃金分割定義：在線段AB上，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），如果，即AC2=AB×BC，那么稱線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比。其中≈0.618。（BC=AB）2）矩形中，如果寬與長的比是黃金比，這個矩形叫做黃金矩形。頂角為36°的等腰三角形是黃金三角形。知識點四：平行線分線段成比例定理★★★三角形一邊的平行線性質定理定理：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所得的線段對應成比例。★★★三角形一邊的平行線性質定理推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例.★★★三角形一邊的平行線的判定定理三角形一邊平行線判定定理如果一條直線截三角形的兩邊所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.三角形一邊的平行線判定定理推論如果一條直線截三角形兩邊的延長線（這兩邊的延長線在第三邊的同側）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.★★★平行線分線段成比例定理1．平行線分線段成比例定理：兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對應線段成比例.用符號語言表示：AD∥BE∥CF,.2．平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行的直線所截，如果在一直線上所截得的線段相等，那么在另一直線上所截得的線段也相等.用符號語言表示：.重心定義：三角形三條中線相交于一點，這個交點叫做三角形的重心.重心的性質：三角形的重心到一個頂點的距離，等于它到對邊中點的距離的兩倍.知識點三：相似三角形相似三角形1）定義：如果兩個三角形中，三角對應相等，三邊對應成比例，那么這兩個三角形叫做相似三角形。幾種特殊三角形的相似關系：兩個全等三角形一定相似。兩個等腰直角三角形一定相似。兩個等邊三角形一定相似。兩個直角三角形和兩個等腰三角形不一定相似。補充：對于多邊形而言，所有圓相似；所有正多邊形相似（如正四邊形、正五邊形等等）；性質：兩個相似三角形中，對應角相等、對應邊成比例。相似比：兩個相似三角形的對應邊的比，叫做這兩個三角形的相似比。如△ABC與△DEF相似，記作△ABC∽△DEF。相似比為k。4）判定：①定義法：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形相似。②三角形相似的預備定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似。三角形相似的判定定理：判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似．簡述為：兩角對應相等，兩三角形相似．(此定理用的最多)判定定理2：如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似．簡述為：兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似．判定定理3：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似．簡述為：三邊對應成比例，兩三角形相似．直角三角形相似判定定理:

eq\o\ac(○,1).斜邊與一條直角邊對應成比例的兩直角三角形相似。

eq\o\ac(○,2).直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原直角三角形相似，并且分成的兩個直角三角形也相似。5）相似三角形的性質①相似三角形對應角相等、對應邊成比例.②相似三角形對應高、對應角平分線、對應中線、周長的比都等于相似比(對應邊的比).③相似三角形對應面積的比等于相似比的平方.【常考題】第一節：相似形知識點1、放縮與相似形例1.下列各組中的圖形一定相似的是兩個等腰三角形兩個直角三角形兩個平行四邊形兩個等邊三角形例2.如果兩個三角形相似，其中一個三角形的兩個內角分別為82°、53°，那么另一個三角形中最小內角為（）A．82°；B．53°C．45°D．不能確定知識點2、比例尺例1、AB兩地的實際距離是24千米，那么在比例尺是1:800000的地圖上量出AB兩地的距離是厘米知識點3、比例線段例1、若x是3、4、9的第四比例項，則x＝，又x是6和y的比例中項，則y＝例2、已知線段、，那么線段、的比例中項．例3、實數2與0.5的比例中項是．知識點4、合比性質常考題例1、已知，其中、、、都不為零且各不相等，則下列結論中不成立的是（）．；．；．；．．例2．對于線段、，如果，那么下列四個選項一定正確的是（）．；．；．；．．知識點5、等比性質常考題例1、已知：，且2a-3b+c=28，求a、b、c的值.例2、如果中的滿足直線，則此直線一定經（）．第一、二象限；．第二、三象限；．第三、四象限；．第一、四象限．知識點6、黃金分割例1、己知：線段的長為20厘米，點是線段的黃金分割點，則線段的長是_________米．例2、已知C是線段AB上的黃金分割點，且，求的值．知識點7：三角形一邊的平行線的性質例1、如果點G是△ABC的重心，聯結AG并延長，交對邊BC于點D，那么AG︰AD是…（）（A）2︰3； （B）1︰2；（C）1︰3；（D）3︰4．例2、已知平行四邊形中，點是的中點，在直線上截取，交于點，則．例3、如圖，在平行四邊形ABCD中，E是邊AB的中點，F是邊AD上一點，AF=FD，連結EF交AC于點G，若AC=10，則AG的長為.例5、如圖，已知點在上，且，點是延長線上一點，，聯結與交于點，求的值.例6、如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,BE∥CD交CA的延長線于點E.求證:FC2=FA·FE.知識點7：三角形一邊平行線的判定例1．已知點D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，下列給出的條件中，不能判定DE∥BC的是（）（A）BD︰AB＝CE︰AC；（B）DE︰BC＝AB︰AD；（C）AB︰AC＝AD︰AE；（D）AD︰DB＝AE︰EC．知識點8：平行線分線段成比例常考題：例1.如圖，l1∥l2∥l3，如果DE=6，EF=2，BC=1.5，那么AC=________知識點9：相似三角形的判定例1、下列四個命題中，假命題是（）．有一個銳角相等的兩個等腰三角形相似；．有一個銳角相等的兩個直角三角形相似；．底邊和腰對應成比例的兩個等腰三角形相似；．斜邊和直角邊對應成比例的兩個直角三角形相似．例2、如圖，等邊三角形中，為上一點，為上一點，，則的邊長為_______________例3、如圖，已知，點在邊上，點在邊上，當______________時，與相似；例4、如圖，在正方形ABCD中，如果點E是CD邊的中點，P是BC邊上的一動點，那么下列條件中，能夠推出△ABP與△ECP相似的是（）A.B.C.D.例5、如圖，△中，，，點在邊上，，且有，那么的長是；知識點10：相似三角形的性質：例1、如圖，等邊△中，是邊上的一點，且，把△折疊，使點落在邊上的點處，那么的值為；第四節：平面向量的線性運算知識點1、實數與向量相乘常考題：例1.計算：例2.下列說法錯誤的是（）A.B.若則C.已知一個單位向量，設是非零向量，則D.若與的方向相反，且，則例3.已知向量與方向相反，長度為5，則用來表示為：_________.易錯題：例1.已知一個單位向量，設向量、是非零向量，則下列等式中正確的是（）（A）（B）（C）（D）例2.已知平行四邊形的對角線與相交于點，設則向量關于、b的分解式為．知識點2、向量的線性運算常考題：例1.下列命題中國，正確的有（）個若，則④若，則A1B2C3D4例2.如圖3，在梯形ABCD中，，點E、F分別是AB、CD的中點，，那么（結果用表示）易錯題:例1.下列說法中錯誤的是（）..若，則.若，則或.若，，是非零向量，則第二十五章銳角三角比知識復習直角三角形的性質1、直角三角形的兩個銳角互余可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。3、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半4、勾股定理直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即5、射影定理在直角三角形中，斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的攝影的比例中項，每條直角邊是它們在斜邊上的射影和斜邊的比例中項6、常用關系式由三角形等面積公式可得：ABCD=ACBC二、直角三角形的判定1、有一個角是直角的三角形是直角三角形。2、如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a，b，c有關系，那么這個三角形是直角三角形。三、銳角三角函數的概念1、如圖，在△ABC中，∠C=90°①銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記為sinA，即②銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記為cosA，即③銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記為tanA，即④銳角A的鄰邊與對邊的比叫做∠A的余切，記為cotA，即2、銳角三角函數的概念銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數3、一些特殊角的三角函數值三角函數0°15°30°45°60°90°sinα01cosα10tanα01不存在cotα不存在104、銳角三角函數的增減性當角度在0°~90°之間變化時，（1）正弦值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減小）（2）余弦值隨著角度的增大（或減小）而減小（或增大）（3）正切值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減小）（4）余切值隨著角度的增大（或減小）而減小（或增大）5、同角三角函數間的關系．平方關系：商數關系：倒數關系：tanA·tanB=1余角和余函數的關系：如果＋=90°，那么sinA=cosB；tanA=cotB7、應用舉例：(1)仰角：視線在水平線上方的角；俯角：視線在水平線下方的角。(2)坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。坡度一般寫成的形式，如等。把坡面與水平面的夾角記作(叫做坡角)，那么。知識點1：銳角三角比概念及其計算常考題：例1、計算例2、等腰三角形底邊長為10㎝，周長為36cm，那么底角的余弦等于（）A.B.C.D.例3、在△中，若，則∠=_________．例4、已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式正確的是（）B．C．D．例5、已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，,則BC的長為_________.易錯題：例1、ACBD如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，AB=，∠A=，則CDACBD（A）； （B）；（C）； （D）．例2、小杰學了《銳角的三角比》知識后回家整理筆記，寫下了下列四句活：（1）銳角的正弦的值的范圍是；（2）根據正切和余切的意義，可以得到；（3）在△中，如=90°，則；（4）在△中，如=90°，則．請你判斷上述語句正確的個數是………………()．．1個；．2個；．3個；．4個．例3、若a為銳角，tana＝3，求的值。例4、△ABC中，∠A、∠B均為銳角，且，試確定△ABC的形狀。例5、如圖，兩條寬度都是1的紙條交叉疊在一起，且它們的夾角為，則它們重疊部分（圖中陰影部分）的面積是（）A、B、C、D、1知識點2：解直角三角形常考題例1.在等腰△中，，，那么的值是（）．；．；．；．．例2、銳角△ABC中，sinB=,tanC=3且=20，則BC=________例3、.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，tanB=.（1）求BC的長；（2）求cosA的值.例4、如圖，在ABC中，C=90，點D在BC上，AD=BC,BC=4，cosADC=,求（1）CD的長，（2）sinB的值.例5、如圖，為邊上一點，且，已知求例6.如圖，已知中，，是斜邊上的中線，過點作，分別與相交于點求的值如果，求的值例7.一副直角三角板如圖放置，點C在FD的延長線上AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=30°，∠A=45°，AC=，試求CD的長易錯題例1.如圖，已知為內一點，；求證：∽；（2）求例2.如圖8，在梯形中，，平分，，交的延長線于點，．圖8（1）求證：；圖8（2）若，，求邊的長．例3.已知：如圖，在△中，∠，平分∠，，垂足為點，，．求：（1）的長；（2）求∠的正切值例4.兩塊三角板按如圖放在一起，DACB=DD=90°，DA=DC，DBAC=30°，AC=，求兩三角形重合部分DEAC的面積.知識點3：解直角三角形應用常考題坡度，坡角例1某小山坡的坡長為200米，山坡的高度為100米，則該山坡的坡度i=．例2、當小杰沿坡度的坡面由到行走了米時，小杰實際上升高度米．（可以用根號表示）例3、如圖所示，一皮帶輪的坡比是，如果將貨物從地面用皮帶輪送到離地10米高的平臺，那么該貨物經過的路程是米；例4、坡比等于的斜坡的坡角等于()A.30°；B.45°；C.50°；D.60°；仰角俯角例5、如果在距離某大樓20米的地面上，測得這幢大樓頂端的仰角為60°，那么這幢大樓高為．例6、從觀測點觀察到樓頂的仰角為，那么從樓頂觀察觀測點的俯角為；例7、在高為h的樓頂A處測得另一建筑物底部D的俯角為，頂部B的俯角為，則另一建筑物的高BD是____例8、直升飛機在離地面2000米的上空測得上海東方明珠底部的俯角為，此時直升飛機與上海東方明珠底部之間的距離是（）．米；．米；．米；．米．方位角例9、如果從甲船看乙船，乙船在甲船的北偏東30°方向，那么從乙船看甲船，甲船在乙船的()A.南偏西30°方向；B.南偏西60°方向；C.南偏東30°方向；D.南偏東60°方向；易錯題例1、如圖，在山坡上植樹，已知坡比，要使株距（相鄰兩樹的水平距離）為4米，則斜坡上相鄰兩顆樹之間的坡面距離是________m例2、直升飛機在離地面2000米的上空測得上海東方明珠底部的俯角為，此時直升飛機與上海東方明珠底部之間的水平距離是（）．米；．米；．米；．米．例3、如圖，已知小明外婆家在小明家的正東方，學校在外婆家的北偏西40°，外婆家到學校與小明家到學校的距離相等，則學校在小明家的（）A、南偏東50°B、南偏東40°C、北偏東50°D、北偏東40°例4、水壩的橫截面是梯形ABCD（如圖1），上底米，壩高米，斜坡的坡比，斜坡的坡比．（1）求壩底的長（結果保留根號）；（2）為了增強水壩的防洪能力，在原來的水壩上增加高度（如圖2），使得水壩的上底米，求水壩增加的高度（精確到米，參考數據）．ABABCDMN（圖1）ABCDMNEF（圖2）例5、一艘補給船在點A處接到命令，要求它向正在航行的軍艦運送物資，已知軍艦在補給船的西北方向40海里的點B處，正以每小時20海里的速度向南偏東15度的方向航行，如果補給船立即沿正西方向航行，恰好能在點C處與軍艦相遇，求補給船行駛的路程和時間（結果保留根號）例6、如圖，在夕陽西下的傍晚，某人看見高壓電線的鐵塔在陽光的照射下，鐵塔的影子的一部分落在小山的斜坡上，為了測得鐵塔的高度，他測得鐵塔底部到小山坡腳的距離為2米，鐵塔在小山斜坡上的影長為3.4米，斜坡的坡度1∶1.875，同時他測得自己的影長，而他的身長為，求鐵塔的高度．AABCDMNH例7、某大型購物中心為方便顧客地鐵換乘，準備在底層至層之間安裝電梯．截面圖如圖所示，底層與層平行，層高為9米，、間的距離為6米，∠＝20°．（1）請問身高1.9米的人在豎直站立的情況下搭乘電梯，在處會不會碰到頭部？請說明理由；（2）若采取中段平臺設計（如圖虛線所示）．已知平臺∥，且段和段的坡度＝1∶2，求平臺的長度．(參考數據：20°取0.34，20°取0.94，20°取0.36）第二十六章二次函數知識點復習一、二次函數概念：1．二次函數的概念：一般地，形如（是常數，）的函數，叫做二次函數。這里需要強調：和一元二次方程類似，二次項系數，而可以為零．二次函數的定義域是全體實數．2.二次函數的結構特征：⑴等號左邊是函數，右邊是關于自變量的二次式，的最高次數是2．⑵是常數，是二次項系數，是一次項系數，是常數項．二、二次函數的基本形式1.二次函數基本形式：的性質：a的絕對值越大，拋物線的開口越小。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值．向下軸時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值．2.的性質：上加下減。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值．向下軸時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值．3.的性質：左加右減。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值．向下X=h時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值．4.的性質：的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值．向下X=h時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值．三、二次函數圖象的平移1.平移步驟：方法一：⑴將拋物線解析式轉化成頂點式，確定其頂點坐標；⑵保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下：2.平移規律在原有函數的基礎上“值正右移，負左移；值正上移，負下移”．概括成八個字“左加右減，上加下減”．方法二：⑴沿軸平移:向上（下）平移個單位，變成（或）⑵沿軸平移：向左（右）平移個單位，變成（或）四、二次函數與的比較從解析式上看，與是兩種不同的表達形式，后者通過配方可以得到前者，即，其中．五、二次函數圖象的畫法五點繪圖法：利用配方法將二次函數化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與軸的交點、以及關于對稱軸對稱的點、與軸的交點，（若與軸沒有交點，則取兩組關于對稱軸對稱的點）.畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點.六、二次函數的性質1.當時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點坐標為．當時，隨的增大而減小；當時，隨的增大而增大；當時，有最小值．2.當時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點坐標為．當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小；當時，有最大值．七、二次函數解析式的表示方法1.一般式：（，，為常數，）；2.頂點式：（，，為常數，）；3.交點式：（，，是拋物線與軸兩交點的橫坐標）.注意：任何二次函數的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函數解析式的這三種形式可以互化.八、二次函數的圖象與各項系數之間的關系1.二次項系數二次函數中，作為二次項系數，顯然．⑴當時，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大；⑵當時，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大．總結起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負決定開口方向，的大小決定開口的大小．2.一次項系數在二次項系數確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸．⑴在的前提下，當時，，即拋物線的對稱軸在軸左側；當時，，即拋物線的對稱軸就是軸；當時，，即拋物線對稱軸在軸的右側．⑵在的前提下，結論剛好與上述相反，即當時，，即拋物線的對稱軸在軸右側；當時，，即拋物線的對稱軸就是軸；當時，，即拋物線對稱軸在軸的左側．總結起來，在確定的前提下，決定了拋物線對稱軸的位置．的符號的判定：對稱軸在軸左邊則，在軸的右側則，概括的說就是“左同右異”3.常數項⑴當時，拋物線與軸的交點在軸上方，即拋物線與軸交點的縱坐標為正；⑵當時，拋物線與軸的交點為坐標原點，即拋物線與軸交點的縱坐標為；⑶當時，拋物線與軸的交點在軸下方，即拋物線與軸交點的縱坐標為負．總結起來，決定了拋物線與軸交點的位置．總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的．二次函數解析式的確定：根據已知條件確定二次函數解析式，通常利用待定系數法．用待定系數法求二次函數的解析式必須根據題目的特點，選擇適當的形式，才能使解題簡便．一般來說，有如下幾種情況：1.已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；2.已知拋物線頂點或對稱軸或最大（小）值，一般選用頂點式；3.已知拋物線與軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式；4.已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式．九、二次函數圖象的對稱二次函數圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達1.關于軸對稱關于軸對稱后，得到的解析式是；關于軸對稱后，得到的解析式是；2.關于軸對稱關于軸對稱后，得到的解析式是；關于軸對稱后，得到的解析式是；3.關于原點對稱關于原點對稱后，得到的解析式是；關于原點對稱后，得到的解析式是；4.關于頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉180°）關于頂點對稱后，得到的解析式是；關于頂點對稱后，得到的解析式是．5.關于點對稱關于點對稱后，得到的解析式是根據對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發生變化，因此永遠不變．求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式．十、二次函數與一元二次方程：1.二次函數與一元二次方程的關系（二次函數與軸交點情況）：一元二次方程是二次函數當函數值時的特殊情況.圖象與軸的交點個數：①當時，圖象與軸交于兩點，其中的是一元二次方程的兩根．這兩點間的距離.②當時，圖象與軸只有一個交點；③當時，圖象與軸沒有交點.當時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數，都有；當時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數，都有．2.拋物線的圖象與軸一定相交，交點坐標為，；3.二次函數常用解題方法總結：⑴求二次函數的圖象與軸的交點坐標，需轉化為一元二次方程；⑵求二次函數的最大（小）值需要利用配方法將二次函數由一般式轉化為頂點式；⑶根據圖象的位置判斷二次函數中，，的符號，或由二次函數中，，的符號判斷圖象的位置，要數形結合；⑷二次函數的圖象關于對稱軸對稱，可利用這一性質，求和已知一點對稱的點坐標，或已知與軸的一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標.⑸與二次函數有關的還有二次三項式，二次三項式本身就是所含字母的二次函數；下面以時為例，揭示二次函數、二次三項式和一元二次方程之間的內在聯系：拋物線與軸有兩個交點二次三項式的值可正、可零、可負一元二次方程有兩個不相等實根拋物線與軸只有一個交點二次三項式的值為非負一元二次方程有兩個相等的實數根拋物線與軸無交點二次三項式的值恒為正一元二次方程無實數根.十一、函數的應用二次函數應用一．概念：常考題：例1、已知拋物線經過三點，求拋物線解析式。例2、如圖，有一座拋物線形拱形橋，其最大高度為，跨度為，現把它的示意圖放在平面直角坐標系中，則拋物線的解析式為例3、下列四個函數中，一定是二次函數的是（）．； ．； ．； ．．例4、已知點A（-1,3）、B（5，）在拋物線的圖像上，則例5、已知二次函數用配方法把該二次函數的解析式化為；指出該二次函數的開口方向、頂點坐標和對稱軸。易錯題：例1、已知函數是二次函數，則的值為___________二．圖像和性質：常考題：例1、若拋物線經過原點，則它的頂點坐標是_______．例2、若拋物線的對稱軸是，則它的頂點坐標是_______．例3、如果拋物線與軸的交點為，那么的值是．例4、已知拋物線是常數且，下列選項中可能是它大致圖像的是（）例5、第6題如圖為二次函數的圖像，它與軸交于（-1，0），（3,0）第6題兩點，在下列說法中：①②拋物線在直線的左側是下降的③，其中正確的有（）A.0個B.1個C.2個D.3個第6題第6題例6、OyOyx．二次函數的圖象是開口向上的拋物線；．二次函數的圖象必在軸上方；．二次函數圖象的對稱軸是軸或與軸平行的直線；．二次函數圖象的頂點必在圖象的對稱軸上．例7、將拋物線向右平移2個單位，再向下平移3個單位，所得到的拋物線的表達式（）（A）（B）（C）（D）例8、將拋物線向右平移一個單位，再向上平移2個單位后，拋物線的表達式為（）例9、若點是二次函數圖像上兩點，那么和的大小關系是（填>，=或<)例10、如果拋物線經過點和，那么的大小關系是_____（填寫“>”或“<”或“=”）易錯題：例1、二次函數向_____平移_______個單位后得到的例2、已知拋物線解析式為，若點（，5）與點關于該拋物線的對稱軸對稱，則點的坐標是__________．例3、如果二次函數的圖像經過原點，那么=．例4、己知拋物線的頂點在軸上,則＝.例5、拋物線的頂點坐標是．例6、在平面直角坐標系中，拋物線（為常數）的最高點到坐標軸的原點的距離為3，則的值為．例7、若拋物線與軸交于點、，則拋物線的對稱軸為直線．例8、若A（），B（），C（）為二次函數的圖像上的三點，則的大小關系是………（）．（A）；（B）；（C）；（D）．應用及綜合常考題：例1、在平面直角坐標系xOy中，拋物線經過點A（4，-1），B（1，2）．（1）求拋物線的表達式及對稱軸；（2）該拋物線對稱軸與拋物線交于點C，連接BA、BC，求△ABC的面積．例2、已知拋物線經過點，頂點為，與軸相交于點.（1）求拋物線的表達式及頂點的坐標（2）求的面積例3、如圖，梯形中，∥，⊥，⊥，且，，動點從點出發，沿折線－－以每秒1個單位長的速度運動到點停止．設運動時間為秒，△的面積為，則關于的函數圖像大致是（）例4、（二次函數背景下的相似）已知：如圖，在平面直角坐標系xoy中，拋物線經過點A（-1,0）和點B，于y軸交于點C，且求點B的坐標和拋物線的解析式；過點A作,交拋物線于另一點E，若點P在x軸上，以點P、B、C為頂點的三角形于相似，求點P的坐標。第二十七章圓知識點復習圓的周長：C=2πr或C=πd、圓的面積：S=πr2圓環面積計算方法：S=πR2-πr2或S=π（R2-r2）(R是大圓半徑，r是小圓半徑）要點1：圓的概念圓是平面上到一個定點的距離等于定長的點的集合.定點就是圓心，定長就是半徑注：圓的半徑確定圓的大小；圓心確定圓的位置。同心圓：圓心相等、半徑不同的兩個圓。等圓：半徑相同、圓心不同的兩個圓。圓既是軸對稱圖形（經過圓心的任一條直線都是對稱軸），又是中心對稱圖形（圓心是對稱中心）。要點2：圓外、圓內的概念在圓所在的平面上，以圓周為分界線，含圓心的部分叫做圓的內部（簡稱圓內），不含圓心的部分叫做圓的外部要點3：點和圓的位置關系設一個圓的半徑為R，點P到圓心的距離為，則要點4：圓的確定不在同一直線上的三點可以確定一個圓。三角形的三個頂點確定一個圓，經過三角形三個頂點的圓叫做這個三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做這個三角形的外心。三角形就這個圓的內接三角形。三角形的外心就是三角形三邊垂直平分線的交點要點5：圓的確定方式確定圓的基本條件：（1）圓心——確定圓的位置（2）半徑——確定圓的大小確定圓的方式：（1）已知圓心的位置與半徑的長度（2）已知直徑及其位置（3）不在同一直線上的三點要點6：三角形外心的位置三角形的三個頂點確定一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心就是三角形三邊的垂直平分線的交點，叫做三角形的外心。銳角三角形的外心在該三角形的內部直角三角形的外心為斜邊的中點鈍角三角形的外心在該三角形的外部要點7：多邊形的外接圓如果一個圓經過多邊形的各頂點，那么這個圓叫做這個多邊形的外接圓，這個多邊形叫做圓的內接多邊形注意：多于三邊的多邊形不一定有外接圓要點8：點與圓的位置關系1、點在圓內點在圓內；2、點在圓上點在圓上；3、點在圓外點在圓外；要點9：圓的有關概念（1）弧：圓上任意兩點之間的部分叫做圓弧；（2）弦：連結圓上任意兩點的線段叫做弦；（3）直徑：過圓心的弦是直徑；（4）圓心角：以圓心為頂點的角叫做圓心角；（5）半圓、優弧、劣弧：圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧叫做半圓小于半圓的弧叫劣弧，大于半圓的弧叫優弧；（6）弦心距：圓心到弦的距離叫做弦心距；（7）等弧：能夠重合的兩條弧叫等弧；（8）等圓：能夠重合的兩個圓叫等圓，同圓或等圓的半徑相等（9）同心圓：圓心相同、半徑不相等的兩個圓叫做同心圓要點10：圓的對稱性圓是以圓心為旋轉對稱中心的旋轉對稱圖形，旋轉角可為大于0°小于360°的任何一個角要點11：圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距相等。推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條優弧（或劣弧）、兩條弦、兩條弦的弦心距得到的四組量中有一組相等，那么他們所對應的其他三組量也分別相等。要點11：垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；（2）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧；（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧以上共4個定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個結論中，只要知道其中2個即可推出其它3個結論，即：①是直徑②③④弧弧⑤弧弧中任意2個條件推出其他3個結論。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即：在⊙中，∵∥∴弧弧要點12：直線與圓的位置關系1、直線與圓相離無交點；2、直線與圓相切有一個交點；3、直