九江市2024－2025學年度上學期期末考試高二數學試題卷本試卷共4頁，19小題，滿分150分，考試時間120分鐘．考生注意：1．答題前，考生務必將自己的準考證號、姓名等項內容填寫在答題卡上．2．第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，第Ⅱ卷用黑色簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題卷上作答，答案無效．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知經過點和點的直線的斜率為，則實數的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據條件，利用過兩點斜率公式，即可求解.【詳解】依題意，得，解得，故選：C．2.若的二項展開式中常數項為160，則實數的值為（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出展開式的通項，令的指數等于零，進而可得出答案.【詳解】展開式的通項為，令，得，則，解得.故選：A．3.已知拋物線上一點到其焦點的距離為3，則（）A. B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據題意結合拋物線的定義運算求解即可.【詳解】根據拋物線的定義，可知，解得.故選：B．4.若隨機變量，則（）A.4 B.5 C.8 D.9【答案】B【解析】【分析】根據二項分布求期望公式得到，從而由得到答案.【詳解】根據二項分布的知識，得，.故選：B．5.圓與圓的位置關系為（）A.外離 B.外切 C.內切 D.相交【答案】D【解析】【分析】法一：求出圓心距，與半徑之和，半徑之差比較，得到兩圓相交；法二：求出圓心距，剛好等于的半徑，得到兩圓相交.【詳解】法一：，，，，，，，，圓與圓相交，法二：，，，，，故圓心在圓上，而,圓與圓相交.故選：D．6.在空間直角坐標系中，已知，，，，則三棱錐的體積為（）A.5 B.10 C.20 D.30【答案】A【解析】【分析】利用向量坐標表示，求出，，進而平面，再求出，利用錐體的體積公式即可求得結果.【詳解】，，，，，即，，平面,平面，又，，即，，故選：A．7.如圖所示，5顆串珠用一根竹簽串起．現將它們依次取出，一次取一顆，則在不剪斷珠子中間竹簽的條件下，兩顆☆☆串珠被連著取下的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用列舉法逐個情況都列出來即可求得結果.【詳解】列舉法：依次將標識符號為：-1-2-3-4-5-，將它們依次取出，一次取一顆，則在不剪斷珠子中間竹簽的條件下，所有的可能結果如下：（1，2，3，4，5），（1，2，3，5，4），（1，2，5，4，3），（1，2，5，3，4），（1，5，2，3，4），（1，5，2，4，3），（1，5，4，2，3），（1，5，4，3，2），（5，4，1，2，3），（5，4，1，3，2），（5，4，3，1，2），（5，4，3，2，1），（5，1，2，3，4），（5，1，2，4，3），（5，1，4，2，3），（5，1，4，3，2）共16種可能．其中1，2連在一起有（1，2，3，4，5），（1，2，3，5，4），（1，2，5，4，3），（1，2，5，3，4），（5，4，1，2，3），（5，4，3，1，2），（5，4，3，2，1），（5，1，2，3，4），（5，1，2，4，3）9種可能．，故選：D．8.已知雙曲線左頂點為，右焦點為，以為直徑的圓與雙曲線的右支相交于兩點．若四邊形是正方形，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】表達出，將其代入雙曲線上，整理得到，計算出.【詳解】由對稱性，知軸，，，四邊形是正方形，則，，則，，則在雙曲線上，，即，即，化簡整理得，即，所以，即，又，故，解得或（舍去）.故選：C．【點睛】方法點睛：求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據一個條件得到關于的齊次式，結合轉化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉化為關于離心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得離心率(離心率的取值范圍).二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知隨機變量，，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】掌握正態分布中的含義，結合正態曲線的對稱性求解即可.【詳解】對于選項A，由正態曲線的對稱性知，故A正確；對于選項B，因為，所以，故B錯誤；對于選項C，因為，故C錯誤；對于選項D，，故D正確．故選：AD.10.現有編號依次為1，2，3的三個盒子，其中1號盒子裝有1個紅球和3個白球，2號盒子裝有2個紅球和2個白球，3號盒子裝有4個紅球，這些球除顏色外完全相同．某人先從三個盒子中任取一盒，再從中任意摸出一球，記事件表示“取得紅球”，事件表示“取得白球”，事件表示“球取自號盒子”，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】對于A：利用全概率求；對于B：利用對立事件概率公式求；對于CD：根據條件概率公式運算求解.【詳解】由題意可得：，，對于A：由全概率公式可得，故A錯誤；對于B：，故B正確；對于CD：，故C正確；，故D正確．故選：BCD.11.在平面直角坐標系中，已知點和曲線上不同兩點，記，則下列結論中正確的是（）A.若點和直線上不同兩點，則的最小值為0B.若點和橢圓上不同兩點，則的最大值為0C.若點和圓上不同兩點，，則的最大值為D.若點和雙曲線右支上不同兩點，則的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】數形結合，可判斷AB的真假；結合基本不等式和余弦定理，可判斷C的真假；結合雙曲線的定義，可判斷D的真假.【詳解】對于選項A，如圖1，2，．故A正確；對于選項B，，（三點共線時取等號）．故B錯誤；對于選項C，如圖3，可知圓，圓心，又，故為圓直徑，連接，則，因為，,且,所以：，又，（時取等號）．．故C正確；對于選項D，如圖4，可知點是雙曲線的左焦點，設右焦點為．由雙曲線的定義，得，即（當點在線段上時取等號）．故D正確．故選：ACD【點睛】關鍵點點睛：對C選項，結合余弦定理，得到是判斷C選項的關鍵.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.兩平行直線，之間的距離為______．【答案】##【解析】【分析】先將變換直線為，再利用兩平行線間的距離即可求得結果.【詳解】由題意得，由兩平行線間的距離公式，得．故答案為：13.“九江之夜”文旅街區是我市重點引進的文旅項目，它坐落在我市濂溪區芳蘭湖畔，一經開業便引得廣大市民游客爭相打卡．為了更好的服務招親廣場、電音舞臺、篝火廣場、水系舞臺這四個網紅打卡點，主管單位向我市征集了5名志愿者，若要求每個網紅點至少安排一名志愿者，每名志愿者只服務一個網紅點，則電音舞臺恰好安排兩人的方法有______種．【答案】60【解析】【分析】根據題意，利用排列組合知識結合分步乘法計數原理求解.【詳解】第1步：電音舞臺先安排2人有種方法；第2步：將剩余3人分給其余的3個網紅點，有種方法．故電音舞臺恰好安排兩人的方法有種．故答案為：6014.在直四棱柱中，底面是平行四邊形，，，，點是的中點，是平面內一動點，則周長的最小值為______．【答案】##【解析】【分析】首先根據題意做出圖形，找出關于平面的對稱點，再利用等量代換與兩點之間距離最短，即可求得結果.【詳解】如圖，，，，由余弦定理得，，即．延長至，使得，連接，則四邊形為正方形，，由直四棱柱知，平面，即為關于平面的對稱點，．故的周長．故答案為：【點睛】關鍵點點睛：做出圖形，找出關于平面的對稱點，利用等量代換與兩點之間距離最短即可.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在平面直角坐標系中，已知，，，的外接圓為圓，直線與圓相交于兩點．（1）求圓的標準方程；（2）設直線的傾斜角分別為，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據條件，利用待定系數法，求出圓的一般方程，再轉化成標準方程，即可求解；（2）先求圓心到直線的距離，數形結合求得，再利用倍角公式，即可求解.【小問1詳解】設圓的一般方程為，則解得所以圓的一般方程為，故圓的標準方程為.【小問2詳解】如圖，點到直線的距離，又圓的半徑，所以，所以.16.“甲辰龍騰、盛世中華”．2024年5月25至26日，九江銀行?“廬山杯”長江經濟帶龍舟邀請賽在九江市潯陽區南門湖隆重舉行，本次賽事共邀請了來自長江經濟帶11個沿江省市、江西省11個地市和九江市16個縣（市、區）共計37支代表隊參賽．賽后，某網絡直播平臺對我市市民發起了本次龍舟賽喜愛程度的調查，現隨機抽取100份進行調查統計，得到如下列聯表．喜愛不喜愛合計男2060女1540合計45（1）完成列聯表，并根據小概率值，判斷我市市民對本次龍舟賽喜愛程度是否與性別有關；（2）已知在地方組500米直道賽比賽中，闖入決賽的有4支市區代表隊：潯陽區，經開區、濂溪區、八里湖新區和4支縣區代表隊：共青城市、武寧縣、湖口縣、修水縣．假設決賽中各支隊伍的實力相當，設隨機變量表示決賽后前3名中市區代表隊的隊數，求的分布列及數學期望．附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910828【答案】（1）列聯表見解析，有關（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）補充列聯表，根據的計算公式判斷是否與性別有關即可；（2）依題意，得，利用古典概型的概率公式求出概率得到分布列，再利用數學期望的計算公式求出期望即可.【小問1詳解】列聯表補充如下喜愛不喜愛合計男402060女152540合計5545100又，故可判斷該市市民對本次龍舟賽喜愛程度是與性別有關.【小問2詳解】依題意，得，，，，，則的分布列如下：0123則.17.在四棱錐中，已知底面是邊長為的正方形，，．（1）求證：；（2）設為的中點，求平面與平面所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據給定條件，利用線面垂直的判定性質推理得證.（2）以為原點建立空間直角坐標系，求出平面與平面的法向量，再利用面面角的向量法求解.【小問1詳解】在四棱錐中，連接交于，連接，四邊形為正方形，由，，，得，則，由為的中點，得，又，又，平面，因此平面，又平面，所以.【小問2詳解】由，為的中點，得，又，平面，即平面，以為原點直線分別為軸建立空間直角坐標系，，則，，，設平面的法向量為，則，令，得，設平面的法向量為，則，令，得，所以平面與平面所成角的余弦值為.18.如圖，已知，，，，是橢圓的左右頂點，是橢圓上位于軸上方的兩點，．當時的面積為．（1）求橢圓的方程；（2）設直線的斜率分別為，求證：為定值．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據題意知，再由三角形面積得出，得出在橢圓上，代入即可求得結果.（2）根據題意延長交橢圓于點，連接，根據圖形的對稱性可知，則，求為定值，即證為定值，再設直線利用韋達定理即可求得結果.小問1詳解】依題可知當時，由，得即點在橢圓上，代入得，解得故橢圓的方程為小問2詳解】延長交橢圓于點，連接．由圖形的對稱性可知，則設直線方程：，，，聯立消去，整理得，要證為定值，即證為定值，即證為定值為定值，即為定值19.“石頭、剪刀、布”是一個猜拳游戲，古老而簡單．游戲規則中，石頭克剪刀，剪刀克布，布克石頭．現甲、乙、丙三人玩“石頭剪刀布”游戲，規定每局中：①三人出現同一種手勢，每人各得1分；②三人出現兩種手勢，贏者得4分，輸者得0分；③三人出現三種手勢均得0分．當有人累計得3分以上（包含3分）或游戲進行了3局時，游戲結束．三人之間及每局游戲互不影響，且每人每局出石頭、剪刀、布的概率都是．（1）求甲在一局比賽中得0分的概率；（2）已知游戲結束時有人得分為3分以上（包含3分），求第一局比賽中三人均得0分的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）完成一局比賽即為甲、乙、丙各出一次石頭剪刀布，再分析其中甲得0分的各種情況，即可得解；（2）利用條件概率公式求解即可.【小問1詳解】甲在一局比賽中得0分包含以下情況：①三人出現三種手勢：有種情況②三人出現兩種手勢且甲為輸者：有種情況故所求概率【小問2詳解】在一局比賽中，設三人出現三種手勢，即每人各得0分為事件，可知；設三人出現同一種手勢，即每人各得1分為事件，可知；設三人出現兩種手勢，即有人得4分為事件，可知設游戲結束時有人得分為3分以上（