PAGEPAGE1第1講分類加法計數原理與分步乘法計數原理1．從集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取兩個互不相等的數a，b組成復數a＋bi，其中虛數的個數是()A．30 B．42C．36 D．35解析：選C.因為a＋bi為虛數，所以b≠0，即b有6種取法，a有6種取法，由分步乘法計數原理知可以組成6×6＝36個虛數．2．用10元、5元和1元來支付20元錢的書款，不同的支付方法有()A．3種 B．5種C．9種 D．12種解析：選C.只用一種幣值有2張10元，4張5元，20張1元，共3種；用兩種幣值的有1張10元，2張5元；1張10元，10張1元；3張5元，5張1元；2張5元，10張1元；1張5元，15張1元，共5種；用三種幣值的有1張10元，1張5元，5張1元，共1種．由分類加法計數原理得，共有3＋5＋1＝9(種)．3．某電話局的電話號碼為139××××××××，若前六位固定，最終五位數字是由6或8組成的，則這樣的電話號碼的個數為()A．20 B．25C．32 D．60解析：選C.依據題意知，最終五位數字由6或8組成，可分5步完成，每一步有2種方法，依據分步乘法計數原理，符合題意的電話號碼的個數為25＝32.4．用數字1，2，3，4，5組成沒有重復數字的五位數，其中偶數的個數為()A．24 B．48C．60 D．72解析：選B.先排個位，再排十位，百位，千位，萬位，依次有2，4，3，2，1種排法，由分步乘法計數原理知偶數的個數為2×4×3×2×1＝48.5．已知兩條異面直線a，b上分別有5個點和8個點，則這13個點可以確定不同的平面個數為()A．40 B．16C．13 D．10解析：選C.分兩類狀況探討：第1類，直線a分別與直線b上的8個點可以確定8個不同的平面；第2類，直線b分別與直線a上的5個點可以確定5個不同的平面．依據分類加法計數原理知，共可以確定8＋5＝13個不同的平面．6．已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，從兩個集合中各選一個數作為點的坐標，則這樣的坐標在直角坐標系中可表示第三、四象限內不同點的個數為()A．18個 B．10個C．16個 D．14個解析：選B.第三、四象限內點的縱坐標為負值，分2種狀況探討．①取M中的點作橫坐標，取N中的點作縱坐標，有3×2＝6種狀況；②取N中的點作橫坐標，取M中的點作縱坐標，有4×1＝4種狀況．綜上共有6＋4＝10種狀況．7．某市汽車牌照號碼可以上網自編，但規定從左到右其次個號碼只能從字母B，C，D中選擇，其他四個號碼可以從0～9這十個數字中選擇(數字可以重復)，有車主第一個號碼(從左到右)只想在數字3，5，6，8，9中選擇，其他號碼只想在1，3，6，9中選擇，則他的車牌號碼可選的全部可能狀況有()A．180種 B．360種C．720種 D．960種解析：選D.依據車主的要求，從左到右第一個號碼有5種選法，其次個號碼有3種選法，其余三個號碼各有4種選法．因此車牌號碼可選的全部可能狀況有5×3×4×4×4＝960(種)．8．直線l：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1中，a∈{1，3，5，7}，b∈{2，4，6，8}．若l與坐標軸圍成的三角形的面積不小于10，則這樣的直線的條數為()A．6 B．7C．8 D．16解析：選B.l與坐標軸圍成的三角形的面積為S＝eq\f(1,2)ab≥10，即ab≥20.當a＝1時，不滿意；當a＝3時，b＝8，即1條．當a∈{5，7}時，b∈{4，6，8}，此時a的取法有2種，b的取法有3種，則直線l的條數為2×3＝6.故滿意條件的直線的條數為1＋6＝7.故選B.9．一個旅游景區的巡游線路如圖所示，某人從P點處進，Q點處出，沿圖中線路巡游A，B，C三個景點及沿途風景，則不重復(除交匯點O外)的不同巡游線路有()A．6種 B．8種C．12種 D．48種解析：選D.從P點處進入結點O以后，巡游每一個景點所走環形路途都有2個入口(或2個出口)，若先巡游完A景點，再進入另外兩個景點，最終從Q點處出有(4＋4)×2＝16種不同的方法；同理，若先巡游B景點，有16種不同的方法；若先巡游C景點，有16種不同的方法，因而所求的不同巡游線路有3×16＝48(種)．10．假如一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構成一個“正交線面對”．在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數是()A．48 B．18C．24 D．36解析：選D.分類探討：第1類，對于每一條棱，都可以與兩個側面構成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有2×12＝24個；第2類，對于每一條面對角線，都可以與一個對角面構成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有12個．所以正方體中“正交線面對”共有24＋12＝36(個)．11．設集合A＝{－1，0，1}，集合B＝{0，1，2，3}，定義A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，則A*B中元素的個數是()A．7 B．10C．25 D．52解析：選B.因為集合A＝{－1，0，1}，集合B＝{0，1，2，3}，所以A∩B＝{0，1}，A∪B＝{－1，0，1，2，3}，所以x有2種取法，y有5種取法，所以依據分步乘法計數原理得2×5＝10.12．在如圖所示的五個區域中，現有四種顏色可供選擇，要求每一個區域只涂一種顏色，相鄰區域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數為()A．24種 B．48種C．72種 D．96種解析：選C.分兩種狀況：(1)A，C不同色，先涂A有4種，C有3種，E有2種，B，D有1種，有4×3×2＝24(種)．(2)A，C同色，先涂A有4種，E有3種，C有1種，B，D各有2種，有4×3×2×2＝48(種)．綜上兩種狀況，不同的涂色方法共有48＋24＝72(種)．13．從班委會5名成員中選出3名，分別擔當班級學習委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔當文娛委員，則不同的選法共有________種(用數字作答)．解析：第一步，先選出文娛委員，因為甲、乙不能擔當，所以從剩下的3人中選1人當文娛委員，有3種選法．其次步，從剩下的4人中選學習委員和體育委員，又可分兩步進行：先選學習委員有4種選法，再選體育委員有3種選法．由分步乘法計數原理可得，不同的選法共有3×4×3＝36(種)．答案：3614．乘積(a＋b＋c)(d＋e＋f＋h)(i＋j＋k＋l＋m)綻開后共有________項．解析：由(a＋b＋c)(d＋e＋f＋h)(i＋j＋k＋l＋m)綻開式各項都是從每個因式中選一個字母的乘積，由分步乘法計數原理可得其綻開式共有3×4×5＝60(項)．答案：6015．在平面直角坐標系內，點P(a，b)的坐標滿意a≠b，且a，b都是集合{1，2，3，4，5，6}中的元素．又點P到原點的距離|OP|≥5，則這樣的點P的個數為________．解析：依題意可知：當a＝1時，b＝5，6，兩種狀況；當a＝2時，b＝5，6，兩種狀況；當a＝3時，b＝4，5，6，三種狀況；當a＝4時，b＝3，5，6，三種狀況；當a＝5或6時，b各有五種狀況．所以共有2＋2＋3＋3＋5＋5＝20種狀況．答案：2016．已知集合A＝{最大邊長為7，且三邊長均為正整數的三角形}，則集合A的真子集共有________個．解析：另外兩個邊長用x，y(x，y∈N*)表示，且不妨設1≤x≤y≤7，要構成三角形，必需x＋y≥8.當y取7時，x可取1，2，3，…，7，有7個三角形；當y取6時，x可取2，3，…，6，有5個三角形；當y取5時，x可取3，4，5，有3個三角形．當y取4時，x只能取4，只有1個三角形．所以所求三角形的個數為7＋5＋3＋1＝16.其真子集共有(216－1)個．答案：216－11．在某校實行的羽毛球兩人決賽中，采納5局3勝制的競賽規則，先贏3局者獲勝，直到決出輸贏為止．若甲、乙兩名同學參與競賽，則全部可能出現的情形(個人輸贏局次的不同視為不憐憫形)共有()A．6種 B．12種C．18種 D．20種解析：選D.分三種狀況：恰好打3局(一人贏3局)，有2種情形；恰好打4局(一人前3局中贏2局，輸1局，第4局贏)，共有2×3＝6種情形；恰好打5局(一人前4局中贏2局，輸2局，第5局贏)，共有2×eq\f(4×3,2)＝12種情形．全部可能出現的情形共有2＋6＋12＝20種．故選D.2．定義“規范01數列”{an}如下：{an}共有2m項，其中m項為0，m項為1，且對隨意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個數不少于1的個數．若m＝4，則不同的“規范01數列”共有()A．18個 B．16個C．14個 D．12個解析：選C.設a1，a2，a3，…，ak中0的個數為t，則1的個數為k－t，由2m＝8知，k≤8且t≥k－t≥0，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t≤k≤2t,k≤8,t≤4,k，t∈N*)).法一：當t＝1時，k＝1，2；當t＝2時，k＝2，3，4；當t＝3時，k＝3，4，5，6；當t＝4時，k＝4，5，6，7，8，所以“規范01數列”共有2＋3＋4＋5＝14(個)．法二：問題即是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t≤k≤2t,k≤8,t≤4,k，t∈N*))表示的區域的整點(格點)的個數，如圖整點(格點)為2＋3＋4＋5＝14個，即“規范01數列”共有14個．3．從集合{1，2，3，…，10}中隨意選出三個不同的數，使這三個數成等比數列，這樣的等比數列的個數為________．解析：當公比為2時，等比數列可為1，2，4或2，4，8；當公比為3時，等比數列可為1，3，9；當公比為eq\f(3,2)時，等比數列可為4，6，9.易知公比為eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(2,3)時，共有2＋1＋1＝4個．故共有2＋1＋1＋4＝8(個)．答案：84．x＋y＋z＝10的正整數解的組數為________．解析：可按x的值分類：當x＝1時，y＋z＝9，共有8組；當x＝2時，y＋z＝8，共有7組；當x＝3時，y＋z＝7，共有6組；當x＝4時，y＋z＝6，共有5組；當x＝5時，y＋z＝5，共有4組；當x＝6時，y＋x＝4，共有3組；當x＝7時，y＋z＝3，共有2組；當x＝8時，y＋z＝2，共有1組．由分類加法計數原理可知：共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝eq\f(8×9,2)＝36(組)．答案：365．由數字1，2，3，4，(1)可組成多少個三位數？(2)可組成多少個沒有重復數字的三位數？(3)可組成多少個沒有重復數字，且百位數字大于十位數字，十位數字大于個位數字的三位數？解：(1)百位數共有4種排法；十位數共有4種排法；個位數共有4種排法，依據分步乘法計數原理知共可組成43＝64個三位數．(2)百位上共有4種排法；十位上共有3種排法；個位上共有2種排法，由分步乘法計數原理知共可排成沒有重復數字的三位數4×3×2＝24(個)．(3)排出的三位數分別是432、431、421、321，共4個．6．已知集合M＝{－3，－2，－1，0，