中考專題突破——目錄

?:?1.實(shí)際應(yīng)用

?2.幾何證明

o3.中考新題

4.思想方法

?：?5.中考壓軸

A北京師范大學(xué)出版集團(tuán)

北京舞比大學(xué)出亞社

嬲觸曩敏熱

實(shí)際應(yīng)用題是近年中考的熱點(diǎn)試題，這類題來源于生活

和生產(chǎn)實(shí)踐，貼近生活，具有較強(qiáng)的操作性和實(shí)踐性.所以）

參考條件多，思維有一定的深度，解答方法靈活多樣，解決

問題時要慎于思考.題型主要包括：根據(jù)實(shí)際意義建模；利/

用方程（組八不等式（組）、函數(shù)等知識對實(shí)際問題中的方案

進(jìn)行比較等.\

?熱考一關(guān)于不等式（組）的方案設(shè)計(jì)題

例1[2012?遂寧]我市新都生活超市準(zhǔn)備一次性購進(jìn)人

B兩種品牌的飲料100箱，這兩種飲料每箱的進(jìn)價和售價如下

表所示.設(shè)購進(jìn)A種飲料x箱，且所購進(jìn)的兩種飲料能全部

賣出，獲得的總利潤為J元.（

⑴求y關(guān)于”的函數(shù)關(guān)系式；I

（2）由于資金周轉(zhuǎn)原因，超市用于購進(jìn)4.B兩種飲料的總

費(fèi)用不超過5600元，并要求獲得利潤不低于1380元，則從兩

種飲料箱數(shù)上考慮，共有哪幾種進(jìn)貨方案？（利潤=售價■進(jìn)

價）X

品牌AB

進(jìn)價（元/箱）6549

售價（元/箱）8062

解：(l)j與x函數(shù)關(guān)系式是：j=(80-

65)x+(62-49)(100-x)=2x+1300，即y二

2x+1300.

2x+1300N1380,

(2)由題意f得

解這個不等燔5博%9襄7*56。。,

43.

4

它的整數(shù)解是x=40.41、42,43,

則該超市購進(jìn)4B兩種品牌飲料，共有4種進(jìn)貨方案，分別是：

方案1:購進(jìn)A品牌飲料4。箱，5品牌飲料60箱；

方案2：購進(jìn)A品牌飲料41箱，〃品牌飲料59箱；

方案3：購進(jìn)4品牌飲料42箱，"品牌飲料58箱；

方案4：購進(jìn)4品牌飲料43箱，3品牌飲料57箱.

方案設(shè)計(jì)型問題要求以方案設(shè)計(jì)的形式解決數(shù)學(xué)問題，問

題情境包含實(shí)際問題情境和數(shù)學(xué)問題情境，設(shè)計(jì)目標(biāo)有圖形

設(shè)計(jì)問題.測量方案問題.經(jīng)濟(jì)方案問題等，它一般包括

〃問題情境一模型建立一解釋、應(yīng)用和拓展”等具體求解

過程.通常在實(shí)際問題中通過建立不等關(guān)系，再利用不等關(guān)

系得一個變量的特殊值，從而確定方案及最佳方案確定問題

的求解，可先根據(jù)題設(shè)條件確定函數(shù)關(guān)系和自變量的不等式

（組），再利用函數(shù)的性質(zhì)確定方案和最佳選擇.

?熱考二關(guān)于不等式（組）與方程（組）綜合題

例2[2012?自貢]暑期中，哥哥和弟弟二人分別編

織28個中國結(jié)，已知弟弟單獨(dú)編織一周（7天）不能完成

而哥哥單獨(dú)編織不到一周就已完成，哥哥平均每天比弟

弟多編2個.

求：（1）哥哥和弟弟平均每天各編多少個中國結(jié)？

（答案取整數(shù)）

（2）若弟弟先工作2天，哥哥才開始工作，那么哥哥

工作幾天，兩人所編中國結(jié)數(shù)量相同？

解：(1)設(shè)弟弟每天編X個，則哥哥每天編(X+2)個，那

f7x<28,

/(x+2)>28,解得2<x<4?

「X取整數(shù)，?.x=3.

x+2=5f故哥哥每天編5個,弟弟每天編3個.

(2)設(shè)哥哥工作加天，兩人所編數(shù)量相同，

貝U3(m+2)=5m,

解得m=3.

答：⑴哥哥平均每天編5個，弟弟平均每天編3個；

(2)若弟弟先工作2天，則哥哥工作3天時，兩兄弟所編

中國結(jié)數(shù)量相同.

在實(shí)際問題中找出等量關(guān)系或不等關(guān)系,建立方

程（組）和不等式（組）模型,進(jìn)而求解.

?熱考三關(guān)于函數(shù)應(yīng)用題

例312雞西］黃巖島是我國南沙群島的一個小島，漁產(chǎn)豐富，一天某漁

船離開港口前往該海域捕魚，捕撈一段時間后，發(fā)現(xiàn)一艘外國艦艇進(jìn)入我國水域向

黃巖島駛來，漁船向漁政部門報(bào)告，并立即返航.漁政船接到報(bào)告后，立即從該港

口出發(fā)趕往黃巖島,圖Z1-1是漁政船及漁船與港口的距離S和漁船離開港口

的時間，之間的函數(shù)圖象.（假設(shè)漁政船及漁船沿同一航線航行）.

⑴直接寫出漁船離港口的距離s和它離開港口的時間r的函數(shù)關(guān)系式;

⑵求漁船和漁政船相遇時，兩船與黃巖島的距離；

⑶在漁政船駛往黃巖島的過程中?求漁船從港口出發(fā)經(jīng)過多長時間與漁政船

相距30海里？

解：(1)當(dāng)0q45時，S=30Z；

當(dāng)5VH8時，S=150；

當(dāng)8</<13時，S=-30E+390.

(2)漁政船離港口的距離與漁船離開港口的時間的函數(shù)關(guān)系

式設(shè)為S=kt+b.

=8k+br缶二45,

34解得《

[150=3k+b.[b=-360,

.S=45/-360.

產(chǎn)45￡-360,解得卜=90r

由

[5=-301+390.10.

答：漁船和漁政船相遇時，兩船離黃巖島的距離為90海里

(3)S魚=-30,+390,

=

S漁政45%-360.

分兩種情況：

①當(dāng)S漁-5漁政二30時，

霸噌：招3陽4。)=3。，

②當(dāng)S漁政-S漁二30時，

胎”他聲卷挪。)=3。，

答：漁船離開港口9.6小時或10.4小時時，兩船相

距30海里.

在實(shí)際問題或數(shù)學(xué)問題中建立函數(shù)模型后,

利用函數(shù)的最大（小）值可求最大利潤.最大面

積,最佳方案等問題.

A熱考四關(guān)于解直角三角形應(yīng)用題

例42012?揚(yáng)州］如圖Zl-2r一艘巡邏艇航行至海面

B處時，得知正北方向上距5處20海里的。處有一漁船發(fā)

生故障，就立即指揮港口A處的救援艇前往C處營救.已知

C處位于A處的北偏東45。的方向上，港口A位于B處的北

偏西30。的方向上.求A.C兩處之間的距離.(結(jié)果精確到

0.1海里.參考數(shù)據(jù)：產(chǎn)L41,干L73)

羋

Z1-2

解：過點(diǎn)A作ADrBC,垂足為D.

由題意可知”二30。，ZACD=45°f得△4DC是等腰

9

直角三角形fDC=4。.設(shè)AD=x,貝1]DC=x.

在Rt^ADB中.tanBAD

=DB

：DB=4°=---=3x.

tanBtan30O3

u10.3（海里）.

答：A.C間的距離為10.3海里.

在實(shí)際問題或數(shù)學(xué)問題中建立直角三角形模型

后，利用直角三角形的邊角關(guān)系等知識解決問題.

二熱考五關(guān)于統(tǒng)計(jì)概率應(yīng)用題

例512012?安陽一模］某校為了了解今年九年級400名

學(xué)生體育加試成績情況，體育老師從中隨機(jī)抽取了40名學(xué)

生，圖Z1-3為體育老師沒有繪制完成的這40名學(xué)生的體

育加試成績（滿分為30分，成績均為整數(shù)）的頻數(shù)分布直方

請結(jié)合圖形解答下列問題：

⑴求被抽取的這40名學(xué)生中體育加試成績在27.5?30.5

這一小組的頻數(shù)并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；

⑵若在所抽取的這40名學(xué)生中隨機(jī)訪問一名學(xué)生，被

訪問的學(xué)生成績在25分以上（含25分）的概率是多少？

⑶如果成績在25分以上（含25分）的同學(xué)屬于優(yōu)秀，請

你估計(jì)全校九年級約有多少學(xué)生達(dá)到優(yōu)秀水平？

解：(1)12

補(bǔ)全后的圖形如圖：

(2).?抽查的25分以上現(xiàn)人數(shù)再16+12=28(A).

??/(成績25分以上)二空二二.

~40~10

(3)估計(jì)全校優(yōu)秀人數(shù)約為400x4.=280(A).

統(tǒng)計(jì)概率的應(yīng)用，首先要仔細(xì)觀察.閱讀題目所提供

的材料，從中捕捉有關(guān)信息（如數(shù)據(jù)間的關(guān)系與規(guī)律,

象的形狀特點(diǎn).變化趨勢等）■然后對這些信息進(jìn)行加工

處理，并聯(lián)系相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，從而實(shí)現(xiàn)信息的轉(zhuǎn)換，使

問題順利獲解.

探究性幾何證明題是一種新題型，主要有下列兩種描述:

⑴答案不固定或者條件不完備的習(xí)題稱為開放題；（2具有多種

不同的解法或有多種可能的解答的問題稱為開放題.

探究性幾何證明題的特點(diǎn)是：⑴條件多余需選擇，條件不

足需補(bǔ)充；⑵答案不固定；⑶問題一般沒有明確的結(jié)論，沒有

定的形式和方法，需要自己通過觀察.分析.比較.概括.

推理.判斷等探索活動來確定所需求的結(jié)論或條件或方法，因

而解題的策略是將其轉(zhuǎn)化為封閉性問題.

探究性幾何證明題常見的類型有：⑴以三角形為載體的條

件探究題；⑵以四邊形為載體的條件探究題；（3）代數(shù)與幾何綜

合的條件探究題.

?熱考一以三角形為載體的條件探究題

例1[2012?義烏1如圖Z2-1f在△ASC中，點(diǎn)O

是BC的中點(diǎn)，作射線AD,在線段AD及其延長線上分

別取點(diǎn)E.F,連接CE.區(qū)足添加一個條件，使得包。尸

、△CDEf并加以證明.你添加的條件是

.（不添加輔助線）

圖Z2-1

解：添fi由淵隹：DE=或CEIIBF或NECD

=乙DBF或乙DEC=NDFB

等）.證明：在包。尸和

&CDE中，

^BD=CD,

??4ZEDC=ZFDBf

[DE=DF,

,CBDF2CDE.

解以三角形為載體的條件探究題的一般思路

是：由已知的結(jié)論反思題目應(yīng)具備怎樣的條件，即

從題目的結(jié)論出發(fā)，結(jié)合圖形挖掘條件，逆向追索.

逐步探尋，是一種分析型思維方式.它要求解題者

善于從問題的結(jié)論出發(fā)，逆向追索,多途尋因.

?熱考二以四邊形為載體的條件探究題

例22012?綏化已知，點(diǎn)E是矩形A笈CO的對角線8。上一

點(diǎn),且BE=BCtAB=3,BC=4，點(diǎn)尸為EC上的一動點(diǎn),且PQ

于點(diǎn)。，PR上BD于點(diǎn)R.

（1）如圖Z2-2（甲），當(dāng)點(diǎn)尸為線段EC中點(diǎn)時,易證：PR+PQ

12

■

"5'

⑵如圖（乙），當(dāng)點(diǎn)P為線段EC上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)反點(diǎn)C重

合）時,其他條件不變，貝!1（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給

予證明；若不成立，請說明理由；

⑶如圖（丙）.當(dāng)點(diǎn)P為線段EC延長線上的任意一點(diǎn)時，其他條

件不變，則PR與PQ之間又具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的

猜想.

解：(2)圖乙中結(jié)論P(yáng)R+PQN仍成立.

5

證明：如圖1連接BP,過C點(diǎn)作CKLBD于點(diǎn)K,

.四邊形4ECQ為矩形，二NECQ=90。，..6。二5.

\S-HCD=-BC-CD=IRDCK，二3X4=5CK，,CK=—.

225

十%Q?BC.

方法--SJCES嚴(yán)SHCP,.LBE,CK-PR-BE

1jj222

文；BE=BC，.-CK--PQr

212

,CK-PR^PQ雪N.

即u

方法二：如圖2,過點(diǎn)尸作PMLCK于M,

四邊形PAKW為矩形，.DKIIPA/,PMWRKf

,/BEC=^MPC.

又\BE-BCt.ABEC=AECB-AMPC.

=zLCQP=90°.PC=PC.

?.△PMC2CQP,

.MC=PQr

12

CK=KM+MC=PR+PQ=;

(3)尸K-PQ—

=5*

解以四邊形為載體的條件探究題時要充分利用已知條

件或圖形特征，進(jìn)行猜想■歸納.類比，透徹分析出給定

條件下可能存在的結(jié)論現(xiàn)象，然后經(jīng)過論證作出取舍，

這是一種歸納類比型思維.它要求解題者充分利用條件進(jìn)

行大膽而合理的猜想，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論，這類題主要

考查解題者的發(fā)散性思維能力和知識應(yīng)用能力?

?熱考三代數(shù)與幾何綜合的條件探究題

例312012?烏魯木齊］如圖Z2-3，已知點(diǎn)4(?12,0)fB(3,0)

點(diǎn)C在y軸的正半軸上，且NACE=90°.(1)

求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

⑵求Rt-ACB的角平分線CD所在卓線I的解析式；

⑶在/上求點(diǎn)P,使其滿足S=、S；

△PBC2&AriC

(4)已知點(diǎn)W在/上，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N,便以O(shè).C.M

N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接

寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在.請說明理由.

圖Z2-3

解：(l)^AOC-^COB,可得Oa=OAxOV=36f

.\\OC\=6.

又點(diǎn)。在y軸的正半軸上，故點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,6).

又由|。4|>|。困，知點(diǎn)。在線段04上，。的二3,所以|。。|=2.故點(diǎn)

D(-2,0)；

設(shè)直線I的關(guān)系式為：y二奴+。，把C(0,6)和D(-2,0)代入y=Ax+b中

得"6，解之，得H=3,

故直線/的關(guān)系式為j=3x+6<

I-2&+力=0.tb=6,

⑶①取AB的中點(diǎn)網(wǎng)-4.5,0），過點(diǎn)尸作BC的平行線交直線

，于點(diǎn)P,連接CF.

易知S△尸仍。==一S.，點(diǎn)Pi為符合題意的點(diǎn).

直線PxF可由直線BC向左平移波方|個單位得到（即向左平移

7.5個單位）

而直線6C的關(guān)系式為y=-2x+6,

即直線P1F的關(guān)系式為j=-2(x+7.5)+6,

fj=-2x-9,

即y=2-9,由］得點(diǎn)必(-3,-3).

Ly=3x+6.

②在直線i上取點(diǎn)Pl使CP2=CP1,此時wsA,P1BC°"QC

1

=2s-ACB1,.點(diǎn)B符合題意?

由CPz=CP\,可得點(diǎn)Pi的坐標(biāo)為(3J5)，,二點(diǎn)P(-3

-3)或P(3J5)可使S=kS?

△PBC2-AVC

(4)存在點(diǎn)N分別為(1,3),］贊，-鐺，

代數(shù)與幾何綜合的條件探究題，題目一般是融代數(shù).幾

何為一體的綜合性問題，注重對數(shù)學(xué)思想方法.探索性思維

能力和創(chuàng)新思維能力的考查，涉及的知識比較多.這種類型

的試題的處理方法一般需要幾何題的處理方法，代數(shù)的計(jì)算

手段，創(chuàng)新和綜合運(yùn)用所學(xué)知識，建立合理的數(shù)學(xué)模型，從

而使問題得以解決.解題方法一般不惟一或解題路徑不明確

要求解題者不墨守成規(guī)，敢于創(chuàng)新，積極發(fā)散思維，優(yōu)化解

題方案和過程.

W釉藕題

中考的新題型是近幾年中考試題的一個考試熱點(diǎn)之一，這

類試題取材廣泛，題目的靈活性較大，它要求學(xué)生在較短的

時間內(nèi)，在理解材料的基礎(chǔ)上，獲得探索解決問題的方法,

從而加以運(yùn)用，解決實(shí)際問題.試題呈現(xiàn)形式有純文型（全部

用文字展示條件和問題）.圖文型（用文字和圖形結(jié)合展示條

件和問題）,表文型（用文字和表格結(jié)合展示條件和問題）.改

錯型（條件.問題.解題過程都已展示，但解題過程可能要改

正）.這類題型常出現(xiàn)的類型有：規(guī)律探索.閱讀理解和圖形

變換與動手操作等，它很好的考/學(xué)生適應(yīng)新情況，探究新

方法.解決新問題的學(xué)習(xí)潛能與創(chuàng)新精神.

?熱考一規(guī)律探索

例1[2012?寧波]用同樣大小的黑色棋子按如圖Z3

-1所示的規(guī)律擺放：

⑴第5個圖形有多少顆黑色棋子?

(2)第幾個圖形有2013顆黑色棋子？請說明理由.

第R個第2個第3個第4個

圖Z3-1

［解析］(1)根據(jù)圖中所給的黑色棋子的顆數(shù)，找出其

中的規(guī)律，即可得出答案；

(2)根據(jù)⑴所找出的規(guī)律，列出式子，即可求出答案

解：(1)第一個圖需根子6顆，第二個圖需棋子9顆,

第三個圖需棋子12顆，第四個圖需棋子15顆,

第五個圖需祖子18顆，…

第〃個圖需棋子35+1)顆.

⑵第670個圖形有2013顆黑色棋子.理由如下：

設(shè)第，i個圖形有2013顆黑色棋子，

根據(jù)⑴得3(n+1)=根據(jù),解得w=670f

答：(1)第5個圖形有18顆黑色棋子.

⑵第670個圖形有2013顆棋子.

規(guī)律探索常見類型：（1）數(shù)字猜想型；（2）數(shù)式規(guī)律

型；（3）圖象變化猜想型；（4）數(shù)形結(jié)合猜想型；（5）坐

標(biāo)變化型.要求通過觀察，分析，推理,探求其中所蘊(yùn)

含的規(guī)律，進(jìn)而歸納或猜想出一般性的結(jié)論.

A熱考二閱讀理解

例22。1。咸寧］如圖Z3-2①，矩形MNPQ中，點(diǎn)&F、G、H分別在

NP.尸。、。林MN上.gzl=z2=z3=z4,則稱四邊形EFGH為矩形MNPQ

的反射四邊形?圖②、圖③，圖④中，四邊形43co為矩形，且48=4,BC=8.

［理解與作圖］

(1)在圖②.圖③中，點(diǎn)E,萬分別在5C.CD邊上，試?yán)谜叫尉W(wǎng)格在圖

上作出矩形ABCD的反射四邊形EFGH；

［計(jì)算與猜想］

⑵求圖②、圖③中反射四邊形EFGH的周長,并猜想矩形ABCD的反射四邊

形的周長是否為定值?

［啟發(fā)與證明1

⑶如圖④，為了證明上述猜想，小華同學(xué)嘗試延長G/交8c的延長線于M,

試?yán)眯∪A同學(xué)給我們的啟發(fā)證明⑵中的猜想.

rj：br->

解：⑴作圖如下：

⑵在圖②中.EF=FG=GH=HE=^22+42=20=2vM,

!1!邊形EFGH的周長為875.

江圖③中,EF=GH=J22+I2=5.FG=HE=^32+62=\;，45

=3后

四邊形EFG//的周長為2x75+2x3^5=875.

猜想：矩形ABCZ?的反射四邊形的周長為定值.

(3)證法一：延長GH交CB的延長線于點(diǎn)N.

.N1=N2,Nl=N5,

「.N2=N5.

而FC=FCf,Rt^FCE^Rt^FCM.

.EF=MF,EC=MC.

同理:NH=EH.NB-EB.

,,MN=2BC=16

?/ZM=90O-Z5=90°-Z1,NN=90。~N3,

.NAf=Z7Vr.GM=GN.[

過點(diǎn)G作GK_L3C于K,貝UKAf-MN=

一2

,GM=\JGK2+KM2=\J42+82=4M,

!1!邊形EFGH的周長為2GM=875.

證法二:.21=N2,Nl=N5,..N2=N5.

而FC-FC,.Rt△產(chǎn)CEMRt△尸C/.

：EF=MF,EC=MC.

???ZM=90°-N5=90°-Z1.匕HEB=90O-Z4r

而N1=N4，.=NA/=NHEB,

??.HEHG尸.同理：GHWEF.

??四邊形EFGH是平行四邊形?

/FG=H￡：.rT0Zl=Z4f

/Rt△FDG^Rt△HBE.：DG-BE.

過點(diǎn)G作GKLBC于K.貝!]KNl-KC^CM=GD+CM=BE+EC=8.

2222

/.GM=yjGK+KM=\；4+8=W5y

??四邊形EFGH的周長為2GM=875.

＞熱考三圖形變換與動手操作

例32012?資陽如圖Z3-3，在公4笈。中/C二90。

將△AHC沿直線MN翻折后，頂點(diǎn)C恰好落在AB邊上的點(diǎn)

D處，已知MNWAB,MC=6,NC=沖，貝!J四邊形M4笈N

的面積是（C）

A.6電12^3C.183D?243

［解析］連接CD,交MN于E,

.將沿直線MN翻折后，頂點(diǎn)C恰好落在A夕邊上的點(diǎn)。處.

.MN_LCDt^CE=DEt.CD=2CE,

2

S^CMNCE』

MN\\AB,.CD±AB,.△CMN-△C4〃，二--------=-----2=-

CD

??在△CMN中,"=90。.MC=6.NC=lj3

SACMN-一CM?CN--x6x2

22

===

???SACAB4sAeMN4x6\b24A/5T

S四邊形=S^CAB-$4即=24小-64=18G.

在已有知識的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)一個全新的數(shù)學(xué)情景，通

過閱讀解題過程，領(lǐng)悟它所運(yùn)用的數(shù)學(xué)知識,思想、方法

再模仿運(yùn)用來解決問題.解題關(guān)鍵是吃透材料中體現(xiàn)的解

題策略，探索新的問題的解題方法.

)ill幡撇頻

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識的進(jìn)一步提煉和升華，數(shù)學(xué)方法是

實(shí)施有關(guān)數(shù)學(xué)思想的一種方式,途徑.解決數(shù)學(xué)問題除了需

要有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識外，還需要一定的方法和技巧，更需要

靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想，才能使問題化難為易，變繁

為簡，準(zhǔn)確把握各種數(shù)學(xué)思想和方法，可以拓寬解題的思

路.縱觀河南省近年中考試題中每一類題都有數(shù)學(xué)思想方法

的滲透.

常見的教學(xué)思想方法有：分類討論，數(shù)形結(jié)合，化歸轉(zhuǎn)

化，函數(shù)思想，方程思想等.

?熱考一分類討論

例1[2012?三門峽實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模]如圖Z4?1,一次函數(shù)j

m

=fcx+2的圖象與x軸交于點(diǎn)B,與反比例函數(shù)y=一的圖象的一

個交點(diǎn)為A(2,3).

(1)分別求出反比例函數(shù)和一次函數(shù)的關(guān)系式；

⑵過點(diǎn)A作ACrx軸，垂足為C,若點(diǎn)尸在反比例函數(shù)圖象

上，旦△尸5C的面積等于18,求尸點(diǎn)的坐標(biāo).

圖Z4-1

解：⑴把代入

A(2J)y=-得m=6.

.?該反比例函數(shù)表達(dá)式商工

吟理坡借盤齒裝送次為復(fù)駕崗3?解得k={

(2)令%+2=0,解得x=?J即6(-4,0).

VAC-LxSf,..C(2,0)?.1。=6.設(shè)P(x,y)f

；S=^-BO\y\=18f：.y=6或,=-6.

△PRC[\2

分別代入產(chǎn)，得用=1或X2=-1.

.尸點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,6)或(■1,-6).

分類討論的因素較多，歸納有以下幾個方面：①與數(shù)

學(xué)概念.定義有關(guān)的分類討論；②涉及數(shù)學(xué)運(yùn)算法則或定

理.公式的適用范圍的分類討論；③由數(shù)學(xué)變形所需要的

限制條件所引起的分類討論；④由于圖形的不確定性引起

的分類討論；⑤由于題目含有字母而引起的分類討論.解

決這些問題時，要認(rèn)真審題，全面考慮，根據(jù)其數(shù)量差異

與位置逐一討論,做到不重不漏，條理清晰.

?熱考二數(shù)形結(jié)合

例212,海南1如圖Z4?2.頂點(diǎn)為尸(4,?4)的二次函數(shù)圖象經(jīng)過原

點(diǎn)0(0,0),點(diǎn)A在該圖象上，OA交其對稱軸/于點(diǎn)M,點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)尸對

稱.連接AN、ON.

⑴求該二次函數(shù)的關(guān)系式；

⑵若點(diǎn)A的坐標(biāo)是(6,?3),求AANO的面積；

(3)當(dāng)點(diǎn)A在對稱軸/右側(cè)的二次函數(shù)圖象上運(yùn)動，

請解答下列問題：

①證明：NANM二

②認(rèn)NO能否為直角三角形？如果能，請求出所有符合條件的點(diǎn)A的坐

標(biāo)，如果不能，請說明理由.

解：(1)=二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為P(4,-4)r

.?設(shè)二次函數(shù)的關(guān)系式為j=a(x-4產(chǎn)一4.

又?.二次函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn)代,。)1

I,即―

.?.0=a(0?4)2?4,解得。=-

二次函數(shù)的關(guān)系式為y=K-4)

kx,將A(6,4-3)代入得-3=6k,

⑵設(shè)彎線OA的函數(shù)關(guān)系式為j=

解得k=1

??直線的函數(shù)關(guān)系式為9=，［把*=4代入戶-工得-2.

12

/.Af(4,-2).

又..點(diǎn)A/,N關(guān)于點(diǎn)尸對稱，/V(4,-6),MN=4.

?c__——*6x4-12?

⑶①證明：作AH±x軸于H,如圖1,

(12)

設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為m,m-2m{m>4)

I4)f

則==12

一m，

4

由AOMD-OAH,得

DM^AH'

得DM=8-m..M(4,m-8).

??點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)P對稱.，券(4,-m),

則直線4N的函數(shù)關(guān)系式為y--2m.

4"

,.直線AN與x軸交于點(diǎn)3(8,0),

..OD=〃￡>=4：.DN±OB.

?.ON=BN.???乙ANM=4ONM.

②能.由題意可知NANO不可能為直角.

當(dāng)ZAON=90。時,如圖2,此時M(4,m-8),

..點(diǎn)MN關(guān)于點(diǎn)P系秋^,「N(4,m).一.DN=m.

^ilE△OMD-△NOD,「.---=12^L.?.i6=〃z(j〃-8)r

DMOD

解得mi=4+4A/1,mi=4-4\2(不合題意舍去)，

/.A(4+4A/2.4)一

當(dāng),O4N=90°時?作4早_Lx軸于NE±AH^E.

2

則OH=mfAH=2m--〃產(chǎn).N(4,-m).：.AE二一-m,

44

NE=m-4.易證△04〃?AA/VE.

OHAE

N/T解得nll=’吸=4（不合題意舍去）.

「.△ANO能為直角三角形，此時A（4+4電，4）.

用數(shù)形結(jié)合思想解答的題目常常有利用幾何圖形直

觀表示數(shù)的問題；解決函數(shù)與圖象的問題；運(yùn)用數(shù)量關(guān)

系來研究幾何圖形問題等；這些問題要把代數(shù)式的精確

刻畫與幾何圖形的直觀描述相結(jié)合，進(jìn)而探求解題思路.

.

熱考三函數(shù)思想

例32()12?烏魯木齊］如圖Z4-3是一個拋物線形拱橋

的示意圖，橋的跨度AB為100米，支撐橋的是一些等距的

立柱，相鄰立柱的水平距離為10米(不考慮立柱的粗細(xì))，其

中距A點(diǎn)10米處的立柱FE的高度為3.6米.

(1)求正中間的立柱的高度；

⑵是否存在一根立柱，其高度恰好是OC的一半？請說

明理由.

AFOB

圖Z4-3

解：⑴根據(jù)題意可得中間立柱OC經(jīng)過AB的中點(diǎn)O.

以點(diǎn)O為原點(diǎn).以AB所在的直線為x軸，建立直角坐

標(biāo)系.

問題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)C的縱坐標(biāo).

\OF\=OA-FA=40(米),故8(50,0),E(-40,3.6).

設(shè)拋物線的關(guān)系式為J=f/+cj]

502a+c=0f

解得《a250

2+c=

[40a3.6,1c=10.

-y=-嗜產(chǎn)+10f當(dāng)X=0時，y=10.

即正中間的立柱OC的高度是10米.

(2)設(shè)存在一根立柱的高度是OC的一半，即這根立

柱的高度是5米.

則有5=-志工2+10.解得：X=±25隹

?.相鄰立柱之間的間距為10米，最中間的立柱OC

在y軸上，

根據(jù)題意每根立柱上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為10的整數(shù)倍，

/.x=±25而與題意不符，

.不存在一根立柱，其高度恰好是OC高度的一半.

函數(shù)思想就是用運(yùn)動.變化的觀點(diǎn)來觀察.分析問

題，把所研究的問題納入某個變化過程中，根據(jù)問題的

條件及所給的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系，使問題在函數(shù)

關(guān)系中實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化.

二熱考四方程思想

期。42包頭|如圖Z4-4,在RBABC中，zC=90°fAC=4cmfBC

=5cmr點(diǎn)。在8c上■且C￡>=3cm.現(xiàn)有兩個動點(diǎn)尸、Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B同

時出發(fā)，其中點(diǎn)P以1厘米做的速度沿AC向終點(diǎn)C運(yùn)動，點(diǎn)。以1.25厘米解

的速度沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動.過點(diǎn)尸作PEIIAC交4。于點(diǎn)E.連接EQ.設(shè)動點(diǎn)運(yùn)

動時間為，秒”>0).

⑴連接。乙出1秒后，四躋EQDP能夠成為平行四邊形嗎？請說明理由

⑵連接PQ,在運(yùn)動過程中，不論1取何值時,總有線段PQ與線段AB平行

為什么？

(3)當(dāng)，為何值時，△EDQ為直角三角形?

4r

解：（1）能?理由如下：經(jīng)過1秒后，。。=5-3-1.25

=0.75.0ZJEPWBC,所以?△4￡>CAP

,所以〉二

EP1EP

EP

℃,所以4=3，又因?yàn)?0,75.所以EP=DQt所以

!1!邊形EQDP是平行四邊形.

(2)CQ=5-L25t,CP=4-tCO5-1.25/

，所以Y一1

JDC0

4-ZCP4-ZCQCP

T，U二1’所以旅=恁，所以△C0P-C..

所以NPQC=NABC,所以P0IIAR故不論，取何值時,

總有線段PQ與線段AB平行.

4r

⑶由題意可知，當(dāng)。位于C。之間時，A￡。。切解力直角三角形.

若NEQD為直角，貝必瓦DQ相似于AAOC.即空二匹一

EQAC=4'

列出方程：3?(5?L25f)3

4-/=4.得，=25

DE

若NDEQ為直角，貝！|△EQQs△CrM.艮口—DC.3

^DQ-AD5*

圻以"="=",AD=5AE=l.25t.

因?yàn)镴OC相似于乂律，ff

ADAC4

所以DE-AD-AE=5-1.：251,￡＞。=3-(5-1.250.

列出方程：5-1.25/=；3,得j=3.l.

3-(5-L25r)

經(jīng)臉證，f=2.5和f=3.1都符合題意?

綜上所述，當(dāng)，=2,5或/二；11時，△E。。為直角三角形.

方程思想就是根據(jù)題設(shè)設(shè)定合適的未知數(shù)，并

通過列方程（組）來求解的思維方法，可使問題簡單

明了，易于解決.

中考壓軸題是中考必不可少的試題，這類題一般是

融代數(shù),幾何為一體的綜合性問題,運(yùn)動型問題，此類

題注重對數(shù)學(xué)思想方法，探索性思維能力和創(chuàng)新思維能

力的考蟄，涉及的知識點(diǎn)比較多，信息量大，題目靈活

多變，要求學(xué)生有較高的分析問題、解決問題的能力.它

符合課標(biāo)對學(xué)生能力提高的要求.

--n

?熱考動點(diǎn)問題與圖形運(yùn)動問題

例1⑵棗莊1如圖Z5?1,在平面直角坐標(biāo)系中.將一塊等腰直角三角板

45c斜靠在兩坐標(biāo)軸上放在第二象限，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-1,0).3點(diǎn)在拋物線

J：%、9.2上.過點(diǎn)方作軸,垂足為D,且B點(diǎn)橫坐標(biāo)為-3.

⑴求證：^BDC^COA；

(2)求所在直線的函數(shù)關(guān)系式；

⑶拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P,使MCP是以AC為直角邊的直角三角

形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

圖Z5-1

解：⑴證明：^^BCD+^ACO=90°,NACO+NOAC=90。，

../3。。=/。4。??243。為等腰直角三角形,.BC=AC.

j，EDC=，CO4=900,

在△BDC左口ACYM中，〈N#CO=NOAC,.QBD84c

[BC=ACR

（2）?.?C點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0）■.BD=CO=1.

?B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-3一.B點(diǎn)坐標(biāo)為（?3,1）.

r-Ar+A=0,

設(shè)HC所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b.則有4

1-3A+力=1.

解之，得f.BC所在直線的函數(shù)關(guān)系式為j=_2X_I

⑶存在.（、

二次函數(shù)表達(dá)式為y=I*+4-2=+Dp一旦,

22212）8

.?對稱軸為直線七1

--2-

若以AC為直角邊，點(diǎn)。為直角頂點(diǎn)，對稱軸上有一點(diǎn)G.使CPxA.AC.

1

.BC±AC，，點(diǎn)為直線與對稱軸直線

Pi3Cx_）的交點(diǎn).

111

y=■r.一，Xi=

222

由題意，得＜]解之，得

x=-1fJl=-

24

LT

J若以AC為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，對稱軸上有7點(diǎn)Pi,

使AP±ACt過點(diǎn)A作APIIBC.交對稱軸直線工二■一于點(diǎn)PJ

2

2

.CD=OAf/.A(0,2)?

易求得直線AP的關(guān)系式為y=-2+2,

22

□1

了=-，+2,X2=.),

由彳得

72=2.

〔，2、

/I2)

\24；

,?滿足條件的點(diǎn)有兩個坐標(biāo)分別為Pil-i-鞏?3

例2012*連云港|如圖Z5■2,拋物線y=-x2+frx+c與x軸交

于43兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)O為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)E在拋物線上

點(diǎn)?在x軸上!1!邊形OC￡尸為矩形，且O尸=2,EF=3.

⑴求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

⑵求△A5D的面積；

⑶將三角形AOC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G,問點(diǎn)

G是否在該拋物線上？請說明理由.

［解析］(1)在矩形OCE尸中，已知OF.商尸的長，先

表示出GE的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定該函數(shù)的

關(guān)系式.

⑵根據(jù)⑴的函數(shù)關(guān)系式求出A.反。三點(diǎn)的坐標(biāo),

以45為底。點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對值為高，可求出MHO的

面積.

⑶首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)條件求出G點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)G

的坐標(biāo)代入拋物線的函數(shù)關(guān)系式中直接進(jìn)行判定即可.

解：因?yàn)樗倪呅螢榫匦?

(1)OCEWOF=2,EF=3f

所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,3).把“二0“二3；"2,‘二3分別

代入J=--+床+c中得卜=3’解之得.c=3,

(3=-4+2。+c,b=2,

所以拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=-x2+2r+3.

(2)因?yàn)閥=?r2+2》+3=?(x?+4,所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4).

所以△43D中AB邊上的高為4,

令尸得3+解之得x\=所以

0.2*+3=0f-1,x2=3fAfi=3-(-1)=4.

于是一笈。的面積為:x4x4=8.

⑶切。。繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)90。，C。落在CE所在的直線上，又由⑵可知，OA

=1,所以點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(3,2).

當(dāng)*=3時，產(chǎn)-32+2x3+3=0^2,所以點(diǎn)G不在該拋物線上.

例312?欽州］如圖Z5-3甲，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A.3

的坐標(biāo)分別為(4,0).(03),拋物線y_③2+縱+，經(jīng)過點(diǎn)B,且對稱軸是

-4X

直線仁-

--T

圖Z5■3

⑴求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

⑵將圖甲中的△人笈。沿x軸向左平移得到△￡>(%：(如圖乙)，當(dāng)四邊

形ABCD是菱形時，請說明點(diǎn)