專題3.5垂徑定理（知識講解）

【學習目標】

1.掌握垂徑定理及其推論；

2.利用垂徑定理及其推論進行簡單的計算和證明.

【要點梳理】

知識點一、垂徑定理

1.垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

2.推論

平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

特別說明：

（1）垂徑定理是由兩個條件推出兩個結論，即

直徑［平分弦

垂直于我［=1平分弦所對的領

（2）這里的直徑也可以是半徑，也可以是過圓心的直線或線段.

知識點二、垂徑定理的拓展

根據圓的對稱性及垂徑定理還有如下結論：

（1）平分弦（該弦不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；

（2）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧：

（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.

特別說明：

在垂徑定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對的優弧、平分弦所

對的劣弧，在這五個條件中，知道任意兩個，就能推出其他三個結論.（注意：''過圓心、平

分弦”作為題設時，平分的弦不能是直徑）

【典型例題】

類型一、利用垂徑定理求值

@>1.如圖所示，A8是。。的一條弦，OD_LAB,垂足為E,交。。于點。、D.

(1)若NAQQ=52。，求NOOB的度數.

(2)若A8=2j7,ED=\f求CO的長.

【答案】(I)52°；(2)8

【分析】

(1)根據垂徑定理可得AD=BO,然后根據等弧所對的圓心角相等即可得出結論；

(2)設半徑是，根據垂徑定理即可求出AE,根據勾股定理列出方程即可求出r,從

而求出結論.

解：(1)VOD1AB,

：?AD=BD，

ZDOB=ZAOD=52°.

(2)設半徑是r,則QE=QD—EO=/—1.

??.AE=LAB=近,

2

在直角八4。七中，OE2+AE2=QA2,

則(「-1『+(萬了=/,

解得r=4,

則CQ=2r=8.

【點撥】此題考查的是垂徑定理和勾股定理，掌握結合垂徑定理和勾股定理求解是解

題關鍵.

舉一反三：

【變式I】如圖，在。O中，OC±^AB,垂足為點D,AB=6,CD=1.求。O

半徑的長.

【分析】垂徑定理是指垂直于弦的直徑平分弦且平分這條弦所對的兩條弧，據此解得

AD的長，再設半徑為r,由勾股定理解題即可.

解：???半徑0(：_1_弦AB,

/.AD=BD=-AB=-x6=3,

22

設OA=r,^OD=r-CD=r-\

在R/Z\AO￡>中，由勾股定理得，

OA2=OD2+AD2>即/=32+(r-l)2,

解得：r=5.

【點撥】本題考查垂徑定理、勾股定理等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關知識

是解題關鍵.

【變式2】如圖，OD是。。的半徑，AB是弦，且OD_LAB于點C連接AO并延長交

。。于點E,若AB=8,CD=2,求。O半徑OA的長.

【答案】r=5

【分析】先根據垂徑定理求出AC的長，設。O的半徑為r,在Rt/kOAC中利用勾股定

理求出r的值.

解：「ODJ"弦AB,AB=8,

11°

AC=—AB=—x8=4,

22

設。O的半徑OA=r,

.\OC=OD-CD=r-2,

在RtAOAC中，

r2=(r-2)2+42,

解得：r=5,

【點撥】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧是解

答此題的關鍵.

【變式3】如圖，中，直徑CDJ_弦AB于E,AMJ_BC于M,交CD于N,連

(1)求證：AD=AN：

(2)若AE=2上，ON=1,求。O的半徑.

【答案】(1)證明見解析;(2)3；

【分析】

(1)先根據圓周角定理得出NBAD=NBCD,再由直角三角形的性質得出

NANE=/CNM,故可得出NBCD=NBAM,由全等三角形的判定定理得出仆ANE^AADE,

故可得出結論；

(2)先根據AE的長，設NE=x,MOE=x-l,NE=ED=x,r=OD=OE+ED=2x-1,連結

AO,IJliJAO=OD=2x-l,在RtZkAOE中根據勾股定理可得出x的值，進而得出結論；

解：(I)證明：???NBAD與NBCD是同弧所對的圓周角，

.\ZBAD=ZBCD,

VAE1CD,AM1BC,

r.ZAMC=ZAEN=90°,

VZANE=ZCNM,

.\ZBCD=ZBAM,

.??NBAM=BAD,

在公ANE與4ADE中，

NBAM=/BAD

<AE=AE,

ZAEN=ZAED

AAANE^AADE,

AAD=AN；

(2),?，AE=2&,AE1CD,

XVON=1,

???設NE=x,則OE=x-l,NE=ED二x,

r=OD=OE+ED=2x-1

連結AO,WiJAO=OD=2x-l,

。巨.

???△AOE是直角三角形，AE=2夜，OE=x-l,AO=2x-l,

???(272)2+(x-l)2=(2x-l)2,

解得x=2,

r=2x-l=3.

【點撥】本題考查的是垂徑定理，勾股定理，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形

是解答此題的關鍵.

類型二、利用垂徑定理求平行弦

例’2.如圖，已知0O的直徑d=10,弦AB與弦CD平行，它們之間的距離為7,

且AB=6,求弦CD的長.

A

【答案】8

【分析】作OM_LAB于M,ONJ_CD于N,連接OA、0C,根據垂徑定理得到

AM=-AB=3

2f

根據AB〃CD,得到點M、O、N在同一條直線上，在RQAOM中，根據勾股定理求

出

OM=』ON-AM?=4,進而求出ON,在RsCON中，根據勾股定理求出

CN=J。。?—ON?=4,根據垂徑定理即可求出弦CD的長?

解：作OM_LAB于M,ON_LCD于N,連接OA、OC,

則AMJA6=3,

2

VAB/7CD,

???點M、0、N在同一條直線上，

在RSA0M中，OM7。曾-AM?=4,

AON=MN-0M=3,

在RsCON中，CN=y/0C2ON2=4,

VONICD,

ACD=2CN=8.

【點撥】考查勾股定理以及垂徑定理，作出輔助線，構造直角三角形是解題的關鍵.

舉一反三：

【變式1】如圖，四邊形ABCD是矩形，以AD為直徑的。O交BC邊于點E、F,

AB=4,AD=12.

求線段EF的長.

【答案】4石

【分析】作OM_LBC于M,連接OE,根據垂徑定理求出EF=2EM,求出0E和0M長,

根據勾股定理求出EM,即可求出EF.

VAD=12,

AOE=6,

在矩形ABCD中，OMJ_BC,

A0M=AB=4,

???在AOEM中，NOME=90°,

ME=\JOE2-OM2=A/62-42=2V5，

???線段EF的長度為4方.

【點撥】考查了勾股定理.、垂徑定理、矩形的性質等知識點，解題關鍵是構造直角三角形.

【變式2】如圖,A及在OO上,/W//C。經過圓心。的線段￡FJ_AB于點八

與CD交于點E.

⑴如圖1,當0。半徑為5,CO=4n，若￡F=3幾求弦AB的長；

(2)如圖2,當半徑為V30,CO=2遙，若03_LOC,求弦AC的長.

【答案】(1)8(2)6后

【分析】

(1)連接08、OC,杈據垂徑定理求出。￡的長，因為EF=BF，進而在用A80F中

根據勾股定理求出8歹長，所以求出A3的長即可；

(2)連接46.過點D作。MIAC干點M,根據勾股定理和垂徑定理求出OE,可以

證明ABR9級zXOEC,進而求出￡尸的長，根據所做的輔助線。M_LAC,可得AOMC為

等腰直角三角形，所以可以求出DW的長，然后根據

SMDC.=-xDCxEF=-xACxDM,進而求出AC的長：

解：解：(1)連接08、0C，根據垂徑定理求出。E的長，

即：0E=y10C2-CE2=>/25-24=b

?.EF=BF,

設=則。尸二工一1,

由勾股定理得：

BF2=OB2-OF2,

即：x2=25-(x-1)2,

解得：x=4、

...AB=2BF=2x4=8;

⑵連接A8,過點D作。MJ_AC于點M,如圖所示:

?.?EF_Lg

???在心AOEC中根據勾股定理可得：

OE2=OC2-EC2.

OE=V30-6=2瓜,

?：OB1OC，

NFOB+/EOC=9b,

而/FOB+NFBO=90，

;.NEOC=/FBO,

又???在ABFO和AOEC中，

BO=OC

-NEOC=NFBO,

NBFO=ZOEC

:.\BFO^AOEC.

:.FO=EC,

:.EF=OE+OF=OE+EC=3瓜

vNBOC=90,

/.ZBAC=45，

ABDC,

NBAC=ZACD=45",

?.?DM_LAC,

.?.△DMC為等腰直角三角形,

DM=CM=—DC=2xf3,

2

把OM=26,。。=2而,E/=36代入到JxOCxM=JxACxDM

乙乙

中,

解得：AC=6瓜

【點撥】本題考查圓的知識點，要善于利用勾股定理和垂徑定理去解題，善于構造輔助

線去根據面枳相等去解題，最后代人求值.

【變式3】。。的半徑為10cm,AB,CD是。O的兩條弦，AB/7CD,AB=12cm,

CD=16cm,求AB和CD之間的距離.

【答案】2cm或14cm

【解析】分兩種情況進行討論：①弦A8和C。在圓心同側；②弦和CO在圓心異

側；作出半徑和弦心距，利用勾股定理和垂徑定理求解即可.

試題解析：①當弦A8和CO在圓心同側時，如圖I所示，

\*AB=16cw?CD=12cm,

.\AE=ScnhCF=6cm.

OA=OC=\Ocm,

/.EO=6cmfOF=Scm,

：.EF=OF-OE=2cm；

②當弦AB和CD在圓心異側時，如圖2所示，

;AB=16(/??,CD=12cm,

/.AE=Scm,CF=6cw.

OA=OC=\Ocin,

/.EO=6cnhOF=Scmt

/.EF=OF+OE=14c/??；

綜上所述：名8和CD之間的距離為2cm或14cm.

類型三、利用垂徑定理求同心圓問題

.已知在以點0為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于點CD（如圖）.

求證：AC=BD.

【答案】證明見解析.

【分析】過圓心O作OE_LAB于點E,根據垂徑定理得到AE=BE,同理得到CE=DE,

又因為AE-CE=BE-DE,進而求證出AC=BD.

則CE=DE,AE=BE,

:.BE-DE=AE-CE.

即AC=BD.

【點撥】本題考查垂徑定理的實際應用.

舉一反三：

【變式1】正方形網格在如圖所示的平面直角坐標系中，現有過格點A,B,C的一段

圓弧.請在圖中標出該圓弧所在圓的圓心D,并寫出圓心D的坐標.

y

【解析】連接AC,作AC的垂直平分線，交坐標軸與D,D即為圓心，根據圖形即可

得出點的坐標.

【變式2】如圖，兩個圓都以點O為圓心，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點.求證:

【答案】證明見解析.

［分析】方法1：過點0作OM±AB于M,由垂徑定理即可證明；方法2：連接OA、OB,

OC，ODf由等腰三角形的性質證明AQ4C3AO8。,即可證得.

解：如下圖，過點。作OM_LAB于M,

由垂徑定理可得AM=BM,CM=DM.

:?AM-CM=BM-DM,

即AC=BDx

方法2:如下圖，連接。A.08,0C，OD

則有。4=08,0。=QD

???4OAB=/OBA"OCD=ZODC，

???kOAC三bOBD

?**AC=BD.

【變式3】如圖，在以點。為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦A3交小圓于。、。兩

點.

（1）求證：AC=BD；

（2）連接0A、0C,若0A=6,0C=4,Z0CD=60°,求AC的長.

【答案】（I）見解析；（2）276-2

【分析】

（1）過點O作OE_LAB,由等腰三角形的性質，垂徑定理可知，AE=BE,CE=DE,故

可得出結論.

（2）根據題意，過點0作0EJ_AB,根據垂徑定理，和勾股定理，可以求出AE,CE,

的長，即可求出AC的長度.

解：（1）證明：如圖，過點。作OE_LAB于點E.

,OE.LAB,

:.AE=BE,CE=DE.

:.BE-DE=AE-CE,

即AC=BD.

(2)解：OE上AB,NOCO=60。,

/.ZCOE=30°.

???OC=4,

「.CE=2,OE=2g

OA=6，

/.AE=yJo^-OE2=府一(2揚2=2限

:.AC=AE-CE=2y/6-2

【點撥】本題考查了垂徑定理，勾股定理，根據題意作出輔助線，利用垂徑定理求解是

解答此題的關犍.

類型四、利用垂徑定理求其他問題

.如圖，AB是半圓。的直徑，C、D是半圓上的點，且OD_LAC于點E,連接

BE,BC,若AC=8,DE=2.

（1）求半圓的半徑長;

（2）求BE的長.

【答案】（1）5；（2）2萬

【分析】

（I）根據垂徑的求得AE=4,設半徑為r,則OE=r-2,根據勾股定理得到關于r的方程,

解方程即可求得半徑；

（2）根據勾股定理求得BC,進而根據勾股定理求得BE.

解：（1）?.OQ_LA。于點E且AC=8

:,AE=EC=-AC=4,

2

設半徑為，則QE=〃-2

在RtAAOE中有

產=4?+(—2)2

解得：r=5

即半圓。的半徑為5

(2)QA8為半圓。的直徑

/.ZC=90°,^=10

則BC=yjAB2-AC2=VlO2-82=6

在RiAACE中有

BE=y]BC2+CE2=V62+42=2713

【點撥】此題考查了更徑定理以及勾股定理.注意得到NC=90。，應用垂徑定理是關鍵.

舉一反三：

【變式1】已知：如圖，AB是。O的弦，半徑03OD分別交AB于點E、F,且

OE=OF.

求證：AE=BF.

【分析】利用垂徑定理得=再由等腰三角形“三線合一”的性質得

EM=FM.還可以連接OAO3,證明△AOEvMOF得A￡=M

證明：過點。作OM_LAB尸點M

則AM=BM

又＜OE=OF

EM=FM

:,AE=BF

【變式2】如圖，以點。為圓心的兩個同心圓中，大同的弦交小圓于點4c與

8。相等嗎？為什么？

【答案】相等，理由見解析.

【分析】過。作OE_LAB,根據垂徑定理得到AE二BE,CE=DE,從而得至ljAC=BD；

解：證明：作OE_LAB,

根據垂徑定理得AE=BE,CE=DE,

故BE-DE=AE-CE,

即AC=BD.

【點撥】本題考查的是垂徑定理，根據題意作出輔助線是解決本題的關鍵.

【變式3】如圖，在圓O中，弦AB=8,點C在圓O上(C與A,B不重合)，連接

CA.CB,過點O分別作OD_LAC,OE±BC,垂足分別是點D、E

(1)求線段DE的長：

⑵點O到AB的距離為3,求圓。的半徑.

C.

【分析】

⑴根據垂徑定理得出AD=DC,CE=EB,再根據三角形的中位線定理可得DE=gAB,

代入相應數值求出即可；

(2)過點O作OH_LAB,垂足為點H,則0H=3,連接0A,根據垂徑定理可得AH=4,

在RtAAHO中，利用勾股定理求出A0的長即可得答案.

解：(1)：OD經過圓心0,OD_LAC,

AAD=DC,

同理：CE=EB,

???口￡是4ABC的中位線，

:.DE=-AB，

2

VAB=8,

ADE=4；

(2)過點O作OH_LAB,垂足為點H,則OH=3,連接OA,

.\AH=BH=—AB,

2

VAB=8,

AAH=4,

在RSAHO中，AH2+OH2=AO2,

AAO=5,即圓O的半徑為5.

【點撥】本題主要考查了垂徑定理，涉及了三角形中位線定理、勾股定理等內容，熟練

掌握垂徑定理是解本題的關鍵.

類型五、垂徑定理的推論

?>5.已知：如圖，在0。中，CD是直徑，AB是弦，CDA.AB,垂足為E.求證：

AE=EB，AC=BC，AD=BD?

【答案】詳見解析

【分析】連接OA,0B,則。4二。3.然后根據軸對稱的性質解答即可.

證明：如圖，連接OA,0B,則。4=08.

乂?.c

直線CD是等腰.OAB的對稱軸，又是。0的對稱軸.

???沿著直徑CD所在直線折疊時，CD兩側的兩個半圓重合，A點和B點重合，AE和

BE重合，和BC，■。和8。分別重合.

；.AE=EB,AC=BC，AD=BD

【點撥】本題考查了垂徑定理的應用，解此題的關健是能正確理解定理的內容，注意:

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的每一條弧.

舉一反二:

【變式I】如圖，在口/IACO中，AO是的弦，8C是。。的切線，切點為B.

⑴求證：AB二BD；

(2)若48=5,40=8,求。。的半徑.

【答案】(I)證明見解析；(2)。。的半徑為二-

6

【分析】

(1)連接0B,根據題意求訐0B_LAD,利用乖仔定理求證：

(2)根據垂徑定理和勾股定理求解.

解：⑴

連接0B；交AD于點E.

???BC是。。的切線，切點為8,

：.OB±BC.

:.NO8C=900

*/四邊形ABC。是平行四邊形

：.AD//BC

???NOEO=NO8C=90°

???0￡_LAD

又,：0E過圓心0

?*,AB=BD

(2),??OEJ_AD,OA過圓心O

???AE=-AD=4

2

在1中，NAEB=90。，

BE=(AB?-AE?=3,

設。。的半徑為r,則0E=L3

在RQABE中，NOE4=90。，

OE^+AE2=OA2

25

即(r—3)2+42=r2?'./*=——

6

25

???OO的半徑為h

6

【點撥】掌握垂徑定理和勾股定理是本題的解題關健.

【變式2】如圖，Ab和CD是。。的弦，KAB=CDfE、產分別為弦4b、CD的中點,

證明：OE=OF.

【解析】根據平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧得到

OE±AB,AE=BE,OF±CD,CF=DF,由于AB=CD,則AE=CF,然后根據“HL”可判斷

RsAEO^RCACOF,于是得到OE=OF.

證明：連結OA、OC,如圖，

???E、F分別為弦AB、CD的中點,

AOE±AB,AE=BE,OF±CD,CF=DF,

VAB=CD,

Z.AE=CF,

在RtAAEO和RtACOF中,

AE=CF

AO=CO'

ARtAAEO^RtACOF(HL),

AOE=OF.

類型六、利用垂徑定理的實際應用

@6.校運會期間，小捷同學積極參與各項活動.在鉛球項目中，他擲出的鉛球在

場地上壓出一個小坑(圖示是其主視圖)，經測量，其中坑寬A8為8cm，小坑的最大深度

為2cm,請幫助小捷同學計算鉛球的半徑。4的長為多少？

O

人

【答案】5cm

【分析】先根據垂徑定理求出AD的長，設OA=rcin,則OD=(r-2)cm,再根據勾股

定理求出I?的值即可.

解：作OD1AB于D,如圖所示：

A

VAB=8cm,OD±AB,小坑的最大深度為2cm,

AD=—AB=4cm.

2

設OA=rcm,則0D=(r-2)cm

在RtAOAD中，

VOA2=OD2+AD2,即(r-2)2+42,

解得r=5cm；

即鉛球的半徑OA的長為5cm.

【點撥】本題考查的是垂徑定理的應用，熟知平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并

且平分弦所對的兩條弧是解答此題的關鍵.

舉一反三：

【變式1】一座跨河橋，橋拱是圓弧形，跨度(AB)為16米，拱高(CN)為4米,

若大雨過后，橋下河面寬度(DE)為12米，求水面漲高了多少米？

【答案】水面漲高了2米

【分析】

由垂仔定理可求得AN的長度，ON=OC-CN.AOnCO,在RsAON中.利用勾附定

理求得橋拱半徑，求水面漲高了多少實際是求MN的長度，建立直角三角形，利用勾股定

理把0M求出來，根據OM-ON即為所求MN長.

解：連接0D,

由題意得，OC_L/IB,

2

同理可得，DM=ME=--DE=6,

2

設圓弧形所在圓的半徑為R米，則。N=(R-4)米，

在RsAON中，OA^AI^+O^，即R2=82+(R-4)2,

解得：R=10,

???OM=yjoD2-DM2=V102-62=8,

則MN=OM-ON=2,

答：水面漲高了2米.

【點撥】此題考查的是垂徑定理和勾股定理，結合垂涇定理和勾股定理求解是解題關鍵.

【變式2】筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具,如圖1,明朝科學家徐光啟在《農

政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理.如圖2,筒車盛水桶的運行軌跡是以軸心O為圓

心的圓.己知圓心在水面上方，且圓被水面截得的弦A