2024-2025學年甘肅省蘭州市高二上學期10月月考數學學情檢測試題說明：本試卷分和兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘.答案寫在答題卡上，交卷時只交答題卡.一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.）1.已知直線的傾斜角為，方向向量，則（）A. B. C. D.2.已知等比數列的前項和為，且，則（）A. B. C. D.3.過點且與直線垂直的直線方程是（）A. B. C. D.4.已知數列滿足，，，則（）A. B. C. D.5.如圖所示，直線與的圖象可能是（）A. B.C. D.6.點到直線的距離最大時，其最大值以及此時的直線方程分別為（）A. B.C. D.7.已知等比數列有項，，所有奇數項的和為85，所有偶數項的和為42，則（）A.2 B.3 C.4 D.58.已知兩點，，直線與線段有公共點，則實數a的取值范圍是（）A B.C. D.二、多項選擇題：（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.）9.已知直線l：，則下列結論正確的是（）A.直線l的一個法向量為B.若直線m：，則C.點到直線l距離是2D.過與直線l平行的直線方程是10.（多選）在古希臘，畢達哥拉斯學派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，這些數叫作三角形數.設第n個三角形數為，則下面結論正確的是（）A. B.C.1024是三角形數 D.11.已知數列的各項均為正數，其前項和滿足，則（）A. B.為等比數列C.為遞減數列 D.中存在小于項二、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.經過兩直線2x+y-1=0與x-y-2=0的交點，且在兩坐標軸上的截距互為相反數的直線方程是___________．13.在數列中，，則的通項公式為____________.14.設，過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點，則的最大值____________．四、解答題（本大題共5小題，共計77分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知直線與直線.（1）當為何值時，與平行，并求與的距離;（2）當為何值時，與垂直.16.數列滿足，，.（1）通項公式；（2），求數列的前項和.17.已知直線，點.求：（1）直線關于點對稱的直線的方程；（2）直線關于直線的對稱直線的方程.18.已知直線.（1）求證：直線過定點；（2）若直線不經過第二象限，求實數取值范圍；（3）若直線與兩坐標軸的正半軸圍成的三角形面積最小，求的方程.19.定義：從數列中隨機抽取m項按照項數從小到大的順序依次記為，將它們組成一個項數為m的新數列，其中，若數列為遞增數列，則稱數列是數列的“m項遞增衍生列”；（1）已知數列滿足，數列是的“3項遞增衍生列”，寫出所有滿足條件的﹔（2）已知數列是項數為m的等比數列，其中，若數列為1，16，81，求證：數列不是數列的“3項遞增衍生列”；（3）已知首項為1的等差數列的項數為14，且，數列是數列的“m項遞增衍生列”，其中．若在數列中任意抽取3項，且均不構成等差數列，求m的最大值．2024-2025學年甘肅省蘭州市高二上學期10月月考數學學情檢測試題說明：本試卷分和兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘.答案寫在答題卡上，交卷時只交答題卡.一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.）1.已知直線的傾斜角為，方向向量，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據直線的斜率建立方程求解即可.【詳解】因為直線的傾斜角為，則直線的斜率，故.故選：B.2.已知等比數列的前項和為，且，則（）A B. C. D.【正確答案】C【分析】利用與的關系求出數列的通項公式，利用等比數列的定義可得出關于的等式，解之即可.【詳解】當時，，當時，，故當時，，因為數列為等比數列，易知該數列的公比為，則，即，解得.故選：C.3.過點且與直線垂直的直線方程是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據垂直關系設出直線方程為，代入點的坐標，求出答案.【詳解】與直線垂直的直線方程可設為，將代入可得，解得，故過點且與直線垂直的直線方程為.故選：B4.已知數列滿足，，，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】取倒數法求通項，將變形可得數列為等差數列，計算即可得.【詳解】，即，可得，又，即有數列是首項為1，公差為4的等差數列，可得，即.故選：D.5.如圖所示，直線與的圖象可能是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】分析兩直線的斜率以及在軸上的截距，可得出的符號，即可得出合適的選項.【詳解】直線方程可化為，斜率為，在軸上的截距為，直線方程可化為，斜率為，在軸上的截距為，對于A選項，由直線的圖象可得?a>0?b<0，即，由直線的圖象可得b>0a>0，A不滿足條件；對于B選項，由直線的圖象可得?a<0?b>0，即a>0b<0由直線的圖象可得b>0a>0，即，B不滿足條件；對于C選項，由直線的圖象可得?a>0?b<0，即，由直線的圖象可得b>0a<0，C滿足條件；對于D選項，由直線的圖象可得?a>0?b>0，即，由直線的圖象可得b>0a>0，D不滿足條件.故選：C6.點到直線的距離最大時，其最大值以及此時的直線方程分別為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】由直線的方程求出其所過定點坐標，由此確定最大距離及此時直線的方程.【詳解】直線的方程可化為，聯立，解得，所以直線經過定點，當時，點到直線的距離最大，最大距離為，因為直線的斜率，，所以直線的斜率，所以，所以，所以，故，所以直線的方程為.故選：C.7.已知等比數列有項，，所有奇數項的和為85，所有偶數項的和為42，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【正確答案】B【分析】根據等比數列的性質得到奇數項為，偶數項為，得到等比數列的公比q的值，然后用等比數列的前n項和的公式求出n即可．【詳解】因為等比數列有項，則奇數項有項，偶數項有項，設公比為，得到奇數項為，偶數項為，整體代入得，所以前項的和為，解得.故選：B8.已知兩點，，直線與線段有公共點，則實數a的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】先求得直線恒過點.然后求出直線的斜率，結合圖象，即可得出答案.【詳解】直線可化為，由可得，，所以直線恒過點.，，如圖可知，直線的傾斜角介于直線傾斜角與直線的傾斜角之間.所以當時，有；當時，有.又直線的斜率為，所以，或.故選：D.二、多項選擇題：（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.）9.已知直線l：，則下列結論正確的是（）A.直線l的一個法向量為B.若直線m：，則C.點到直線l的距離是2D.過與直線l平行的直線方程是【正確答案】CD【分析】對于A：根據直線方向向量與斜率之間的關系分析判斷；對于B：根據直線垂直分析判斷；對于C：根據點到直線的距離公式運算求解；對于D：根據直線平行分析求解.【詳解】對于A，因為直線l：的斜率，但，可知不為直線l的一個法向量，故A錯誤；對于B，因為直線m：的斜率，且，所以直線l與直線m不垂直，故B錯誤；對于C，點到直線l距離，故C正確；對于D，過與直線l平行的直線方程是，即，故D正確．故選：CD.10.（多選）在古希臘，畢達哥拉斯學派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，這些數叫作三角形數.設第n個三角形數為，則下面結論正確的是（）A. B.C.1024是三角形數 D.【正確答案】ABD【分析】根據數列的項與項數的關系即可判斷A，利用累加法求出通項公式即可判斷B，代入通項公式求解判斷C，利用裂項相消法求和判斷D.【詳解】對于A，，，，，由此可歸納得，故A正確；對于B，因為，所以，故B正確：對于C，令，此方程沒有正整數解，故C錯誤；對于D，由，得，所以，故D正確.故選：ABD11.已知數列的各項均為正數，其前項和滿足，則（）A. B.為等比數列C.為遞減數列 D.中存在小于的項【正確答案】ACD【分析】由數列的遞推關系可得A正確；假設an為等比數列，設公比為，利用等比中項的性質結合已知可得B錯誤；由遞推關系通分之后可得C正確；假設對任意的，，求出，再結合由已知可得D錯誤；【詳解】A：由題意可得當時，，當時，由可得，兩式作差可得，所以，整理可得，解得，故A正確；B：假設an為等比數列，設公比為，則，即，整理可得，所以，解得，不符合題意，故B錯誤；C：當時，，所以an為遞減數列，故C正確；D：假設對任意的，，則，則，與假設矛盾，假設不成立，故D正確；故選：ACD.二、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.經過兩直線2x+y-1=0與x-y-2=0的交點，且在兩坐標軸上的截距互為相反數的直線方程是___________．【正確答案】x+y=0或x-y-2=0【分析】先求解兩直線的交點坐標，再運用截距式求解直線的方程可得出結果.【詳解】解：聯立兩直線方程可得：，解得，可得兩條直線交點P（1，-1）．直線經過原點時，可得直線方程為y=-x；直線不經過原點時，設直線方程為，把交點P（1，-1）代入可得，解得a=2．所以直線的方程為x-y-2=0．綜上直線方程為：x+y=0或x-y-2=0．故x+y=0或x-y-2=0．13.在數列中，，則的通項公式為____________.【正確答案】【分析】利用退一相減法可得，進而可得的通項公式.【詳解】數列中，，時，有，時，由，得，兩式相減得，即，時，也滿足.所以.故14.設，過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點，則的最大值____________．【正確答案】9【分析】根據直線方程求出定點，然后根據直線垂直，結合基本不等式求解即可；【詳解】由題意，動直線過定點，直線可化為，令，可得，又，所以兩動直線互相垂直，且交點P，所以，因為，所以，當且僅當時取等號．根據直線方程求定點，判斷直線垂直，將問題轉化為基本不等式是本題的難點和突破點.四、解答題（本大題共5小題，共計77分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知直線與直線.（1）當為何值時，與平行，并求與的距離;（2）當為何值時，與垂直.【正確答案】（1），（2）或【分析】（1）由兩直線平行可利用系數構造方程求得結果，再求兩平行線間的距離；（2）由兩直線垂直可利用系數構造方程求得結果.【小問1詳解】由直線與平行，則，解得，所以此時直線，所以與的距離為.【小問2詳解】由直線與垂直，則，解得或.16.數列滿足，，.（1）的通項公式；（2），求數列的前項和.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用配湊法證得數列是以3為首項，3為公比的等比數列，進而求得an的通項公式.（2）利用錯位相減法求得數列bn的前項和.【小問1詳解】數列an滿足，整理得，又，即(常數)，所以數列是以3為首項，3為公比的等比數列.故，整理得.【小問2詳解】由于，所以，所以①，②，①-②得：，所以.17.已知直線，點.求：（1）直線關于點對稱的直線的方程；（2）直線關于直線的對稱直線的方程.【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出關于點的對稱點，利用在直線上，即得解；（2）先求解關于直線的對稱點的坐標，再求解與的交點N，由兩點式得到直線方程【詳解】（1）設為上任意一點，則關于點的對稱點為，在直線上，，即.（2）在直線上取一點，如，則關于直線的對稱點必在上.設對稱點為，則解得.設與的交點為，則由得.又經過點，由兩點式得直線方程為.本題考查了點關于直線對稱和直線關于直線對稱問題，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算能力，屬于中檔題18.已知直線.（1）求證：直線過定點；（2）若直線不經過第二象限，求實數取值范圍；（3）若直線與兩坐標軸的正半軸圍成的三角形面積最小，求的方程.【正確答案】（1）證明見解析（2）（3）【分析】（1）由方程變形可得，列方程組，解方程即可；（2）數形結合，結合直線圖像可得解；（3）求得直線與坐標軸交點，可得面積，進而利用二次函數的性質可得最值.【小問1詳解】由，即，則，解得，所以直線過定點；【小問2詳解】如圖所示，結合圖像可知，當時，直線斜率不存在，方程為，不經過第二象限，成立；當時，直線斜率存在，方程為，又直線不經過第二象限，則，解得；綜上所述；【小問3詳解】已知直線，且由題意知，令，得，得，令，得，得，則，所以當時，取最小值，此時直線的方程為，即.19.定義：從數列中隨機抽取m項按照項數從小到大的順序依次記為，將它們組成一個項數為m的新數列，其中，若數列為遞增數列，則稱數列是數列的“m項遞增衍生列”；（1）已知數列滿足，數列是的“3項遞增衍生列”，寫出所有滿足條件的﹔（2）已知數列是項數為m的等比數列，其中，若數列為1，16，81，求證：數列不是數列的“3項遞增衍生列”；（3）已知首項為1的等差數列的項數為14