PAGE1微專題15立體幾何中的截面、范圍與最值、軌跡問題【秒殺總結(jié)】1、立體圖形中的截面問題：（1）利用平面公理作出截面；（2）利用幾何知識(shí)求面積或體積.2、立體幾何中距離之和的最值問題的求解，解題關(guān)鍵是能夠求得關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)，從而利用三角形兩邊之和大于第三邊的特點(diǎn)確定當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值.3、對(duì)于立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)問題，常需動(dòng)中覓靜，這里的"靜"是指問題中的不變量或者是不變關(guān)系，動(dòng)中覓靜就是在運(yùn)動(dòng)變化中探索問題中的不變性."靜"只是"動(dòng)"的瞬間，是運(yùn)動(dòng)的一種特殊形式，然而抓住"靜"的瞬間，使一般情形轉(zhuǎn)化為特殊情形，問題便迎刃而解.【典型例題】例1．（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）已知兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在該球面上，若兩個(gè)圓錐的高之比為，它們的體積之和為，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】記該截面和球的半徑分別為，由于兩個(gè)圓錐的高之比為，故球心到該截面的距離為，從而，.而兩個(gè)圓錐的高分別是，故體積之和.從而，故，.該球的表面積.故選：B.例2．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方體中，，，M為的中點(diǎn)，過作長(zhǎng)方體的截面交棱于N，下列正確的是（

）①截面可能為六邊形②存在點(diǎn)N，使得截面③若截面為平行四邊形，則④當(dāng)N與C重合時(shí)，截面面積為A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】B【解析】長(zhǎng)方體中，過作長(zhǎng)方體的截面交棱于N，設(shè)為的中點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)N的位置的變化分析可得，當(dāng)時(shí)，截面為平行四邊形，當(dāng)時(shí)，截面為五邊形，當(dāng)，即點(diǎn)N與點(diǎn)C重合時(shí)，截面為梯形，故①錯(cuò)誤，③正確；設(shè)截面，因?yàn)椋裕制矫妫移矫妫裕郑云矫妫訬只能與C重合才能使，因?yàn)轱@然不垂直平面，故此時(shí)不成立，故②錯(cuò)誤；因?yàn)楫?dāng)N與C重合時(shí)，截面為梯形，如圖所示，過M作垂直于于點(diǎn)，設(shè)梯形的高為h，，則由平面幾何知識(shí)可得，解得，所以截面的面積為，故④正確．故選：B.例3．（2024·山東濰坊·一模）如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)為截面上的動(dòng)點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度是（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】在棱長(zhǎng)為1的正方體中，連接，由平面，平面，得，而，平面，則平面，又平面，于是，同理，而平面，因此平面，因?yàn)椋瑒t平面，而點(diǎn)為截面上的動(dòng)點(diǎn)，平面平面，所以點(diǎn)的軌跡是線段，長(zhǎng)度為.故選：B例4．（2024·四川成都·二模）在所有棱長(zhǎng)均相等的直四棱柱中，，點(diǎn)在四邊形內(nèi)（含邊界）運(yùn)動(dòng)．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，則該四棱柱的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)棱長(zhǎng)為，延長(zhǎng)，過點(diǎn)作垂直于的延長(zhǎng)線于，由，可得；由直四棱柱的性質(zhì)可得，平面，所以；因?yàn)椋?在平面內(nèi)，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓夾在四邊形內(nèi)的部分，即圖中圓弧.因?yàn)椋裕驗(yàn)辄c(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，所以，即.四棱柱的表面積為.故選：A.例5．（2024·陜西西安·一模）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，均為所在棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方體表面運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（

）

①在中點(diǎn)時(shí)，平面平面②異面直線所成角的余弦值為③在同一個(gè)球面上④，則點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度為A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】①：取的中點(diǎn)，連接，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，均為所在棱的中點(diǎn)，易知，平面，在面內(nèi)，所以，面，面，，所以面，面，所以，連接，是正方形，，因?yàn)槊妫妫裕驗(yàn)槊妫妫悦妫驗(yàn)槊妫裕C上，面，面，又，所以面，面，故平面平面，故①正確；②：取的中點(diǎn)，連接，則，所以是異面直線所成的角，又，則，故②錯(cuò)誤；③：記正方體的中心為點(diǎn)，則，所以在以為球心，以為半徑的球面上，故③正確；④：因?yàn)椋覟榈闹悬c(diǎn)，所以，故，所以點(diǎn)軌跡是過點(diǎn)與平行的線段，且，所以，故④正確；故選：D例6．（多選題）（2024·高二·湖南長(zhǎng)沙·開學(xué)考試）在正方體中，，點(diǎn)滿足，其中，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)平面時(shí)，不可能垂直B．若與平面所成角為，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為C．當(dāng)時(shí)，的最小值為D．當(dāng)時(shí)，正方體經(jīng)過點(diǎn)、、的截面面積的取值范圍為【答案】BD【解析】A選項(xiàng)：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，所以，，則，，設(shè)平面的法向量為，所以令，則，即平面的一個(gè)法向量為．若平面，則，即，，令，解得．即為中點(diǎn)時(shí)，有平面，且，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：因?yàn)槠矫妫B接，則即為與平面所成角，若與平面所成角為，則，所以，即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以1為半徑的個(gè)圓，于是點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，故B正確；C選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，,此時(shí)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，如圖，將平面與平面沿展成平面圖形，線段即為的最小值，利用余弦定理可知，所以，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，,故點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng),正方體經(jīng)過點(diǎn)、、的截面為平行四邊形，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，，，所以點(diǎn)到直線的距離為，于是當(dāng)時(shí)，的面積取最小值，此時(shí)截面面積為；當(dāng)或1時(shí)，的面積取最大值，此時(shí)截面面積為，故D正確．故選：BD例7．（多選題）（2024·河南·三模）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，，，，.點(diǎn)P是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，平面DMNB．當(dāng)，時(shí)，平面C．當(dāng)時(shí)，的最小值為D．當(dāng)時(shí)，過B，M，N三點(diǎn)的截面是五邊形【答案】ABC【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)椋裕瑢?duì)于A，，，若平面DMN，則，所以恒成立，，解得，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，平面DMN，正確；對(duì)于B，當(dāng)，時(shí)，，，因?yàn)槠矫妫矫妫裕郑矫妫矫妫云矫妫詾槠矫娴囊粋€(gè)法向量，因?yàn)椋裕制矫妫云矫妫_；對(duì)于C，將平面和平面展開成一個(gè)平面，連接，如圖，由三點(diǎn)共線時(shí)距離之和最小，即，顯然當(dāng)時(shí)，最小為的高h(yuǎn)，對(duì)于，利用面積相等得，即，解得，所以，正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，M，N分別為，的中點(diǎn)，連接，如下圖所示，過點(diǎn)B作AC的平行線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，交于，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性在直線上，連接，因?yàn)镸為中點(diǎn)，N為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)椋裕怨裁妫藭r(shí)，四邊形為截面，所以截面為四邊形，錯(cuò)誤.故選：ABC例8．（多選題）（2024·廣西柳州·三模）正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，其中，，則（

）A．當(dāng)，時(shí)，與平面所成角為B．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得C．當(dāng)，時(shí)，平面平面D．若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為【答案】ACD【解析】當(dāng)，時(shí)，與重合，由已知得，平面，所以就是與平面所成的角，因?yàn)椋裕裕磁c平面所成角為，A正確；當(dāng)時(shí)，取線段中點(diǎn)分別為，連接，因?yàn)椋矗裕瑒t點(diǎn)在線段上，設(shè)，則，則，，，若，則，則，則，所以或，則點(diǎn)與、重合時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，存在兩個(gè)點(diǎn)使得，故B錯(cuò)；當(dāng)，時(shí)，，則，所以是中點(diǎn)，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，所以，，，，設(shè)平面和平面的一法向量分別為，則，，解得，，令，，可得，，因?yàn)椋裕雌矫嫫矫妫珻正確；若，因?yàn)椋渣c(diǎn)在側(cè)面上，又平面，，所以點(diǎn)的軌跡是以Q為圓心，半徑為的半圓，軌跡長(zhǎng)度為，故D準(zhǔn)確.故選：ACD例9．（多選題）（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測(cè)）已知正方體棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)N是底面正方形ABCD內(nèi)及邊界上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是棱上的動(dòng)點(diǎn)（包括點(diǎn)），已知，P為MN中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．無論M，N在何位置，為異面直線 B．若M是棱中點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為C．M，N存在唯一的位置，使平面 D．AP與平面所成角的正弦最大值為【答案】ABD【解析】由于相交，而，因此為異面直線，A正確，當(dāng)M是棱中點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè),故，且，由于，故，化簡(jiǎn)得，由于，所以點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為半徑為的圓的，故長(zhǎng)度為，B正確，設(shè),則，且，，,設(shè)平面的法向量為，則，令，則,，故，由于，故，化簡(jiǎn)得，聯(lián)立，故解不唯一，比如取，則或取，故C錯(cuò)誤，由于平面，平面，故,又四邊形為正方形，所以,平面，所以平面，故平面的法向量為，設(shè)AP與平面所成角為，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，時(shí)，令，則，故，由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，由且可得因此，由于，，故的最大值為，故D正確，、故選：ABD例10．（2024·高三·四川巴中·階段練習(xí)）如圖，棱長(zhǎng)為的正方體中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），以下正確的是

①；②存在點(diǎn)，使得//面；③的最小值為；④存在點(diǎn)，使得與面所成線面角的余弦值為.【答案】①②【解析】由題意，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)，則，所以，所以.①：，所以，故①正確；②：設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，所以，有，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即平面，所以當(dāng)點(diǎn)P為的中點(diǎn)時(shí)，平面，故②正確；③：將平面與平面沿展開成平面圖，線段即為的最小值.在中，，由余弦定理，得，即，故③錯(cuò)誤；④：由平面，得平面，即平面，則為平面的一個(gè)法向量，假設(shè)存在點(diǎn)P，使得與平面所成線面角的余弦值為，設(shè)該線面角為，則，所以，整理得，由知方程無實(shí)根，所以不存在點(diǎn)P，使得與平面所成線面角的余弦值為，故④錯(cuò)誤.故答案為：①②例11．（2024·高三·北京房山·期末）如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn).給出下列結(jié)論：①；②平面；③直線與直線所成角的范圍是；④點(diǎn)到平面的距離是.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.【答案】①②④【解析】以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則有、、、、、、、，則、、、、、、，設(shè)，，則，，故，故①正確；設(shè)平面的法向量為，則有，即，取，則，有，故，又平面，則平面，故②正確；當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)，即，即此時(shí)直線與直線所成角為，故③錯(cuò)誤；由，，則，故④正確.故答案為：①②④.例12．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）已知正方體，棱長(zhǎng)為2.(1)求證：平面；(2)若平面平面，且平面與正方體的棱相交，當(dāng)截面面積最大時(shí)，在所給圖形上畫出截面圖形（不必說出畫法和理由），并求出截面面積的最大值；(3)在（2）的情形下，設(shè)平面與正方體的棱、、交于點(diǎn)、、，當(dāng)截面的面積最大時(shí)，求二面角的余弦值.【解析】（1）連接，，，因?yàn)槭钦襟w，所以平面，因?yàn)槠矫妫杂忠驗(yàn)樗倪呅问钦叫危裕驗(yàn)椋矫妫云矫妫驗(yàn)槠矫妫?同理可證得：，又因?yàn)槠矫妫云矫?（2）設(shè)分別是的中點(diǎn)，連接，根據(jù)題意知截面面積最大時(shí)，圖形是邊長(zhǎng)為的正六邊形，所以最大的截面面積為.（3）因?yàn)槠矫嫫矫妫援?dāng)截面的面積最大時(shí)，、、分別是棱、、的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量是，，，則，令，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量是，，，，令，則，，則，，設(shè)二面角的平面角為，由圖知為銳角，所以，所以二面角的余弦值為.【過關(guān)測(cè)試】1．（2024·天津·一模）祖暅?zhǔn)俏覈?guó)南北朝時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家祖沖之的兒子，他提出了一條原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”.這里的“冪”指水平截面的面積，“勢(shì)”指高.這句話的意思是：兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體體積相等，利用祖暅原理可以將半球的體積轉(zhuǎn)化為與其同底等高的圓柱和圓錐的體積之差，圖1是一種“四腳帳篷”的示意圖，其中曲線和均是以2為半徑的半圓，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帳篷底面的平面截帳篷，所得截面四邊形均為正方形，模仿上述半球的體積計(jì)算方法，可以構(gòu)造一個(gè)與帳篷同底等高的正四棱柱，從中挖去一個(gè)倒放的同底等高的正四棱錐（如圖2），從而求得該帳篷的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)截面與底面的距離為，在帳篷中的截面為，設(shè)底面中心為，截面中心為，則，，所以，所以截面為的面積為.設(shè)截面截正四棱柱得四邊形為，截正四棱錐得四邊形為，底面中心與截面中心之間的距離為，在正四棱柱中，底面正方形邊長(zhǎng)為，高為2，，所以，所以為等腰直角三角形，所以，所以四邊形邊長(zhǎng)為，所以四邊形面積為，所以圖2中陰影部分的面積為，與截面面積相等，由祖暅原理知帳篷體積為正四棱柱的體積減去正四棱錐的體積，即.故選：D.2．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知正方形的邊長(zhǎng)為4，若將沿BD翻折到的位置，使得二面角為，N為的四等分點(diǎn)靠近D點(diǎn)，已知點(diǎn)，B，C，D都在球O的表面上，過N作球O的截面，則截球所得截面面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，取BC的中點(diǎn)為O，由正方形的邊長(zhǎng)為4，則，因此O為空間四邊形的外接球球心，外接球半徑，設(shè)球心到平面的距離為d，截面圓的半徑為r，則有，即，當(dāng)截面時(shí)，d最大，此時(shí)截面面積最小，且，在中，，，，由余弦定理可得，，此時(shí)，所以截面面積最小值為.故選：D3．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，已知，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)的中點(diǎn)為，連接（不與點(diǎn)重合），，，，所以，所以，把平面與平面展開并攤平，如圖，在平面圖形中連接，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，此時(shí)的周長(zhǎng)取得最小值，在中利用余弦定理可得，所以的周長(zhǎng)的最小值為．故選：B．4．（2024·廣西柳州·三模）已知P，A，B，C是半徑為2的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)的邊長(zhǎng)為a，則，所以，設(shè)的外接圓的圓心為M，半徑為r，則，得，則球心到平面的距離，當(dāng)共線且位于之間時(shí)，三棱錐的高最大，為，此時(shí)三棱錐的體積也最大，最大值為故選：B．5．（多選題）（2024·江蘇徐州·一模）已知圓臺(tái)的上、下底面直徑分別為2，6，高為，則（

）A．該圓臺(tái)的體積為B．該圓臺(tái)外接球的表面積為C．用過任意兩條母線的平面截該圓臺(tái)所得截面周長(zhǎng)的最大值為16D．挖去以該圓臺(tái)上底面為底，高為的圓柱后所得幾何體的表面積為【答案】BC【解析】由已知得圓臺(tái)的上下底面半徑分別為，對(duì)于A：圓臺(tái)的體積為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：如圖是圓臺(tái)的軸截面，外接球球心為，設(shè)外接球半徑為，當(dāng)球心在梯形內(nèi)時(shí)，，解得，當(dāng)球心在梯形外時(shí)，，方程無解，所以外接球的表面積，B正確；對(duì)于C：用過任意兩條母線的平面截該圓臺(tái)所得截面周長(zhǎng)，其中軸截面的周長(zhǎng)最大，又母線長(zhǎng)為，則最大周長(zhǎng)為，C正確；對(duì)于D：如圖：挖去以該圓臺(tái)上底面為底，高為的圓柱后所得幾何體的表面積為，D錯(cuò)誤.故選：BC.6．（多選題）（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）(多選)下列說法正確的是（

）A．若一個(gè)球的體積為，則它的表面積為B．棱長(zhǎng)為1的正四面體的內(nèi)切球半徑為C．用平面α截一個(gè)球，所得的截面面積為π，若α到該球球心的距離為1，則球的體積為D．棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的內(nèi)切球截平面A1BD所得的截面面積為【答案】ABD【解析】對(duì)于A：一個(gè)球的體積為，設(shè)該球的半徑為，則，解得，于是該球的表面積為，故A正確；對(duì)于B：正四面體的棱長(zhǎng)為1，內(nèi)切球半徑，如圖所示，為的中點(diǎn)，，由正四面體的性質(zhì)可知線段為正四面體的高，在正中，，同理，在正中，，則，，所以，則，設(shè)點(diǎn)為正四面體內(nèi)切球的球心，則等體積法有，解得，故正確.對(duì)于C：用平面α截一個(gè)球，所得的截面面積為π，截面圓的半徑，則，即，α到該球球心的距離，設(shè)球的半徑，則，所以球的體積為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：平面截球的截面為的內(nèi)切圓，如下圖：因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1，所以對(duì)角線，內(nèi)切圓半徑，所以截面面積，故D正確.故選：ABD.7．（多選題）（2024·高三·重慶·階段練習(xí)）在意大利，有一座滿是“斗笠”的灰白小鎮(zhèn)阿爾貝羅貝洛，這些圓錐形屋頂?shù)钠嫣匦∥菝校?996年被收入世界文化遺產(chǎn)名錄．現(xiàn)測(cè)量一個(gè)的屋頂，得到圓錐（其中為頂點(diǎn)，為底面圓心），母線的長(zhǎng)為，是母線的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)．從點(diǎn)到點(diǎn)繞屋頂側(cè)面一周安裝燈光帶，燈光帶的最小長(zhǎng)度為．下面說法正確的是（

）A．圓錐的側(cè)面積為 B．過點(diǎn)的平面截此圓錐所得截面面積最大值為C．圓錐的外接球的表面積為 D．棱長(zhǎng)為的正四面體在圓錐內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)【答案】ABD【解析】對(duì)于A，設(shè)圓錐底面半徑為，如圖，在中，，，，∴，∴，所以，（米），所以圓錐的側(cè)面積為（），故A正確；對(duì)于B，在中，，所以，所以過點(diǎn)平面截此圓錐所得截面面積最大為（），故B正確；對(duì)于C，設(shè)圓錐的外接球半徑為，則，又，所以，∴，圓錐的外接球表面積為，故C不正確；對(duì)于D，設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為，則，∴，在棱長(zhǎng)為米的正四面體中，設(shè)其外接球半徑為，則此正四面體的底面外接圓半徑為，高為，所以，所以，因?yàn)椋岳忾L(zhǎng)為米的正四面體在圓錐內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，故D正確.故選：ABD8．（多選題）（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，M，N分別是，的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．一定是異面直線B．存在點(diǎn)，使得C．直線與平面所成角的正切值的最大值為D．過M，N，P三點(diǎn)的平面截正方體所得截面面積的最大值為【答案】AD【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，設(shè)，則點(diǎn)坐標(biāo)為；對(duì)A：設(shè)平面的法向量為，，則，即，取，解得，故；又，，考慮到，則，故，故一定是異面直線，A正確；對(duì)B：，，若，則，即，解得，又，故不存在這樣的點(diǎn)，使得，B錯(cuò)誤；對(duì)C：，取平面的法向量，則，設(shè)直線與平面的夾角為則，則，，又，故，即直線與平面所成角的正切值的最大值為，C錯(cuò)誤；對(duì)D：在正方體中，過的截面為六邊形且六邊形為正六邊形時(shí)面積最大.此時(shí)過的截面經(jīng)過對(duì)稱中心，設(shè)截面交于中點(diǎn)，也為中點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)時(shí)，過三點(diǎn)的平面截正方體所得截面面積最大，取的中點(diǎn)為，連接，如下所示：故此時(shí)截面為正六邊形，其面積，故D正確.故選：AD.9．（多選題）（2024·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）三棱錐各頂點(diǎn)均在半徑為2的球的表面上，，，平面與平面所成的角為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線平面 B．三棱錐的體積為C．點(diǎn)到平面的距離為 D．點(diǎn)形成的軌跡長(zhǎng)度為【答案】BCD【解析】如圖，設(shè)是的外心，是的外心，則平面，平面，又平面，平面，所以，，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以，由，則是的中點(diǎn)，所以，且，所以是二面角的平面角，即，因?yàn)椋裕裕矗炙狞c(diǎn)共面，且，則是中點(diǎn)，如圖，顯然，直線與平面相交于，故A錯(cuò)誤；，故B正確；由是中點(diǎn)，則，故C正確；由，故點(diǎn)形成的軌跡是半徑為的圓，故軌跡長(zhǎng)度為，故D正確.故選：BCD10．（多選題）（2024·湖南·二模）如圖，點(diǎn)是棱長(zhǎng)為2的正方體的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，則（

）A．若點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為B．三棱錐體積的最大值為C．當(dāng)直線與所成的角為時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D．當(dāng)在底面上運(yùn)動(dòng)，且滿足平面時(shí)，線段長(zhǎng)度最大值為【答案】CD【解析】對(duì)于A，易知平面平面，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡為矩形，動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為矩形的周長(zhǎng)，即為，所以錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋冗叺拿娣e為定值，要使三棱錐的體積最大，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大，易知點(diǎn)是正方體到平面距離最大的點(diǎn)，所以，此時(shí)三棱錐即為棱長(zhǎng)是的正四面體，其高為，所以，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：連接AC，，以B為圓心，為半徑畫弧，如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)在線段和弧上時(shí)，直線與所成的角為，又，弧長(zhǎng)度，故點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，故正確；對(duì)于D，取的中點(diǎn)分別為，連接，如圖2所示，因?yàn)槠矫嫫矫妫势矫妫矫嫫矫妫势矫妫挥制矫妫势矫嫫矫妫挥郑势矫媾c平面是同一個(gè)平面.則點(diǎn)的軌跡為線段：在三角形中，則，故三角形是以為直角的直角三角形；故，故長(zhǎng)度的最大值為，故正確.故選：.11．（多選題）（2024·湖北·二模）如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為正方形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），且平面，則下列說法正確的有（

）

A．動(dòng)點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為B．三棱錐體積的最小值為C．與不可能垂直D．當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為【答案】ABD【解析】對(duì)A，如圖，令中點(diǎn)為,中點(diǎn)為,連接，又正方體中，為棱的中點(diǎn)，可得,，平面,平面,又，且平面，平面平面,又平面，且平面，平面，又為正方形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），平面平面，而平面平面，，即的軌跡為線段.由棱長(zhǎng)為2的正方體得線段的長(zhǎng)度為，故選項(xiàng)A正確；對(duì)B，由正方體側(cè)棱底面，所以三棱錐體積為，所以面積最小時(shí)，體積最小，如圖，，易得在處時(shí)最小，此時(shí),所以體積最小值為，故選項(xiàng)B正確；對(duì)C，當(dāng)為線段中點(diǎn)時(shí)，由可得,又中點(diǎn)為,中點(diǎn)為,，而，,故選項(xiàng)C不正確；對(duì)D，如圖，當(dāng)在處時(shí)，三棱錐的體積最大時(shí)，由已知得此時(shí),所以在底面的射影為底面外心，,,,所以底面為直角三角形，所以在底面的射影為中點(diǎn)，設(shè)為，如圖，設(shè)外接球半徑為,由,,可得外接球半徑，外接球的表面積為，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.12．（多選題）（2024·江西鷹潭·一模）直四棱柱的所有棱長(zhǎng)都為4，，點(diǎn)在四邊形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，且滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（

）

A．點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為.B．直線與平面所成的角為定值．C．點(diǎn)到平面的距離的最小值為.D．的最小值為-2．【答案】BC【解析】直四棱柱的所有棱長(zhǎng)都為4，則底面為菱形，又，則和都是等邊三角形，設(shè)與相交于點(diǎn)，由，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過垂直于底面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有，，點(diǎn)在四邊形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，設(shè)，，由，有，即，所以點(diǎn)的軌跡為平面內(nèi)，以為圓心，2為半徑的半圓弧，所以點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；平面的法向量為，，直線與平面所成的角為，則，又由，則，所以直線與平面所成的角為定值，B選項(xiàng)正確；，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，令，得，，所以點(diǎn)到平面的距離，，所以時(shí)，，所以點(diǎn)到平面的距離的最小值為，C選項(xiàng)正確；，，其幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)距離的平方減12，由，點(diǎn)到點(diǎn)距離最小值為，的最小值為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.13．（多選題）（2024·浙江溫州·二模）已知半徑為球與棱長(zhǎng)為1的正四面體的三個(gè)側(cè)面同時(shí)相切，切點(diǎn)在三個(gè)側(cè)面三角形的內(nèi)部（包括邊界），記球心到正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)的距離之和為，則（

）A．有最大值，但無最小值 B．最大時(shí)，球心在正四面體外C．最大時(shí)，同時(shí)取到最大值 D．有最小值，但無最大值【答案】ABD【解析】對(duì)于AB，設(shè)球心為，正四面體為，的中心為，則在上，，，球與平面，平面，平面相切，與平面相切于點(diǎn)，，，因?yàn)椋谥校瑒t所以在中，，因?yàn)椋裕凶畲笾担珶o最小值，故A正確；當(dāng)，此時(shí)，最大時(shí)，球心在正四面體外，故B正確；對(duì)于CD，設(shè)，，，所以，令，令，解得：或（舍去），當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，所以有最小值，但無最大值，故D正確，C錯(cuò)誤.故選：ABD.14．（多選題）（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）四棱錐的底面為正方形，PA與底面垂直，，，動(dòng)點(diǎn)M在線段PC上，則（

）A．不存在點(diǎn)M，使得B．的最小值為C．四棱錐的外接球表面積為5πD．點(diǎn)M到直線AB的距離的最小值為【答案】BD【解析】對(duì)于A：連接BD，且，如圖所示，當(dāng)M在PC中點(diǎn)時(shí)，因?yàn)辄c(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫鍭BCD，所以平面ABCD，又因?yàn)槠矫鍭BCD，所以，因?yàn)锳BCD為正方形，所以．又因?yàn)椋褺D，平面BDM，所以平面BDM，因?yàn)槠矫鍮DM，所以，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B：將和所在的平面沿著PC展開在一個(gè)平面上，如圖所示，和是全等的直角三角形，，，連結(jié)，，則的最小值為BD，直角斜邊PC上高為，即，直角斜邊PC上高也為，所以的最小值為，所以B正確；對(duì)于C：易知四棱錐的外接球直徑為PC，半徑，表面積，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D：點(diǎn)M到直線AB的距離的最小值即為異面直線PC與AB的距離，因?yàn)椋移矫鍼CD，平面PCD，所以平面PCD，所以直線AB到平面PCD的距離等于點(diǎn)A到平面PCD的距離，過點(diǎn)A作，因?yàn)槠矫鍭BCD，面，所以，又，且，面，故平面PAD，平面PAD，所以，因?yàn)椋襊D，平面PCD，所以平面PCD，所以點(diǎn)A到平面PCD的距離，即為AF的長(zhǎng)，如圖所示，在中，，，可得，所以由等面積得，即直線AB到平面PCD的距離等于，所以D正確，故選：BD．15．（多選題）（2024·高三·貴州安順·期末）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)E、F、G、H分別為棱、、、的中點(diǎn)，點(diǎn)M為棱上動(dòng)點(diǎn)，則（

）

A．點(diǎn)E、F、G、H共面 B．的最小值為C．點(diǎn)B到平面的距離為 D．【答案】ACD【解析】如圖，以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，對(duì)A：，，，設(shè)，即，解得，，所以共面，故A正確．對(duì)B：將正方體沿剪開展開如下圖，連接交于一點(diǎn)，此點(diǎn)為點(diǎn)，此時(shí)為最小值，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：由等體積法可知，即，由，，求解得，故C正確.對(duì)D：，，，，則，所以，故D正確.故選：ACD.16．（多選題）（2024·高三·山東菏澤·階段練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為是中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，平面截該正方體，將其分成兩部分，設(shè)這兩部分的體積分別為，則下列判斷正確的是（

）A．時(shí)，截面面積為 B．時(shí)，C．隨著的增大先減小后增大 D．的最大值為【答案】BCD【解析】如圖1，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，易得截面為正六邊形．其棱長(zhǎng)為，故截面面積為故A項(xiàng)錯(cuò)誤；由對(duì)稱性可知．當(dāng)時(shí)．平面分兩部分是全等的，故體積相等，故B項(xiàng)正確；如圖2．當(dāng)從0變化到1時(shí)．截面從四邊形變化至五邊形（其中為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)）．結(jié)合B項(xiàng)可知，被截面所分兩部分體積之差的絕對(duì)值先減小至0，再逐漸增大，故C項(xiàng)正確；取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)為，或時(shí)情形．當(dāng)時(shí)，不妨記為截面左上角的部分幾何體，則,則,此時(shí)；當(dāng)時(shí)，不妨記為截面左上角的部分幾何體，則,則，此時(shí).的最大值為，故D項(xiàng)正確．故選：BCD．17．（多選題）（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知正方體的棱長(zhǎng)為為空間中動(dòng)點(diǎn)，為中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則與所成為的范圍為B．若為側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足平面，則點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為C．若為側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且，則點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為D．若為側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，則存在點(diǎn)滿足【答案】BC【解析】對(duì)于A，當(dāng)與不重合時(shí)，過作交于，連接，如圖，由平面，平面，得，有，顯然，則為與所成的角，，當(dāng)與重合時(shí)，當(dāng)由點(diǎn)向點(diǎn)移動(dòng)過程中，逐漸增大，逐漸減小，則逐漸增大，因此，，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，有，，所以與所成角的范圍為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B,取的中點(diǎn),的中點(diǎn),連接，如圖，由中位線可知，,,平面，則平面，同理可得：平面，又且都在面GNF內(nèi),所以面平面,因?yàn)槠矫妫渣c(diǎn),則點(diǎn)的軌跡的軌跡的長(zhǎng)度，故B正確；對(duì)于C，由平面，易得是直角三角形，，，如圖，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓弧，由,則，同理,所以,軌跡長(zhǎng)度為，C正確；對(duì)于D，在平面內(nèi)延長(zhǎng)，截取，連接交于點(diǎn)，（如圖）,點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，,點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，，所以不存在點(diǎn)滿足，D錯(cuò)誤.故選：BC18．（多選題）（2024·高三·江蘇揚(yáng)州·期末）棱長(zhǎng)為2的正方體中，下列選項(xiàng)中正確的有（

）A．過的平面截此正方體所得的截面為四邊形B．過的平面截此正方體所得的截面的面積范圍為C．四棱錐與四棱錐的公共部分為八面體D．四棱錐與四棱錐的公共部分體積為【答案】ABD【解析】連接與線段上任意一點(diǎn)，過作交于，所以過的平面截此正方體所得的截面為四邊形，A對(duì)；由上分析及正方體結(jié)構(gòu)特征易知：四邊形為平行四邊形，若為各線段上的中點(diǎn)時(shí)，四邊形為菱形，此時(shí)截面最小面積為；根據(jù)正方體的對(duì)稱性，從中點(diǎn)向或運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形面積都是由小變大，當(dāng)與重合時(shí)，截面最大面積為；綜上，過的平面截此正方體所得的截面的面積范圍為，B對(duì)；令交于，交于，交于，顯然是各交線的中點(diǎn)，若是中點(diǎn)，連接，所以四棱錐與四棱錐的公共部分為六面體，C錯(cuò)；其體積，D對(duì).故選：ABD19．（多選題）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)，分別為和的中點(diǎn)，則（

）

A．直線平面B．直線與直線為異面直線C．點(diǎn)到平面的距離為D．若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則的范圍為【答案】AD【解析】解法一選項(xiàng)A：連接，，平面，平面，直線平面，故A正確；選項(xiàng)B：，與共面，即，，，四點(diǎn)共面，直線與直線共面，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：連接，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，．，，，，，，，，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：易知，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，最大值為，∴，，，，∴，故D正確．解法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，．選項(xiàng)A：，，，又平面，平面，直線平面，故A正確；選項(xiàng)B