PAGE1-2.1.3分層抽樣2.1.4數據的收集學習目標核心素養1.理解并駕馭分層抽樣，會用分層抽樣從總體中抽取樣本．(重點)2．了解三種抽樣方法的聯系和區分．(易混點)3．駕馭收集數據的方法．(重點)4．利用分層抽樣的方法解決實際問題．(難點)1.通過分層抽樣的學習，體現了數學抽象的核心素養．2．借助三種抽樣方法的學習，提升數學運算的核心素養.1．分層抽樣當總體由有明顯差別的幾部分組成時，為了使抽取的樣本更好地反映總體的狀況，常將總體中各個個體按某種特征分成若干個互不重疊的幾部分，每一部分叫做層，在各層中按層在總體中所占比例進行簡潔隨機抽樣或系統抽樣，這種抽樣方法叫做分層抽樣．思索：適合分層抽樣的總體具備什么特征？[提示]總體由差異明顯的幾部分組成．2．數據收集的常用方式1．某校高三年級有男生500人，女生400人．為了解該年級學生的健康狀況，從男生中隨意抽取25人，從女生中隨意抽取20人進行調查，這種抽樣方法是()A．簡潔隨機抽樣法 B．抽簽法C．隨機數表法 D．分層抽樣法D[從男生、女生各抽取eq\f(1,20)入樣，符合分層抽樣的特點．]2．某社區有500戶家庭，其中高收入家庭125戶，中等收入家庭280戶，低收入家庭95戶．為了調查社會購買力的某項指標，要從中抽取一個容量為100的樣本，記作①；某學校高一年級有18名女排運動員，要從中選出4人調查學習負擔狀況，記作②.那么完成上述兩項調查應采納的抽樣方法是()A．①用簡潔隨機抽樣法，②用系統抽樣法B．①用分層抽樣法，②用簡潔隨機抽樣法C．①用系統抽樣法，②用分層抽樣法D．①用分層抽樣法，②用系統抽樣法B[①因家庭收入不同其社會購買力也不同，宜用分層抽樣的方法．②因總體個數較小，宜用簡潔隨機抽樣法．]3．下列問題符合調查問卷要求的是()A．你所購買的名牌產品，您認為該產品的知名度□很好□一般□很低B．你認為數學學習□較簡潔□較困難C．你們班有幾位大個子同學？________D．你對我們廠生產的電視機□滿足□不滿足B[問卷調查的題目要避開一般性或不詳細的問題，標準要明確，故A、C、D不符合．]4．某個年級有男生560人，女生420人，用分層抽樣的方法從該年級全體學生中抽取一個容量為280的樣本，則此樣本中男生人數為________．160[男生人數為560×eq\f(280,560＋420)＝160.]分層抽樣的概念【例1】(1)下列各項中屬于分層抽樣的特點的是()A．從總體中逐個抽取B．將總體分成幾層，分層進行抽取C．將總體分成幾部分，按事先確定的規則在各部分中抽取D．將總體隨意分成幾部分，然后進行隨機抽取(2)下列問題中，最適合用分層抽樣抽取樣本的是()A．從10名同學中抽取3人參與座談會B．一次數學競賽中，某班有10人在110分以上，40人在90～100分，12人低于90分，現從中抽取12人了解有關狀況C．從1000名工人中，抽取100名調查上班途中所用時間D．從生產流水線上，抽取樣本檢查產品質量[思路探究]依據三種抽樣方法的特點依次進行推斷．(1)B(2)B[(1)A屬于簡潔隨機抽樣的特點，B屬于分層抽樣的特點，C屬于系統抽樣的特點，D不屬于三種抽樣方法，所以應選B.(2)A中總體個體無明顯差異且個數較少，適合用簡潔隨機抽樣；C和D中總體個體無明顯差異且個數較多，適合用系統抽樣；B中總體個體差異明顯，適合用分層抽樣．]1．運用分層抽樣的前提分層抽樣的適用前提條件是總體可以分層、層與層之間有明顯區分，而層內個體間差異較小．2．運用分層抽樣應遵循的原則(1)將相像的個體歸入一類，即為一層，分層要求每層的各個個體互不交叉，即遵循不重復、不遺漏的原則；(2)分層抽樣為保證每個個體等可能入樣，需遵循在各層中進行簡潔隨機抽樣，每層樣本數量與每層個體數量的比等于抽樣比．1．某班有30名男生，20名女生，現調查平均身高，準備從總人數中抽取eq\f(1,10)做為調查對象，已知男女身高有明顯不同，應如何抽取樣本？[解]由分層抽樣的概念可知本題應選用分層抽樣，因為30×eq\f(1,10)＝3(名)，20×eq\f(1,10)＝2(名)，所以應采納抽簽法分別抽出3名男生和2名女生．分層抽樣的方案設計[探究問題]1．分層抽樣的特點有哪些？[提示](1)分層抽樣適用于已知總體是由差異明顯的幾部分組成的；(2)分成的各層互不交叉；(3)各層抽取的比例都等于樣本容量在總體中的比例，即eq\f(n,N)，其中n為樣本容量，N為總體容量．2．計算各層所抽取個體的個數時，若Ni·eq\f(n,N)的值不是整數怎么辦？[提示]為獲得各層的入樣數目，需先正確計算出抽樣比eq\f(n,N)，若Ni·eq\f(n,N)的值不是整數，可四舍五入取整，也可先將該層等可能地剔除多余的個體．3．分層抽樣公允嗎？[提示]分層抽樣中，每個個體被抽到的可能性是相同的，與層數、分層無關．假如總體的個數為N，樣本容量為n，Ni為第i層的個體數，則第i層抽取的個體數ni＝n·eq\f(Ni,N)，每個個體被抽到的可能性是eq\f(ni,Ni)＝eq\f(1,Ni)·n·eq\f(Ni,N)＝eq\f(n,N).【例2】一個單位有職工500人，其中不到35歲的有125人，35歲至49歲的有280人，50歲及50歲以上的有95人，為了了解這個單位職工與身體狀態有關的某項指標，要從中抽取100名職工作為樣本，職工年齡與這項指標有關，應當怎樣抽取？[思路探究]eq\x(視察特征，確定抽樣方法)→eq\x(分層求比例，確定各層樣本數)→eq\x(從各層中抽取樣本)[解]因為職工年齡與這項指標有關，故采納分層抽樣．步驟如下：(1)分層．按年齡將職工分成三層：不到35歲的職工；35歲至49歲的職工；50歲及50歲以上的職工．(2)確定每層抽取個體的個數．抽樣比為eq\f(100,500)＝eq\f(1,5)，則在不到35歲的職工中抽125×eq\f(1,5)＝25(人)；在35歲至49歲的職工中抽280×eq\f(1,5)＝56(人)；在50歲及50歲以上的職工中抽95×eq\f(1,5)＝19(人)．(3)在各層分別按抽簽法或隨機數表法抽取樣本．(4)綜合每層抽樣，組成樣本．1．(變條件)本例把50歲及50歲以上的人數改為96人，其他條件不變，問應當怎樣抽取？[解]因為職工年齡與這項指標有關，故采納分層抽樣，步驟如下：(1)分層：按年齡將職工分成三層：不到35歲職工；35歲至49歲的職工；50歲及50歲以上的職工．(2)確定每層抽取個體的個數．抽樣比為eq\f(100,500)＝eq\f(1,5)，則在不到35歲職工中抽125×eq\f(1,5)＝25(人)，在35歲至49歲職工中抽280×eq\f(1,5)＝56(人)，在50歲及50歲以上職工中先隨機剔除1人，再在剩余職工中抽95×eq\f(1,5)＝19(人)．(3)在各層分別運用簡潔隨機抽樣法抽取樣本．(4)綜合每層抽樣，組成樣本．2．(變結論)本例條件不變，若要從中抽取200名職工作為樣本，則各年齡段依次抽取多少人？[解]按eq\f(200,500)＝eq\f(2,5)的比例抽樣，所以依次抽取125×eq\f(2,5)＝50人，280×eq\f(2,5)＝112人，95×eq\f(2,5)＝38人．1．在分層抽樣的過程中，為了保證每個個體被抽到的可能性是相同的，這就要求各層所抽取的個體數與該層所包含的個體數之比等于樣本容量與總體的個體數之比，即ni∶Ni＝n∶N.2．分層后，各層的個體較多時，可采納系統抽樣或簡潔隨機抽樣取出各層中的個體，肯定要留意按比例抽取．當抽樣比不是整數時，可在該層隨機剔除部分個體．數據的收集【例3】請設計一個測量某單位職工身高的試驗．[思路探究](1)做好試驗前準備工作；(2)組織好測量；(3)整理數據．[解]試驗前準備工作：①準備好試驗器材，如：測量儀、記錄數據的表格(附表)．②測量人員支配，為了使試驗數據較精確，需多次測量求其平均值，比如支配三個小組測量．③組織好觀測對象——某單位全體職工，可先分成幾個小組(如3個小組)，每組支配一個組長負責詳細組織協調．試驗操作步驟如下：S1布置身高測量儀三架；S2支配負責儀器的人兩個，一個測量，一個記錄；S3組織職工按預先分成的小組排隊依次測量，在一個機器前測量完后，換另一架機器，每人測量三次，將所測數據填入附表；S4整理數據，用求平均值的方法算出每位職工身高．附表：職工姓名測得數據身高的平均值儀器1儀器2儀器31．收集數據時的留意點：(1)必需清晰地知道要收集的數據是什么；(2)抽樣的目的是為了了解總體的狀況；(3)高質量的樣本數據來自“攪拌勻稱”的總體．2．收集數據的方式有：做試驗、查閱資料、設計調查問卷等．2．請設計一份問卷(包括閱讀時間，書的類型、來源和閱讀課外書和學習的關系)調查你們班同學閱讀課外書的狀況．[解]調查問卷設計如下：姓名：________，所在班級：________.請回答下列問題：1．你一般在什么時間閱讀課外書？()A．每天課間B．每天放學回家后C．周末或假期D．老師支配的閱讀課上2．你喜愛讀的課外書有()A．散文B．報告文學C．小說D．所學功課的輔導資料E．其他3．你的課外書的來源是()A．同學介紹的B．老師舉薦的C．在書店中偶然發覺的D．家長舉薦的E．在宣揚資料上看到的4．你認為課外閱讀和學習的關系是()A．能促進學習B．與學習沒多大關系C．阻礙學習抽樣方法的綜合應用【例4】選擇合適的抽樣方法抽樣，寫出抽樣過程．(1)有甲廠生產的30個籃球，其中一箱21個，另一箱9個，抽取3個；(2)有30個籃球，其中甲廠生產的有21個，乙廠生產的有9個，抽取10個；(3)有甲廠生產的300個籃球，抽取10個；(4)有甲廠生產的300個籃球，抽取30個．[思路探究]應結合三種抽樣方法的運用范圍和實際狀況，敏捷運用各種抽樣方法解決問題．[解](1)總體容量較小，用抽簽法．①將30個籃球編號，編號為00,01，…，29；②將以上30個編號分別寫在完全一樣的小紙條上，揉成小球，制成號簽；③把號簽放入一個不透亮的袋子中，充分攪拌；④從袋子中逐個抽取3個號簽，并記錄上面的號碼；⑤找出和所得號碼對應的籃球即可得到樣本．(2)總體由差異明顯的兩個層次組成，需選用分層抽樣．①確定抽取個數．因為eq\f(30,10)＝3，所以甲廠生產的應抽取eq\f(21,3)＝7(個)，乙廠生產的應抽取eq\f(9,3)＝3(個)；②用抽簽法分別抽取甲廠生產的籃球7個，乙廠生產的籃球3個，這些籃球便組成了我們要抽取的樣本．(3)總體容量較大，樣本容量較小，宜用隨機數表法．①將300個籃球用隨機方式編號，編號為001,002，…，300；②在隨機數表中隨機地確定一個數作為起先，如第8行第29列的數“9”起先．任選一個方向作為讀數方向，比如向右讀；③從數“9”起先向右讀，每次讀三位，凡不在001～300中的數跳過去不讀，遇到已經讀過的數也跳過去不讀，依次得到10個號碼，這就是所要抽取的10個樣本個體的號碼．(4)總體容量較大，樣本容量也較大，宜用系統抽樣．①將300個籃球用隨機方式編號，編號為000,001,002，…，299，并分成30段，其中每一段包含eq\f(300,30)＝10(個)個體；②在第一段000,001,002，…，009這十個編號中用簡潔隨機抽樣抽出一個(如002)作為起始號碼；③將編號為002,012,022，…，292的個體抽出，即可組成所要求的樣本．抽樣方法的選取：1若總體由差異明顯的幾個層次組成，則選用分層抽樣；2若總體沒有差異明顯的層次，則考慮采納簡潔隨機抽樣或系統抽樣.當總體容量較小時宜用抽簽法；當總體容量較大，樣本容量較小時宜用隨機數表法；當總體容量較大，樣本容量也較大時宜用系統抽樣；3采納系統抽樣時，當總體容量N能被樣本容量n整除時，抽樣間隔為k＝eq\f(N,n)；當總體容量不能被樣本容量整除時，先用簡潔隨機抽樣剔除多余個體，抽樣間隔為k＝[eq\f(N,n)].3．下列問題中，采納怎樣的抽樣方法較為合理？(1)從10臺電冰箱中抽取3臺進行質量檢查；(2)某學校有160名教職工，其中老師120名，行政人員16名，后勤人員24名，為了了解教職工對學校在校務公開方面的看法，擬抽取一個容量為20的樣本；(3)體育彩票000001～100000編號中，凡彩票號碼最終三位數為345的中一等獎．[解]題號推斷緣由分析(1)抽簽法總體容量較小，宜用抽簽法(2)分層抽樣由于學校各類人員對這一問題的看法可能差異較大，用分層抽樣(3)系統抽樣總體容量大，樣本容量較大，等距抽取，用系統抽樣1．本節課的重點是記住分層抽樣的特點和步驟，難點是會用分層抽樣從總體中抽取樣本．2．本節課要牢記分層抽樣中的兩個比例關系：(1)eq\f(樣本容量n,總體的個數N)＝eq\f(各層抽取的個體數,該層的個體數)；(2)總體中某兩層的個體數之比＝樣本中這兩層抽取的個體數之比．3．要駕馭分層抽樣的兩類問題：(1)依據分層抽樣的特征推斷分層抽樣．(2)依據分層抽樣的步驟設計分層抽樣，特殊是當總體容量不能被樣本容量整除時留意剔除個體．4．本節課的易錯點有：(1)概念理解錯誤致錯；(2)忽視每個個體被抽到的機會相等而致誤．1．思索辨析(1)分層抽樣事實上是按比例抽樣．()(2)分層抽樣中每個個體被抽到的可能性不一樣．()(3)調查問卷可以設計你想知道的任何問題．()[答案](1)√(2)×(3)×2．分層抽樣又稱類型抽樣，即將相像的個體歸入一類(層)，然后每類抽取若干個個體構成