7.6用銳角三角函數(shù)解決問(wèn)題一．選擇題1．如圖，滑動(dòng)調(diào)節(jié)式遮陽(yáng)傘的立柱AC垂直于地面AB，P為立柱上的滑動(dòng)調(diào)節(jié)點(diǎn)，傘體的截面示意圖為△PDE，F(xiàn)為PD的中點(diǎn)，AC＝2.8m，PD＝2m，CF＝1m，∠DPE＝15°．根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)太陽(yáng)光線與PE垂直時(shí)，遮陽(yáng)效果最佳，在上午10：00時(shí)，太陽(yáng)光線與地面的夾角為65°，若要遮陽(yáng)效果最佳AP的長(zhǎng)約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64）A．1.2m B．1.3m C．1.5m D．2.0m2．如圖，一個(gè)直角梯形的堤壩坡長(zhǎng)AB為6米，斜坡AB的坡角為60°，為了改善堤壩的穩(wěn)固性，準(zhǔn)備將其坡角改為45°，則調(diào)整后的斜坡AE的長(zhǎng)度為（）A．36米 B．33米 C．（33?2）米 D．（333．如圖，學(xué)校環(huán)保社成員想測(cè)量斜坡CD旁一棵樹(shù)AB的高度，他們先在點(diǎn)C處測(cè)得樹(shù)頂B的仰角為60°，然后在坡頂D測(cè)得樹(shù)頂B的仰角為30°，已知斜坡CD的長(zhǎng)度為10m，DE的長(zhǎng)為5m，則樹(shù)AB的高度是（）m．A．10 B．15 C．153 D．153?4．在商場(chǎng)里，為方便一部分殘疾人出入，商場(chǎng)特意設(shè)計(jì)了一種特殊通道“無(wú)障礙通道”，如圖，線段BC表示無(wú)障礙通道，線段AD表示普通扶梯，其中“無(wú)障礙通道”BC的坡度（或坡比）為i＝1：2，BC＝125米，CD＝6米，∠D＝30°，（其中點(diǎn)A、B、C、D均在同一平面內(nèi)）則垂直升降電梯AB的高度約為（）米．A．103 B．103?12 C．12 D．1035．如圖，某貨船以24海里/時(shí)的速度從A處向正東方向的D處航行，在點(diǎn)A處測(cè)得某島C在北偏東60°的方向．該貨船航行30分鐘后到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得該島在北偏東30°的方向上．則貨船在航行中離小島C的最短距離是（）A．12海里 B．63海里 C．123海里 D．243海里6．如圖，測(cè)得一商場(chǎng)自動(dòng)扶梯的長(zhǎng)為l，自動(dòng)扶梯與地面所成的角為θ，則該自動(dòng)扶梯到達(dá)的高度h為（）A．l?sinθ B．lsinθ C．l?cosθ D．7．如圖，一個(gè)坡角為15°的看臺(tái)橫截面上看旗桿CD，在這橫截面上進(jìn)行測(cè)量得到以下數(shù)據(jù)：在點(diǎn)A和點(diǎn)B處測(cè)得旗桿頂端的仰角分別為60°和30°，點(diǎn)A離地面高度為1米，且測(cè)得點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離為86米，則旗桿的高度為（）A．25米 B．24米 C．23米 D．26米8．如圖，電線桿CD的高度為h，兩根拉線AC與BC互相垂直（A、D、B在同一條直線上），設(shè)∠CAB＝α，那么拉線BC的長(zhǎng)度為（）A．hsinα B．hcosα C．htanα 9．小明為了測(cè)量一樓房AB的高度，如圖，小明從樓底B出發(fā)走了10米到達(dá)一坡角（即∠DCM）為30°的斜坡的底部，再走12米到達(dá)一觀測(cè)平臺(tái)，測(cè)得樓頂A的仰角∠ADH為37°．則樓房AB的高度為（）（參考數(shù)據(jù)：cos37°＝0.80，tan37°＝0.75，3=A．15 B．21 C．22 D．1610．如圖，某校教學(xué)樓AB后方有一斜坡，斜坡與教學(xué)樓剖面在同一平面內(nèi)，已知斜坡CD的長(zhǎng)為6m，坡度i＝1：0.75，教學(xué)樓底部到斜坡底部的水平距離AC＝8m，在教學(xué)樓頂部B點(diǎn)測(cè)得斜坡頂部D點(diǎn)的俯角為46°，則教學(xué)樓的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04）A．12.1m B．13.3m C．16.9m D．18.1m11．如圖，小麗為了測(cè)量校園里教學(xué)樓AB的高度．將測(cè)角儀CD豎直放置在與教學(xué)樓水平距離為32m的地面上，若測(cè)角儀的高度是1.5m，測(cè)得教學(xué)樓的頂部A處的仰角為30°，則教學(xué)樓的高度約是（）A．20m B．57m C．18.5m D．17m12．中國(guó)最早的一部數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載著勾股定理．約1400年后的漢代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用數(shù)形結(jié)合的方法給出了勾股定理的證明．這就是如圖所示的“趙爽弦圖”，若|sina﹣cosa|=5A．1：5 B．1：1 C．2：5 D．1：5二．填空題13．如圖，一輪船在A處觀測(cè)燈塔P位于南偏西30°方向，該輪船沿正南方向以15海里/時(shí)的速度勻速航行2小時(shí)后到達(dá)B處，再觀測(cè)燈塔P位于南偏西60°方向．若該輪船繼續(xù)向南航行至燈塔P最近的位置C處，此時(shí)PC長(zhǎng)為海里．14．如圖，碼頭A在碼頭B的正東方向，兩個(gè)碼頭之間的距離為10海里，今有一貨船由碼頭A出發(fā)，沿北偏西60°方向航行到達(dá)小島C處，此時(shí)測(cè)得碼頭B在南偏東45°方向，則碼頭A與小島C的距離為海里（結(jié)果保留根號(hào)）．15．如圖，一人乘雪橇沿坡比1：3的斜坡筆直滑下72米，那么他下降的高度為米．16．如圖，在一次測(cè)繪活動(dòng)中，在港口A的位置觀測(cè)停放于B、C兩處的小船，測(cè)得船B在港口A北偏東75°方向12海里處，船C在港口A南偏東15°方向9海里處，則船B與船C之間的距離為海里．17．如圖，從甲樓底部A處測(cè)得乙樓頂部C處的仰角是30°，從甲樓頂部B處測(cè)得乙樓底部D處的俯角是45°，已知乙樓的高CD是50m，則甲樓的高AB是m（結(jié)果保留根號(hào)）．18．如圖，在熱氣球上的點(diǎn)C測(cè)得地面A，B兩點(diǎn)的俯角分別為30°，45°，點(diǎn)C到地面的高度CD為100米，點(diǎn)A，B，D在同一直線上，則AB兩點(diǎn)的距離是米（結(jié)果保留根號(hào)）．19．如圖，一座水庫(kù)大壩的橫斷面為梯形ABCD，斜坡AB＝8m，現(xiàn)將坡度為1：3的斜坡AB改為坡度為1：2的斜坡AP．則新坡面AP＝m．（結(jié)果保留根號(hào)）20．如圖，學(xué)校科技小組計(jì)劃測(cè)量一處電信塔的高度，小明在A處用儀器測(cè)到塔尖D的仰角∠DAC＝15°，向塔正前方水平直行260m到達(dá)點(diǎn)B，測(cè)到塔尖的仰角∠DBC＝30°，若小明的眼睛離地面1.6m，塔的高度DE＝m．21．港珠澳大橋是中國(guó)境內(nèi)一座連接香港、珠海和澳門的橋隧工程，因其超大的建筑規(guī)模、空前的施工難度以及頂尖的建造技術(shù)而聞名世界．其主體工程青州航道橋是一座雙塔雙索面鋼箱梁斜拉橋，兩座索塔及索塔兩側(cè)的斜拉索對(duì)稱分布，塔高AB為163米，大橋主跨BD的中點(diǎn)為E，記斜拉索與大橋主梁所夾銳角為α，那么用塔高和α的三角函數(shù)表示主跨BD的長(zhǎng)為米．22．如圖，某建筑物的頂部有一塊標(biāo)識(shí)牌CD，小明在斜坡上B處測(cè)得標(biāo)識(shí)牌頂部C的仰角為45°，沿斜坡走下來(lái)，在地面A處測(cè)得標(biāo)識(shí)牌底部D的仰角為60°，已知斜坡AB的坡角為30°，AB＝AE＝10米．則標(biāo)識(shí)牌CD的高度是米．23．圖1是一張可以折疊的小床展開(kāi)后支撐起來(lái)放在地面的示意圖，此時(shí)點(diǎn)A、B、C在同一直線上，且∠ACD＝90°，圖2是小床支撐腳CD折疊的示意圖，在折疊過(guò)程中，△ACD變形為四邊形ABC'D'，最后折疊形成一條線段BD“．某家裝廠設(shè)計(jì)的折疊床是AB＝8cm，BC＝16cm，①此時(shí)CD應(yīng)該是多長(zhǎng)；②折疊時(shí)，當(dāng)AB⊥BC′時(shí)，sinD'＝．24．如圖，在坡度為1：2.4的斜坡上有一棵與水平面垂直的樹(shù)BC，在斜坡底部A處測(cè)得樹(shù)頂C的仰角為30°，AB的長(zhǎng)為65米，那么樹(shù)高BC等于米（保留根號(hào)）．三．解答題25．速滑運(yùn)動(dòng)受到許多年輕人的喜愛(ài)．如圖，四邊形BCDG是某速滑場(chǎng)館建造的滑臺(tái)，已知CD∥EG，滑臺(tái)的高DG為5米，且坡面BC的坡度為1：1．后來(lái)為了提高安全性，決定降低坡度，改造后的新坡面AC的坡度為1：3（1）求新坡面AC的坡角及AC的長(zhǎng)；（2）原坡面底部BG的正前方10米處（EB＝10）是護(hù)墻EF，為保證安全，體育管理部門規(guī)定，坡面底部至少距護(hù)墻7米．請(qǐng)問(wèn)新的設(shè)計(jì)方案能否通過(guò)，試說(shuō)明理由（參考數(shù)據(jù)：3≈1.7326．如圖，隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，人們的環(huán)境保護(hù)意識(shí)也在逐步增強(qiáng)．某社區(qū)設(shè)立了“保護(hù)環(huán)境愛(ài)我地球”的宣傳牌．已知立桿AB的高度是3m，從地面上某處D點(diǎn)測(cè)得宣傳牌頂端C點(diǎn)和底端B點(diǎn)的仰角分別是62°和45°．求宣傳牌的高度BC的長(zhǎng)．（精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin62°＝0.83，cos62°＝0.47，tan62°＝1.88）27．如圖，在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，小亮要測(cè)量一樓房的高度，先在坡面D處測(cè)得樓房項(xiàng)部A的仰角為30°，沿坡面向下走到坡腳C處，然后向樓房方向繼續(xù)行走10米到達(dá)E處，測(cè)得樓房頂部A的仰角為60°，已知坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1：3，（坡度i是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比），求樓房AB高度（結(jié)果精確到1米）（參考數(shù)據(jù)：3≈1.73，228．位于河南省登封市境內(nèi)的元代觀星臺(tái)，是中國(guó)現(xiàn)存最早的天文臺(tái)，也是世界文化遺產(chǎn)之一．某校數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們使用卷尺和自制的測(cè)角儀測(cè)量觀星臺(tái)的高度．如圖所示，他們?cè)诘孛嬉粭l水平步道MP上架設(shè)測(cè)角儀，先在點(diǎn)M處測(cè)得觀星臺(tái)最高點(diǎn)A的仰角為22°，然后沿MP方向前進(jìn)16m到達(dá)點(diǎn)N處，測(cè)得點(diǎn)A的仰角為45°．測(cè)角儀的高度為1.6m．（1）求觀星臺(tái)最高點(diǎn)A距離地面的高度（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，2≈（2）“景點(diǎn)簡(jiǎn)介”顯示，觀星臺(tái)的高度為12.6m．請(qǐng)計(jì)算本次測(cè)量結(jié)果的誤差，并提出一條減小誤差的合理化建議．29．2020年5月5日，為我國(guó)載人空間站工程研制的長(zhǎng)征五號(hào)運(yùn)載火箭在海南文昌首飛成功．運(yùn)載火箭從地面O處發(fā)射，當(dāng)火箭到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，地面D處的雷達(dá)站測(cè)得AD＝4000米，仰角為30°．3秒后，火箭直線上升到達(dá)點(diǎn)B處，此時(shí)地面C處的雷達(dá)站測(cè)得B處的仰角為45°．已知C，D兩處相距460米，求火箭從A到B處的平均速度（結(jié)果精確到1米/秒，參考數(shù)據(jù)：3≈1.732，230．如圖，某學(xué)校體育場(chǎng)看臺(tái)的頂端C到地面的垂直距離CD為2m，看臺(tái)所在斜坡CM的坡比i＝1：3，在點(diǎn)C處測(cè)得旗桿頂點(diǎn)A的仰角為30°，在點(diǎn)M處測(cè)得旗桿頂點(diǎn)A的仰角為60°，且B，M，D三點(diǎn)在同一水平線上．（1）求DM的長(zhǎng)．（2）求旗桿AB的高度．（結(jié)果保留根號(hào)）答案一．選擇題C．A．B．B．B．A．A．B．B．C．A．B．二．填空題13．153．14．（10+103）．15．36（米）．16．15．17．503．18．100（3+19．45．20．131.6．21．32622．（15﹣53）．23．32；191024．（203?三．解答題25．解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BG，垂足為H，∵新坡面AC的坡度為1：3，∴tan∠CAH=1∴∠CAH＝30°，即新坡面AC的坡角為30°，∴AC＝2CH＝10米；（2）新的設(shè)計(jì)方案不能通過(guò)．理由如下：∵坡面BC的坡度為1：1，∴BH＝CH＝5，∵tan∠CAH=3∴AH=3CH＝53∴AB＝53?∴AE＝EB﹣AB＝10﹣（53?5）＝15﹣53∴新的設(shè)計(jì)方案不能通過(guò)．26．解：在Rt△ADB中，∵∠BDA＝45°，∴AD＝AB＝3m．在Rt△ADC中，AC＝AD?tan62°＝3×1.88＝5.64（m）．∴BC＝AC﹣AB＝5.64﹣3＝2.64≈2.6（m）．答：宣傳牌BC的高度是2.6m．27．解：過(guò)D作DG⊥BC于G，DH⊥AB于H，交AE于F，作FP⊥BC于P，如圖所示：則DG＝FP＝BH，DF＝GP，∵坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1：3，∴∠DCG＝30°，∴FP＝DG=12∴CG=3DG＝53∵∠FEP＝60°，∴FP=3EP∴EP=5∴DF＝GP＝53+10+∵∠AEB＝60°，∴∠EAB＝30°，∵∠ADH＝30°，∴∠DAH＝60°，∴∠DAF＝30°＝∠ADF，∴AF＝DF=20∴FH=12AF∴AH=3FH＝10+53∴AB＝AH+BH＝10+53+5＝15+53答：樓房AB高度約為24米．28．解：（1）過(guò)A作AD⊥PM于D，延長(zhǎng)BC交AD于E，則四邊形BMNC，四邊形BMDE是矩形，∴BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，∵∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴CE＝AE，設(shè)AE＝CE＝x，∴BE＝16+x，∵∠ABE＝22°，∴tan22°=AE∴x≈10.7（m），∴AD＝10.7+1.6＝12.3（m），答：觀星臺(tái)最高點(diǎn)A距離地面的高度約為12.3m；（2）∵“景點(diǎn)簡(jiǎn)介”顯示，觀星臺(tái)的高度為12.6m，∴本次測(cè)量結(jié)果的誤差為12.6﹣12.3＝0.3（m），減小誤差的合理化建議為：為了減小誤差可以通過(guò)多次測(cè)量取平均值的方法．29．解：設(shè)火箭從A到B處的平均速度為x米/秒，根據(jù)題意可知：AB＝3x，在Rt△ADO中，∠ADO＝30°，AD＝4000，∴AO＝2000，∴DO＝20003，∵CD＝460，∴OC＝OD﹣C