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文檔簡介

題1.三角形數是指形如1+2+…+n的數，其中n為正整數，即1,3,6,10,...。求最大的非三角形正整數，滿足該數不能表示為不同的三角形數之和。題2.我們稱一個刺猬圖為一個圖中有一個頂點與其他所有頂點相連，且沒有其他邊；這個圖的頂點數稱為刺猬的大小。給定一個n個頂點的圖G(其中n>1)。對于每條邊e,我們用s(e)表示圖G中包含該邊的最大刺猬的大小。證明以下不等式(對所有邊求和):跑。當運動員到達跑道的某一端時，立即轉身并繼續朝相反方向跑。一段時間后，三名運動員在起點相遇并結束訓練。求最大的S,使得我們可以確定在某個時刻，三名運動員之間的兩兩距離之和至少為S。的外接圓上，且滿足三角4×4的子棋盤，被標記的部分至少占子棋盤的一半。求整個棋盤中被標記的小方格的個數的最小值。的延長線與其外接圓相交于點N。為底邊且頂角等于角ABC的等腰三角形BDC。證明CM⊥DN。證明f和g有一個共同的根。題8.一家玩具工廠生產幾種粘土玩具。玩具被涂成k種顏色。一種顏色的多樣性是指該顏色的不同玩具種類的數量。(例如，如果有5只藍色的貓和7只藍色的老鼠，且沒有其他藍色玩具，則藍色的多樣性為2。)涂色協議要求每種顏色都被使用，并且任意兩種顏色的多樣性不同。商店中的玩具可以按照協議涂色。然而，在涂色之前，一批粘土切布拉什卡玩具到達了商店(之前沒有切布拉什卡玩具)。切布拉什卡的數量不少于任何其他種類玩具的數量。所有玩具(包括切布拉什卡)的總數至少為。證明現在可以將玩具涂成k+1種顏色，并符合協議要求。題2.奇普和戴爾在一個100×100的棋盤上玩游戲。開始時，棋盤左上角放置一個國際象棋的“王”。每一步玩家可以將“王”向右、向下或向右下對角線移動一格。玩家不能使用對手上一步移動的方向。奇普先手，無法移動的玩家輸掉游戲。哪位玩家有必勝策略?題3.將所有完全平方數以及所有完全平方數乘以2所得的數按遞增順序排列成一個數列。設f(n)為該數列中的第n個數。(例如，f(1)=1,f(2)=2,f(3)=4,f(4)=8。)是否存在一個整數n,使得以下所有數f(n)題4.給定三角形ABC。連接AB和AC上的旁切圓切點的線段與角C的平分線相交于點X。連接BC和AC上的旁切圓切點的線段與角A的平分線相交于點Y。證明XY的中點4×4的子棋盤，被標記的部分至少占子棋盤的一半。求整個棋盤中被標記的小方格的個數的最小值。注：本題目與初級組第5題相同。題7.給定兩個具有實數系數的100次多項式f和g。對于

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