試卷第=page11頁，總=sectionpages33頁試卷第=page11頁，總=sectionpages33頁四川省遂寧市2021年中考數學真題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．－2021的絕對值是（）A．－2021 B．2021 C． D．2．下列計算中，正確的是（）A． B．C． D．3．如圖所示的幾何體是由6個完全相同的小正方體搭成，其主視圖是（）A． B．C． D．4．國家統計局2021年5月11日公布了第七次全國人口普查結果，全國總人口約14.1億人，將14.1億用科學記數法表示為（）A．14.1×108 B．1.41×108 C．1.41×109 D．0.141×10105．如圖，在△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，若△ADE的面積是3cm2，則四邊形BDEC的面積為（）A．12cm2 B．9cm2 C．6cm2 D．3cm26．下列說法正確的是（）A．角平分線上的點到角兩邊的距離相等B．平行四邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形C．在代數式，，，，，中，，，是分式D．若一組數據2、3、x、1、5的平均數是3，則這組數據的中位數是47．不等式組的解集在數軸上表示正確的是（）A． B．C． D．8．如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，點E為BC上一點，把△CDE沿DE翻折，點C恰好落在AB邊上的F處，則CE的長是（）A．1 B． C． D．9．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點D，E，過點D作DF⊥AC，垂足為點F，若⊙O的半徑為，∠CDF=15°，則陰影部分的面積為（）A． B．C． D．10．已知二次函數的圖象如圖所示，有下列5個結論：①；②；③；④（）；⑤若方程＝1有四個根，則這四個根的和為2，其中正確的結論有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個二、填空題11．若，則_____．12．如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直線DE垂直平分BC，垂足為E，交AC于點D，則△ABD的周長是_____．13．已知關于x，y的二元一次方程組滿足，則a的取值范圍是____．14．如圖都是由同樣大小的小球按一定規律排列的，依照此規律排列下去，第___個圖形共有210個小球．15．如圖，正方形ABCD中，點E是CD邊上一點，連結BE，以BE為對角線作正方形BGEF，邊EF與正方形ABCD的對角線BD相交于點H，連結AF，有以下五個結論：①；②；③；④；⑤若，則，你認為其中正確是_____（填寫序號）三、解答題16．計算：17．先化簡，再求值：，其中m是已知兩邊分別為2和3的三角形的第三邊長，且m是整數．18．如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點O的直線EF與BA、DC的延長線分別交于點E、F．（1）求證：AE＝CF；（2）請再添加一個條件，使四邊形BFDE是菱形，并說明理由．19．我市于2021年5月22－23日在遂寧觀音湖舉行了“龍舟賽”，吸引了全國各地選手參加．現對某校初中1000名學生就“比賽規則”的了解程度進行了抽樣調查（參與調查的同學只能選擇其中一項），并將調查結果繪制出以下兩幅不完整的統計圖表，請根據統計圖表回答下列問題：類別頻數頻率不了解10m了解很少160.32基本了解b很了解4n合計a1（1）根據以上信息可知：a＝，b＝，m＝，n＝；（2）補全條形統計圖；（3）估計該校1000名初中學生中“基本了解”的人數約有人；（4）“很了解”的4名學生是三男一女，現從這4人中隨機抽取兩人去參加全市舉辦的“龍舟賽”知識競賽，請用畫樹狀圖或列表的方法說明，抽到兩名學生均為男生和抽到一男一女的概率是否相同．20．已知平面直角坐標系中，點P（）和直線Ax＋By＋C＝0（其中A，B不全為0），則點P到直線Ax＋By＋C＝0的距離可用公式來計算．例如：求點P（1，2）到直線y＝2x＋1的距離，因為直線y＝2x＋1可化為2x－y＋1＝0，其中A＝2，B＝－1，C＝1，所以點P（1，2）到直線y＝2x＋1的距離為：．根據以上材料，解答下列問題：（1）求點M（0，3）到直線的距離；（2）在（1）的條件下，⊙M的半徑r＝4，判斷⊙M與直線的位置關系，若相交，設其弦長為n，求n的值；若不相交，說明理由．21．某服裝店以每件30元的價格購進一批T恤，如果以每件40元出售，那么一個月內能售出300件，根據以往銷售經驗，銷售單價每提高1元，銷售量就會減少10件，設T恤的銷售單價提高元．（1）服裝店希望一個月內銷售該種T恤能獲得利潤3360元，并且盡可能減少庫存，問T恤的銷售單價應提高多少元？（2）當銷售單價定為多少元時，該服裝店一個月內銷售這種T恤獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？22．小明周末與父母一起到遂寧濕地公園進行數學實踐活動，在A處看到B、C處各有一棵被湖水隔開的銀杏樹，他在A處測得B在北偏西45°方向，C在北偏東30°方向，他從A處走了20米到達B處，又在B處測得C在北偏東60°方向．（1）求∠C的度數；（2）求兩顆銀杏樹B、C之間的距離（結果保留根號）．23．如圖，一次函數＝kx＋b（k≠0）與反比例函數（m≠0）的圖象交于點A（1，2）和B（－2，a），與y軸交于點M．（1）求一次函數和反比例函數的解析式；（2）在y軸上取一點N，當△AMN的面積為3時，求點N的坐標；（3）將直線向下平移2個單位后得到直線y3，當函數值時，求x的取值范圍．24．如圖，⊙O的半徑為1，點A是⊙O的直徑BD延長線上的一點，C為⊙O上的一點，AD＝CD，∠A＝30°．（1）求證：直線AC是⊙O的切線；（2）求△ABC的面積；（3）點E在上運動（不與B、D重合），過點C作CE的垂線，與EB的延長線交于點F．①當點E運動到與點C關于直徑BD對稱時，求CF的長；②當點E運動到什么位置時，CF取到最大值，并求出此時CF的長．25．如圖，已知二次函數的圖象與x軸交于A和B（－3，0）兩點，與y軸交于C（0，－3），對稱軸為直線，直線y＝－2x＋m經過點A，且與y軸交于點D，與拋物線交于點E，與對稱軸交于點F．（1）求拋物線的解析式和m的值；（2）在y軸上是否存在點P，使得以D、E、P為頂點的三角形與△AOD相似，若存在，求出點P的坐標；若不存在，試說明理由；（3）直線y＝1上有M、N兩點（M在N的左側），且MN＝2，若將線段MN在直線y＝1上平移，當它移動到某一位置時，四邊形MEFN的周長會達到最小，請求出周長的最小值（結果保留根號）．答案第=page11頁，總=sectionpages22頁答案第=page11頁，總=sectionpages22頁參考答案1．B【分析】一個數的數絕對值是非負數，負數的絕對值是它的相反數．【詳解】－2021的絕對值是2021；故選：B．【點睛】本題考查了絕對值的定義，以及求絕對值，掌握一個負數的絕對值是它的相反數，是解題的關鍵．2．D【分析】分別根據完全平方公式，同底數冪相除，單項式乘以多項式，合并同類項等知識點化簡，然后判斷即可．【詳解】解：A.，故選項錯誤；B.，故選項錯誤；C.，故選項錯誤；D.，故選項正確；故選：D．【點睛】本題考查了完全平方公式，同底數冪相除，單項式乘以多項式，合并同類項等知識點，熟悉相關知識點是解題的關鍵．3．D【分析】從正面看：共有2列，從左往右分別有2，1個小正方形；據此可畫出圖形．【詳解】解：如圖所示的幾何體的主視圖是．故選：D．【點睛】本題考查了簡單組合體的三視圖，從正面看得到的視圖是主視圖．4．C【分析】科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．【詳解】解：14.1億，故選：C．【點睛】本題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．5．B【分析】由三角形的中位線定理可得DE=BC，DE∥BC，可證△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性質，即可求解．【詳解】解：∵點D，E分別是邊AB，AC的中點，∴DE=BC，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵S△ADE=3，∴S△ABC=12，∴四邊形BDEC的面積=12-3=9(cm2)，故選：B．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，三角形中位線定理，掌握相似三角形的性質是解題的關鍵．6．A【分析】根據角平分線的性質，平行四邊形的對稱性，分式的定義，平均數，中位數的性質分別進行判斷即可．【詳解】解：A.角平分線上的點到角兩邊的距離相等，故選項正確；B.平行四邊形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故選項錯誤；C.在代數式，，，，，中，，是分式，故選項錯誤；D.若一組數據2、3、x、1、5的平均數是3，則這組數據的中位數是3，故選項錯誤；故選：A．【點睛】本題綜合考查了角平分線的性質，平行四邊形的對稱性，分式的定義，平均數，中位數等知識點，熟悉相關性質是解題的關鍵．7．C【分析】先分別求出兩個不等式的解，得出不等式組的解，再在數軸上的表示出解集即可．【詳解】解：解不等式①得，解不等式②得，不等式組的解集為，在數軸上表示為，故選：C．【點睛】本題考查了一元一次不等式組的解法和解集的表示，解題關鍵是熟練運用解不等式組的方法求解，準確在數軸上表示解集．8．D【分析】設CE=x，則BE=3-x由折疊性質可知，EF=CE=x，DF=CD=AB=5，所以AF=4，BF=AB-AF=5-4=1，在Rt△BEF中，由勾股定理得(3-x)2+12=x2，解得x的值即可．【詳解】解：設CE=x，則BE=3-x，由折疊性質可知，EF=CE=x，DF=CD=AB=5在Rt△DAF中，AD=3，DF=5，∴AF=，∴BF=AB-AF=5-4=1，在Rt△BEF中，BE2+BF2=EF2，即(3-x)2+12=x2，解得x=，故選：D．【點睛】本題考查了與矩形有關的折疊問題，熟練掌握矩形的性質以及勾股定理是解題的關鍵．9．A【分析】連接AD，連接OE，根據圓周角定理得到∠ADB=90°，根據等腰三角形的性質得到∠BAC=2∠DAC=2×15°=30°，求得∠AOE=120°，過O作OH⊥AE于H，解直角三角形得到OH=2，AH=6，根據扇形和三角形的面積公式即可得到結論．【詳解】解：連接AD，連接OE，∵AB是直徑，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵DF⊥AC，∴∠DFC=∠DFA=90°，∴∠DAC=∠CDF=15°，∵AB=AC，D是BC中點，∴∠BAC=2∠DAC=2×15°=30°，∵OA=OE，∴∠AOE=120°，過O作OH⊥AE于H，∵AO=4，∴OH=AO=2，∴AH=OH=6，∴AE=2AH=12，∴S陰影=S扇形AOE-S△AOE=．故選：A．【點睛】本題主要考查了扇形的面積與三角形的面積公式，圓周角定理等，作出適當的輔助線，數形結合是解答此題的關鍵．10．A【分析】根據拋物線的開口向下，對稱軸方程以及圖象與y軸的交點得到a，b，c的取值，于是可對①進行判斷；根據拋物線與x軸的交點的個數可對②進行判斷；根據對稱軸可得，則，根據可得，代入變形可對③進行判斷；當時，的值最大，即當時，即>，則可對④進行判斷；由于方程ax2+bx+c=1有2個根，方程ax2+bx+c=-1有2個根，則利用根與系數的關系可對⑤進行判斷．【詳解】解：①∵拋物線開口方向向下，∴a＜0，∵拋物線與y軸交于正半軸，∴c＞0，∵對稱軸在y軸右側，∴b＞0，∴abc＜0，①錯誤；②∵拋物線與x軸有兩個交點∴>0∴，故②錯誤；③∵拋物線的對稱軸為直線x=1，∴，∴由圖象得，當時，，∴∴，故③正確；④當時，的值最大，∴當時，>，∴（），∵b＞0，∴（），故④正確；⑤∵方程|ax2+bx+c|=1有四個根，∴方程ax2+bx+c=1有2個根，方程ax2+bx+c=-1有2個根，∴所有根之和為2×（-）=2×=4，所以⑤錯誤．∴正確的結論是③④，故選：A【點睛】本題考查了二次函數圖象與系數的關系：對于二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小．當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置．當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．常數項c決定拋物線與y軸交點位置：拋物線與y軸交于（0，c）．拋物線與x軸交點個數由△決定：△=b2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．11．【分析】根據非負數的性質列式求出a、b的值，然后計算即可求解．【詳解】解：根據題意得，a?2=0，a+b=0，解得a=2，b=-2，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了兩個非負數之和為零的性質，絕對值與算術平方根的非負性，負整數指數冪的運算，掌握以上知識是解題的關鍵．12．12．【分析】根據線段的垂直平分線的性質得到，根據三角形的周長公式計算即可．【詳解】解：∵直線DE垂直平分BC，∴，∴△ABD的周長，故答案為：12．【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．13．．【分析】根據題目中方程組的的特點，將兩個方程作差，即可用含a的代數式表示出，再根據，即可求得的取值范圍，本題得以解決．【詳解】解：①-②，得∵∴，解得，故答案為：．【點睛】本題考查解一元一次不等式，二元一次方程組的解，熟悉相關性質是解答本題的關鍵．14．20【分析】根據已知圖形得出第n個圖形中黑色三角形的個數為1+2+3++n=，列一元二次方程求解可得．【詳解】解：∵第1個圖形中黑色三角形的個數1，第2個圖形中黑色三角形的個數3=1+2，第3個圖形中黑色三角形的個數6=1+2+3，第4個圖形中黑色三角形的個數10=1+2+3+4，……∴第n個圖形中黑色三角形的個數為1+2+3+4+5++n=，當共有210個小球時，，解得：或(不合題意，舍去)，∴第個圖形共有210個小球．故答案為：．【點睛】本題考查了圖形的變化規律，解一元二次方程，解題的關鍵是得出第n個圖形中黑色三角形的個數為1+2+3+……+n．15．①②③④【分析】①四邊形BGEF和四邊形ABCD均為正方形，BD，BE是對角線，得∠ABD＝∠FBE＝45°，根據等式的基本性質確定出；②再根據正方形的對角線等于邊長的倍，得到兩邊對應成比例，再根據角度的相減得到夾角相等，利用兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似即可判斷；④根據兩角相等的兩個三角形相似得到△EBH∽△DBE，從而得到比例式，根據BE＝BG，代換即可作出判斷；③由相似三角形對應角相等得到∠BAF＝∠BDE＝45°，可得出AF在正方形ABCD對角線上，根據正方形對角線垂直即可作出判斷．⑤設CE=x，DE=3x，則BC=CD=4x，結合BE2＝BH?BD，求出BH，DH，即可判斷．【詳解】解：①∵四邊形BGEF和四邊形ABCD均為正方形，BD，BE是對角線，∴∠ABD＝∠FBE＝45°，又∵∠ABF＝45°?∠DBF，∠DBE＝45°?∠DBF，∴，∴選項①正確；②∵四邊形BGEF和四邊形ABCD均為正方形，∴AD＝AB，BF＝BE，∴BD＝AB，BE=BF，∴又∵，∴，∴選項②正確；④∵四邊形BGEF和四邊形ABCD均為正方形，BD，BE是對角線，∴∠BEH＝∠BDE＝45°，又∵∠EBH＝∠DBE，∴△EBH∽△DBE，∴，即BE2＝BH?BD，又∵BE＝BG，∴，∴選項④確；③由②知：，又∵四邊形ABCD為正方形，BD為對角線，∴∠BAF＝∠BDE＝45°，∴AF在正方形另外一條對角線上，∴AF⊥BD，∴③正確，⑤∵，∴設CE=x，DE=3x，則BC=CD=4x，∴BE=，∵BE2＝BH?BD，∴，∴DH=BD-BH=,∴，故⑤錯誤，綜上所述：①②③④正確，故答案是：①②③④．【點睛】此題考查了相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，以及正方形的性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解本題的關鍵．16．-3【分析】分別利用負整指數冪，特殊角的三角函數值，絕對值，零指數冪，二次根式的性質化簡，再進行計算即可．【詳解】解：【點睛】本題考查了負整指數冪，特殊角的三角函數值，絕對值，零指數冪，二次根式的化簡等知識點，熟悉相關性質是解題的關鍵．17．；【分析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結果，利用三角形三邊的關系，求得m的值，代入計算即可求出值．【詳解】解：，∵m是已知兩邊分別為2和3的三角形的第三邊長，∴3-2＜m＜3+2，即1＜m＜5，∵m為整數，∴m=2、3、4，又∵m≠0、2、3∴m=4，∴原式=．【點睛】本題主要考查了分式的化簡求值以及三角形三邊的關系，解題的關鍵是掌握分式混合運算順序和運算法則．18．（1）見解析；（2）EF⊥BD或EB＝ED，見解析【分析】（1）根據平行四邊形的性質和全等三角形的證明方法證明，則可得到AE＝CF；（2）連接BF，DE，由，得到OE=OF，又AO=CO，所以四邊形AECF是平行四邊形，則根據EF⊥BD可得四邊形BFDE是菱形．【詳解】證明：（1）∵四邊形是平行四邊形∴OA＝OC，BE∥DF∴∠E＝∠F在△AOE和△COF中∴∴AE＝CF（2）當EF⊥BD時，四邊形BFDE是菱形，理由如下：如圖：連結BF，DE∵四邊形是平行四邊形∴OB＝OD∵∴∴四邊形是平行四邊形∵EF⊥BD，∴四邊形是菱形【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質與判定、平行四邊形的性質，菱形的判定等知識點，熟悉相關性質，能全等三角形的性質解決問題是解題的關鍵．19．（1）50；20；0.2；0.08；（2）見解析；（3）400；（4）【分析】（1）由“了解很少”的頻數除以頻率得到調查樣本容量，從而可求出a，b，m，n的值；（2）根據（1）的結論補全圖形即可；（3）根據樣本的基本了解的頻率估計總體即可得到結果；（4）運用列表的方法得出所有情況和抽到兩名學生均為男生和抽到一男一女的情況相同，從而得出結論．【詳解】解：（1）∵16÷0.32=50（人）∴a＝50，b＝50-（10-16-4）=20，m＝10÷50=0.2，n＝4÷50=0.08，故答案為：50，20，0.2，0.08；（2）補全條形統計圖如下圖：（3）該校1000名初中學生中“基本了解”的人數約有400人，故答案為：400；（4）記4名學生中3名男生分，一名女生為B，A1A2A3BA1（A1，A2）（A1，A3）（A1，B）A2（A2，A1）（A2，A3）（A2，B）A3（A3，A1）（A3，A2）（A3，B）B（B，A1）（B，A2）（B，A3）從4人中任取兩人的所有機會均等結果共有12種抽到兩名學生均為男生包含：A1A2，A1A3，A2A1，A2A3，A3A1，A3A2，共6種等可能結果，∴P（抽到兩名學生均為男生）＝抽到一男一女包含：A1B，A2B，A3B，BA1，BA2，BA3共六種等可能結果∴P（抽到一男一女）＝故抽到兩名學生均為男生和抽到一男一女的概率相同【點睛】本題考查條形統計圖、列表法求隨機事件發生的概率，從統計圖中獲取數量和數量之間的關系以及列舉出所有可能出現的結果數是解決問題的關鍵．20．（1）3；（2）直線與圓相交，【分析】（1）直接利用公式計算即可；（2）根據半徑和點到直線的距離判斷直線與圓的位置關系，再根據垂徑定理求弦長．【詳解】解：（1）∵y＝x＋9可變形為x－y＋9＝0，則其中A＝，B＝－1，C＝9，由公式可得∴點M到直線y＝x＋9的距離為3，（2）由（1）可知：圓心到直線的距離d＝3，圓的半徑r＝4，∵d＜r∴直線與圓相交，則弦長，【點睛】本題考查了閱讀理解和圓與直線的位置關系，垂徑定理，解題關鍵是熟練運用公式求解和熟練運用圓的相關性質進行推理和計算．21．（1）2元；（2）當服裝店將銷售單價50元時，得到最大利潤是4000元【分析】（1）根據題意，通過列一元二次方程并求解，即可得到答案；（2）設利潤為M元，結合題意，根據二次函數的性質，計算得利潤最大值對應的的值，從而得到答案．【詳解】（1）由題意列方程得：（x＋40-30）（300-10x）＝3360解得：x1＝2，x2＝18∵要盡可能減少庫存，∴x2＝18不合題意，故舍去∴T恤的銷售單價應提高2元；（2）設利潤為M元，由題意可得：M＝（x＋40-30）（300-10x）＝-10x2＋200x＋3000＝∴當x＝10時，M最大值＝4000元∴銷售單價：40＋10＝50元∴當服裝店將銷售單價50元時，得到最大利潤是4000元．【點睛】本題考查了一元二次方程、二次函數的知識；解題的關鍵是熟練掌握一元二次方程、二次函數的性質，從而完成求解．22．（1）30°；（2）（）米【分析】（1）作交于點，根據且，可得，利用外角的性質根據可求出結果（2）過點B作BG⊥AD于G，則有，可得，，，可求得，再根據可得結果．【詳解】解：（1）如圖示，作交于點，∵且∴∵且∴（2）過點B作BG⊥AD于G．∵∴在中，，在中，∵∴∴答：兩顆銀杏樹B、C之間的距離為米【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，平行線的性質，外角的性質，能根據題意理清圖形中各角的關系是解題的關鍵．23．（1）y1＝x＋1；；（2）N（0，7）或（0，－5）；（3）－2＜x＜－1或1＜x＜2【分析】（1）先用待定系數法求反比例函數解析式，再求出B點坐標，再求一次函數解析式即可；（2）根據面積求出MN長，再根據M點坐標求出N點坐標即可；（3）求出直線y3解析式，再求出它與反比例函數圖象的交點坐標，根據圖象，可直接寫出結果．【詳解】解：（1）∵過點A（1，2），∴m＝1×2＝2，即反比例函數：，當x＝－2時，a＝－1，即B（－2，－1）y1＝kx＋b過A（1，2）和B（－2，－1）代入得，解得，∴一次函數解析式為y1＝x＋1，（2）當x＝0時，代入y＝x＋1中得，y＝1，即M（0，1）∵S△AMN＝1∴MN＝6，∴N（0，7）或（0，－5），（3）如圖，設y2與y3的圖像交于C，D兩點∵y1向下平移兩個單位得y3且y1＝x＋1∴y3＝x－1，聯立得解得或∴C（－1，－2），D（2，1），在A、D兩點之間或B、C兩點之間時，y1＞y2＞y3，∴－2＜x＜－1或1＜x＜2．【點睛】本題考查了一次函數和反比例函數綜合，解題關鍵是熟練運用待定系數法求出解析式，利用數形結合思想解決問題．24．（1）見解析；（2）；（3）①3；②【分析】（1）連接OC，利用切線的判定定理，證明OC⊥AC即可；（2）要求的面積，結合（1）題，底邊AB可求，只需再求出底邊上的高CH即可；（3）根據垂徑定理可求CE的長，再利用銳角三角函數，可求CF的長；由可知，點E在運動過程中，始終有，所以，求出CE的最大值，即可得到CF的最大值．【詳解】（1）證明：連結OC，如圖所示．∵AD＝CD，∠A＝30°，∴∠ACD＝∠A=30°．∴∠CDB＝60°．∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC=60°．∴∠ACO＝∠ACD＋∠OCD＝30°+60°=90°．∴OC⊥AC．∴直線AC是⊙O的切線．（2）過點C作CH⊥AB于點H，如圖所示．∵OD=OC，∠ODC=60°，∴是等邊三角形．∴．∴在中，．∵AB＝AD＋BD＝3，∴．（3）當點運動到與點關于直徑BD對稱時，如圖所示．此時，CE⊥AB，設垂足為K．由（2）可知，．∵BD為圓的直徑，CE⊥AB，∴CE＝2CK＝．∵CF⊥CE，∴∠ECF＝90°．∵，∴∠E=∠CDB＝60°．在中，∵，∴．如圖所示：由可知，在中，∵，∴．∴當點E在上運動時，始終有．∴當CE最大時，CF取得最大值．∴當CE為直徑，即CE=2時，CF最大，最大值為．【點睛】本題考查了圓的切線的判定、等腰三角