高考數(shù)學培優(yōu)微專題講義

解答題篇

數(shù)學培優(yōu)微專題《等差等比的證明》...............................................2

數(shù)學培優(yōu)微專題《明確等差等比求通項》..........................................5

數(shù)學培優(yōu)微專題《給和式求通項》.................................................7

數(shù)學培優(yōu)微專題《裂項相消法求和》...............................................10

數(shù)學培優(yōu)微專題《錯位相減法求和》...............................................14

數(shù)學培優(yōu)微專題《數(shù)列中多規(guī)律求和》.............................................18

數(shù)學培優(yōu)微專題《數(shù)列的和與不等式》.............................................22

數(shù)學培優(yōu)微專題《邊角互化》.....................................................26

數(shù)學培優(yōu)微專題《知三解三角形》.................................................30

數(shù)學培優(yōu)微專題《爪型三角形》...................................................34

數(shù)學培優(yōu)微專題《多邊多角問題》.................................................38

數(shù)學培優(yōu)微專題《解三角形中的最值問題》........................................41

數(shù)學培優(yōu)微專題《平行的證明》...................................................45

數(shù)學培優(yōu)微專題《垂直的證明》...................................................48

數(shù)學培優(yōu)微專題《度量角度》.....................................................51

數(shù)學培優(yōu)微傳題《度量體積和距離》...............................................56

數(shù)學培優(yōu)微專題《探索點的位置及邊長的大小》....................................60

數(shù)學培優(yōu)微專題《求標準方程》...................................................66

數(shù)學培優(yōu)微專題《建設限代化處理軌跡方程》.......................................68

數(shù)學培優(yōu)微專題《圓錐曲線中的三定問題》.........................................70

數(shù)學培優(yōu)微專題《圓錐曲線中的靜態(tài)求值》.........................................75

數(shù)學培優(yōu)微專題《圓錐曲線中的動態(tài)最值》.........................................80

數(shù)學培優(yōu)微專題《回歸分析與獨立性檢驗》.........................................84

數(shù)學培優(yōu)微專題《概率分布列》...................................................92

數(shù)學培優(yōu)微專題《確定函數(shù)處理切線單調(diào)極值》.....................................98

數(shù)學培優(yōu)微專題《已知單調(diào)性求參數(shù)范圍》.......................................101

數(shù)學培優(yōu)微專題《單調(diào)性由一個因式?jīng)Q定》.......................................103

數(shù)學培優(yōu)微專題《單調(diào)性由兩個因式?jīng)Q定》.......................................105

數(shù)學培優(yōu)微專題《零點極值點個數(shù)問題》.........................................107

數(shù)學培優(yōu)微專題《不等式恒成立與分離》.........................................110

數(shù)學培優(yōu)微專題《不等式恒成立與端點相關》.....................................113

數(shù)學培優(yōu)微專題《指對與隱零點問題》............................................117

數(shù)學培優(yōu)微專題《極值點偏移》..................................................120

數(shù)學培優(yōu)微專題《雙變量問題》..................................................125

數(shù)學培優(yōu)微專題《等差等比的證明》

L數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn,5n=2an-3n(nGN?).

2.已知數(shù)列an中，ai=1,02=4,5*2-4O/HI+33=0,nGN

3.數(shù)列｛an｝滿足CFI=I，ch+0(〃￡N*)

(1)求證｛5｝為等差數(shù)列，并求｛an｝的通項公式；

4已知數(shù)列｛⑦｝滿足ai=0,a^i=2on+n-lznGN*,｛an｝的前n項和為Sn,

⑴求證：數(shù)列｛on+n｝是等比數(shù)列，并求

(2)求Sio.

5.已知數(shù)列｛an｝的首項。尸"麗戶￡N?

52Efa+1

(1)求證：數(shù)列今一1｝為等比數(shù)列；

⑵記Sn=止+1+…4若5K100,求正整數(shù)k的最大值；

laiIo?Eb

(3)是否存在互不相等的正整數(shù)m,s,n,使m,s,〃成等差數(shù)列，且am-l,s-1,an-1

成等比數(shù)列？如果存在，請給予證明；如果不存在，請說明理由.

6.己知數(shù)列｛①｝的前n項和為Sn,ai=3,nSn+i=(n+l)Sn+2(a2+n-1)

(1)證明數(shù)列—樂一2是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛an｝的通項公式；

13

⑵若bc=2〃*an,求數(shù)列｛bn｝的前n項和Tn

數(shù)學培優(yōu)微專題《明確等差等比求通項》

1.已知等差數(shù)列｛。內(nèi)的公差d為整數(shù)，且G+03+04=18,是。2和Q5-1的等比中

項.

2.已知數(shù)列或是遞增的等比數(shù)列，滿足。1=4且%3是。2、內(nèi)的等差中項，數(shù)列仍〃滿足

bn*l=bn+1?其前n項和為Sn?且S2+56=04.

3.在①53=12,②2a2-6=3,③加24這三個條件中任選一?個，補充在下面問題中并

作答.

已知｛an｝是公差不為0的等差數(shù)列，其前n項和為Sn,且5,G,04成等比數(shù)

列.

(1)求數(shù)列｛an｝的通項公式；

(2)設數(shù)列｛bn｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且b2=ai,

兒=。4,求數(shù)列｛an+bn｝的前〃項和〃

4.已知等差數(shù)列｛an｝與正項等比數(shù)列｛6｝滿足ai=bi=3,且切-6，20,以+6既是

等差數(shù)列，又是等比數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛an｝和數(shù)列｛bn｝的通項公式；

5.已知等比數(shù)列｛a.｝的首項Gi=3>前〃項和為Sn,公比不為1,459是53和756的等差

中項.

(1)求數(shù)列｛an｝的通項公式；

6,給出以下三個條件：①46,3俗，2必成等差數(shù)列;②對于?，點(。5)均在函

數(shù)y=2仁。的圖像上，其中a為常數(shù);③S3=7.請從這三個條件中任選一個將下面

的題目補充完整，并求解.

設｛an｝是一個公比為q(q>0,qxl)的等比數(shù)列，且它的首項a1=1,.

(1)求數(shù)列｛an｝的通項公式；

數(shù)學培優(yōu)微專題《數(shù)列求通項之給S求外》

1.己知數(shù)列｛法｝的前n項和為Sn,且滿足Sn=20n-2f)+1.

(1)求□和Sn

2.已知數(shù)列｛a.｝的前n項和為Sc,且滿足ai=-,以+2562=0("N2).

(1)問：數(shù)列J是否為等差數(shù)列？并證明你的結論；

⑵求Sc和On

3.己知數(shù)列如的前n項和為Sn,且扇=一一

2

(I)若數(shù)列｛。"+6是等比數(shù)列，求t的取值；

(2)求數(shù)列｛①｝的通項公式;

2

4.在①限7丁=痘+1,②V4a-1是2n+l與⑦的等比中項，③4Sn=(l+^)(an

>0)這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答.

問題：已知數(shù)列｛an｝的前n項和為S”，6=1,且滿足，若bn=/.求使不

式bi+￡)2+成立的最小正整數(shù)n.

5.設數(shù)列｛①｝的前。項和為S,已知01=1,Sn*i-25n=1,n￡N,.

(1)證明：｛5-1｝為等比數(shù)列，求出｛①｝的通項公式；

6.在①4Sn+1,(2)3Sn=a^i-2,③35.=22楨+A(AGR)三個條件中選擇符合

題意的一個條件，補充在下面問題中，并加以解答.

設等比數(shù)列｛an｝的前n項和為%,01=2,如與Sc滿足,

(1)求數(shù)列｛a.｝的通項公式；

(2)記數(shù)列b戶(匹+1)嬴+1),數(shù)列｛6｝的前n項和%,求證：鵬

數(shù)學培優(yōu)微專題《裂項相消法求和》

1.已知數(shù)列｛2匹｝是等比數(shù)列，且6=3,。3=7

(1)證明：數(shù)列⑦等差數(shù)列，并求出其通項公式；

(2)求數(shù)列｛m，+]｝的前n項和S

OB-1)1

2.設數(shù)列｛an｝滿足01+3a2+...+(2n-l)an=In.

(1)求｛an｝的通項公式；

(2)求數(shù)列況%的前，項和.

氏+0

3.已知數(shù)列｛⑦的前0項和為5”，且的

(1)若數(shù)列｛必+6是等比數(shù)列，求t的取值；

(2)求數(shù)列｛5｝的通項公式；

11

⑶記bn=~一+——,求數(shù)列他/))的前。項和Tn.

ECH-I0003+1

4.已知數(shù)列｛4｝的前n項和為n,數(shù)列｛6｝滿足bi=l,bn?i-b產(chǎn)①,nGN

0a-1

(I)求數(shù)列｛*,｛求｝的通項公式;

[320.、十n

(H)若數(shù)列｛Cn｝滿足Cn=聲川￡N?，證明n：ci+C2+--?4

0+1

5.已知數(shù)列｛an｝的前〃項和為Sn,且01=-,Gn>l=-----On

20

(1)求｛an｝的通項公式;

,區(qū)3

⑵設Cn=日佃+,/1￡A/*?Tn是數(shù)列｛Cn｝的前0項和，證明~Tn<1.

6.已知數(shù)列｛5｝的前。項和為Sn,且6=1,0^1=25n+1"￡N+,數(shù)列仇滿足61=1,

bn"=bn+Cln.

(1)求數(shù)列｛詞和｛6｝的通項公式；

⑵若數(shù)列匕｝滿足Cn=國為嬴且C1+C2+...+。之(2bn-1M+1對任意n￡N.恒成立,實數(shù)

A的取值范圍.

數(shù)學培優(yōu)微專題《錯位相減法求和》

1.已知數(shù)歹!]｛。”｝的前"項和為5c,且Sn=2/+〃，。￡N?，數(shù)列｛6｝滿足CM=4log2bc+3,"W*.

(I)求。八b/?；

(n)求數(shù)列｛⑦?6｝的前“項和Tn

2.已知等比數(shù)列｛an｝的前〃項和為Sn,滿足53=14,且2(71,02,夕3依次構成等差數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛an｝的通項公式；

(2)請從①bn=an+n；②bn=nan；③bn=—-----------這三個條件選擇一個，求數(shù)列｛bn｝

loh2an?2og2an+i

的前n項和Tn.

3.已知｛an｝為等差數(shù)列，前.〃項和為Sn(n^N-),｛bn｝是首項2的等比數(shù)列，且公比大0,

bi+bi=12,bi=O-J-2ai,Sn=llbi.

(I)求｛an｝和｛bn｝的通項公式；

(II)求數(shù)列｛a2nb241｝的前n項和(nGN?).

4.已知數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn,且滿足2Sn=3an-3.

(1)證明數(shù)列｛a.｝是等比數(shù)列；

13

⑵若數(shù)列｛bn｝滿足bn=log3an,記數(shù)列｛囂｝的前n項和為〃，證明丁47；〈二

534

5.已知數(shù)列｛an)的前n項和為Sn?且a^i-a?+2(nG/V*),as+a^=12,數(shù)列

比數(shù)列，且從=。2,b2=S3.

(I)求｛an｝和｛bn｝的通項公式；

(II)設a=(-1)%”.bn,求數(shù)列｛Cn)的前n項和Tn.

6.己知數(shù)列｛5｝滿足01=2,an>i=2(Sn+n+1)(nGA/*)

(1)求證：On+1是等比數(shù)列；并寫出｛⑦｝的通項公式

⑵求數(shù)列｛nan)的前n項和5n

數(shù)學培優(yōu)微專題《數(shù)列中多規(guī)律求和》

0

1.已知數(shù)列｛an｝滿足。1=1,=m+l［的+1'?警

lan+2,G3為偶數(shù)

(1)記bn=am,寫出bi,bi,并求數(shù)列｛bn｝的通項公式；

⑵求｛an｝的前20項和.

2.已知等差數(shù)列｛an｝和等比數(shù)列｛bn｝滿足s=5,bi=2,ai-2bi+1,as=bi+5.

(1)求｛an｝和｛bn｝的通項公式;

(2)數(shù)列｛an｝和｛bn｝中的所有項分別構成集合八、8,將集合4UB中的所有元素按從小

到大依次排列構成一個新數(shù)列｛cj,求數(shù)列｛Cn｝的前50項和Sso

3.已知數(shù)列｛a。｝的前n項和為￡,且。八5”成等差數(shù)列，bn=2log2(l+a?)-1.

(1)證明數(shù)列｛必+1｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛或｝的通項公式；

(2)若數(shù)列｛6｝中去掉數(shù)列｛m｝的項后余下的項按原順序組成數(shù)列｛C.｝.求G+C2+TG00的值

4.己知數(shù)列｛⑦｝的前〃項和為S”,且滿足01=1,25n=nanu,neN

(1)求｛如｝的通項公式；

(2)設數(shù)列｛6｝滿足口=1,兒兒.1=2。5￡花?，按照如下規(guī)律構造新數(shù)列a：6""辰,

求｛。｝的前2。項.

6.已知數(shù)列｛an｝是公差為2的等差數(shù)列，且ai,as+1,a^l成等比數(shù)列.數(shù)列｛6｝滿

足：bl+bi+t?+bn=2n?l-2.

(I)求數(shù)列｛叫｛求｝的通項公式；

1［，0為奇數(shù)

(n＞令數(shù)列｛Cn)的前Tn項和為In,且Cn=1而7+2，若對"￡N?，

——阿團為偶數(shù)

1bn

方啟加恒成立，求正整數(shù)k的值.

數(shù)學培優(yōu)微專題《數(shù)列的和與不等式》

1.已知數(shù)列｛%｝是公差為正的等差數(shù)列，6是2和03+1的等比中項，04=4.

(I)求｛m｝的通項公式；

(II)若d=2皿S是數(shù)列幾｝的前n項和，求使得S<2020成立的最大整數(shù)n.

2.己知數(shù)列｛。小｛6｝滿足：ai=3,當n>2時，an.i+an=4n；對于任意的正整數(shù)

bl+2^2+--+2n-lbn=nan.設｛bn｝的前n項和為Sn.

(1)求數(shù)列｛an｝及｛bn｝的通項公式；

⑵求滿足13<Sn<14的n的集合.

3.已知正項數(shù)列｛a.｝的前n項和為5n,。槨2店?1.

(1)求6的值，并求數(shù)列｛5｝的通項5：

2n

(2)設bn=an+2期，數(shù)列｛bn｝的前n項和為養(yǎng)，求使不等式Tn<n+6x2-6成立的所正

整數(shù)〃的取值組成的集合.

4.已知數(shù)列｛g｝的前〃項和為4,且滿足5n=2an-2n+l.

⑴求如和S；

n

⑵設數(shù)列｛5.｝的前，項和為Tn,若不等式Tn-f2>0對于，恒成立，求t的取值

范圍.

5.已知等差數(shù)列｛5｝的前n項和為S,6=7,54=22,數(shù)列｛6｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,

bi=4,b3=64.

(/)求數(shù)列｛或｝和｛6｝的通項公式；

3o

(//)令Pn=------數(shù)列｛pcPc.2｝的前/?項和An,求證：An<~.

2+034

6.已知數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn,且ai=限an.

⑴求｛On｝的通項公式；

⑵設bn=n(2-Sn)tnG/V?,若力區(qū)入對?恒成立，求實數(shù)A的取值范圍.

(3)設Cn=*,〃是數(shù)列｛Cn｝的前n項和，若不等式m^Tn<k對于任意的

03(0二+1)

?恒成立，求實數(shù)m的最大值與整數(shù)k的最小值

數(shù)學培優(yōu)微專題《邊角互化》

1.在AABC中，角A,8,C的對邊分別為a,b,c,已知向量訪=(cosA,cosB7?n=(a,2c-b),

且沅〃匯

⑴求角4的大小；

(2)若a=4,b=求A8c面積.

2.在①(a+c)(a-c)=b(b-c),@2sin^'Tsjn3=黑,③2bcosA=acosC+ccosA這三個條件

中任選一個補充在下面的橫線上，并加以解答.在ABC中，角48,C所對的邊分別為a,

b,c,且.

(1)求角4的大小；

3.在①2acosC+c=2b,②cos2H-HcosBcosC=:,③(sin(3+sin0)2=sin2A+

3sinBsinC

這三個條件中任選一個補充在下面的橫線上，并加以解答.在△A8c中，角48,C所

對的邊分別為。，b，c,且.

⑴求角A的大小；

4.在①2a-b=2ccos8,(2)S=^a2+b2-c2),(3)3sin(4+8)=1+2sin21

這三個條件中任選一個，補充在下面的橫線處，然后解答問題。在MBC中，角4B,

C的對邊分別為a,b,c,設hABC的面積為5,已知

⑴求角C的值；

⑵若b=4,點。在邊AB上，CO為ZACB的平分線，ACD8的面積竽，求。的值。

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

5.在①-=c°..+i，②2bsiM=atan8,(3)(a-cJsinA+csin(A+B)=bsinB這三個條件中

av3sin0

任選一個，補充在下面的橫線上，并加以解答.已知ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別

是a,b,c,若.

⑴求角B；

(2)若。+。=4,求ABC周長的最小值，并求出此時48c的面積.注：如果選擇多個條件

分別解答，按第一個解答計分.

sin閉

6.在①③2s=收或F這三個條件中

sin團―sin0

任選一個，補充在下面的橫線上，并加以解答.在△ABC中，角48,C的對邊分別

是0,

b,c,S為QABC的面積，若(填條件序號)

(1)求角C的大小；

數(shù)學培優(yōu)微專題《知三解三角形》

1.已知AA8c中，tan4=-，tanfiAB=V17.求：

45

⑴角C的大小；

(2)AABC中最小邊的邊長.

2.在AABC中，a+b=ll,再從條件①，條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，解答

下列問題.⑴求a的值；⑵求sinC和△48C的面積.

條件①：c=7,cos4==；條件②：cos4=J,cos8=2

78lo

3.在①ac=g；②csinA=3；③c=這三個條件中任選一個，補充在下面問題中,

若問題中的三角形存在，求c的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.

問題：是否存在△48C,它的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且sin4=V3sinB,

=7，?注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

4.在△ABC中，a,b,c分別為角4,8,C的對邊，且△48C同時滿足下列四個條件

中的三個：①a2+c2=垓-苧oc；②1+cosZA=2sin?*③a=V3：④b=2.

(1)滿足AABC有解的序號組合有哪些？

(2)在(1)的組合中任選一組，求AABC的面積.

5.己知AABC中，7b<cos/4.

(1)求證：B是鈍角；

⑵若AABC同時滿足下列四個條件中的三個：①sinA=圣②"2迨。=V2；(4)sinC

=y.請指出這三個條件，說明理由，并求出b的值.

數(shù)學培優(yōu)微專題《爪型三角形》

1.△ABC中，8c=2述，。為8c的中點，/82D=巳，4D=1,求AC

4

2.已知。是△A8C的邊AC上的一點，△48。的面積是△BCD的面積的3倍,NABD=2NCBD

=2。

(1)若ZABC=3求注的值；

2sinH

⑵若BC=V2,48=3,求AC的長

3.如圖，已知a,b,c分別為AABC二個內(nèi)角48,C的對邊，且acosC+V3asinC-b-

c=0.

⑴求角4

(2)若4。為8c邊上的中線，cosB=AD=等,求△A8c的面積.

4.在AABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊，2b2=(b2+c2-a2)(l-tanA).

(1)求角C的大小；

(2)若c=2g,D為BC的中點，在下列兩個條件中任選一個，求AD的長度.

條件①：A48C的面積S=4且8>4

條件②：cos8=苧.

5.已知在M8C中，角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c且滿足b=acosC+csinA.

⑴求A的大小；

⑵若cos8=1,BC=5,BD=之瓦5,求CD的長.

6.在①48=2西，②N458=135。，③N84。=NC這三個條件中任選一個，補充在下面

的問題中，使得問題成立，并求BD的長和AABC的面積.

如圖，在△A8C中，。為8c邊上一點，AD±AC,AD=BAC=等，,

求BD的長和△ABC的面積.

數(shù)學培優(yōu)微專題《多邊多角問題》

1.平面四邊形ABCD中，邊陽=8C=5,CD=8,對角線8。=7.

(1)求內(nèi)角C的大小；

(2)若A,B,C,D四點共圓，求邊AD的長.

2.如圖，在△ABC中，點。在8c邊上，N40C=60。，AB=2小,80=4.

(1)求△ABD的面積.

(2)若Z846=120°,求AC的長.

C

BD

3.已知RABC中，角48,C的對邊分別為a,b,c,cosC="D是線段BC上的點,

coszADC=—.

io

(1)若b=5,a=7,求c的大小；

(2)若b=7,BD=1,求△ABC的面積.

4.△ABC內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,滿足(2b-V3c)cos^=V3acosC.

⑴求A的大小；

⑵如圖，若A8=4,47=3,D為△A8C所在平面內(nèi)一點，08_LAB,BC=CD,求△BCD

A

的面積

B

D

5.在梯形ABCD中，已知AD//BC,AD=lfBD=2A/10,NCA。=：,cosZACD=當,

⑴求CD的長;

⑵求△BCD的面積.

6.如圖，在四邊形ABCD中，cosZDAB=-,華=；,8D=4,AB±BC.

4AB3

(1)求sinzABD的值;

⑵若N8CD=N,求CD的長.

4

數(shù)學培優(yōu)微專題《解三角形中的最值問題》

1.已知△48C的內(nèi)角4B,C所對的邊分別為a,b,c,向量m=(c+。，b),n=(c-a,b+

c)?且a=3,mA.n.

(1)求AABC面積的最大值；

⑵求b+c的取值范圍.

2.在銳角AABC中，角48,C所對的邊分別為a,b,c,已知2bsinBsinA-y/3a=0.

⑴求角B的大小；

⑵求cosA+cosB+cosC的取值范圍.

0+0

3.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知asin=bsinA.

(1)求B；

⑵若△48C為銳角三角形，且C=1,求△A8C面積的取值范圍.

4.已知A48c中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為o,b,ctC=120°.

⑴若a=2b,求tanA的值；

⑵若NACB的平分線交AB于點D,且CD=1,求△A8C的面積的最小值

5.如圖，在四邊形ABCD中/。_LA8/68=60。/BCD=120。,AC=2.

(1)若ZABC=1S°,求DC.

(2)記NA8C=B,當a為何值時,△88的面積取得最小值？求出最小值.

6.在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,NA8c=120°,BD是ZABC的

平分線，交AC于點D,且8。=1,求4a+c的最小值.

A

D

B

數(shù)學培優(yōu)微專題《平行的證明》

1.已知正四棱柱48C0-A&GD1中，M是0。1的中點.

(I)求證：85〃平面AMC；

2.如圖①，在直角梯形ABCD中，AB//CD,AB±AD,且AB=AD=^CD=1.現(xiàn)以AD為

一邊向梯形外作正方形ADEF,然后沿邊AD將正方形ADEF翻折，使平面ADEF與平面

ABCD垂直，M為ED的中點，如圖②

0求證：AM//平面BEC；

3.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD上平面ABCD,AB//CD,/84)=60°,AB=AD=^CD

=2,E為棱PD上的一點，且DF=2￡P=2.

⑴證明：PB〃平面AEC；

4.如圖，AE±平面ABCD,CF展、ADAD±AB,48=40=1，AE=BC=2.

(1)求證：8以平面ADEi

5.如圖，已知多面體EABCDF的底面是ABCD邊長為2的正方形，EA±底面ABCD,FD

//EA,HFD=^EA=1.

(1)記線段BC的中點為K,在平面48CD內(nèi)過點K作一條直線KM，使得KM〃平面

ECF,并給予證明

6.如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA±底面ABCD,￡、F分別是AB.

PD的中點.

⑴求證：4?/平面PCE

⑵過點F作四楂錐P-ABCD的一個截面，使得該截面與PB,CD都平行，請在四棱錐中

作出該截面，該截面是什么圖形說明理由。

C

數(shù)學培優(yōu)微專題《垂直的證明》

1.如圖，在三棱錐P-ABC中，PA工AB,PA±BC,AB±BC,PA=AB=BC=2,D為線

段AC的中點，E為線段PC上一點.

⑴求證：PA±BD；

⑵求證：平面BDE±平面PAJ

⑶當P4〃平面BDE時，求三棱錐E-BCD的體積.

2.如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAC1.平面ABCD,PA=PC,AB//CD,AB±AD,

且CD=240=448=4.

⑴求證：BD±PC；

I)

3.如圖四面體ABCD中，AA8c是正三角形，AD=CD.

(1)i正明：ACA-BDz

B

4.如圖，在長方體ABCD-AiBiCiDi48=40=1,AAi=2,點P為DDi的中點.

⑴求證：平面PAC±平面BDDi：

CB

5.如圖，D為圓錐的頂點，。是圓錐底面的圓心，8c是底面的內(nèi)接正三角形，P為。。

上一點，ZAPC=90°.

⑴證明：平面PAB±平面PAC；

⑵設。。=或，圓錐的側面積為3n,求三棱錐P-ABC的體積.

6.如圖1,四邊形PBCD是等腰梯形，BC//PD,PB=BC=CD=2,PD=4,A為PD的中

點.將&ABP沿AB折起，如圖2,點、M是棱PD上的點.

(1)若M為P。的中點，證明：平面PCD±平面ABM；

圖?

圖2

數(shù)學培優(yōu)微專題《度量角度》

1.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，平面PAD±平面A8c。，PA=PD,

E為棱AB的中點.

(1)證明：AC±PE.

⑵若PA=AD,ZBAD=60°,求二面角E-PC-B的余弦值.

2.如圖，四棱錐P-48CD中，已知AB//DC,AB=AD=1,BD=V2,CD=2,PB=PC=PD=V6.

⑴證明：平面PAD±平面PCD.

(2)設平面PAD與平面PBC的交線為L,求直線I與平面PAB所成角的正弦值

I)(：

3.如圖，在平行六面體ABCD-AiSiCiDi中，AAi±平面ABCD,且AB=AD=2,AAi=V3,

ZBAD=120°.

(1)求異面直線AiB與AG所成角的余弦值;

⑵求二面角B-AiD-A的正弦值

4.在三棱錐A-BCD中，已知CB=CD=遙，8。=2,。為BD的中點，A0±平面BCD,

40=2,E為AC中點.

(1)求直線AB與DE所成角的余弦值；

⑵若點F在8c上，滿足BF=；8C,設二面角F-DE-C的大小為我求sin。的值

,目

5.如圖⑴所示，在等腰直角三角形ABC中，Z4SC：=90°A8=8C=4,。，E分別為ABt

AC的中點，將△ADE沿DE折起，使4到達4(如圖2),且滿足48=2,M是AC的中點.

⑴求證：面A18D；

⑵求二面角M-BE-C的正弦值.

KBCBK「

(1)(2)

6.如圖，四棱柱A8CD-48iGDi的底面ABCD為矩形，AD=2AB,M為BC中點，平面

AiDiDA_LABCD,AAi±AiD且AA=AiD.

(1)證明：ZBiAiD=90°.

(2)若此四棱柱的體積為2求二面角A-ArB-M的正弦值.

數(shù)學培優(yōu)微傳題《度量體積和距離》

1.如圖，正方形48C0-A&GD1的棱長為2,E,F分別為48,AC的中點.

(1)證明：E27平面41GD；

⑵求三棱錐F-AiCiD的體積.

2.如圖，已知多面體EABCDF的底面是488邊長為2的正方形,E4_L底面ABCD,FD//EA,

且FD=共八=1

(1)求點B到平面ECF的距離.

3.已知如圖，在正三棱柱48C-481cl中，D為棱AC的中點，43=44=2.

(1)求證：直線48〃平面BCQ：

(2)求點&到平面BDCi的距離

4.如圖，在四面體ABCD中，BA=BCtZBAD=ZBCD=90°.

⑵若ZABD=60°,BA=2,四面體ABCD的休積為2,求二面角B-AC-D的余弦值.

5.如圖，在正三棱柱A8C-481G中，44=2,28=1,N是CG的中點.

(1)求證：平面AA/fii±平面4A8出；

⑵求三棱錐Bi-ANB的高.

6.如圖，四棱錐P-A8co中，底面A8CD是邊長為2的正方形，平面PAC_L平面A8CD,且AC±PB.

⑴若二面角A-PC-B的余弦值為孚，求。到平面PBC的距離.

數(shù)學培優(yōu)微專題《探索點的位置及邊長的大小》

1.如圖，直角梯形48CD中，AD/7BC,AB±BC,48=8C=2,AD>BC,矩形ACEF_L平面

ABCD,CE=2.

⑴證明：平面BCF1.平面ADE；

⑵若二面角A-DE-C等于60%求AD的長.

2.如圖，在四棱錐5-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側面S3C±底面ABCD.已

知NA8C=45°,AB=2,8c=2a,SC=SB=V5.

(2)在線段AB上是否存在一點P,使5PJL5C?若存在，請求出AP的長：若不存在，清

說明理由.

3.如圖1,在邊長為2的菱形ABCD中，ZBAD=60°,DE±AB于點E,將△ADE沿DE

折起到A4DE的位置，使AiD,LBE,如圖2.

(3)在線段BD上是否存在點P,使平面4EP_L平面48D?若存在，求案的值：若不存

DU

在，說明理由.

圖1圖2

4.如圖，AE±平面ABCD,CF//AE,AD//BC,AD±AB,AB=AD=1,AE=BC=2.

(1)若二面角E-BD-F的余弦值為以求線段CF的長.

5.已知在六面體PABCDE中，P4J.平面ABCD,E。JL平面4BCD,且PA=2ED,

底面ABCD為菱形，且N48c=60。.

⑴求證：平面PAC±平面PBD：

(2)若直線PC與平面ABCD所成角為45。，試問：在線段PE上是否存在點M,使二面

角P-AC-M為60°?若存在，確定點M的位置；若不存在，請說明理由.

6.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD±底面ABCD,AB//CD,AB=2,8=3,

M為PC上一點，且PM=2MC.

(1)求證：8M〃平面PAD；

⑵若PD=3zZBAD=”三棱錐P-ADM的體積為3,求AD的長

數(shù)學培優(yōu)微專題《求標準方程》

1.已知橢圓c：g=l(a>b>0)的離心率為爭兩焦點與短軸的一個端點的

連線構成的三角形面積為近.

(I)求橢圓C的方程；

2.已知橢圓C:W=l(a>b>0)的左、右焦點分別為Fi,F2,點P(2,近)在橢

圓C上，且滿足007?02=新.

⑴求橢圓C的標準方程；

3.已知橢圓C：《+'=l(o>^>0)的離心率為-,以原點。為圓心，橢圓的短半軸

長為半徑的圓與直線x-y+V6=0相切.

(1)求橢圓C的標準方程

4.已知橢圓C：4+77=l(a>h>0)離心率為終.四個頂點圍成的四邊形的內(nèi)切

圓半徑為V.

2

⑴求橢圓C的標準方程；

+

5.已知橢圓C:477=l(a>b>0)的離心率為f,橢圓C和拋物線y?=x交于

M,N兩點，且直線MN恰好通過橢圓C的右焦點.

⑴求橢圓C的標準方程；

y>2丫2、反

6.已知雙曲線巳-l(a>0,6>0)的一條漸近線方程為y=3，點(2但1)在

a，3

雙曲線上，拋物線y2=2px(p>0)的焦點F與雙曲線的右焦點重合.

(1)求雙曲線和拋物線的標準方程；

數(shù)學培優(yōu)微專題《建設限代化處理軌跡方程》

1.在平面直角坐標系中，若d=(x+V3,y),b=(x-V3,y),且|a|+|b|=4.

⑴求動點M(xfy)的軌跡C的方程；

2.已知在平面直角坐標系中，圓4:Q4y2+2V7x-57=0的圓心為4過點8(77,0)

任作直線L交圓A于點C、D,過點B作與AD平行的直線交4C于點E.

⑴求動點E的軌跡方程；

1

3.點M(x,y)與定點F(l,0)的距離和它到直線x=4的距離的比是常數(shù)-.

⑴求點M的軌跡C的方程；

4.已知動點P到點A(-2,0)與點8(2,0)的斜率之積為-；，點P的軌跡為曲線C.

4

(1)求曲線C的方程；

4.已知圓F1：(04-1)2+、2可2與圓p2.(0_i)2+y2=(4-團)20<r<4的公共

點的

軌跡為曲線E,且曲線E與v軸的正半軸相交于點M.若曲線E上相異的兩點4B

滿足直線MA,MB的斜率之積為工.

4

⑴求曲線E的方程;

6.已知動圓P與圓M：(團+2)2+y2=64相內(nèi)切，且與圓/V：(0-2)2+y2=4相

內(nèi)切，記圓心P的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

7.己知點Fi(-l,O),同F(xiàn)2：(0-1)2+y2=8,點Q是圓F2上一動點，線段FiQ的中垂

線與線段FzQ交于點P.

⑴求動點P的軌跡E的方程；

8.已知動圓P過點12(2,0)并且與圓Fi：(0+2)2+y2=4相外切，動圓圓心P的軌跡為

C.

⑴求曲線C的軌跡方程:

9.已知動圓￡過定點且在x軸上截得的弦長為4,設該動圓圓心的軌跡為曲C。

(1)求曲線C的方程；

10.在圓x2+y2=3上任取一動點P,過P作x軸的垂線而，D為垂足，PD=V3MD,

動M的軌跡為曲線C.

(I)求C的方程及其離心率；

數(shù)學培優(yōu)微專題《圓錐曲線中的三定問題》

1.已知橢圓C~+77=l(a>fe>0)的離心率為半，以M(1,O)為圓心，橢圓的短半

軸長為半徑的圓與直線x-y+V2-1=0相切.

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知點N(3t2),過點M任作直線/與橢圓C相交于A,B兩點：設直線AN,BN

的斜率分別為A】，七求證：的+%為定值?

2.已知F(3,0)是橢圓C：4+