年深圳市第一次調研考試數學試題詳解版一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.集合,則A. B. C. D.【題源】本題改編自人教A版必修第一冊10頁例1.【答案】C【解析】.2.已知(為虛數單位),則A.1 B. C.2 D.4【題源】本題改編自人教A版必修第二冊71頁例2.【答案】A【解析】方法一:;方法二:.3.已知向量,若,則A.-2 B.-1 C.1 D.2【題源】本題改編自人教A版必修第二冊60頁第8題.【答案】B【解析】由于,則,則;4.已知,則A. B. C.2 D.3【題源】本題改編自人教A版必須第一冊229頁第9題.【答案】C【解析】由于,那么,,則,選C.5.已知函數的周期為2,且在上單調遞增,則可以是A. B.C. D.【題源】本題改編自2024年新高考全國II卷第6題.【答案】B【解析】對于,不符合題意;對于,函數圖象如下:正確;對于,不符合題意;對于,在不單調,不符合題意;6.已知雙曲線的中心為原點,焦點在軸上,兩條漸近線夾角為,且點在上,則的離心率為A. B. C.2 D.或2【題源】本題改編自人教A版選擇性必修第一冊129頁第13題.【答案】C【解析】由雙曲線的兩條漸近線夾角為,可知的漸近線方程為或,由或(其中為漸近線的斜率),解得或,若,如圖,令,點不可能在雙曲線是;或設雙曲線方程為:,則無解;若,設雙曲線方程為:,則,此時雙曲線方程為:,選C.7.已知曲線與曲線只有一個公共點,則A. B.1 C. D.【題源】本題改編自2024年新高考全國I卷第13題.【答案】B【解析】方法一:由已知曲線與曲線只有一個公共點,方程只有一個實數解,而,則只考慮,即,令,則,而在單調遞增,且,所以時,單調遞減,時,單調遞增,而時,時,,所以.方法二由已知曲線與曲線只有一個公共點,則曲線與曲線只有一個公切點,設其坐標為,根據函數的圖像與函數的圖像之間的關系所以:,即:,所以,設,則在單調遞減,而,所以,所以.方法三由于函數的反函數為,兩函數關于對稱,由于,令,則,即函數與函數相切于點,同理:,令,即函數與函數也相切于點,于是函數與函數相切于點,由選項可知,.8.如圖,已知圓臺形水杯盛有水(不計厚度),杯口的半徑為4,杯底的半徑為3,高為6.5.當杯底水平放置時,水面的高度為水杯高度的一半,若放入一個半徑為的球(球被完全浸沒),水恰好充滿水杯,則A.1.5 B.2 C.3 D.3.25【題源】本題改編自人教A版必修第二冊119頁例4.【答案】D【解析】如圖,,不妨設球的半徑為,由于圓臺的體積由題可知:,則,此時小球恰好與上下底面相切,下面考慮當小球與側棱相切時,設球心為,由于,則,則,那么,則,那么在上方,即該小球先與上下底面相切,選D.二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.一組樣本數據.其中,求得其經驗回歸方程為:,殘差為.對樣本數據進行處理:,得到新的數據,求得其經驗回歸方程為:,其殘差為分布如圖所示,且,則樣本負相關 B.C. D.處理后的決定系數變大【題源】本題改編自人教A版選擇性必修第三冊112頁思考.【答案】ABD【解析】由經驗回歸方程單調遞增,可知樣本點正相關,故A對;由題意樣本均值分別為,由樣本中心在經驗回歸直線上,帶入回歸直線解得,B正確;由殘差分析可得比更集中,故,且(1)的擬合效果更好,所以錯誤,正確.10.已知函數,則A.為周期函數B.存在,使得的圖象關于對稱C.在區間上單調遞減D.的最大值為2【題源】本題改編自人教A版必修第一冊250頁閱讀與思考.【答案】【解析】由于,,所以為的周期,正確;若要圖象關于對稱,由奇函數可得為對稱軸,又因為,所以圖象不關于對稱,B錯誤;因為,化簡整理得,當時,,對稱軸為成立,故在區間上單調遞減,正確;因為,當且僅當時取等,因為當,即時,,所以,D不正確.已知,其中.點分別滿足,,其中,直線與直線交于點,則當時,直線與直線斜率乘積為當時,存在點,使得當時,的面積最大值為若存在,使得,則【題源】本題改編自人教A版選擇性必修第一冊116頁第11題.【答案】AD【解析】對于選項A,由于,A正確;對于選項,由可知,,此時點的軌跡方程為:,于是若,此時點與點重合,矛盾,不正確;對于選項,直線,聯立,,設,則,若,則點的軌跡方程為,設點,直線,點到直線的距離,由于,于是當時,,的最大值為不正確;由可知,點的軌跡方程為,設,于是,即于是正確.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.的展開式中常數項是_____(用數字作答).【題源】本題改編自人教A版選擇性必修第三冊35頁第6題.【答案】240【解析】.13.在等比數列中,已知,則_____.【題源】本題改編自人教A版選擇性必修第二冊31頁第3題.【答案】6【解析】設公比為,由于,則,若,則矛盾,則符合.某次考試共5道試題,均為判斷題.計分的方法是:每道題答對的給2分,答錯或不答的扣1分,每個人的基本分為10分.已知趙、錢、孫、李、周、吳6人的作答及前5個人的得分情況如下表,則吳的得分為_____.【題源】本題改編自《趣味數學100題》.【答案】14分.【解析】解法一分析可得,無論每道題的結果如何,每道題前五人的得分比吳的得分多2分,則吳的得分為:,加上基本分后為14.人題號趙錢孫李周吳1??????2??????3??????4??????5??????得分1411141411解法二由于前四個人只有錢的得分是11分,則錢答對兩個題,答錯三個題;不妨將錢的答案全部考慮反面,則錢答對三個題,答錯兩個題,共14分;:人題號趙錢孫李周吳1??????2??????3??????4??????5??????得分1414141411對于6個人而言,前4個題,6個人的答案都是三個√,三個錯,那前4個題,每個題都是3個人對,3個人錯；前4個題的總分為:分；現在考慮第5題,共5個人,一個×,若第5題正確答案是“×”,那么第5個題的得分是:分,最終5個題的總得分為69分;而從得分來看,分,于是吳得分是2分,矛盾;于是第5題正確答案是“√”,第5題的得分是:分,6個題的總分為:81分,于是吳得14分.解法三:考慮第一,二題孫的答案是對的(1)若孫第三題答案也是對的,與趙14分矛盾；趙錢孫李周吳1?(-1)?(-1)???(-1)?(-1)2??(-1)??(-1)?(-1)?(-1)3?(-1)???(-1)??4√(2)?????5???(-1)???得分1411141411(2)若孫第三題答案是錯的,錢最后兩題只能全對,與周11分矛盾；趙錢孫李周吳1?(-1)?(-1)???(-1)?(-1)2??(-1)?√(-1)?(-1)?(-1)3√(2)??√(2)?4?(-1)????(-1)?5???(-1)√(-1)?(-1)?得分1411141411考慮孫第一題對,第二題答案是錯的

(3)若孫第三題答案是對的,則趙最后兩題全對,與孫14分矛盾；趙錢孫李周吳1?(-1)?(-1)???(-1)?(-1)2√(2)×(-1)√(2)√(2)√(2)3?(-1)???(-1)??4√(2)?????5???(-1)???得分1411141411(4)若孫第三題答案是錯的,則孫最后兩題全對,與趙14分矛盾；趙錢孫李周吳1?(-1)?(-1)???(-1)?(-1)2√(2)×(-1)√(2)?(2)?(2)3√(2)×(-1)?√(2)?4?(-1)?????5??√(2)???得分1411141411考慮孫第一題錯,第二題答案是對的(6)若孫第三題答案是錯的,則孫最后兩題全對,此時正確答案是,吳此時14分；趙錢孫李周吳1√(2)√(2)??√(2)√(2)2??(-1)??(-1)?(-1)?(-1)3√(2)?×(-1)√(2)?×(-1)4?(-1)????(-1)?5??√(2)√(2)√(2)√(2)得分141114141114考慮孫第一題錯,第二題答案是錯的,則孫后三題全對,與趙14分矛盾;

趙錢孫李周吳1√(2)√(2)??√(2)?(2)2√(2)?√(2)√(2)3?(-1)?