方程中的轉(zhuǎn)化思想

知識(shí)方法精講

1.轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數(shù)學(xué)思

維方式。所謂的轉(zhuǎn)化思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)

變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到解決的一種方法。i般總是將狂雜問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題；

將難解的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問(wèn)題；將未解決的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)

題。總之，轉(zhuǎn)化在數(shù)學(xué)解題中幾乎無(wú)處不在，轉(zhuǎn)化的基本功能是：生疏化成熟悉，復(fù)雜化成

簡(jiǎn)單，抽象化成直觀，含糊化成明朗。說(shuō)到底，轉(zhuǎn)化的實(shí)質(zhì)就是以運(yùn)動(dòng)變化發(fā)展的觀點(diǎn)，以

及事物之間相互聯(lián)系，相互制約的觀點(diǎn)看待問(wèn)題，善于對(duì)所要解決的問(wèn)題進(jìn)行變換轉(zhuǎn)化，使

問(wèn)題得以解決。實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的方法有：待定系數(shù)法，配方法，整體代入法以及化動(dòng)為靜，

由抽象到具體等轉(zhuǎn)化思想，

2.一元一次方程的解

定義：使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解.

把方程的解代入原方程，等式左右兩邊相等.

3.二元一次方程組的解

（1）定義：一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.

（2）一般情況下二元一次方程組的解是唯一的.數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)與出發(fā)點(diǎn)，當(dāng)遇到

有關(guān)二元一次方程組的解約問(wèn)題時(shí)，要回到定義中去，通常采用代入法，即將解代入原方程

組，這種方法主要用在求方程中的字母系數(shù).

4.解二元一次方程組

（1）用代入法解二元一次方程組的一般步驟：①?gòu)姆匠探M中選一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，

將這個(gè)方程組中的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來(lái).②將變形后的關(guān)系式

代入另一個(gè)方程，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程.③解這個(gè)一元一次方程，求

出M或y）的值.④將求得的未知數(shù)的值代入變形后的關(guān)系式中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值.⑤

把求得的x、y的值用“廠聯(lián)立起來(lái)，就是方程組的解?.

（2）用加減法解二元一次方程組的一般步驟：①方程組的兩個(gè)方程中，如果同一個(gè)未知數(shù)

的系數(shù)既不相等又不互為相反數(shù)，就用適當(dāng)?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊，使某一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相

等或互為相反數(shù).②把兩個(gè)方程的兩邊分別相減或相加，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元

一次方程.③解這個(gè)一元一次方程，求得未知數(shù)的值.④將求出的未知數(shù)的值代入原方程

組的任意一個(gè)方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值.⑤把所求得的兩個(gè)未知數(shù)的值寫(xiě)在一起，

就得到原方程組的解，用［X”的形式表示.

y=b

5.解三元一次方程組

（1）三元一次方程組的定義：方程組含有三個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都

是1,并且一共有三個(gè)方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組.

（2）解三元一次方程組的一般步驟：

①首先利用代入法或加減法，把方程組中一個(gè)方程與另兩個(gè)方程分別組成兩組，消去兩組

中的同一個(gè)未知數(shù)，得到關(guān)于另外兩個(gè)未知數(shù)的二元一次方程組.②然后解這個(gè)二元一次

方程組，求出這兩個(gè)未知數(shù)的值.③再把求得的兩個(gè)未知數(shù)的值代入原方程組中的一個(gè)系

數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，得到一個(gè)關(guān)于第三個(gè)未知數(shù)的一元一次方程.④解這個(gè)一元一次方程,

求出第三個(gè)未知數(shù)的值.⑤最后將求得的三個(gè)未知數(shù)的值用“廣合寫(xiě)在一起即“J.

6.解一元二次方程-直接開(kāi)平方法

形如或』（p20）的一元二次方程可采用直接開(kāi)平方的方法解一元二次方

程.

如果方程化成*=P的形式，那么可得》=土丘；

如果方程能化成2=p（p20）的形式，那么〃

注意：①等號(hào)左邊是一個(gè)數(shù)的平方的形式而等號(hào)右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù).

②降次的實(shí)質(zhì)是由一個(gè)二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程.

③方法是根據(jù)平方根的意義開(kāi)平方.

7.解一元二次方程-配方法

（1）將一元二次方程配成（x+m）2=〃的形式，再利用直接開(kāi)平方法求解，這種解一元二

次方程的方法叫配方法.

（2）用配方法解一元二次方程的步驟：

①把原方程化為蘇+兒田二。（。#0）的形式；

②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；

③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方：

④把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；

⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過(guò)直接開(kāi)平方法來(lái)求出它的解，如果右邊是一個(gè)負(fù)

數(shù)，則判定此方程無(wú)實(shí)數(shù)解.

8.解一元二次方程-公式法

(1)把x=—2±db二4必_(^2_4flc>0)叫做一元二次方程a『+bx+c=O(aWO)的求根

2a

公式.

(2)用求根公式解一元二次方程的方法是公式法.

(3)用公式法解一元二次方程的一般步驟為：

①把方程化成一般形式，進(jìn)而確定叫b,c的值(注意符號(hào))；

②求出廿-4M的值(若屬-4"<0,方程無(wú)實(shí)數(shù)根)；

③在。2-4“c20的前提下，把a(bǔ)、b、c的值代入公式正行計(jì)算求出方程的根.

注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個(gè)：①〃W0；(2)62-4*20.

9.解一元二次方程■因式分解法

(1)因式分解法解一元二次方程的意義

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程

最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右邊化為0,再把左邊通過(guò)因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形

式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解.，這樣也就把

原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問(wèn)題了(數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想).

(2)因式分解法解一元二次方程的一般步驟：

①移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；③令每個(gè)因

式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；④解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就都是原方程

的解.

10.根的判別式

利用一元二次方程根的判別式(△一/-4℃)判斷方程的根的情況.

一元二次方程ad+bx+cuO(“WO)的根與△=/??-4〃c有如下關(guān)系：

①當(dāng)△>()時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

②當(dāng)△=()時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

③當(dāng)△<。時(shí)?，方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

上面的結(jié)論反過(guò)來(lái)也成立.

11.根與系數(shù)的關(guān)系

（1）若二次項(xiàng)系數(shù)為1,常用以下關(guān)系：xi，X2是方程r+px+q=O的兩根時(shí)，xi+x2=-p，

戈1X2=1，反過(guò)來(lái)可得〃=-（X1+X2），q=x\X2,前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問(wèn)題，后者

是已知兩根確定方程中未知系數(shù).

（2）若二次項(xiàng)系數(shù)不為1,則常用以下關(guān)系：xi，X2是一元二次方程。/+云+。=0（aWO）

的兩根時(shí)，X\+X2=-?X]X2=—?反過(guò)來(lái)也成立，即上=-（X1+X2），—=X|X2.

aaaa

（3）常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問(wèn)題：

①不解方程，判斷兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩個(gè)根.②已知方程及方程的一個(gè)根，求

另一個(gè)根及未知數(shù).③不解方程求關(guān)于根的式子的值，如求，R2+X22等等.④判斷兩根的

符號(hào).⑤求作新方程.⑥由給出的兩根滿(mǎn)足的條件，確定字母的取值.這類(lèi)問(wèn)題比較綜合,

解題時(shí)除了利用根與系數(shù)的關(guān)系，同時(shí)還要考慮。工0,△》（）這兩個(gè)前提條件.

12.分式方程的解

求出使分式方程中令等號(hào)左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個(gè)值叫方程的解.

注意：在解方程的過(guò)程中因?yàn)樵诎逊质椒匠袒癁檎椒匠痰倪^(guò)程中，擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范

圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解.

13.分式方程的增根

（1）增根的定義：在分式方程變形時(shí)，有可能產(chǎn)生不適合原方程的根，即代入分式方程后

分母的值為0或是轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值的根，叫做

原方程的增根.

（2）增根的產(chǎn)生的原因：對(duì)于分式方程，當(dāng)分式中，分母的值為零時(shí)，無(wú)意義，所以分式

方程，不允許未知數(shù)取哪些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隘含著分母不為零的條

件.當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍

擴(kuò)大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會(huì)出現(xiàn)

增根.

（3）檢驗(yàn)增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，看最簡(jiǎn)公分母

是否為0,如果為0,則是增根；如果不是0,則是原分式方程的根.

一.選擇題（共11小題）

I.（2021春?松江區(qū)期末）下列方程中，有實(shí)數(shù)解的是（）

._______v4-7

A.x2+1=0B.x+-=\C.J2-+3-D.-^-^=0

X2+2X

2.（2021?盂縣一模）將關(guān)于x的一元二次方程x?-px+q=0變形為V=px-q,就可以將

Y表示為關(guān)于X的一次多項(xiàng)式，從而達(dá)到“降次”的目的，又如d=x.x2=x（px-g）j..,

我們將這種方法稱(chēng)為“降次法”，通過(guò)這種方法可以化簡(jiǎn)次數(shù)較高的代數(shù)式.根據(jù)“降次法”,

已知：x2-x-l=0,且H>0,則的值為（）

A.l+x/5B.1-75C.3-石D.3+亞

3.（2020?高青縣二模）已知a,夕是方程X2+2020X+1=0的兩個(gè)根，則

(1+2022a+a2)(a￡+夕)的值為()

A.-4040B.4044C.-2022D.2020

腎二,的解為《X=1,則被遮蓋的兩個(gè)數(shù)M、

4.方程組N分別為（）

y=N

A.4,2B.L3C.2,3D.2,4

5.設(shè)王，天是方程--3》+1=0的兩根,則?+庭=（)

A.上B.V5C.3D.5

6.（2021秋?宣化區(qū)期末）一元二次方程x（x-2）=2-1的根是（)

A.x=-1B.x=2C.X1=1,x,=2D.X]=-1?x2=2

7.（2020?浙江自主招生）方程正+1）。一4）+收+2）（5-x）=6的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.大于2

8.下列無(wú)理方程中，有實(shí)數(shù)解的方程是（）

A.Vx-lO-VTTr=1B.VT-T=-2

C.yJ3X+2+>J2.X~1+1=0D.Vx-1=2

>,=2x-3時(shí)，將方程①代入②中，所得的方程正確的是（）

9.用代入法解方程組J

3x+2y=S

A.3x+4y—3=8B.3x+4x-6=8C.3x-2x-3=8D.3x+2x-6=8

jx+4

10.（2021?元陽(yáng)縣模擬）若關(guān)于x的一元一次不等式組2的解集為x,a,且關(guān)

于y的分式方程匕巴-生蟲(chóng)=2有正數(shù)解,

則所有滿(mǎn)足條件的整數(shù)”的值為（)

y-1i-y

A.6.7,8,9B.6,7,8C.7,8D.6,8

x,+x2+x3=q(1)

x2+x3+x4=a2(2)

11.Xj+x4+x$=%(3)，其中q,a2，a3a4,%是常數(shù)，且q>%>%>4>%，則再，

x4+x5+/=%(4)

j+r,+r2=q(5)

x2?Xj,x4,毛的大小順序是(

A.>x2>>x4>x5B.x4>x2>.v(>xy>x5

C.xy>xi>x4>x2>x5D.x5>x3>xi>x4>x2

二.填空題（共3小題）

12.（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）已知關(guān)于x的一元一次方？2x+l=2x+〃?的解為x=-4,

19

那么關(guān)于歹的一元一次方程3。，-2）+1=2。，-2）+機(jī)的解為—.

y=x2+bx+c

13.（2021秋?虹口區(qū)校級(jí)月考）無(wú)論左取何值，關(guān)于x、y方程組,公都只有

kx-y=^-+k

一組解，則b+c=.

14.已知等式（24一78口-（34-88）=8*+10對(duì)一切實(shí)數(shù)X都成立，則<=,B=.

三.解答題（共4小題）

15.（2021秋?三元區(qū)期中）為了響應(yīng)“踐行核心價(jià)值觀，傳遞青春正能量”的號(hào)召，小穎

決定走入社區(qū)號(hào)召大家參加“傳遞正能量志愿服務(wù)者”.假定從一個(gè)人開(kāi)始號(hào)召，每一個(gè)人

每周能夠號(hào)召相同的加個(gè)人參加，被號(hào)召參加的人下一周會(huì)繼續(xù)號(hào)召，兩周后，將有121

人被號(hào)召成為“傳遞正能量志愿服務(wù)者”.

（1）求出〃?的值;

（2）經(jīng)過(guò)計(jì)算后，小穎、小紅、小麗三人開(kāi)始發(fā)起號(hào)召，但剛剛開(kāi)始，她們就發(fā)現(xiàn)了同題，

實(shí)際號(hào)召過(guò)程中，不是每一次號(hào)召都可以成功，而她們?nèi)说某晒β室哺鞑幌嗤阎〖t

的成功率比小穎的兩倍少10%,第一周后小麗比小穎多號(hào)召成功4人，三人一共號(hào)召成功

19人，其中小穎號(hào)召成功了〃人.求出〃值，并分別求出她們?nèi)颂?hào)召的成功率.

16.（2021秋?介休市期中）（1）解方程：3（X-2）2=2-X.

（2）下面是小明解一元二次方程的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).

解：2X2+4X-8=0

二次系數(shù)化為1，得/+2x-4=0…第一步

移項(xiàng)，得/+2x=4…第二步

配方，得V+2x+4=4+4,即（x+2）2=8…第三步

由此，可得％+2=±2夜...第四步

所以，石=2+2&,與=-2-26…第五步

任務(wù)：

①上面小明同學(xué)的解法中運(yùn)用“配方法”將該一元二次方程“降次”為兩個(gè)一元一次方程,

體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是—，其中“配方法”所依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)公式是—；

②“第二步”變形的依據(jù)是一：

③上面小明同學(xué)解題過(guò)程中，從第步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，請(qǐng)直接寫(xiě)出正確的解是一；

④請(qǐng)你根據(jù)平時(shí)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，就解一元二次方程時(shí)還需要注意的事項(xiàng)為其他同學(xué)提一條意見(jiàn).

17.（2021秋?南京期中；【閱讀材料】

求解一元一次方程，根據(jù)等式的基本性質(zhì)，把方程轉(zhuǎn)化為X=Q的形式.求解二元一次方程

組，把它轉(zhuǎn)化為一元一次方程來(lái)解；類(lèi)似的，求解三元一次方程組，把它轉(zhuǎn)化為解二元一次

方程組；求解一元二次方程，把它轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)解；求解分式方程，把它轉(zhuǎn)化

為整式方程來(lái)解，由于“去分母”可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程必須檢驗(yàn).各類(lèi)方程的解

法不盡相同，但是它們有一個(gè)共同的基本數(shù)學(xué)思想--轉(zhuǎn)化，把未知轉(zhuǎn)化為已知.

用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，我們還可以解一些新的方程.例如，一元三次方程6/+以=(),

可以通過(guò)因式分解把它轉(zhuǎn)化為x，-6x+8)=0,解方程x=0和/_61+8=0,可得方程

--64+830的解.

【直接應(yīng)用】

方程-6—+8x=0的解是*=0,x2=,=

【類(lèi)比遷移】

解方程：Jx+2=x.

【問(wèn)題解決】

如圖，在矩形中，JZ)=8,45=2,點(diǎn)夕在力。上，若尸8+尸。=10,求力尸的長(zhǎng).

18.(2021秋?海珠區(qū)期末)閱讀材料：對(duì)于非零實(shí)數(shù)a,b,若關(guān)于％的分式殳二辿二幺

x

的值為零，則解得耳=。，x?=6.又因?yàn)?：4(彳6)=.2—(.+6.+〃6=4+或—5+?,

XXX

所以關(guān)于x的方程、+眩=4+力的解為x=a,0=〃.

v2+22

(1)理解應(yīng)用：方程=3+±的解為：占=一，x,=—；

x3

(2)知識(shí)遷移：若關(guān)于x的方程x+'=5的解為$="，x2=b,求/+〃的值；

x

(3)拓展提升：若關(guān)于x的方程/一的解為玉=!+1,x,=J+2,求42-4k+2-的

x-1

值.

方程中的轉(zhuǎn)化思想

知識(shí)方法精講

1.轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數(shù)學(xué)思

維方式。所謂的轉(zhuǎn)化思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)

變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到解決的一種方法。i般總是將狂雜問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題；

將難解的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問(wèn)題；將未解決的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)

題。總之，轉(zhuǎn)化在數(shù)學(xué)解題中幾乎無(wú)處不在，轉(zhuǎn)化的基本功能是：生疏化成熟悉，復(fù)雜化成

簡(jiǎn)單，抽象化成直觀，含糊化成明朗。說(shuō)到底，轉(zhuǎn)化的實(shí)質(zhì)就是以運(yùn)動(dòng)變化發(fā)展的觀點(diǎn)，以

及事物之間相互聯(lián)系，相互制約的觀點(diǎn)看待問(wèn)題，善于對(duì)所要解決的問(wèn)題進(jìn)行變換轉(zhuǎn)化，使

問(wèn)題得以解決。實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的方法有：待定系數(shù)法,配方法，整體代入法以及化動(dòng)為靜,

由抽象到具體等轉(zhuǎn)化思想，

2.一元一次方程的解

定義：使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解.

把方程的解代入原方程，等式左右兩邊相等.

3.二元一次方程組的解

（1）定義：一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.

（2）一般情況下二元一次方程組的解是唯一的.數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)與出發(fā)點(diǎn)，當(dāng)遇到

有關(guān)二元一次方程組的解約問(wèn)題時(shí)，要回到定義中去，通常采用代入法，即將解代入原方程

組，這種方法主要用在求方程中的字母系數(shù).

4.解二元一次方程組

（1）用代入法解二元一次方程組的一般步驟：①?gòu)姆匠探M中選一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，

將這個(gè)方程組中的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來(lái).②將變形后的關(guān)系式

代入另一個(gè)方程，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程.③解這個(gè)一元一次方程，求

出M或y）的值.④將求得的未知數(shù)的值代入變形后的關(guān)系式中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值.⑤

把求得的x、y的值用“廠聯(lián)立起來(lái)，就是方程組的解?.

（2）用加減法解二元一次方程組的一般步驟：①方程組的兩個(gè)方程中，如果同一個(gè)未知數(shù)

的系數(shù)既不相等又不互為相反數(shù)，就用適當(dāng)?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊，使某一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相

等或互為相反數(shù).②把兩個(gè)方程的兩邊分別相減或相加，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元

一次方程.③解這個(gè)一元一次方程，求得未知數(shù)的值.④將求出的未知數(shù)的值代入原方程

組的任意一個(gè)方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值.⑤把所求得的兩個(gè)未知數(shù)的值寫(xiě)在一起，

就得到原方程組的解，用I*'的形式表示.

ly=b

5.解三元一次方程組

（1）三元一次方程組的定義：方程組含有三個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都

是1,并且一共有三個(gè)方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組.

（2）解三元一次方程組的一般步驟：

①首先利用代入法或加減法，把方程組中一個(gè)方程與另兩個(gè)方程分別組成兩組，消去兩組

中的同一個(gè)未知數(shù)，得到關(guān)于另外兩個(gè)未知數(shù)的二元一次方程組.②然后解這個(gè)二元一次

方程組，求出這兩個(gè)未知數(shù)的值.③再把求得的兩個(gè)未知數(shù)的值代入原方程組中的一個(gè)系

數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，得到一個(gè)關(guān)于第三個(gè)未知數(shù)的一元一次方程.④解這個(gè)一元一次方程,

求出第三個(gè)未知數(shù)的值.⑤最后將求得的三個(gè)未知數(shù)的值用“廣合寫(xiě)在一起即“J.

6.解一元二次方程-直接開(kāi)平方法

形如或』（p20）的一元二次方程可采用直接開(kāi)平方的方法解一元二次方

程.

如果方程化成的形式，那么可得x=±仁

如果方程能化成（nx+m）2=p（〃20）的形式，那么〃.r+m=±JB.

注意：①等號(hào)左邊是一個(gè)數(shù)的平方的形式而等號(hào)右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù).

②降次的實(shí)質(zhì)是由一個(gè)二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程.

③方法是根據(jù)平方根的意義開(kāi)平方.

7.解一元二次方程-配方法

（1）將一元二次方程配成（x+〃?）2=〃的形式，再利用直接開(kāi)平方法求解，這種解一元二

次方程的方法叫配方法.

（2）用配方法解一元二次方程的步驟：

①把原方程化為蘇+兒田二。（。#0）的形式；

②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；

③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方：

④把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；

⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過(guò)直接開(kāi)平方法來(lái)求出它的解，如果右邊是一個(gè)負(fù)

數(shù)，則判定此方程無(wú)實(shí)數(shù)解.

8.解一元二次方程-公式法

b±2

(1)i^x=~Vb-4ac(/)2_4ac^Q)叫做一元二次方程如斗隊(duì)+c=0(q#0)的求根

2a

公式.

(2)用求根公式解一元二次方程的方法是公式法.

(3)用公式法解一元二次方程的一般步驟為：

①把方程化成一般形式，進(jìn)而確定叫b,c的值(注意符號(hào))；

②求出廿-4M的值(若屬-4"<0,方程無(wú)實(shí)數(shù)根)；

③在。2-4“c20的前提下，把a(bǔ)、b、c的值代入公式正行計(jì)算求出方程的根.

注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個(gè)：①〃W0；(2)62-4*20.

9.解一元二次方程■因式分解法

(1)因式分解法解一元二次方程的意義

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程

最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右邊化為0,再把左邊通過(guò)因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形

式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解.，這樣也就把

原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問(wèn)題了(數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想).

(2)因式分解法解一元二次方程的一般步驟：

①移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；③令每個(gè)因

式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；④解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就都是原方程

的解.

10.根的判別式

利用一元二次方程根的判別式(△一/-4℃)判斷方程的根的情況.

一元二次方程ad+bx+cuO(“WO)的根與△=/??-4〃c有如下關(guān)系：

①當(dāng)△>()時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

②當(dāng)△=()時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

③當(dāng)△<。時(shí)?，方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

上面的結(jié)論反過(guò)來(lái)也成立.

11.根與系數(shù)的關(guān)系

（1）若二次項(xiàng)系數(shù)為1,常用以下關(guān)系：xi，X2是方程r+px+q=O的兩根時(shí)，xi+x2=-p，

戈1X2=1，反過(guò)來(lái)可得〃=-（X1+X2），q=x\X2,前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問(wèn)題，后者

是已知兩根確定方程中未知系數(shù).

（2）若二次項(xiàng)系數(shù)不為1,則常用以下關(guān)系：xi，X2是一元二次方程。/+云+。=0（aWO）

的兩根時(shí)，Xl+X2=—?A|X2=—?反過(guò)來(lái)也成立，即上=-（X1+X2），—=X]X2.

aaaa

（3）常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問(wèn)題：

①不解方程，判斷兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩個(gè)根.②已知方程及方程的一個(gè)根，求

另一個(gè)根及未知數(shù).③不解方程求關(guān)于根的式子的值，如求，.盯2+、22等等.④判斷兩根的

符號(hào).⑤求作新方程.⑥由給出的兩根滿(mǎn)足的條件，確定字母的取值.這類(lèi)問(wèn)題比較綜合,

解題時(shí)除了利用根與系數(shù)的關(guān)系，同時(shí)還要考慮。工0,△》（）這兩個(gè)前提條件.

12.分式方程的解

求出使分式方程中令等號(hào)左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個(gè)值叫方程的解.

注意：在解方程的過(guò)程中因?yàn)樵诎逊质椒匠袒癁檎椒匠痰倪^(guò)程中，擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范

圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解.

13.分式方程的增根

（1）增根的定義：在分式方程變形時(shí)，有可能產(chǎn)生不適合原方程的根，即代入分式方程后

分母的值為0或是轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值的根，叫做

原方程的增根.

（2）增根的產(chǎn)生的原因：對(duì)于分式方程，當(dāng)分式中，分母的值為零時(shí)，無(wú)意義，所以分式

方程，不允許未知數(shù)取哪些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隘含著分母不為零的條

件.當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍

擴(kuò)大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會(huì)出現(xiàn)

增根.

（3）檢驗(yàn)增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，看最簡(jiǎn)公分母

是否為0,如果為0,則是增根；如果不是0,則是原分式方程的根.

一.選擇題（共11小題）

I.（2021春?松江區(qū)期末）下列方程中，有實(shí)數(shù)解的是（）

i_____x+2

A.x2+\=0B.x+-=lC.j2x+3=-xD.:一=0

xx2+2x

【考點(diǎn)】解一元二次方程-直接開(kāi)平方法；無(wú)理方程；分式方程的解

【分析】根據(jù)一元二次方程、分式方程、無(wú)理方程的解法，分別解方程即可得答案.

【解答】解：A、由/+1=。，得/=_],

,/x2...O?

二.原方程無(wú)實(shí)數(shù)根，

故/選項(xiàng)不符合題意：

B、由x+1=l得X?-x+l=O,

x

而./T+JO的判別式△=—3<0,

二.原方程無(wú)實(shí)數(shù)根，

故4選項(xiàng)不符合題意；

C、由j2x+3=-x得/-2x-3=0,

解得x=3或x=-l,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=-l是原方程的根，

故C符合題意；

D、由：+2=0得x=-2,

經(jīng)檢驗(yàn)：x=-2是原方程憎根，

二.原方程無(wú)實(shí)數(shù)根，

故。不符合題意，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程、分式方程及無(wú)理方程的解，熟練應(yīng)用相關(guān)方法進(jìn)行

求解是解決本題的關(guān)鍵，特別注意分式方程和無(wú)理方程都要檢驗(yàn).

2.（2021?盂縣一模）將關(guān)于x的一元二次方程/一川+4=（）變形為/=*-夕，就可以將

/表示為關(guān)于戈的一次多項(xiàng)式，從而達(dá)到“降次”的目的，又如V=x?x2=x（px—q）=一，

我們將這種方法稱(chēng)為“降次法”，通過(guò)這種方法可以化簡(jiǎn)次數(shù)較高的代數(shù)式.根據(jù)“降次法”,

已知：X2-X-1=0,且x>0,則F+1的值為（）

A.l+x/5B.l-x/5C.3-石D.3+石

【考點(diǎn)】解一元二次方程-公式法；高次方程

【分析】利用f=x+l,得X2+X+1=(X+1)+X+1=2X+2,用一元二次方程求根公式得

工=上更，且工>0,所以“取匕或，代入即可求得.

22

【解答】解：???爐——1=0,

X=]土后,且X2=X+1,

2

/.x3+1=x-x2+1=x(x+1)+1=x2+.V+1=(x+1)+.V+1=2x+2,

x>0,

二.產(chǎn)+1=2工+2=2.叵^+2=逐+3,

2

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整體降次的思想方法，但降次后得到的是x的代數(shù)式，還要利用一元二

次方程求根公式求出x的值，代入化簡(jiǎn)后的2x+2中計(jì)算出結(jié)果.

3.(2020?高青縣二模)已知。，〃是方程Y+2020x+l=0的兩個(gè)根，則

(1+2022a+人)(3+夕2)的值為()

A.-4040B.4044C.-2022D.2020

【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系

【分析】由a,夕是方程/+2020》+1=0的兩個(gè)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可得初=1,

由一元二次方程的根的定義，可得儲(chǔ)+2020々+1=0,尸2+20204+1=0,繼而求得答案.

【解答】解：???0,￡是方程爐+2020%+1=0的兩個(gè)根,

.-.a2+2020a+l=0,+2020^+1=0,ap=\,

(I+2022a+az)(ap+，)=2a(l+6)=2a(-2020/?)=-4040矽=-4040.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解.注意今是方程

/+px+g=0的兩根時(shí),X]+w=-P，xix2=,

4.方程組+'"”的解為卜之，則被遮蓋的兩個(gè)數(shù)用、N分別為()

x+y=3[y=N

A.4,2B.I,3C.2,3D.2,4

【考點(diǎn)】二元一次方程組的解

【分析】本題主要將x=l代入x+y=3得出y和N,再將X,y的值代入方程組即可.

【解答】解：將x=l代入x+y=3得

y=2,

,:y=N

：.N=2,

將y=2,x-1代入2x+y=M得

M=4.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二元一次方程的解?、問(wèn)題轉(zhuǎn)化等思想.

5.設(shè)X],它是方程X?-或+1=0的兩根，則4"+J^=()

A.x/3B.V5C.3D.5

【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系

【分析】先求出(在+后)2,再求其算術(shù)平方根即可.

【解答】解：???一,它是方程略-3%+1=0的兩根,

+x,=3?$?占=1，

而=*+.+2?占=3+2=5?

且?\.0,故6+區(qū)…0,

/.6+區(qū)=\/5，

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及算術(shù)平方根，主要是北+4如何變形

為/+x2與$?x2的式子.

6.(2021秋?宣化區(qū)期末)一元二次方程x(x-2)=2-1的根是()

A.x=-1B.x=2C.$=1,x2=2D.=-1,x2=2

【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法

【分析】先移項(xiàng)得到x(x-2)+a-2)=0,然后利用因式分解法解方程.

【解答】解：x(x-2)+(x-2)=0,

(x-2)(x+l)=0,

x-2=0或x+l=O,

所以$=2,x2=-1.

故選：

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右邊化為()，再把左邊通過(guò)

因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0,這就能得到

兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一

次方程的問(wèn)題了(數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想).

7.(2020?浙江自主招生：方程狄x+l)(x-4)+&x+2)(5-x)=6的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.大于2

【考點(diǎn)】立方根

【分析】令a=「(x+l)(x-4),b=#(x+2)(5-x),分別求出4+6=6,ab=,,所以。、

6是方程6/+至=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，△=—%<(),可知方程無(wú)解，由此可求解.

33

【解答］解：令。=玳4+1)(1),6=#(x+2)(5_x),

/.+//=6,

+b)(a2+b2-ab)=6,

u~b~—(ib=1?

a+b=6,

a2+b2+2ah=36,

「.a、6是方程『-6/+弓=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

32

?/△=--<0,

3

方程無(wú)解,

.?.方程無(wú)實(shí)數(shù)根，

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查立方根、?元二次方程，利用換元法和立方和公式進(jìn)行量的轉(zhuǎn)換，再構(gòu)造

一元二次方程，借助判別式求解是解題的關(guān)鍵.

8.下列無(wú)理方程中，有實(shí)數(shù)解的方程是()

A.\lx-\O-xl\-x=1B.Vx-I=-2

C.j3x+2+\/2x-1+：=0D.V7^T=2

【考點(diǎn)】無(wú)理方程

【分析】移項(xiàng)得出，x-10=l+Vi二T,兩邊平方得出X-1O=1+1-X+2VT7,整理后得

出VT7=X-6,兩邊平方得出l-x=r-12x+36,求出x后檢驗(yàn)，即可判斷力；根據(jù)算術(shù)

平方根的非負(fù)性即可判斷3；移項(xiàng)得出后11=-1-岳二1,兩邊平方得出

3x+2=l+2x-l+2V2x-l,整理后得出2,21=x+2,兩邊平方得出

4(2》-1)=/+4+4,根據(jù)根的判別式即可判斷C；兩邊平方得出x-l=4,求出方程的解,

經(jīng)檢驗(yàn)即可判斷。.

［解答］解：A.X/JV-10-\l\-x=1,

移項(xiàng)，得Jx—io=i+Vi二7,

兩邊平方，得x-10=l+【-x+2>/r匚，

整理，得Vi=7=X-6,

兩邊平方，得l-x=*2-12x+36,

即x2-lLr+35=O,

=(-11)2-4x1x35=121-140=-19<0,

此方程無(wú)解，

即原方程無(wú)解，故本選項(xiàng)不符合題意；

B.4x^\=-2，

?.?不論x為何值，的值不能為負(fù)數(shù)，

二.此方程無(wú)解，故本選項(xiàng)不符合題意：

C.y/3x+2+\/2x—1+1=0,

移項(xiàng)，得y/3x+2=—I—y/lx—1，

兩邊平方，得3x+2=l+2x-l+2j2x-l,

整理，得2以-1=x+2,

兩邊平方，得4(2x—l)=f+4x+4,

即/一4.丫+8=0,

△=（-4）2-4xlx8=-16<0,此方程無(wú)解，

所以原方程無(wú)解，故本選項(xiàng)不符合題意；

D.y/7^T=2,

兩邊平方，得x-l=4,

解得：x=5,

經(jīng)檢驗(yàn)x=5是原方程的解，

所以原方程的解是x=5,故本選項(xiàng)符合題意：

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解無(wú)理方程和解一元二次方程，能把解無(wú)理方程轉(zhuǎn)化成解有理方程是解

此題的關(guān)鍵，注意：解無(wú)理方程一定要檢驗(yàn).

9.用代入法解方程組=-3將方程①代入②中，所得的方程正確的是（）

[3xI2y-8

A.3x+4y-3=8B.3x+4x-6=8C.3x-2.r-3=8D.3x+2x-6=8

【考點(diǎn)】解二元一次方程組

【分析】將方程①代入②，然后進(jìn)行消元.

【解答】解：[y=2x-3R,

把①代入②得：

3x+2（2x-3）=8,

去括號(hào)得：

3x+4x-6=8.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】這是用代入法解二元一次方程組的關(guān)鍵一步“代入消元”，通過(guò)這一步，使二元一

次方程組轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元一次方程來(lái)解答，典型地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想.

3x-l

10.（2021?元陽(yáng)縣模擬）若關(guān)于x的一元一次不等式組丁<x+的解集為X,且關(guān)

x,a

于y的分式方程匕g-生蟲(chóng)=2有正數(shù)解，則所有滿(mǎn)足條件的整數(shù)。的值為（）

y-\I-y

A.6.7,8,9B.6,7,8C.7,8D.6,8

【考點(diǎn)】解一元一次不等式組：分式方程的解

【分析】先求出不等式解集，根據(jù)一元一次不等式組的解集為工。，求出。的取值范圍，進(jìn)

一步解分式方程匚-生蟲(chóng)=2,用〉表示。，代入。<9,求出y的取值范圍，再根據(jù)關(guān)

y-\i-y

于y的分式方程有正數(shù)解，求出y,這樣也就求出。的值.

3x-\

【解答】解：解不等式丁<”+,

x.a

x<9

得，

X.a

?.?一元一次不等式組的解集為X,

:.a<9,

解分式方程=-蟲(chóng)蟲(chóng)=2,

y-\\-y

y-a2y+3.

----+-----=2，

y—1y—1

解得，a=y+5,

y+5v9,

y<4,

?.?關(guān)于丁的分式方程有正數(shù)解，

，y=2或3,

當(dāng)y=2時(shí)，a=7,

當(dāng)歹=3時(shí)，。=8,

綜上所述：a的值是7或8.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解一元一次不等式組、分式方程.掌握不等式解集的確定，轉(zhuǎn)化思想是解

題關(guān)鍵.

%+占+七=4。)

x2+xy+x4=a,(2)

11.-x3+x4+x5=%(3)，其中％,a2>%,a4,as是常數(shù)，且q>%>小>%>%,則X],

x4+/+再=/(4)

x5+xy+x2=a5(5)

x2,x3?x4,天的大小順序是()

A.>x2>xi>xA>x5B.x4>x2>>xy>x5

【考點(diǎn)】一元一次不等式的應(yīng)用

【分析】本方程組牽涉5個(gè)未知數(shù)占，與，與，匕，內(nèi)，經(jīng)觀察方程（1）與（2）、（2）

與（3）、（3）與（4）、（4）與（5）、（5）與（1）均含有相同的兩個(gè)未知數(shù)，只要做

差就會(huì)出現(xiàn)*一%一/'一/二生一的，通過(guò)％>/>小>%>%的大小關(guān)系，即可確定

X=aa

X3-X1=4__24~s

玉，X,>X3>x4,X5的大小關(guān)系.

【解答】解：方程組中的方程按順序兩兩分別相減得*一、4="一出"2--。3

Xy"=%一4，覆_X2=〃4-4

因?yàn)閝>%>/>%>as

所以X]>％,x2>x5?x3>X]>.r4>x2>于是有/>玉>.%>x?>/

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題如果直接比較玉，x2，x3，x4,看的大小關(guān)系很難，那么考慮到方程（1）

與（2）、（2）與（3）、（3）與（4）、（4）與（5）、（5）與（1）均含有相同的兩個(gè)

未知數(shù)，通過(guò)比較叫，%,%，%，%的大小就容易的多了，本題要注意并不是任何兩個(gè)

方程都能相減，需要消去兩個(gè)未知數(shù)，保留兩個(gè)未知數(shù)的差，這才是目的.

二.填空題（共3小題）

12.（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）已知關(guān)于x的一元一次方？3x+l=2x+/〃的解為x=-4,

19

那么關(guān)于y的一元一次方程/y-2）+1=2（y-2）+m的解為_(kāi)y=-2一

【考點(diǎn)】一元一次方程的解

【分析】根據(jù)換元法得出卜-2=2,進(jìn)而解答即可.

【解答】解：?.?關(guān)于x的一元一次方程2》+1=2》+/〃的解為、=-4,

19

.??關(guān)于y的一元一次方程丁（丁一2）+1=2（丁一2）+〃?中的y—2=-4,

解得；y——2,

故答案是：y=-2.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查一元一次方程的解，關(guān)鍵是根據(jù)換無(wú)法解答.

y=x2+bx+c

13.（2021秋?虹口區(qū)校級(jí)月考）無(wú)論“取何值，關(guān)于x、y方程組k?都只有

kx-y=—+k

一組解，則/）+c=3

【考點(diǎn)】根的判別式

【分析】將②變形后代入①可整理出關(guān)于X的一元二次方程，由方程組只有一組解，可得出

/+(2/)-4)%—4。=0,結(jié)合上可以為任何值，可得出關(guān)于b,c的二元一次方程組，解之即

可得出b,c的值，再將其代入S+c)中即可求出結(jié)論.

y=X2+hx+。①

【解答】解：

kx-y=—+k@

4

由②可得出-勺-々③,

4

將③代入①整理得：x2+[b+k)x+c+—+k.

4

y=x2+bx+c

?.?無(wú)論攵取何值，關(guān)于x、y方程組H都只有一組解,

kx-y=^-+k

/.△=(A+A:)2-4x1x(c+—+%)=0,

4

即從+(26—4)左一4c=0,

26-4=0

“"4c=0'

b=2

c=1

Z?+c=2+l=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)△=()時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根”是解題的

關(guān)鍵.

14.已知等式(2力-78卜+(34-88)=8x+10對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，貝。B=.

【考點(diǎn)】解二元一次方程組

【分析】根據(jù)條件“對(duì)于一切實(shí)數(shù)x都成立"，將原式轉(zhuǎn)化為關(guān)于月、4的二元一次方程組

解答.

【解答】解：由于等式(24-7B)x+(34-84)=8x+10對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，

24-78=8

所以，有

34-88=10.

解得J

故答案為：

55

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的解法.解決本題的關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化為關(guān)于力、8的二

元一次方程組；體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.

三.解答題(共4小題)

15.(2021秋?三元區(qū)期中)為了響應(yīng)“踐行核心價(jià)值觀，傳遞青春正能量”的號(hào)召，小穎

決定走入社區(qū)號(hào)召大家參加“傳遞正能量志愿服務(wù)者”.假定從一個(gè)人開(kāi)始號(hào)召，每一個(gè)人

每周能夠號(hào)召相同的小個(gè)人參加，被號(hào)召參加的人下一周會(huì)繼續(xù)號(hào)召，兩周后，將有121

人被號(hào)召成為“傳遞正能量志愿服務(wù)者”.

(1)求出m的值；

(2)經(jīng)過(guò)計(jì)算后，小穎、小紅、小麗三人開(kāi)始發(fā)起號(hào)召，但剛剛開(kāi)始，她們就發(fā)現(xiàn)了同題，

實(shí)際號(hào)召過(guò)程中，不是每一次號(hào)召都可以成功，而她們?nèi)说某晒β室哺鞑幌嗤阎〖t

的成功率比小穎的兩倍少10%,第一周后小麗比小穎多號(hào)召成功4人，三人一共號(hào)召成功

19人，其中小穎號(hào)召成功了〃人.求出〃值，并分別求出她們?nèi)颂?hào)召的成功率.

【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用

【分析】(1)第一周一個(gè)人能夠號(hào)召機(jī)個(gè)人參加，可得第一周結(jié)束共有(〃1+1)個(gè)人參加，

第二周(m+1)個(gè)人可以號(hào)召+個(gè)人，可得兩周后號(hào)召志愿者的人數(shù)有

[m(ni+\)+ni+\]人,進(jìn)而列出方程即可求出機(jī)的值；

(2)根據(jù)題意列出方程即可分別求出他們?nèi)颂?hào)召的成功率：根據(jù)小紅的成功率比小穎的

兩倍少10%,列出方程即可求出〃的值.

【解答】解：(1)根據(jù)題意，得

m(m+1)++1=121,

即(w+1)2=121,

/.m+1=±11,

/.zw.=10?=-12（舍去），

IL

答：〃？的值為10;

(2)根據(jù)題意，得

小穎號(hào)召了n人.小麗號(hào)召了(〃+4)人，小紅號(hào)召了[19一(〃+4)-〃]=(15-2〃)人，

所以小穎的成功率為己，小紅的成功率為"二生，小麗的成功率為山，

101010

因?yàn)樾〖t的成功率比小穎的兩倍少10%,

所以2x2—10%=上二

1010

解得〃二4；

4

所以小穎的成功率為一X100%=40%,

10

小紅的成功率為立3=2X100%=70%,

1()10

小麗的成功率為"士=AX100%=80%;

1()10

答：〃的值為4,小穎的成功率為40%,小紅的成功率為70%,小麗的成功率為80%.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系.

16.(2021秋?介休市期中)(1)解方程：3(X-2)2=2-X.

(2)下面是小明解一元二次方程的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).

解：2X2+4X-8=0

二次系數(shù)化為1,得x2+2x-4=0…第一步

移項(xiàng)，得*2+2x=4…第二步

配方，得V+2X+4=4+4,即(X+2)2=8…第三步

由此，可得x+2=±2夜…第四步

所以，再=2+2&,々=-2-2&...第五步

任務(wù)：

①上面小明同學(xué)的解法中運(yùn)用“配方法”將該一元二次方程“降次”為兩個(gè)一元一次方程,

體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想，其中“配方法”所依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)公式是—；

②“第二步”變