2013年中考二次函數壓軸題精選

1、（綿陽市2013年）如圖，二次函數產加+法+c的圖象的頂點。的坐標為（0,-2）,交

x軸于A、8兩點,其中A（-1,0）,直線/：x=m（加>1）與x軸交于。。

（1）求二次函數的解析式和B的坐標；

（2）在直線/上找點夕（P在第一象限），使得以P、

。、B為頂點的三角形與以4、C、。為頂點的三角形

相似，求點P的坐標（用含〃?的代數式表示）；

（3）在（2）成立的條件下，在拋物線上是否存在第

一象限內的點Q，使是以P為直角頂點的等腰

直角三角形？如果存在，清求出點。的坐標；如果不

存在，請說明理由。

解：（1）①二次函數y=￡x2+bx+c圖象的頂點C的坐

標為（0,-2）,c=-2、-；=0,b=0,

點A（T,0）、點B是二次函數y=ax2-2的圖象與x軸的交點，a-2=0,a=2.二次函數的解析

式為y=2x2-2；

②點B與點A（T,0）關于直線x=0對稱，點B的坐標為（1,0）；

（2）NB0C=NPDB=90°,點P在直線x=m上，

設點P的坐標為（m,p）,0B=l,0C=2,DB=m-1,DP=|p|,

①當△BOCS/\PDB時，/荒，，P=?或p=,

utDDZm-1乙L

m—11-m

點P的坐標為（m,—）或（m,—7—）；

乙乙

②當△B0Cs/\BDP時，KH，9=T~T，P=2nr2或p=2-2m,

UCDl'LIpI

點P的坐標為（m,2m-2）或（m,2-2m）；

m—11-m

綜上所述點P的坐標為（m,-5-）、（m,—5—）、（01，2m-2）或（m,2-2m）；

（3）不存在滿足條件的點Q。

點Q在第一象限內的拋物線y=2x2-2上，

令點Q的坐標為（x,2x2-2）,x>],過點Q作QE_L直線1,

垂足為E,△BPQ為等腰直角三角形，PB=PQ,ZPEQ=ZPDB,

NEPQ=NDBP,△PEQg/XBDP,QE=PD,PE=BD,

①當P的坐標為（m,—）時,

與x>l矛盾,此時點Q不滿足題設條件;

1-ni

②當P的坐標為(m,—）時,

一

2

口尸--

與x>l矛盾,此時點Q不滿足題設條件;

③當P的坐標為（m,2ir-2）時，

“C9

tm-x=2m-2m二;75

^x2-2-（2m-2）=m-1,Ix=-77

與x>l矛盾,此時點Q不滿足題設條件;

④當P的坐標為(m,2-2m)時,

5

m=l

18

7

x=l

6

與x>l矛盾,此時點Q不滿足題設條件;

綜上所述，不存在滿足條件的點Q。

如

圖,

矩

形

0A

BC

在

平

面

直

角

坐

標

系

xOy中，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OA=4,OC=3,若拋物線的頂

點在BC邊上，且拋物線經過0,A兩點，直線AC交拋物線于點D.

(1)求拋物線的解析式；

(2)求點D的坐標；

(3)若點M在拋物線上，點N在x軸上，是否存在以A,D,M,N為頂點的四邊形是平

行四邊形？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

解：(1)設拋物線頂點為E,根據題意0A=4,003,得：E(2,3),

設拋物線解析式為y=a(x-2)2+3,

將A(4,0)坐標代入得；0=4a+3,即a=-且

4

則拋物線解析式為y=-乜(x-2)2+3=-&?+3x；

(2)設直線AC解析式為y=kx+b(kxO),

將A(4,0)與C(0,3)代入得：件13。,

1b二3

解得：4,

b=3

故直線AC解析式為y=-旨+3,

3

產一下+3

與拋物線解析式聯立得:

y=--|x2+3x

則點D坐標為(1,8)；

4

(3)存在，分兩種情況考慮：

①當點M在x軸上方時，如答圖1所示:

DMIIAN,DM=AN,

4

/.Ni(2,0),N2(6,0)；

過點D作DQ±x軸于點Q,過點M作MP±x軸于點P,可得△ADQ2△NMP,

MP二DQ=2NP=AQ=3,

4

將yN,尸-X代入拋物線解析式得：-2-&2+3x,

444

解得：XM=2-H或XM=2+V7?

/.XN=XM-3=~*>/7-1或W-1?

N3(-V7-1*0)'N4(幣7,0).

綜上所述，滿足條件的點N有四個：N1(2,0),N2(6,()),N3(-I,0),N4

(V?-0).

3、（2013陜西）在平面直角坐標系中，一個二次函靈敏的圖象經過點A?l,0）、B（3,

）兩點.

0?-

（1）寫出這個二次函數的對稱軸；

（2）設這個二次函數的頂點為D,與y軸交于點C,2卜

它的對稱軸與x軸交于點E,連接AD、DE和DB,1一

當△A0C與ADEB相似時，求這個二次函數的表達式。一4~?一~?-----1——一~?

解：⑴對稱軸為直線：-223A

x=2o一/K?

（2）VA（1,0）、B（3,0）,所以設》=。（工一1）（工一3）即），=0￥--4〃穴+3。

（第24題圖）

當x=0時，y=3a,當x=2時，y=-a

AC(0,3a),D(2,-a)/.0C=|3a|,

VA(1,0)、E(2,0),

/.0A=l,EB=1,DE=}-a|=|a|

在△AOC與ADEB中，

VZA0C=ZDEB=90°

Anr)F

，當上二——時，△AOCS/XDEB

OCEB

?,?,二四時，解得。=走或。=—立

13ali33

AnFR

當以=￡￡時，^AOCs/XBED

OCDE

??.上二」時，此方程無解，

13al\a\

綜上所得：所求二次函數的表達式為:

y=—x2--V3x+=--x2+—V3x-V3

3333

4、(2013年濰坊市壓軸題)如圖，拋物線y=ad+/u+c關于直線x=l對稱，與坐標軸

交于A、B、C三點、,且AB=4,點在拋物線上，直線是一次函數

)，二入一2心工0)的圖象，點。是坐標原點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若直線平分四邊形。8。。的面積，求k的值.

(3)把拋物線向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線與直線交于M、N兩

點，問在y軸正半軸上是否存在一定點P,使得不論〃取何值，直線PM與PN總是關于)，

軸對稱？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由.

答案：⑴因為拋物線關于直線x=I對稱，AB=4,所以A(-l,0),B(3,0),

a-b+c=0

由點D(2,1.5)在拋物線上，所以＜,所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5,

4a十2Z?十c=1.5

J]Q

乂----=1,即/尸-2&代入上式解得〃=-0.5力=1,從而c=1.5,所以y=-----x2+x+—.

2a22

I3

(2)由(1)知)，=一一x2+X+-,令x=0,得c(0,1.5),所以CD//AB,

22

73

令人>2=1.5,得I與CD的交點F(——,一)，

2k2

2

令h?2=0,得/與x軸的交點E(—,0),

k

-

根據S網邊形OEFCS四邊電EBDF得：OE+CFDF+BE,

2727I1

即：.+力=(3-1)+(2-《),解得左=2,

k2kk2k5

i3i

(3)由(1)知y=+x+/=-/(x-l)2+2,

所以把拋物線向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線的解析式為)，=/

假設在y軸上存在一點P((),t),1>(),使直線PM與PN關于y軸對稱，過點M、N分別向

y軸作垂線MMI、NNL垂足分別為MI、NI，因為NMPO/NPO,所以RtAMPMi^RtANPNi,

PM,

所以一西......................(1)

不妨設M(XM}M)在點N(x%yN)的左側，因為P點在y軸正半軸上,

貝|J(1)式變為——=-——，又YM=kXM-2,yN=kxN-2,

5f-yN

所以(t+2)(XM+XN)=2kXMXN.....(2)

把y=kx-2(kW0)代入)，=一^/中，整理得x2+2kx-4=0,

所以XM+XN=-2k,XMXN=-4,代入(2)得t=2,符合條件，

故在y軸上存在一點P(0,2),使直線PM與PN總是關于y軸對稱.

5、(2013?新疆壓軸題)如圖，已知拋物線產ax?+bx+3與x軸交于A、B兩點，過點A的

直線I與拋物線交于點C,其中A點的坐標是(1,0),C點坐標是(4,3).

(1)求拋物線的解析式；

(2)在(1)中拋物線的對稱軸上是否存在點D,使△BCD的周長最小？若存在，求出點

D的坐標，若不存在，請說明理由；

(3)若點E是(1)中拋物線上的一個動點，且位于直線AC的下方，試求4ACE的最大

面積及E點的坐標.

解：(I),拋物線丫=2*2+5乂+3經過點A(1,0),點C(4,3),

a+b+3=0a=l

.,16a+4b+3=3,解得&-4,

所以，拋物線的解析式為y=x2?4x+3；

(2).點A、B關于對稱軸對稱，

.,?點D為AC與對稱軸的交點時△BCD的周長最小,

設直線AC的解折式為y=kx+b(k*0)>

/k+b=0

則，4k+b=3

rk=l

解得上二-1,

所以，直線AC的解析式為y=x-I,

?/y=x2-4x+3=(x-2)2-1,

.??拋物線的對稱軸為直線x=2,

當x=2時，y=2-1=1,

???拋物線對稱軸上存在點D(2,I),使△BCD的周長最小;

(3)如圖，設過點E與直線AC平行線的直線為丫=乂+!11,

y=x+in

?2

聯立，ly=x_4X+3

消掉y得，x2-5x+3-m=0,

△=(-5)2-4x1x(3-m)=0,

即01=-二時，點E到AC的距離最大，4ACE的面積最大,

4

53

此時x=—,y=-----,

2.4

53

???點E的坐標為(一，-一)，

24

設過點E的直線與x軸交點為F,則F(衛，0),

4

139

AF=M-1=一，

44

V直線AC的解析式為y=x-1,

/.ZCAB=45°,

???點F到AC的距離為2x1-2”,

428

22

又「AC=73+(4-1)=3^

.?3ACE的最大面積=x3后生②與，此時E點坐標為(工，-

8824

6、(2013涼山州壓軸題)如圖，拋物線y=ax2-2ax+c(awO)交x軸于A、B兩點，A點坐

標為(3,0),與y軸交于點C(0,4),以OC、OA為邊作矩形OADC交拋物線于點G.

(1)求拋物線的解析式；

JA

(2)拋物線的對稱軸1在邊0A(不包括O、A兩點)

上平行移動，分別交x軸于點E,交CD于點F,交

AC于點M,交拋物線于點P,若點M的橫坐標為m,2

請用含m的代數式表示PM的長；

(3)在(2)的條件下，連結PC,則在CD上方的拋

物線部分是否存在這樣的點P，使得以P、C、F為頂

點的三角形和△AEM相似？若存在，求出此時m的

值，并直接判斷△PCM的形狀；若不存在，請說明理由.

解答：解：(1)二?拋物線丫=2乂2-2ax+c(a*0)經過點A(3,0)1點c(6,4),

7

6a+c=0

X-J，

c=4

..?拋物線的解析式為y=-X2+X+4；

(2)設直線AC的解析式為y=kx+b,

A(3,0),點C(0,4),

k=-^

b=0

S'解得3,

b=4

直線AC的解析式為y=-x+4.

?.?點M的橫坐標為m,點M在AC上,

M點的坐標為(m,-m+4),

,點P的橫坐標為m,點P在拋物線y=-X2+X+4上，

.,?點P的坐標為(m,-m2+m+4),

PM=PE-ME=(-m2+m+4)-(-m+4)=-m2+4m,

即PM=-m2+4m(0<m<3)；

(3)在(2)的條件下，連結PC,在CD上方的拋物線部分存在這樣的點P,使得以P、C、

F為頂點的三角形和△AEM相似.理由如下：由題意，可得AE=3-m,EM=-m+4,CF=m,

PF=-m2+m+4-4=-m2+jn.

若以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似，分兩種情況：①若aPFO△AEM,則PF：

AE=FC：EM,

即(-nf+m)：(3-m)=m：(-m+4),

m#0且mw3,

?m-23

16

???△PFd△AEM,/.ZPCF=ZAME,

???ZAME=ZCMF,/.ZPCF=ZCMF.

在直角ACMF中,,/ZCMF+ZMCF=90°,

ZPCF+NMCF=90°,即/PCM=9()°,

二△PCM為直角三角形；

②若△CFPsAAEM,則CF：AE=PF：EM,

即m：(3-m)=(-m2+m)：(-m+4),

mwO且mH3,

m=l.

△CFPs△AEM,/.ZCPF=ZAME,

,/ZAME=ZCMF,ZCPF=ZCMF.

CP二CM,

/.△PCM為等腰三角形.

綜上所述，存在這樣的點P使△PFC與△AEM相似.此時m的值為里或1,△PCM為直

16

角三角形或等腰三角形.

7、（2013?曲靖壓軸題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=x+4與坐標軸分別交于A、

B兩點，過A、B兩點的拋物線為y=-x2+bx+c.點D為線段AB上一動點，過點D作CD±x

軸于點C,交拋物線于點E.

（1）求拋物線的解析式.

（2）當DE=4時，求四邊形CAEB的面積.

（3）連接BE,是否存在點D,使得△DBE和△DAC桿似？若存在，求此點D坐標；若不

存在，說明理由.

解：(1)在直線解析式y=x+4中，令x=0,得y=4；令y=0,得x=-4,

/.A(-4,0),B(0,4).

???點A(-4,0),B(0,4)在拋物線y=-x2+bx+c上，

.-16-4b+c=0

??4，

Lc=4

解得：b=-3,c=4,

???拋物線的解析式為:y=-x2-3x+4.

(2)設點C坐標為(m,0)(m<0),則OC=-m,AC=4+m.

OA=OB=4,ZBAC=45°,

△ACD為等腰直角三角形，??.CD=AC=4+m,

：CE=CD+DE=4+m+4=8-+m,

「?點E坐標為(m,8+m).

.??點E在拋物線y=-x2-3x+4上，

/.8+m=-m2-3m+4,解得m=-2.

/.C(-2,0),AC=OC=2,CE=6,

S四邊形CAEB=S^ACE+S梯形OCEB-SABco=i<2x6+A(6+4)x2--x2x4=12.

222

(3)設點C坐標為(m,0)(m<0),MOC=-m,CD=AC=4+m,BD=V2OC=-

則D(m,4+m).

???△ACD為等腰直角三角形，△DBE和4DAC相似

A△DBE必為等腰直角三角形.

i)若/BED=90°,則BE=DE,

BE=OC=-m,

DE=BE=-m,

/.CE=4+m-m=4,

E(m,4).

.??點E在拋物線y=-x2-3x+4上，

4=-m2-3m+4,解得m=0(不合題意，舍去)或m=-3,

D(?3,1)；

ii)若NEBD=90°,貝ijBE=BD=-如口,

在等腰直角三角形EBD中，DE=72BD=-2m,

/.CE=4+m-2m=4-m,

/.E(m,4-m).

.??點E在拋物線y=-x2-3x+4上，

/.4-m=-m2-3m+4,解得m=0(不合題意，舍去)或m=-2,

/.D(-2,2).

綜上所述，存在點D,使得ZkDBE和ZkDAC相似，點D的坐標為(-3,1)或(-2,2).11、

8、(2013年臨沂壓軸題)如圖，拋物線經過4一1,()),例5,())(((),-?)三點.

2

(1)求拋物線的解析式；

(2)在拋物線的對稱軸上有一點P,使PA+PC的值最小，求點P的坐標；

(3)點”為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N,使以A,C,M,N四點構成的四邊形為

平行四邊形？若存在，求點N的坐標；若不存在，請說明理由.

（第26題圖）

解析：解：（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,

???拋物線的解析式為：y=-x2-2x--.

22

（2）由題意知，點A關于拋物線對稱軸的對稱點為點B,連接BC交拋物線的對稱軸于點P,

則P點即為所求.

5攵+。=0,

設直線BC的解析式為丁=履+6由題意，得，5解得＜

b=——.

2/?=--

.?.直線RC的解析式為y=

拋物線y=—2x—5的對稱軸是為=2,，當/=2時，-X——.

3

，點P的坐標是

（3）存在

⑴當存在的點N在x軸的下方時，如圖所示，???四邊形ACNM是平行四邊形，???CN〃x軸，

工點C與點N關于對稱軸x=2對稱，??（點的坐標為（0,-*）,???點N的坐標為（4,-』）.

22

（II）當存在的點M在x軸上方時，如圖所示，作N'H_Lx軸于點H,???四邊形ACMN

是平行四邊形，:,AC=MN,/NMH=4CAO、

ARtACAO/NH=OC.

??,點C的坐標為((),一N力=3,即N點的縱坐標為3,

222

**._x"-2.x—=_，即_4x—10=0

222

解得內=2+舊,々=2—舊.

???點M的坐標為(2-J聞3和(2+V14,-).

22

綜上所述，滿足題目條件的點N共有三個，

分別為(4,-3).,(2+V14,-),(2-V14,-)

222

9、（2013?寧波壓軸題）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為（0.4）,

點B的坐標為（4,0）,點C的坐標為（?4,0）,點P在射線AB上運動，連結CP與y

軸交于點D,連結BD.過P,D,B三點作OQ與y軸的另一個交點為E,延長DQ交OQ

于點F,連結EF,BF.

（1）求直線AB的函數解析式；

（2）當點P在線段AB（不包括A,B兩點）上時.

①求證：ZBDE=ZADP；

②設DE=x,DF=y.請求出y關于x的函數解析式；

（3）請你探究：點P在運動過程中，是否存在以B,D,F為頂點的直角三角形，滿足兩條

直角邊之比為2：1?如果存在，求出此時點P的坐標：如果不存在，請說明理由.

解：⑴設直線AB的函數解析式為y=kx+4,

代入（4,0）得：4k+4=0,

解得：k=-1,

則直線AB的函數解析式為y=-x+4；

(2)①由已知得：

OB二OC,ZBOD=ZCOD=90°,

又?「OD=OD,

」.△BOD合△COD,

ZBOD=ZCDO,

ZCDO=ZADP,

ZBDE=ZADP,

②連結PE,

ZADP是aDPE的一個外角，二ZADP=/DEP+ZDPE,

?「ZBDE是^ABD的一個外角，「.ZBDE=ZABD+ZOAB,

/ZADP=ZBDE,NDEP二NABD,/.ZDPE=ZOAB,

?「OA=OB=4,ZAOB=90°,ZOAB=45°,「.ZDPE=45°,「.ZDFE=ZDPE=45°,

?「DF是。Q的直徑，「.NDEF=90。，「.△DEF是等腰直角三角形,

DF=&DE,BPy=V2x；

（3）當BD：BF=2：I時，

過點F作FH_LOB于點H,

/ZDBO+ZOBF=90°,ZOBF+ZBFH=90°,/.ZDBO=ZBFH,

又NDOB二NBHF=90。，..△BOD~△FHB,「.空型典2,/.FH=2,OD=2BH,

HFHEFB

?」nmo=zEOII=Zocr=90°,四邊形OEHI足矩形，

/.OE=FH=2,EF=OH=4-OD,

?/DE=EF,2+OD=4-OD,

解得：OD=，.,.點D的坐標為（0,）,

直線CD的解析式為產x+,由，"百“々得：JX=2,

y=-x+4I尸2

則點P的坐標為（2,2）；當典時，

BF

連結EB,問（2）①可得：ZADB=ZEDP,

而NADB=ZDEB+ZDBE,ZEDP=ZDAP+ZDPA,

?:（DEP=ZDPA,「.NDBE=ZDAP=45°,「.△DEF是等腰直角三角形,

過點F作FG_LOB于點G,

同理可得：△BOD-△FGB,/.皿旦=逛=,

GFGBFB

FG=8,OD=BG,

?「NFGO=ZGOE=ZOEF=90°,「.四邊形OEFG是矩形,

/.OE=FG=8,/.EF=OG=4+2OD,

4

/DE=EF,/.8-OD=4+2OD,OD二一，

3

了.點D的坐標為（0,--）,

3

14

直線CD的解析式為：y=--X-

33

'14

由‘產一百'一,得：［x二&,

y=-x+4I尸4

.,?點P的坐標為（8,-4）,

綜上所述，點P的坐標為（2,2）或（8,-4）.

10、（2013四川宜賓壓軸題）如圖，拋物線），尸1交x軸的正半軸于點4,交y軸于點&

將此拋物線向右平移4個單位得拋物線以，兩條拋物線用交于點C.

（1）請直接寫出拋物線以的解析式；

（2）若點P是x軸上動點，且滿足NC辦二NO5A,求出所有滿足條件的尸點坐標：

（3）在第四象限內拋物線以上，是否存在點。，使得△QOC中。。邊上的高，有最大

值？若存在，請求出點Q的坐標及/?的最大值：若不存在，請說明理由.

解：（1）拋物線y尸1向右平移4個單位的頂點坐標為（4,-1）,

所以，拋物線X的解析式為”=（x-4）2-1；

(2)A-0時，＞'=-1,

)=0時，X2?1=0,解得X|=l,X2=-1，

所以，點A(1,0),B(0,-1),

?..Z084=45。,

y=X2-1-9

聯立＜,解得.xY-4，.?.點C的坐標為（2,3）,

y二（x-4）-11尸3

?「NCPA=^。84,.?.點P在點A的左邊時，坐標為（-1,0）,

在點A的右邊時，坐標為（5,0）,

所以，點P的坐標為（?1,0）或（5,0）；

（3）存在.

???點C（2,3）,

直線OC的解析式為y=x,

'3

y=^x+b

設與OC平行的直線尸x+4聯立，2,

y=（x-4）2-1

消掉y得，2Az-i9x+30-2力=0,

當△=（）,方程有兩個相等的實數根時，△QOC中OC邊上的高。有最大值，

此時方=工2=乂（-二1^）=12,

24

此時y=（-1^-4）2-1=--,

416

一.存在第四象限的點0（子，-磊），使得△QOC中0c邊上的高。有最大值,

此時△=192-4x2x（3。-2b）=0解得b=-3，

16

???過點Q與OC平行的直線解析式為尸l果.

令y=0,貝Ijx-絲Lo,解得文=3,

1624

設直線與x軸的交點為￡,則E（段:，0）,

24

過點C作CD_Lx軸于。，根據勾股定埋，OCy外啟上小心

貝ijsituCOD=^-=^=.

0EV13

11、（2013?廣安壓軸題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線產ax?+bx+c經過A、B、

C三點，已知點A（-3,0）,B（0,3）,C（1,0）.

（1）求此拋物線的解析式.

（2）點P是直線AB上方的拋物線上一動點，（不與點A、B重合），過點P作x軸的垂線,

垂足為F,交直線AB于點E,作PD_LAB于點D.

①動點P在什么位置時，4PDE的周長最大，求出此時P點的坐標；

②連接PA,以AP為邊作圖示一側的正方形APMN,隨著點P的運動，正方形的大小、位

置也隨之改變.當頂點M或N恰好落在拋物線對稱軸上時，求出對應的P點的坐標.（結

解：(1)...拋物線y=ax2+bx+c經過點A(-3,0),B(0,3),C(1,0),

9a-3b+c=0a=-1

<c=3解得＜b=-2,所以，拋物線的解析式為y=?x?-2x+3；

a+b+c=Oc=3

(2)①「A(-3,0),B(0,3),OA=OB=3,

/.△AOB是等腰直角三角形，.?.NBAO=45。，

,/PF±x軸，ZAEF=90°-45°=45°,

又,??PDJ_AB,△PDE是等腰直角三角形，PD越大，ZXPDE的周長越大,

易得直線AB的解析式為y=x+3,

y=x+m

設與AB平行的直線解析式為y=x+m,聯立，9,

y=-_2x+3

消掉y得，x2+3x+m-3=0,

當A=32-4X|X(m-3)=0,

即m=&H，直線與拋物線只有一個交點，PD最長,

4

此時x=-日產(冬與

.?.點P(一旦藥時,APDE的周長最大;

24

一9

②拋物線y=-x2-2x+3的對稱軸為直線x=--------=—=-

2X(-1)

(i)如圖1,點M在對稱軸上時，過點P作PQJ?對稱地于Q,

圖1

在正方形APMN中，AP=PM,NAPM=90。,

ZAPF+ZFPM=90°,ZQPM+ZFPM=90°,

/.ZAPF=ZQPM,

'/APF=/QPM

???在4APF和^MPQ中，-/AFP二NMQP二90°，

AP=PM

/.△AP於△MPQ(AAS),

PFnPQ,

設點P的橫坐標為n(n<0),則PQ=-I-n,

即PF=-1-n,

..?點P的坐標為(n,-1-n),

點P在拋物線y=-x2-2x+3上，

/--n2-2n+3=-1-n?

整理得,n2+n-4=0,

解得n廠一15（舍去）,…一伍

22

_1_n__1_T_VTLT+5

22

所以，點P的坐標為（_1_何__迎；

22

（ii）如圖2,點N在對稱軸上時，設拋物線對稱軸與x軸交于點Q,

???ZPAF+ZFPA=90°,ZPAF+NQAN=90°,ZFPA=ZQAN,

乂???ZPFA=NAQN=90°,PA=AN,「.△APF空△NAQ,/.PF=AQ,

設點P坐標為P（x,-x2-2x+3）,

則有?x2?2x+3=?1-（-3）=2,_

解得x=5a-1（不合題意，舍去）或x二-亞-1,

此時點P坐標為（-加-1，2）.

綜上所述，當頂點M恰好落在拋物線對稱軸上時，點P坐標為（二1一返,二I小叵）,

22

當頂點N恰好落在拋物線對稱軸上時，點P的坐標為（■沈?1,2）.

12、（2013?紹興壓軸題）拋物線y=（x-3）（x+1）與x軸交于A,B兩點（點A在點B左

側），與y軸交于點C,點D為頂點.

（1）求點B及點D的坐標.

（2）連結BD,CD,拋物線的對稱軸與x軸交于點E.

①若線段BD上一點P,使NDCP=NBDE,求點P的坐標.

②若拋物線上一點M,作MNJ_CD,交直線CD于點N,使/CMN;NBDE,求點M的坐

標.

解：（1）??,拋物線產（x-3）（x+1）與x軸交于A,B兩點（點A在點B左側），

當y=0時，（x-3）（x+1）=0,

解得x=3或-I,

???點B的坐標為（3,0）.

y=（x-3）（x+1）=x2-2x-3=（x-1）2-4,

二頂點D的坐標為（1,-4）；

（2）①如右圖.

,拋物線y=（x-3）（x+1）=x??2x?3與與y軸交于點C,

7?C點坐標為（0,-3）.

對稱軸為直線x=l,

.?.點E的坐標為（1,0）.

連接BC,過點C作CH_LDE于H,則H點坐標為（1,-3）,

/.CH=DH=1,

/.ZCDH=ZBCO=ZBCH=45%

CD=V2*CB=3&，△BCD為直角二角形.

分別延長PC、DC,與x軸相交于點Q,R.

---ZBDE=ZDCP=ZQCR,

ZCDB=ZCDE+ZBDE=45°+ZDCP,

ZQCO=ZRCO+ZQCR=45°+ZDCP,

ZCDB=ZQCO,

「.△BCD-△QOC,

.OC_CE_1

0QCB3

/.OQ=3OC=9,即Q(-9,0).

???直線CQ的解析式為y=-gx-3,

宜線BD的解析式為y=2x-6.

9

-1Q

7

由方程組，，解得《

_24'

y=2x-6y=T

.??點p的坐標為（2

7

②（I）當點M在對稱軸右側時.

若點N在射線CD上，如備用圖1,延長MN交y軸于點F,過點M作MG_Ly軸干點G.

???ZCMN=ZBDE,ZCNM=ZBED=90°,

△MCN-△DBE,

?.■CN_BE_―1,

mDE2

MN=2CN.

設CN=a,貝ijMN=2a.

---ZCDE=ZDCF=45°,

CNF,△MGF均為等腰直角三角形，

...NF二CN=a,CF=V^>，

MF=MN+NF=3a,

MG=FG=返

2

/.CG=FG-FC=X,

2

M(色Z-3+返1).

22

代入拋物線y二(x-3)(x+1),解得廣邛，

M(1-型；

39

若點N在射線DC上，如備用圖2,MN交y軸于點F,過點M作MGJ_y軸于點G.

???ZCMN=ZBDE,ZCNM=ZBED=90°,

△MCN~△DBE,

?.■CN―_BE―_1,

mDE2

MN=2CN.

設CN=a,則MN=2a.

ZCDE=45。，

CNF,△MGF均為等腰直角三角形，

NF=CN=a,CF=&a,

/.MF=MN-NF=a,

MG=FG=%,

2

CG=FG+FC=盟Ii,

2

M(返，-3+盟％.

22

代入拋物線y=(x-3)(x+1),解得a=5優，

7.M(5,12)；

<n)當點M在對稱軸左側時.

ZCMN=ZBDE<45°,

/.ZMCN>45°,

而拋物線左側任意一點K,都有/KCNV45。，

.,?點M不存在.

綜上可知，點M坐標為（工--）或（5,12）.

39

13、(2013?嘉興壓軸題)如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=(x-m)2-的

頂點為A,與y軸的交點為B,連結AB,AC±AB,交y軸于點C,延長CA到點D,使

AD=AC,連結BD.作AElIx軸，DElly軸.

（I）當m=2時，求點B的坐標；

（2）求DE的長？

（3）①設點D的坐標為（x,y）,求y關于x的函數關系式？②過點D作AB的平行線，

與第（3）①題確定的函數圖象的另一個交點為P,當n】為何值時，以，A,B,D,P為頂

y=(x-2)2+1,得：y=2,

(2)延長EA,交y軸于點F,

AD=AC,ZAFC=ZAED=90°,ZCAF=ZDAE,

.△AFC=△AED,AF=AE,

,點A(m,-點B(0,m),

.AF=AE=|m|,BF=m-(-m~+m)=m~,

,ZABF=900-ZBAF=ZDAE,ZAFB=ZDEA=90°,

.△ABF-△DAE,

12

.BF_AE即:"hrl

AFDEIndDE

「.DEM.

(3)①???點A的坐標為(m，m~+m),

.,?點D的坐標為(2m,-m2+m+4),

x=2m,y=-m~+m+4,

/.y=-?(工)2++%

2

了.所求函數的解析式為：y=--1X2+X+4,

16

②作PQ_LDE于點Q,5!UDPQ蘭△BAF,

（I）當四邊形ABDP為平行四邊形時（如圖I）,

點P的橫坐標為3m,

點P的縱坐標為：（-nr+m+4）-（m2）=-m2+m+4,

把P（3m,-nr+m+4）的坐標代入y=?~^x2+x+4得：

-m2+m+4=--x（3m）2+x（3m）+4,

16

解得：m=0（此時A,B,D,P在同一直線上，舍去）或m=8.

CD）當四邊形ABDP為平行四邊形時（如圖2）,

點P的橫坐標為m,

點P的縱坐標為：（-m2+m+4）+（m2）=m+4,

把P（m,m+4）的坐標代入y=-，^?+x+4得：

m+4=--nr+m+4,

16

解得：m=0（此時A,B,D,P在同一直線上，舍去）或m=-8,

綜上所述：m的值為8或-8.

14、（2013荷澤壓軸題）如圖，三角形ABC是以BC為底邊的等腰三角形，點A、C分別是

一次函數y=x+3的圖象與y軸的交點，點B在二次函數ycAj+bx+c的圖象上，且該二次

8

函數圖象上存在一點D使四邊形ABCD能構成平行四邊形.

（1）試求b,c的值，并寫出該二次函數表達式；

（2）動點P從A到D,同時動點Q從C到A都以每秒1個單位的速度運動，問：①當P

運動到何處時，有PQJLAC?

②當P運動到何處時，四邊形PDCQ的面積最小？此時四邊形PDCQ的面積是多少？

令y=0,得x=4,所以點C(4,0),

???△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，.??B點坐標為(-4,0),

又■.?四邊形ABCD是平行四邊形，」.D點坐標為(8,3),

將點B(-4,0)、點D(8,3)代入二次函數y=x，bx+c,可得＜?如+c0

、8+8b+c二3

c=-3

故該二次函數解析式為：尸X??X-3.

(2)①設點P運動/t秒時，PQ±AC,此時AP=t,CQ=t,AQ=5-t,

???PQ_LAC,△APQs△CAO,.?.里幽，即二^2^,解得：t=&.

ACAO49

即當點P運動到距離A點普個單位長度處，有PQ_LAC.

②S四邊形PDCQ+SAAPQ=SAACD?且SAACD=X8X3=12,

「?當^APQ的面積最大時，四邊形PDCQ的面積最小，

當動點P運動t秒時，AP=t,CQ=t,AQ=5-t,

設△APQ底邊AP上的高為h,作QHJ_AD于點H,由AAQHSCAO可得：=-

解得：h=(5-t),

/.SAAPQ=1X(5-l)=—(-t2+5t)=-—(t-)2+—,

10108

當l=時，SAAPQ達到最大值至，此時S四邊形PDCQ=12-至=里，

888