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文檔簡介

2013年中考二次函數壓軸題精選

1、(綿陽市2013年)如圖,二次函數產加+法+c的圖象的頂點。的坐標為(0,-2),交

x軸于A、8兩點,其中A(-1,0),直線/:x=m(加>1)與x軸交于。。

(1)求二次函數的解析式和B的坐標;

(2)在直線/上找點夕(P在第一象限),使得以P、

。、B為頂點的三角形與以4、C、。為頂點的三角形

相似,求點P的坐標(用含〃?的代數式表示);

(3)在(2)成立的條件下,在拋物線上是否存在第

一象限內的點Q,使是以P為直角頂點的等腰

直角三角形?如果存在,清求出點。的坐標;如果不

存在,請說明理由。

解:(1)①二次函數y=£x2+bx+c圖象的頂點C的坐

標為(0,-2),c=-2、-;=0,b=0,

點A(T,0)、點B是二次函數y=ax2-2的圖象與x軸的交點,a-2=0,a=2.二次函數的解析

式為y=2x2-2;

②點B與點A(T,0)關于直線x=0對稱,點B的坐標為(1,0);

(2)NB0C=NPDB=90°,點P在直線x=m上,

設點P的坐標為(m,p),0B=l,0C=2,DB=m-1,DP=|p|,

①當△BOCS/\PDB時,/荒,,P=?或p=,

utDDZm-1乙L

m—11-m

點P的坐標為(m,—)或(m,—7—);

乙乙

②當△B0Cs/\BDP時,KH,9=T~T,P=2nr2或p=2-2m,

UCDl'LIpI

點P的坐標為(m,2m-2)或(m,2-2m);

m—11-m

綜上所述點P的坐標為(m,-5-)、(m,—5—)、(01,2m-2)或(m,2-2m);

(3)不存在滿足條件的點Q。

點Q在第一象限內的拋物線y=2x2-2上,

令點Q的坐標為(x,2x2-2),x>],過點Q作QE_L直線1,

垂足為E,△BPQ為等腰直角三角形,PB=PQ,ZPEQ=ZPDB,

NEPQ=NDBP,△PEQg/XBDP,QE=PD,PE=BD,

①當P的坐標為(m,—)時,

與x>l矛盾,此時點Q不滿足題設條件;

1-ni

②當P的坐標為(m,—)時,

2

口尸--

與x>l矛盾,此時點Q不滿足題設條件;

③當P的坐標為(m,2ir-2)時,

“C9

tm-x=2m-2m二;75

^x2-2-(2m-2)=m-1,Ix=-77

與x>l矛盾,此時點Q不滿足題設條件;

④當P的坐標為(m,2-2m)時,

5

m=l

18

7

x=l

6

與x>l矛盾,此時點Q不滿足題設條件;

綜上所述,不存在滿足條件的點Q。

圖,

0A

BC

xOy中,點A在x軸的正半軸上,點C在y軸的正半軸上,OA=4,OC=3,若拋物線的頂

點在BC邊上,且拋物線經過0,A兩點,直線AC交拋物線于點D.

(1)求拋物線的解析式;

(2)求點D的坐標;

(3)若點M在拋物線上,點N在x軸上,是否存在以A,D,M,N為頂點的四邊形是平

行四邊形?若存在,求出點N的坐標;若不存在,請說明理由.

解:(1)設拋物線頂點為E,根據題意0A=4,003,得:E(2,3),

設拋物線解析式為y=a(x-2)2+3,

將A(4,0)坐標代入得;0=4a+3,即a=-且

4

則拋物線解析式為y=-乜(x-2)2+3=-&?+3x;

(2)設直線AC解析式為y=kx+b(kxO),

將A(4,0)與C(0,3)代入得:件13。,

1b二3

解得:4,

b=3

故直線AC解析式為y=-旨+3,

3

產一下+3

與拋物線解析式聯立得:

y=--|x2+3x

則點D坐標為(1,8);

4

(3)存在,分兩種情況考慮:

①當點M在x軸上方時,如答圖1所示:

DMIIAN,DM=AN,

4

/.Ni(2,0),N2(6,0);

過點D作DQ±x軸于點Q,過點M作MP±x軸于點P,可得△ADQ2△NMP,

MP二DQ=2NP=AQ=3,

4

將yN,尸-X代入拋物線解析式得:-2-&2+3x,

444

解得:XM=2-H或XM=2+V7?

/.XN=XM-3=~*>/7-1或W-1?

N3(-V7-1*0)'N4(幣7,0).

綜上所述,滿足條件的點N有四個:N1(2,0),N2(6,()),N3(-I,0),N4

(V?-0).

3、(2013陜西)在平面直角坐標系中,一個二次函靈敏的圖象經過點A?l,0)、B(3,

)兩點.

0?-

(1)寫出這個二次函數的對稱軸;

(2)設這個二次函數的頂點為D,與y軸交于點C,2卜

它的對稱軸與x軸交于點E,連接AD、DE和DB,1一

當△A0C與ADEB相似時,求這個二次函數的表達式。一4~?一~?-----1——一~?

解:⑴對稱軸為直線:-223A

x=2o一/K?

(2)VA(1,0)、B(3,0),所以設》=。(工一1)(工一3)即),=0¥--4〃穴+3。

(第24題圖)

當x=0時,y=3a,當x=2時,y=-a

AC(0,3a),D(2,-a)/.0C=|3a|,

VA(1,0)、E(2,0),

/.0A=l,EB=1,DE=}-a|=|a|

在△AOC與ADEB中,

VZA0C=ZDEB=90°

Anr)F

,當上二——時,△AOCS/XDEB

OCEB

?,?,二四時,解得。=走或。=—立

13ali33

AnFR

當以=££時,^AOCs/XBED

OCDE

??.上二」時,此方程無解,

13al\a\

綜上所得:所求二次函數的表達式為:

y=—x2--V3x+=--x2+—V3x-V3

3333

4、(2013年濰坊市壓軸題)如圖,拋物線y=ad+/u+c關于直線x=l對稱,與坐標軸

交于A、B、C三點、,且AB=4,點在拋物線上,直線是一次函數

),二入一2心工0)的圖象,點。是坐標原點.

(1)求拋物線的解析式;

(2)若直線平分四邊形。8。。的面積,求k的值.

(3)把拋物線向左平移1個單位,再向下平移2個單位,所得拋物線與直線交于M、N兩

點,問在y軸正半軸上是否存在一定點P,使得不論〃取何值,直線PM與PN總是關于),

軸對稱?若存在,求出P點坐標;若不存在,請說明理由.

答案:⑴因為拋物線關于直線x=I對稱,AB=4,所以A(-l,0),B(3,0),

a-b+c=0

由點D(2,1.5)在拋物線上,所以<,所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5,

4a十2Z?十c=1.5

J]Q

乂----=1,即/尸-2&代入上式解得〃=-0.5力=1,從而c=1.5,所以y=-----x2+x+—.

2a22

I3

(2)由(1)知),=一一x2+X+-,令x=0,得c(0,1.5),所以CD//AB,

22

73

令人>2=1.5,得I與CD的交點F(——,一),

2k2

2

令h?2=0,得/與x軸的交點E(—,0),

k

-

根據S網邊形OEFCS四邊電EBDF得:OE+CFDF+BE,

2727I1

即:.+力=(3-1)+(2-《),解得左=2,

k2kk2k5

i3i

(3)由(1)知y=+x+/=-/(x-l)2+2,

所以把拋物線向左平移1個單位,再向下平移2個單位,所得拋物線的解析式為),=/

假設在y軸上存在一點P((),t),1>(),使直線PM與PN關于y軸對稱,過點M、N分別向

y軸作垂線MMI、NNL垂足分別為MI、NI,因為NMPO/NPO,所以RtAMPMi^RtANPNi,

PM,

所以一西......................(1)

不妨設M(XM}M)在點N(x%yN)的左側,因為P點在y軸正半軸上,

貝|J(1)式變為——=-——,又YM=kXM-2,yN=kxN-2,

5f-yN

所以(t+2)(XM+XN)=2kXMXN.....(2)

把y=kx-2(kW0)代入),=一^/中,整理得x2+2kx-4=0,

所以XM+XN=-2k,XMXN=-4,代入(2)得t=2,符合條件,

故在y軸上存在一點P(0,2),使直線PM與PN總是關于y軸對稱.

5、(2013?新疆壓軸題)如圖,已知拋物線產ax?+bx+3與x軸交于A、B兩點,過點A的

直線I與拋物線交于點C,其中A點的坐標是(1,0),C點坐標是(4,3).

(1)求拋物線的解析式;

(2)在(1)中拋物線的對稱軸上是否存在點D,使△BCD的周長最小?若存在,求出點

D的坐標,若不存在,請說明理由;

(3)若點E是(1)中拋物線上的一個動點,且位于直線AC的下方,試求4ACE的最大

面積及E點的坐標.

解:(I),拋物線丫=2*2+5乂+3經過點A(1,0),點C(4,3),

a+b+3=0a=l

.,16a+4b+3=3,解得&-4,

所以,拋物線的解析式為y=x2?4x+3;

(2).點A、B關于對稱軸對稱,

.,?點D為AC與對稱軸的交點時△BCD的周長最小,

設直線AC的解折式為y=kx+b(k*0)>

/k+b=0

則,4k+b=3

rk=l

解得上二-1,

所以,直線AC的解析式為y=x-I,

?/y=x2-4x+3=(x-2)2-1,

.??拋物線的對稱軸為直線x=2,

當x=2時,y=2-1=1,

???拋物線對稱軸上存在點D(2,I),使△BCD的周長最小;

(3)如圖,設過點E與直線AC平行線的直線為丫=乂+!11,

y=x+in

?2

聯立,ly=x_4X+3

消掉y得,x2-5x+3-m=0,

△=(-5)2-4x1x(3-m)=0,

即01=-二時,點E到AC的距離最大,4ACE的面積最大,

4

53

此時x=—,y=-----,

2.4

53

???點E的坐標為(一,-一),

24

設過點E的直線與x軸交點為F,則F(衛,0),

4

139

AF=M-1=一,

44

V直線AC的解析式為y=x-1,

/.ZCAB=45°,

???點F到AC的距離為2x1-2”,

428

22

又「AC=73+(4-1)=3^

.?3ACE的最大面積=x3后生②與,此時E點坐標為(工,-

8824

6、(2013涼山州壓軸題)如圖,拋物線y=ax2-2ax+c(awO)交x軸于A、B兩點,A點坐

標為(3,0),與y軸交于點C(0,4),以OC、OA為邊作矩形OADC交拋物線于點G.

(1)求拋物線的解析式;

JA

(2)拋物線的對稱軸1在邊0A(不包括O、A兩點)

上平行移動,分別交x軸于點E,交CD于點F,交

AC于點M,交拋物線于點P,若點M的橫坐標為m,2

請用含m的代數式表示PM的長;

(3)在(2)的條件下,連結PC,則在CD上方的拋

物線部分是否存在這樣的點P,使得以P、C、F為頂

點的三角形和△AEM相似?若存在,求出此時m的

值,并直接判斷△PCM的形狀;若不存在,請說明理由.

解答:解:(1)二?拋物線丫=2乂2-2ax+c(a*0)經過點A(3,0)1點c(6,4),

7

6a+c=0

X-J,

c=4

..?拋物線的解析式為y=-X2+X+4;

(2)設直線AC的解析式為y=kx+b,

A(3,0),點C(0,4),

k=-^

b=0

S'解得3,

b=4

直線AC的解析式為y=-x+4.

?.?點M的橫坐標為m,點M在AC上,

M點的坐標為(m,-m+4),

,點P的橫坐標為m,點P在拋物線y=-X2+X+4上,

.,?點P的坐標為(m,-m2+m+4),

PM=PE-ME=(-m2+m+4)-(-m+4)=-m2+4m,

即PM=-m2+4m(0<m<3);

(3)在(2)的條件下,連結PC,在CD上方的拋物線部分存在這樣的點P,使得以P、C、

F為頂點的三角形和△AEM相似.理由如下:由題意,可得AE=3-m,EM=-m+4,CF=m,

PF=-m2+m+4-4=-m2+jn.

若以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似,分兩種情況:①若aPFO△AEM,則PF:

AE=FC:EM,

即(-nf+m):(3-m)=m:(-m+4),

m#0且mw3,

?m-23

16

???△PFd△AEM,/.ZPCF=ZAME,

???ZAME=ZCMF,/.ZPCF=ZCMF.

在直角ACMF中,,/ZCMF+ZMCF=90°,

ZPCF+NMCF=90°,即/PCM=9()°,

二△PCM為直角三角形;

②若△CFPsAAEM,則CF:AE=PF:EM,

即m:(3-m)=(-m2+m):(-m+4),

mwO且mH3,

m=l.

△CFPs△AEM,/.ZCPF=ZAME,

,/ZAME=ZCMF,ZCPF=ZCMF.

CP二CM,

/.△PCM為等腰三角形.

綜上所述,存在這樣的點P使△PFC與△AEM相似.此時m的值為里或1,△PCM為直

16

角三角形或等腰三角形.

7、(2013?曲靖壓軸題)如圖,在平面直角坐標系xOy中,直線y=x+4與坐標軸分別交于A、

B兩點,過A、B兩點的拋物線為y=-x2+bx+c.點D為線段AB上一動點,過點D作CD±x

軸于點C,交拋物線于點E.

(1)求拋物線的解析式.

(2)當DE=4時,求四邊形CAEB的面積.

(3)連接BE,是否存在點D,使得△DBE和△DAC桿似?若存在,求此點D坐標;若不

存在,說明理由.

解:(1)在直線解析式y=x+4中,令x=0,得y=4;令y=0,得x=-4,

/.A(-4,0),B(0,4).

???點A(-4,0),B(0,4)在拋物線y=-x2+bx+c上,

.-16-4b+c=0

??4,

Lc=4

解得:b=-3,c=4,

???拋物線的解析式為:y=-x2-3x+4.

(2)設點C坐標為(m,0)(m<0),則OC=-m,AC=4+m.

OA=OB=4,ZBAC=45°,

△ACD為等腰直角三角形,??.CD=AC=4+m,

:CE=CD+DE=4+m+4=8-+m,

「?點E坐標為(m,8+m).

.??點E在拋物線y=-x2-3x+4上,

/.8+m=-m2-3m+4,解得m=-2.

/.C(-2,0),AC=OC=2,CE=6,

S四邊形CAEB=S^ACE+S梯形OCEB-SABco=i<2x6+A(6+4)x2--x2x4=12.

222

(3)設點C坐標為(m,0)(m<0),MOC=-m,CD=AC=4+m,BD=V2OC=-

則D(m,4+m).

???△ACD為等腰直角三角形,△DBE和4DAC相似

A△DBE必為等腰直角三角形.

i)若/BED=90°,則BE=DE,

BE=OC=-m,

DE=BE=-m,

/.CE=4+m-m=4,

E(m,4).

.??點E在拋物線y=-x2-3x+4上,

4=-m2-3m+4,解得m=0(不合題意,舍去)或m=-3,

D(?3,1);

ii)若NEBD=90°,貝ijBE=BD=-如口,

在等腰直角三角形EBD中,DE=72BD=-2m,

/.CE=4+m-2m=4-m,

/.E(m,4-m).

.??點E在拋物線y=-x2-3x+4上,

/.4-m=-m2-3m+4,解得m=0(不合題意,舍去)或m=-2,

/.D(-2,2).

綜上所述,存在點D,使得ZkDBE和ZkDAC相似,點D的坐標為(-3,1)或(-2,2).11、

8、(2013年臨沂壓軸題)如圖,拋物線經過4一1,()),例5,())(((),-?)三點.

2

(1)求拋物線的解析式;

(2)在拋物線的對稱軸上有一點P,使PA+PC的值最小,求點P的坐標;

(3)點”為x軸上一動點,在拋物線上是否存在一點N,使以A,C,M,N四點構成的四邊形為

平行四邊形?若存在,求點N的坐標;若不存在,請說明理由.

(第26題圖)

解析:解:(1)設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,

???拋物線的解析式為:y=-x2-2x--.

22

(2)由題意知,點A關于拋物線對稱軸的對稱點為點B,連接BC交拋物線的對稱軸于點P,

則P點即為所求.

5攵+。=0,

設直線BC的解析式為丁=履+6由題意,得,5解得<

b=——.

2/?=--

.?.直線RC的解析式為y=

拋物線y=—2x—5的對稱軸是為=2,,當/=2時,-X——.

3

,點P的坐標是

(3)存在

⑴當存在的點N在x軸的下方時,如圖所示,???四邊形ACNM是平行四邊形,???CN〃x軸,

工點C與點N關于對稱軸x=2對稱,??(點的坐標為(0,-*),???點N的坐標為(4,-』).

22

(II)當存在的點M在x軸上方時,如圖所示,作N'H_Lx軸于點H,???四邊形ACMN

是平行四邊形,:,AC=MN,/NMH=4CAO、

ARtACAO/NH=OC.

??,點C的坐標為((),一N力=3,即N點的縱坐標為3,

222

**._x"-2.x—=_,即_4x—10=0

222

解得內=2+舊,々=2—舊.

???點M的坐標為(2-J聞3和(2+V14,-).

22

綜上所述,滿足題目條件的點N共有三個,

分別為(4,-3).,(2+V14,-),(2-V14,-)

222

9、(2013?寧波壓軸題)如圖,在平面直角坐標系中,O為坐標原點,點A的坐標為(0.4),

點B的坐標為(4,0),點C的坐標為(?4,0),點P在射線AB上運動,連結CP與y

軸交于點D,連結BD.過P,D,B三點作OQ與y軸的另一個交點為E,延長DQ交OQ

于點F,連結EF,BF.

(1)求直線AB的函數解析式;

(2)當點P在線段AB(不包括A,B兩點)上時.

①求證:ZBDE=ZADP;

②設DE=x,DF=y.請求出y關于x的函數解析式;

(3)請你探究:點P在運動過程中,是否存在以B,D,F為頂點的直角三角形,滿足兩條

直角邊之比為2:1?如果存在,求出此時點P的坐標:如果不存在,請說明理由.

解:⑴設直線AB的函數解析式為y=kx+4,

代入(4,0)得:4k+4=0,

解得:k=-1,

則直線AB的函數解析式為y=-x+4;

(2)①由已知得:

OB二OC,ZBOD=ZCOD=90°,

又?「OD=OD,

」.△BOD合△COD,

ZBOD=ZCDO,

ZCDO=ZADP,

ZBDE=ZADP,

②連結PE,

ZADP是aDPE的一個外角,二ZADP=/DEP+ZDPE,

?「ZBDE是^ABD的一個外角,「.ZBDE=ZABD+ZOAB,

/ZADP=ZBDE,NDEP二NABD,/.ZDPE=ZOAB,

?「OA=OB=4,ZAOB=90°,ZOAB=45°,「.ZDPE=45°,「.ZDFE=ZDPE=45°,

?「DF是。Q的直徑,「.NDEF=90。,「.△DEF是等腰直角三角形,

DF=&DE,BPy=V2x;

(3)當BD:BF=2:I時,

過點F作FH_LOB于點H,

/ZDBO+ZOBF=90°,ZOBF+ZBFH=90°,/.ZDBO=ZBFH,

又NDOB二NBHF=90。,..△BOD~△FHB,「.空型典2,/.FH=2,OD=2BH,

HFHEFB

?」nmo=zEOII=Zocr=90°,四邊形OEHI足矩形,

/.OE=FH=2,EF=OH=4-OD,

?/DE=EF,2+OD=4-OD,

解得:OD=,.,.點D的坐標為(0,),

直線CD的解析式為產x+,由,"百“々得:JX=2,

y=-x+4I尸2

則點P的坐標為(2,2);當典時,

BF

連結EB,問(2)①可得:ZADB=ZEDP,

而NADB=ZDEB+ZDBE,ZEDP=ZDAP+ZDPA,

?:(DEP=ZDPA,「.NDBE=ZDAP=45°,「.△DEF是等腰直角三角形,

過點F作FG_LOB于點G,

同理可得:△BOD-△FGB,/.皿旦=逛=,

GFGBFB

FG=8,OD=BG,

?「NFGO=ZGOE=ZOEF=90°,「.四邊形OEFG是矩形,

/.OE=FG=8,/.EF=OG=4+2OD,

4

/DE=EF,/.8-OD=4+2OD,OD二一,

3

了.點D的坐標為(0,--),

3

14

直線CD的解析式為:y=--X-

33

'14

由‘產一百'一,得:[x二&,

y=-x+4I尸4

.,?點P的坐標為(8,-4),

綜上所述,點P的坐標為(2,2)或(8,-4).

10、(2013四川宜賓壓軸題)如圖,拋物線),尸1交x軸的正半軸于點4,交y軸于點&

將此拋物線向右平移4個單位得拋物線以,兩條拋物線用交于點C.

(1)請直接寫出拋物線以的解析式;

(2)若點P是x軸上動點,且滿足NC辦二NO5A,求出所有滿足條件的尸點坐標:

(3)在第四象限內拋物線以上,是否存在點。,使得△QOC中。。邊上的高,有最大

值?若存在,請求出點Q的坐標及/?的最大值:若不存在,請說明理由.

解:(1)拋物線y尸1向右平移4個單位的頂點坐標為(4,-1),

所以,拋物線X的解析式為”=(x-4)2-1;

(2)A-0時,>'=-1,

)=0時,X2?1=0,解得X|=l,X2=-1,

所以,點A(1,0),B(0,-1),

?..Z084=45。,

y=X2-1-9

聯立<,解得.xY-4,.?.點C的坐標為(2,3),

y二(x-4)-11尸3

?「NCPA=^。84,.?.點P在點A的左邊時,坐標為(-1,0),

在點A的右邊時,坐標為(5,0),

所以,點P的坐標為(?1,0)或(5,0);

(3)存在.

???點C(2,3),

直線OC的解析式為y=x,

'3

y=^x+b

設與OC平行的直線尸x+4聯立,2,

y=(x-4)2-1

消掉y得,2Az-i9x+30-2力=0,

當△=(),方程有兩個相等的實數根時,△QOC中OC邊上的高。有最大值,

此時方=工2=乂(-二1^)=12,

24

此時y=(-1^-4)2-1=--,

416

一.存在第四象限的點0(子,-磊),使得△QOC中0c邊上的高。有最大值,

此時△=192-4x2x(3。-2b)=0解得b=-3,

16

???過點Q與OC平行的直線解析式為尸l果.

令y=0,貝Ijx-絲Lo,解得文=3,

1624

設直線與x軸的交點為£,則E(段:,0),

24

過點C作CD_Lx軸于。,根據勾股定埋,OCy外啟上小心

貝ijsituCOD=^-=^=.

0EV13

11、(2013?廣安壓軸題)如圖,在平面直角坐標系xOy中,拋物線產ax?+bx+c經過A、B、

C三點,已知點A(-3,0),B(0,3),C(1,0).

(1)求此拋物線的解析式.

(2)點P是直線AB上方的拋物線上一動點,(不與點A、B重合),過點P作x軸的垂線,

垂足為F,交直線AB于點E,作PD_LAB于點D.

①動點P在什么位置時,4PDE的周長最大,求出此時P點的坐標;

②連接PA,以AP為邊作圖示一側的正方形APMN,隨著點P的運動,正方形的大小、位

置也隨之改變.當頂點M或N恰好落在拋物線對稱軸上時,求出對應的P點的坐標.(結

解:(1)...拋物線y=ax2+bx+c經過點A(-3,0),B(0,3),C(1,0),

9a-3b+c=0a=-1

<c=3解得<b=-2,所以,拋物線的解析式為y=?x?-2x+3;

a+b+c=Oc=3

(2)①「A(-3,0),B(0,3),OA=OB=3,

/.△AOB是等腰直角三角形,.?.NBAO=45。,

,/PF±x軸,ZAEF=90°-45°=45°,

又,??PDJ_AB,△PDE是等腰直角三角形,PD越大,ZXPDE的周長越大,

易得直線AB的解析式為y=x+3,

y=x+m

設與AB平行的直線解析式為y=x+m,聯立,9,

y=-_2x+3

消掉y得,x2+3x+m-3=0,

當A=32-4X|X(m-3)=0,

即m=&H,直線與拋物線只有一個交點,PD最長,

4

此時x=-日產(冬與

.?.點P(一旦藥時,APDE的周長最大;

24

一9

②拋物線y=-x2-2x+3的對稱軸為直線x=--------=—=-

2X(-1)

(i)如圖1,點M在對稱軸上時,過點P作PQJ?對稱地于Q,

圖1

在正方形APMN中,AP=PM,NAPM=90。,

ZAPF+ZFPM=90°,ZQPM+ZFPM=90°,

/.ZAPF=ZQPM,

'/APF=/QPM

???在4APF和^MPQ中,-/AFP二NMQP二90°,

AP=PM

/.△AP於△MPQ(AAS),

PFnPQ,

設點P的橫坐標為n(n<0),則PQ=-I-n,

即PF=-1-n,

..?點P的坐標為(n,-1-n),

點P在拋物線y=-x2-2x+3上,

/--n2-2n+3=-1-n?

整理得,n2+n-4=0,

解得n廠一15(舍去),…一伍

22

_1_n__1_T_VTLT+5

22

所以,點P的坐標為(_1_何__迎;

22

(ii)如圖2,點N在對稱軸上時,設拋物線對稱軸與x軸交于點Q,

???ZPAF+ZFPA=90°,ZPAF+NQAN=90°,ZFPA=ZQAN,

乂???ZPFA=NAQN=90°,PA=AN,「.△APF空△NAQ,/.PF=AQ,

設點P坐標為P(x,-x2-2x+3),

則有?x2?2x+3=?1-(-3)=2,_

解得x=5a-1(不合題意,舍去)或x二-亞-1,

此時點P坐標為(-加-1,2).

綜上所述,當頂點M恰好落在拋物線對稱軸上時,點P坐標為(二1一返,二I小叵),

22

當頂點N恰好落在拋物線對稱軸上時,點P的坐標為(■沈?1,2).

12、(2013?紹興壓軸題)拋物線y=(x-3)(x+1)與x軸交于A,B兩點(點A在點B左

側),與y軸交于點C,點D為頂點.

(1)求點B及點D的坐標.

(2)連結BD,CD,拋物線的對稱軸與x軸交于點E.

①若線段BD上一點P,使NDCP=NBDE,求點P的坐標.

②若拋物線上一點M,作MNJ_CD,交直線CD于點N,使/CMN;NBDE,求點M的坐

標.

解:(1)??,拋物線產(x-3)(x+1)與x軸交于A,B兩點(點A在點B左側),

當y=0時,(x-3)(x+1)=0,

解得x=3或-I,

???點B的坐標為(3,0).

y=(x-3)(x+1)=x2-2x-3=(x-1)2-4,

二頂點D的坐標為(1,-4);

(2)①如右圖.

,拋物線y=(x-3)(x+1)=x??2x?3與與y軸交于點C,

7?C點坐標為(0,-3).

對稱軸為直線x=l,

.?.點E的坐標為(1,0).

連接BC,過點C作CH_LDE于H,則H點坐標為(1,-3),

/.CH=DH=1,

/.ZCDH=ZBCO=ZBCH=45%

CD=V2*CB=3&,△BCD為直角二角形.

分別延長PC、DC,與x軸相交于點Q,R.

---ZBDE=ZDCP=ZQCR,

ZCDB=ZCDE+ZBDE=45°+ZDCP,

ZQCO=ZRCO+ZQCR=45°+ZDCP,

ZCDB=ZQCO,

「.△BCD-△QOC,

.OC_CE_1

0QCB3

/.OQ=3OC=9,即Q(-9,0).

???直線CQ的解析式為y=-gx-3,

宜線BD的解析式為y=2x-6.

9

-1Q

7

由方程組,,解得《

_24'

y=2x-6y=T

.??點p的坐標為(2

7

②(I)當點M在對稱軸右側時.

若點N在射線CD上,如備用圖1,延長MN交y軸于點F,過點M作MG_Ly軸干點G.

???ZCMN=ZBDE,ZCNM=ZBED=90°,

△MCN-△DBE,

?.■CN_BE_―1,

mDE2

MN=2CN.

設CN=a,貝ijMN=2a.

---ZCDE=ZDCF=45°,

CNF,△MGF均為等腰直角三角形,

...NF二CN=a,CF=V^>,

MF=MN+NF=3a,

MG=FG=返

2

/.CG=FG-FC=X,

2

M(色Z-3+返1).

22

代入拋物線y二(x-3)(x+1),解得廣邛,

M(1-型;

39

若點N在射線DC上,如備用圖2,MN交y軸于點F,過點M作MGJ_y軸于點G.

???ZCMN=ZBDE,ZCNM=ZBED=90°,

△MCN~△DBE,

?.■CN―_BE―_1,

mDE2

MN=2CN.

設CN=a,則MN=2a.

ZCDE=45。,

CNF,△MGF均為等腰直角三角形,

NF=CN=a,CF=&a,

/.MF=MN-NF=a,

MG=FG=%,

2

CG=FG+FC=盟Ii,

2

M(返,-3+盟%.

22

代入拋物線y=(x-3)(x+1),解得a=5優,

7.M(5,12);

<n)當點M在對稱軸左側時.

ZCMN=ZBDE<45°,

/.ZMCN>45°,

而拋物線左側任意一點K,都有/KCNV45。,

.,?點M不存在.

綜上可知,點M坐標為(工--)或(5,12).

39

13、(2013?嘉興壓軸題)如圖,在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=(x-m)2-的

頂點為A,與y軸的交點為B,連結AB,AC±AB,交y軸于點C,延長CA到點D,使

AD=AC,連結BD.作AElIx軸,DElly軸.

(I)當m=2時,求點B的坐標;

(2)求DE的長?

(3)①設點D的坐標為(x,y),求y關于x的函數關系式?②過點D作AB的平行線,

與第(3)①題確定的函數圖象的另一個交點為P,當n】為何值時,以,A,B,D,P為頂

y=(x-2)2+1,得:y=2,

(2)延長EA,交y軸于點F,

AD=AC,ZAFC=ZAED=90°,ZCAF=ZDAE,

.△AFC=△AED,AF=AE,

,點A(m,-點B(0,m),

.AF=AE=|m|,BF=m-(-m~+m)=m~,

,ZABF=900-ZBAF=ZDAE,ZAFB=ZDEA=90°,

.△ABF-△DAE,

12

.BF_AE即:"hrl

AFDEIndDE

「.DEM.

(3)①???點A的坐標為(m,m~+m),

.,?點D的坐標為(2m,-m2+m+4),

x=2m,y=-m~+m+4,

/.y=-?(工)2++%

2

了.所求函數的解析式為:y=--1X2+X+4,

16

②作PQ_LDE于點Q,5!UDPQ蘭△BAF,

(I)當四邊形ABDP為平行四邊形時(如圖I),

點P的橫坐標為3m,

點P的縱坐標為:(-nr+m+4)-(m2)=-m2+m+4,

把P(3m,-nr+m+4)的坐標代入y=?~^x2+x+4得:

-m2+m+4=--x(3m)2+x(3m)+4,

16

解得:m=0(此時A,B,D,P在同一直線上,舍去)或m=8.

CD)當四邊形ABDP為平行四邊形時(如圖2),

點P的橫坐標為m,

點P的縱坐標為:(-m2+m+4)+(m2)=m+4,

把P(m,m+4)的坐標代入y=-,^?+x+4得:

m+4=--nr+m+4,

16

解得:m=0(此時A,B,D,P在同一直線上,舍去)或m=-8,

綜上所述:m的值為8或-8.

14、(2013荷澤壓軸題)如圖,三角形ABC是以BC為底邊的等腰三角形,點A、C分別是

一次函數y=x+3的圖象與y軸的交點,點B在二次函數ycAj+bx+c的圖象上,且該二次

8

函數圖象上存在一點D使四邊形ABCD能構成平行四邊形.

(1)試求b,c的值,并寫出該二次函數表達式;

(2)動點P從A到D,同時動點Q從C到A都以每秒1個單位的速度運動,問:①當P

運動到何處時,有PQJLAC?

②當P運動到何處時,四邊形PDCQ的面積最小?此時四邊形PDCQ的面積是多少?

令y=0,得x=4,所以點C(4,0),

???△ABC是以BC為底邊的等腰三角形,.??B點坐標為(-4,0),

又■.?四邊形ABCD是平行四邊形,」.D點坐標為(8,3),

將點B(-4,0)、點D(8,3)代入二次函數y=x,bx+c,可得<?如+c0

、8+8b+c二3

c=-3

故該二次函數解析式為:尸X??X-3.

(2)①設點P運動/t秒時,PQ±AC,此時AP=t,CQ=t,AQ=5-t,

???PQ_LAC,△APQs△CAO,.?.里幽,即二^2^,解得:t=&.

ACAO49

即當點P運動到距離A點普個單位長度處,有PQ_LAC.

②S四邊形PDCQ+SAAPQ=SAACD?且SAACD=X8X3=12,

「?當^APQ的面積最大時,四邊形PDCQ的面積最小,

當動點P運動t秒時,AP=t,CQ=t,AQ=5-t,

設△APQ底邊AP上的高為h,作QHJ_AD于點H,由AAQHSCAO可得:=-

解得:h=(5-t),

/.SAAPQ=1X(5-l)=—(-t2+5t)=-—(t-)2+—,

10108

當l=時,SAAPQ達到最大值至,此時S四邊形PDCQ=12-至=里,

888

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