第3課時三角形的重要線段教師備課素材示例●情景導入如圖，張爺爺有一塊三角形的菜地，張爺爺想過菜地的三個頂點A，B，C中的任意一個頂點畫一條線，將菜地分成面積相等的兩塊地，張爺爺不知道如何畫，請同學們幫張爺爺將這條線畫出來，有幾種畫法？【教學與建議】教學：讓學生自己動手操作完成任務，激發學生的求知欲望．建議：通過動手操作，體驗成功的樂趣．●復習導入1.垂線：兩條直線相交成四個角，如果有一個角是直角，那么稱這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫作另一條直線的垂線，它們的交點叫作垂足．2．線段的中點：點M把線段AB分成相等的兩條線段AM與BM，點M叫作線段AB的中點Ｗ．如圖①，點M是線段AB的中點，AM＝BM＝eq\f(1,2)AB（或AB＝2AM＝2BM）.eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖①))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖②))3．角平分線：從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫作這個角的平分線．如圖②，射線OC是∠AOB的平分線．這時，∠AOC＝∠BOC＝eq\f(1,2)∠AOB（或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC）.【教學與建議】教學：復習垂線、線段的中點、角平分線的概念，為理解、辨析三角形的高、中線、角平分線做鋪墊．建議：分組回答，及時糾錯．·命題角度1識別三角形的高及畫法高線的特征有三個，分別是過頂點、垂直、對邊，三者缺一不可．【例1】下面四個圖形中，線段BD是△ABC的高的是(D)eq\o(\s\up7(),\s\do5(A))eq\o(\s\up7(),\s\do5(B))eq\o(\s\up7(),\s\do5(C))eq\o(\s\up7(),\s\do5(D))【例2】如圖，CD⊥AB，以CD為高的三角形有(D)A．2個B．3個C．4個D．6個·命題角度2與三角形的高有關的計算三角形的面積等于底乘高的積的eq\f(1,2)，注意底和高的對應性．【例3】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于點D，且AD＝4，若點P在邊AC上移動，則BP的最小值為eq\f(24,5)Ｗ．eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例3題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例4題圖）))【例4】如圖，AD與CE是△ABC的兩條高，且AB＝4，BC＝8，則AD∶CE＝1∶2Ｗ．·命題角度3識別三角形的中線及中線的性質在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段，叫作三角形的中線，三角形的中線把三角形分成面積相等的兩部分．【例5】如圖，D，E分別是△ABC的邊AC，BC的中點，那么下列說法中不正確的是(D)A．DE是△BCD的中線B．AD＝DC，BE＝ECC．BD是△ABC的中線D．AD＝EC，DC＝BEeq\o(\s\up7(),\s\do5(（例5題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例6題圖）))【例6】如圖，AE是△ABC的中線，EC＝9，DE＝3，則BD的長為(D)A．2B．3C．4D．6·命題角度4與三角形的角平分線有關的計算在三角形中，一個內角的角平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫作三角形的角平分線．【例7】如圖，在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，AD是△ABC的角平分線，則∠CAD的度數為40°Ｗ．【例8】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，AD是∠BAC的平分線，求∠ADC的度數．解：因為∠C＝90°，∠B＝40°，所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－40°－90°＝50°.因為AD是∠BAC的平分線，所以∠CAD＝eq\f(1,2)∠BAC＝25°，所以∠ADC＝90°－∠CAD＝90°－25°＝65°.·命題角度5利用角平分線、高線、中線解決實際問題在三角形中，常綜合運用三角形內角和是180°、三角形的角平分線、高線找角之間的關系；利用中線找線段之間的關系，結合圖形完成解答．【例9】如圖，在△ABC中，AD是角平分線，∠B＝54°，∠C＝76°.(1)求∠ADB和∠ADC的度數；(2)若DE⊥AC，求∠EDC的度數．解：(1)因為∠B＝54°，∠C＝76°，所以∠BAC＝50°.因為AD是角平分線，所以∠BAD＝∠CAD＝eq\f(1,2)∠BAC＝25°，所以∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝101°，所以∠ADC＝180°－∠ADB＝79°；(2)因為DE⊥AC，所以∠CED＝90°，所以∠EDC＝90°－∠C＝14°.【例10】如圖，已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的中線，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°.(1)求AD的長；(2)求△ABE的面積；(3)求△ACE和△ABE的周長的差．解：(1)4.8cm；(2)12cm2；(3)2cm.高效課堂教學設計1．掌握三角形的高、中線、角平分線的概念，并掌握其性質．2．掌握三角形的高、中線、角平分線的畫法，并能夠正確應用．▲重點三角形的高、中線、角平分線的定義及其性質．▲難點對概念的辨析及應用．◆活動1創設情境導入新課（課件）教師演示用鉛筆支起一張均勻的三角形卡片，問學生能否也做到？學生會立刻進入嘗試階段，也許有學生經過不停地嘗試可以做到，此時，教師可以告訴學生：支點是一個特殊的點.這節課我們一起來解決這些問題．◆活動2實踐探究交流新知【探究1】三角形的高1．銳角三角形的高線利用你的銳角三角形紙片：展示問題：(1)你能畫出這個三角形的三條高嗎？你能用折紙的方法得到它們嗎？(2)這三條高之間有怎樣的位置關系呢？如圖，AF是△ABC中BC邊上的高，BD是△ABC中AC邊上的高，CE是△ABC中AB邊上的高．【歸納】銳角三角形的三條高都在三角形的內部，并相交于一點．2．直角三角形的高線利用你的直角三角形紙片：展示問題：(1)你能畫出這個三角形的三條高嗎？(2)它們有怎樣的位置關系呢？畫一個直角三角形，并嘗試畫出它的高．（教師巡視，學生討論直角三角形的高）直角三角形也有三條高，如圖，Rt△ABC的三條高分別是AB，BC，BD，即AB是BC邊上的高，BC是AB邊上的高，BD是AC邊上的高．直角三角形有一條高在三角形的內部，另外兩條高分別是直角三角形的兩條直角邊，這三條高也相交于一點，這個交點不在三角形的內部，而與這個直角三角形的直角頂點重合．【歸納】直角三角形有三條高，這三條高也相交于一點．3．鈍角三角形的高線利用你的鈍角三角形紙片：展示問題：(1)你能折出這個三角形的三條高嗎？你能畫出它們嗎？(2)這個三角形的三條高交于一點嗎？它們所在的直線交于一點嗎？小組討論交流．鈍角三角形的三條高線，有一條在三角形的內部，另外兩條在三角形的外部，我們可以通過畫圖得到它們．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，CE是AB邊上的高，BF是AC邊上的高．雖然這三條高不相交于一點，但是，這三條高線所在的直線相交于一點，這個交點在三角形的外部．【探究2】三角形的中線問題：你還記得什么是線段的中點嗎？那么你知道什么是三角形的中線嗎？把一條線段分成相等的兩條線段的點是線段的中點．在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段，叫作三角形的中線．幾何表達：如圖，因為AE是△ABC的中線，所以BE＝EC＝eq\f(1,2)BC.議一議，填一填．(1)在紙上畫出一個銳角三角形，并畫出它的三條中線，它們的位置關系是三條中線交于一點．(2)鈍角三角形和直角三角形的三條中線也有同樣的位置關系嗎？折一折，畫一畫，發現三條中線交于一點Ｗ．老師用鉛筆支起三角形卡片的點就是三角形的重心Ｗ．【歸納】三角形的三條中線交于一點．這點稱為三角形的重心．【探究3】三角形的角平分線問題：請同學們仿照三角形的中線的定義給三角形的角平分線下定義．在三角形中，一個內角的角平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫作三角形的角平分線．幾何表達：如圖．因為AD是△ABC的角平分線，所以∠1＝∠2＝eq\f(1,2)∠BAC（或∠BAC＝2∠1＝2∠2）.做一做：每人準備銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形紙片各一個．(1)分別畫出這三個三角形的角平分線．(2)用折紙的辦法得到它們．(3)在每個三角形中，這三條角平分線之間的位置關系是交于一點Ｗ．【歸納】三角形的三條角平分線交于一點．◆活動3開放訓練應用舉例【例1】如圖，在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中線．若△ABD的周長比△ADC的周長大2cm，則BA＝Ｗ．【方法指導】因為AD是△ABC的中線，所以BD＝CD，所以△ABD的周長－△ADC的周長＝(BA＋BD＋AD)－(AC＋AD＋CD)＝BA－AC＝BA－5＝2，所以BA＝7cm.答案：7cm【例2】如圖，在△ABC中，∠BAC＝68°，∠B＝36°，AD是△ABC的一條角平分線，求∠ADB的度數．【方法指導】因為AD平分∠BAC，所以∠BAD＝eq\f(1,2)∠BAC.因為△ABD的內角和是180°，所以∠ADB＝180°－∠B－∠BAD.解：在△ABC中，因為∠BAC＝68°，AD是△ABC的一條角平分線，所以∠BAD＝eq\f(1,2)∠BAC＝34°.在△ABD中，∠B＋∠BAD＋∠ADB＝180°，所以∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－36°－34°＝110°.【例3】如圖，在△ABC中，AE，AD分別是BC邊上的中線和高．試說明△ABE的面積與△AEC的面積相等．【方法指導】由圖象可知，△ABE和△AEC的高相同．證明底邊BE＝CE即可．解：S△ABE＝eq\f(1,2)BE·AD，S△AEC＝eq\f(1,2)EC·AD.因為AE是△ABC的中線，所以BE＝EC，所以S△ABE＝S△AEC.eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例3題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例4題圖）))【例4】如圖，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分線．已知∠BAC＝82°，∠C＝40°，求∠DAE的大小．【方法指導】因為在Rt△ADE中，∠DAE＝90°－∠DEA，且∠DEA＝180°－∠AEC.已知AE是△ABC的角平分線，所以∠EAC＝eq\f(1,2)∠BAC，在△ACE中，由三角形的內角和先求出∠AEC的度數，再算出∠AED的度數，進而求∠DAE的度數．解：因為AE是△ABC的角平分線，所以∠EAC＝eq\f(1,2)∠BAC＝eq\f(1,2)×82°＝41°.所以∠AEC＝180°－∠EAC－∠C＝99°.所以∠AED＝180°－∠AEC＝81°.在Rt△DAE中，∠DAE＝90°－∠DEA＝90°－81°＝9°.◆活動4隨堂練習1．如圖，在△ABC中有四條線段DE，BE，EF，FG，其中有一條線段是△ABC的中線，則該線段可能是(B)A．線段DEB．線段BEC．線段EFD．線段FGeq\o(\s\up7(),\s\do5(（第1題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第3題圖）))2．如圖，已知AE＝3，BD＝2，則△ABC中BC邊上的高的長度為3Ｗ．3．如圖，AD是△ABC的中線，DE是△ADC的