多元函數(shù)求導法則本課件旨在幫助大家理解和掌握多元函數(shù)的求導法則，為后續(xù)的數(shù)學學習打下堅實的基礎。課程目標掌握多元函數(shù)的定義和符號約定理解偏導數(shù)和全微分的概念及計算掌握多元函數(shù)的復合函數(shù)、隱函數(shù)求導法則了解方向導數(shù)和梯度向量初識多元函數(shù)多元函數(shù)是指多個變量之間的函數(shù)關系。例如，一個函數(shù)f(x,y)表示一個點在平面上的位置(x,y)對應著一個高度值f(x,y)。定義及符號約定多元函數(shù)的定義設D為n維歐氏空間Rn中的一個非空集合，f為從D到實數(shù)集R的映射，則稱f為定義在D上的n元實值函數(shù)，記作f(x1,x2,...,xn)，其中x1,x2,...,xn稱為自變量。符號約定?f/?x表示f關于x的偏導數(shù)，df表示f的全微分。多元函數(shù)的幾何意義多元函數(shù)的幾何意義可以理解為一個多維空間中的曲面。例如，二元函數(shù)f(x,y)的圖像就是一個三維空間中的曲面，曲面上的點(x,y,f(x,y))對應著平面上的點(x,y)和高度值f(x,y)。多元函數(shù)的偏導數(shù)多元函數(shù)的偏導數(shù)是指函數(shù)關于一個變量的導數(shù)，其他變量視為常數(shù)。例如，二元函數(shù)f(x,y)關于x的偏導數(shù)是指固定y，對x求導得到的導數(shù)。偏導數(shù)的計算規(guī)則多元函數(shù)的偏導數(shù)的計算規(guī)則與一元函數(shù)的導數(shù)的計算規(guī)則類似，可以使用求導法則，例如和差法則、積法則、商法則等。偏導數(shù)的幾何意義偏導數(shù)的幾何意義可以理解為曲面在某一點沿某個方向的切線的斜率。例如，二元函數(shù)f(x,y)在點(x0,y0)關于x的偏導數(shù)?f/?x表示該點處切線在x方向上的斜率。多元函數(shù)的全微分多元函數(shù)的全微分是指函數(shù)在某一點處的微小變化量，可以用偏導數(shù)來表示。例如，二元函數(shù)f(x,y)在點(x0,y0)處的全微分為df=?f/?x*dx+?f/?y*dy。全微分的計算規(guī)則全微分的計算規(guī)則可以總結為：df=∑(i=1ton)?f/?xi*dxi，即對所有自變量的偏導數(shù)乘以該自變量的微小變化量，然后求和。全微分的幾何意義全微分的幾何意義可以理解為曲面在某一點處的切平面的方程。例如，二元函數(shù)f(x,y)在點(x0,y0)處的切平面方程為z=f(x0,y0)+?f/?x(x0,y0)*(x-x0)+?f/?y(x0,y0)*(y-y0)。二元函數(shù)的偏導數(shù)二元函數(shù)的偏導數(shù)是指函數(shù)關于兩個自變量的導數(shù)。例如，二元函數(shù)f(x,y)關于x的偏導數(shù)是指固定y，對x求導得到的導數(shù)，記作?f/?x。關于y的偏導數(shù)是指固定x，對y求導得到的導數(shù)，記作?f/?y。二元函數(shù)的全微分二元函數(shù)的全微分是指函數(shù)在某一點處的微小變化量，可以用偏導數(shù)來表示。例如，二元函數(shù)f(x,y)在點(x0,y0)處的全微分為df=?f/?x(x0,y0)*dx+?f/?y(x0,y0)*dy。二階偏導數(shù)二階偏導數(shù)是指偏導數(shù)的導數(shù)。例如，二元函數(shù)f(x,y)關于x的二階偏導數(shù)是指?f/?x的導數(shù)，記作?2f/?x2。關于y的二階偏導數(shù)是指?f/?y的導數(shù)，記作?2f/?y2。二階偏導數(shù)的計算規(guī)則二階偏導數(shù)的計算規(guī)則可以總結為：?2f/?x2=?(?f/?x)/?x，?2f/?y2=?(?f/?y)/?y，?2f/?x?y=?(?f/?x)/?y，?2f/?y?x=?(?f/?y)/?x。二階偏導數(shù)的幾何意義二階偏導數(shù)的幾何意義可以理解為曲面的曲率。例如，二元函數(shù)f(x,y)在點(x0,y0)關于x的二階偏導數(shù)?2f/?x2表示該點處曲面在x方向上的曲率。復合函數(shù)的偏導數(shù)復合函數(shù)是指多個函數(shù)嵌套組成的函數(shù)。例如，f(u(x,y))表示函數(shù)u(x,y)作為函數(shù)f的自變量，求f關于x或y的偏導數(shù)時，需要使用鏈式法則。復合函數(shù)的全微分復合函數(shù)的全微分可以使用鏈式法則來計算。例如，f(u(x,y))的全微分為df=?f/?u*?u/?x*dx+?f/?u*?u/?y*dy。隱函數(shù)的偏導數(shù)隱函數(shù)是指函數(shù)表達式中自變量和因變量沒有明確地分離。例如，F(xiàn)(x,y)=0表示一個隱函數(shù)，求該函數(shù)關于x或y的偏導數(shù)時，需要使用隱函數(shù)求導法則。隱函數(shù)的全微分隱函數(shù)的全微分可以使用隱函數(shù)求導法則來計算。例如，F(xiàn)(x,y)=0的全微分為dF=?F/?x*dx+?F/?y*dy=0，然后可以解出dy/dx或dx/dy。高階偏導數(shù)高階偏導數(shù)是指二階偏導數(shù)的導數(shù)，或者更高階偏導數(shù)的導數(shù)。例如，三元函數(shù)f(x,y,z)的二階偏導數(shù)有6個，三階偏導數(shù)有10個，等等。高階偏導數(shù)的計算規(guī)則高階偏導數(shù)的計算規(guī)則可以總結為：?3f/?x2?y=?(?2f/?x2)/?y，等等。高階偏導數(shù)的計算可以使用鏈式法則或直接求導。對稱性與等價性對于連續(xù)函數(shù)，二階混合偏導數(shù)具有對稱性，即?2f/?x?y=?2f/?y?x。例如，對于二元函數(shù)f(x,y)=x2y+xy2，有?2f/?x?y=?2f/?y?x=2x+2y。重積分的計算重積分是指對多變量函數(shù)在多維空間中進行積分。例如，二元函數(shù)f(x,y)在平面區(qū)域D上的重積分可以用二重積分表示，記作?Df(x,y)dxdy。極坐標下的重積分如果積分區(qū)域D是一個圓形或扇形區(qū)域，可以使用極坐標來簡化計算。極坐標系下，x=rcosθ，y=rsinθ，dxdy=rdrdθ。重積分就可以轉換為極坐標下的二重積分。變量替換法對于一些復雜的積分區(qū)域，可以使用變量替換法來簡化計算。變量替換法是指將積分變量替換為新的變量，從而使積分區(qū)域變得簡單。雅可比行列式雅可比行列式是在變量替換法中使用的重要工具。雅可比行列式是用來計算變量替換后積分區(qū)域面積或體積的變化的。重積分的幾何意義重積分的幾何意義可以理解為函數(shù)圖像在積分區(qū)域上的體積。例如，二元函數(shù)f(x,y)在平面區(qū)域D上的重積分?Df(x,y)dxdy表示函數(shù)圖像在D上的體積。三元函數(shù)的偏導數(shù)三元函數(shù)的偏導數(shù)是指函數(shù)關于三個自變量的導數(shù)。例如，三元函數(shù)f(x,y,z)關于x的偏導數(shù)是指固定y和z，對x求導得到的導數(shù)，記作?f/?x。三元函數(shù)的全微分三元函數(shù)的全微分是指函數(shù)在某一點處的微小變化量，可以用偏導數(shù)來表示。例如，三元函數(shù)f(x,y,z)在點(x0,y0,z0)處的全微分為df=?f/?x(x0,y0,z0)*dx+?f/?y(x0,y0,z0)*dy+?f/?z(x0,y0,z0)*dz。三階偏導數(shù)三階偏導數(shù)是指三元函數(shù)的偏導數(shù)的導數(shù)。例如，三元函數(shù)f(x,y,z)關于x的二階偏導數(shù)是指?f/?x的導數(shù)，記作?2f/?x2。關于y的二階偏導數(shù)是指?f/?y的導數(shù)，記作?2f/?y2。關于z的二階偏導數(shù)是指?f/?z的導數(shù)，記作?2f/?z2。三階偏導數(shù)的計算規(guī)則三階偏導數(shù)的計算規(guī)則可以總結為：?3f/?x2?y=?(?2f/?x2)/?y，等等。三階偏導數(shù)的計算可以使用鏈式法則或直接求導。向量值函數(shù)的導數(shù)向量值函數(shù)是指將多個變量映射到一個向量上的函數(shù)。例如，f(x,y)=(x2+y2,xy)表示一個二元向量值函數(shù)，其導數(shù)是一個向量。向量值函數(shù)的全微分向量值函數(shù)的全微分是向量值函數(shù)在某一點處的微小變化量。例如，二元向量值函數(shù)f(x,y)=(x2+y2,xy)在點(x0,y0)處的全微分為df=(2x0dx+2y0dy,y0dx+x0dy)。方向導數(shù)方向導數(shù)是指函數(shù)在某一點沿某個方向上的變化率。例如，二元函數(shù)f(x,y)在點(x0,y0)沿方向向量v=(a,b)的方向導數(shù)表示函數(shù)在該點沿v方向上的變化率。梯度向量梯度向量是一個向量，其方向指向函數(shù)增長最快的方向，其模表示函數(shù)在該方向上的增長率。例如，二元函數(shù)f(x,y)的梯度向量為?f=(?f/?x,?f/?y)。泰勒公式泰勒公式是將一個函數(shù)展開成無窮級數(shù)的形式，可以用來近似地表示函數(shù)在某一點附近的函數(shù)值。泰勒公式的展開式中包含函數(shù)的導數(shù)。最優(yōu)化問題最優(yōu)化問題是指尋找一個函數(shù)的最小值或最大值的問題。多元函數(shù)的最優(yōu)化問題可以使用偏導數(shù)和梯度向量來求解。拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法是用來求解帶有約束條件的多元函數(shù)最優(yōu)化問題的方法。拉格朗日乘數(shù)法可以將約束條件轉化為一個新的函數(shù)，然后利用偏導數(shù)求解最優(yōu)化問題。結論與展望