第5章機器人的軌跡規劃5.1運動軌跡描述5.2軌跡規劃分析5.3關節空間的軌跡規劃5.4直角坐標空間的軌跡規劃

5.1運動軌跡描述

1.關節空間描述

采用關節量描述機器人的運動稱為關節空間描述。例如讓機器人末端從A點移動到B點,則通過逆運動學方程計算出機器人從A點到達新位置B點時關節的總位移,機器人控制器利用所算出的關節值驅動機器人到達新的關節值,從而實現了機器人末端運動到新的位置,如圖5-1所示。關節空間描述雖然能夠讓機器人移動到期望位置,但機器人在這兩點間的運動過程是不可預知的。

圖5-1關節空間描述

2.直角坐標空間描述

采用預設的直角坐標空間中的點序列而獲得相對應的關節量的方法來描述機器人的運動稱為直角坐標空間描述。該方法能夠直觀地觀測機器人末端的運動軌跡。針對機器人從A點沿直線運動到B點的中間點不可預知的問題,通常將直線分成許多小段,強制機器人經過所有中間點后再到達目標點,如圖5-2所示。

圖5-2直角坐標空間描述

5.2軌跡規劃分析

以兩自由度機器人為例,采用問題驅動法來描述軌跡規劃的意義和必要性。假定要求一兩自由度機器人從A點運動到B點,在A點時關節角度為α=20°,β=30°,在B點時關節角度為α=40°,β=80°。已知機器人兩個關節運動的最大速率為10°/s。

(1)第1種軌跡規劃方法:以其最大速度運動驅動兩個關節,則機器人下方連桿用時2s、上方連桿用時5s即可完成運動。可見,該規劃的關節角度運動不規則,手臂末端走過的距離也不均勻,如圖5-3所示。

圖5-3所有關節最大速度的運動軌跡

(2)第2種軌跡規劃方法:采用關節速率的公共因子歸一化(即α=4°/s,β=10°/s),使其關節按比例運動,則兩個關節同步地開始和結束運動。顯然,采用歸一化處理可以使各部分運動軌跡更平衡,但所經過的路徑仍然是不規則的,如圖5-4所示。

圖5-4公共因子歸一化的運動軌跡

(3)第3種軌跡規劃方法:假設將機器人沿A點移動到B點之間的軌跡等份分成若干線段,計算出每個點所需的α和β,則機器人末端的軌跡和機器人各關節量的關系如圖5-5-所示。

由圖可以看出雖然機器人末端的運動軌跡是一條直線,但必須計算直線上每點的關節量,且關節值并非均勻變化。但按照此方法會產生如下問題:①假設機器人的驅動裝置能夠提供足夠大的功率來滿足關節所需的加速和減速,但如果不能立刻加速到所需的期望速度,機器人的軌跡將落后于設想的軌跡。②兩個連續關節量之間的差值不能超過規定的最大關節速度10°/s,而機器人末端從第1個軌跡點移動到第2個軌跡點時,要求機器人的關節速度必須為25°/s,這是不現實的;③機器人末端在第1個軌跡點向上移動前需要先向下移動,這也不符合常規的運動軌跡。

圖5-5-直角坐標空間運動圖

圖5-6具有加減速段的軌跡規劃

(5)第5種軌跡規劃方法:當機器人實現從A到B再到C的運動時。一種情況是從A到B先加速再勻速,接近B時減速并到達B時停止;從B到C先加速再勻速,接近C時減速并到達C時停止。此規劃的問題是一停一走的不平穩運動包含了不必要的停止運動,時間效率低下,如圖5-7所示。

另一種情況是將B點兩邊的運動平滑過渡,先接近B點,再沿平滑過渡的路徑重新加速,最后到達并停止在C點。采用平滑過渡導致機器人經過的可能不是原來的B點,但路徑更加平穩,降低了機器人的應力水平,減少了能量消耗,如圖5-8所示。應力水平(又稱應力比)指實際所受應力與破壞強度的比值,即作用在試件上的最大荷載應力與材料的極限承載能力的比值。當然,也可以在B點前后各增加過渡點D和E,使得B點落在DE連線上,如圖5-9所示。

圖5-7平滑過渡的軌跡規劃

圖5-8過渡點兩遍平滑的軌跡規劃

圖5-9增加兩個過渡點的運動軌跡

5.3關節空間的軌跡規劃

軌跡規劃通常是指在某些參數約束下規劃機器人的運動。下面討論以關節量為給定點的軌跡規劃。針對相對簡單的軌跡規劃而言,可通過高次多項式來描述兩個路段之間每點的位置、速度和加速度,控制器通過路徑信息求解逆運動學方程得到關節量,從而驅動機器人做相應的運動。

假設機器人某個關節在開始時刻ti

的角度為θi,期望在時刻tj

運動到新的角度θj。下面介紹軌跡規劃的方法。

1.三次多項式軌跡規劃

三次多項式軌跡規劃是指通過三次多項式建立初始和末端邊界條件的函數。

已知運動段的起點和終點位置(即2個邊界位置條件),以及運動開始和結束時刻的速度(即2個邊界速度條件),利用這4個邊界條件,建立三次多項式方程,從而求解出方程中的未知系數,獲得三次多項式方程。

將上述四個方程表示成矩陣形式為

通過方程或矩陣獲得位置與時間的函數關系,可計算出任意時刻的關節位置,從而使機器人控制器作出響應,進而驅動關節到達所需的位置。對每個關節利用同樣步驟分別進

行軌跡規劃,即能夠實現各個關節的同步驅動。如果要求機器人依次通過兩個以上的點,那么每段末端求解出的邊界速度和位置可用來作為下一段的初始條件,再使用三次多項式

規劃。因此,三次多項式能用于產生驅動每個關節的運動軌跡。

例5-1要求六自由度鏈式機器人的第一關節在5s內從初始角30°運動到75°,用三次多項式規劃計算在1s、2s、3s、4s時關節的角度。

例5-2要求六自由度機器人的第一關節在5s內從初始角30°運動到75°,要求在其后的3s內關節角到達105°,畫出該運動的位置、速度和加速度曲線。

解在例5-1的基礎上,將第一個運動末端的關節位置和速度作為第二個運動段的初始條件,可得

三次多項式軌跡規劃的位置和速度都是連續的,但加速度并不連續,這脫離了機器人本身的性能的要求。速度曲線是連續的,但速度曲線在中間點的斜率由負變正,這會導致加速度的突變,但由于機器人自身的能力有限,可能根本無法產生這樣的加速度,因此為保證機器人加速度不超過自身能力,在計算到達目標所需時間時,必須考慮加速度限制。

2.五次多項式軌跡規劃

五次多項式軌跡規劃是利用五次多項式函數求解滿足初始和末端的邊界條件與已知條件相匹配的軌跡規劃。

已知運動段的起點和終點的位置和速度(即4個邊界條件)以及起點和終點的加速度(即2個邊界條件),其方程可表示為

例5-3設六自由度鏈式機器人的第一關節在5s內從初始角30°運動到75°,且已知初始加速度和末端減速度均為5°/s2,要求利用五次多項式求出關節角度與時間的函數關系。

3.拋物線過渡的線性段軌跡規劃

如果讓機器人關節以恒定速度在起點位置和終點位置之間運動,軌跡方程相當于一次多項式,其速度為常數,加速度為零,這意味著在運動段的起點和終點的加速度必須無窮大,才能在邊界瞬間產生所需的速度。因此,如果是線性運動段,在起點處和終點處可以用拋物線來過渡,如圖5-10所示。

圖5-10拋物線過渡的線性段規劃

因此,拋物線段的方程為

對于直線段,速度保持為常值,可以根據驅動器的物理性能來加以選擇。

將零初始速度、線性段已知的常值速度w及零末端速度代入式(5-8),可得到A、B點及終點的關節位置和速度為

終點的拋物線段和起點的拋物線段是對稱的,只是其加速度為負,可表示為

因θ=θA到θ=θB段為直線,則對應函數為

軌跡規劃的位置、速度和加速度的關系如圖5-11所示。圖5-11軌跡規劃的位置、速度和加速度的關系

4.高次多項式軌跡規劃

除了指定起點和終點外,當指定其他中間點時,可以通過匹配兩個運動段上每一點的位置、速度和加速度來規劃一條連續的軌跡。

利用起點和終點邊界條件以及中間點的信息,可采用高次多項式來規劃軌跡并使其通過所有的指定點:

以434軌跡為例,未知系數的形式為

利用14個邊界和過渡條件,求解所有未知系數,并得到最終規劃軌跡,具體求解流程如下:

(1)已知初始位置θ1;

(2)給定初始速度;

(3)給定初始加速度;

(4)已知第一個中間點位置θ2,是第一運動段四次多項式軌跡的末端位置;

(5)第一個中間點的位置必須和三次多項式軌跡的初始位置相同,以確定運動的連續性;

(6)中間點的速度保持連續;

(7)中間點的加速度保持連續;

(8)已知第二個中間點的位置θn,它與三次多項式軌跡的末端位置相同;

(9)第二中間點的位置必須和下一條四次多項式軌跡的初始位置相同;

(10)下一個中間點的速度保持連續;

(11)下一個中間點的加速度保持連續;

(12)已知終點位置θf;

(13)給定終點速度;

(14)給定終點加速度。

上式利用矩陣形式表示如下:

或簡化表示為

例5-5-假設機器人采用4－3－4軌跡,從起點經過兩個中間點到終點。設已知機器人的一個關節在三個運動段的位置、速度和運動時間,確定其軌跡方程,并用MATLAB軟件繪制出該關節的位置、速度和加速度曲線。

圖5-12軌跡規劃的位置、速度和加速度曲線

5.4直角坐標空間的軌跡規劃

直角坐標空間軌跡與機器人相對于直角坐標系的運動有關。凡是用于關節空間軌跡規劃的方法都可用于直角坐標空間的軌跡規劃。關節空間軌跡規劃的規劃函數生成的值是關節值。直角坐標空間軌跡規劃函數生成的值是機器人末端手的位姿,需要通過求解逆運動方程才能轉化為關節量。兩者的根本差別在于直角坐標空間軌跡規劃必須反復求解運動方程來計算關節角。

直角坐標空間軌跡規劃具體計算過程如下:

(1)對時間增加一個增量:t=t+Δt;

(2)利用所選擇的軌跡函數計算手的位姿;

(3)利用機器人逆運動方程計算手位姿的關節量;

(4)將關節信息傳遞給控制器;

(5)返回到循環的開始。

1.微分法

微分法是利用大量的微分運動在起點和終點之間產生平滑的線性變